CC BY
192009
ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Математика. Механика. Информатика Вып.7(зз)
УДК 534.870
Классификация форм уравнений динамики систем твердых тел со структурой дерева
А. Б. Бячков, В. Н. Иванов, В. А. Шимановский
Пермский государственный университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15
Представлена классификация форм уравнений динамики систем связанных твердых тел со структурой дерева. В основе классификации - новые компактные матричные формы записи уравнений кинематики и динамики систем тел, полученные с использованием понятия матрицы кинематической структуры и геометрического подхода при описании относительного движения систем тел. Единая форма записи уравнений движения удобна для представления и сравнения различных подходов к моделированию динамики систем твердых тел. Приведен сравнительный анализ вычислительной эффективности различных методов составления и разрешения уравнений движения систем твердых тел.
1. Вводные замечания
Рассмотрим систему абсолютно твердых тел, соединенных шарнирами, с топологической структурой дерева [1-5]. Пусть N - число тел в системе. Пронумеруем тела и шарниры системы. Телам присвоим номера таким образом, чтобы для любого тела номер "предшествующего" ему тела был меньше. Пусть для каждого і тела величина к(і) определяет номер этого "предшествующего" тела. Будем предполагать, что кинематические связи, реализуемые в шарнирах, голономные и идеальные. С каждым і -м телом свяжем ортогональную декартову систему координат. Положение і -го тела в пространстве относительно "предшествующего" для него тела к(і)
полностью определяется матрицей
С =
(О. -О. А
і і
0 О
(1.1)
V і /
где гі - кососимметричная матрица - аналог векторного произведения на вектор г, элементами которого являются проекции вектора полюса тела в системе координат предыдуще-
© А.Б. Бячков, В.Н. Иванов, В.А. Шимановский, 2009
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 07-01-97611).
го тела, О - матрица преобразования из предыдущей системы координат к(і) в систему координат і -го тела.
2. Матрица кинематической структуры
Введем матрицу 5 размером (6N х 6N)
( Е О
Е6х6 О6х6
-С Е
—С2 Е6х6
V*О6хк1— CN О6хкя
О6х^
О
(2.1)
где кЫ- = 6 • (к(Ы) -1), кЫ+ = 6 • (Ы - к(Ы) -1), Е - единичная матрица указанного размера, О - нулевая матрица указанного размера.
Поскольку матрица 5” содержит информацию как о топологической структуре системы, так и об относительном положении тел в системе, будем называть такую матрицу матрицей кинематической структуры. Отметим следующие свойства матрицы 5 :
а) существует матрица Т такая, что Т 5 = 5 Т = Е (обратная для 5);
Ь) для любой кинематической структуры типа "дерево" матрица Т известна. Например, для "цепочки" тел матрица Т имеет вид
( Е Еб О о6 о6—
и Ее О О6 -
Т = СзС2 Сз Еб Об -
2 и оС ■'3- и С4Сз С4 Еб -
)
(2.2)
^ матрица 5 для любой кинематической структуры содержит только два ненулевых блока Е6 и -С., матрица Т для любой кинематической структуры является блочнонижнетреугольной.
d) "освободим" тела системы от связей, заменив их соответствующими силами реакций. Для каждого тела системы можно записать уравнение Ньютона-Эйлера. С использованием матрицы 5 уравнения Ньютона-Эйлера для всех тел системы можно объединить в одно матричное уравнение
М V - 5ТК = Е*,
(2.3)
где М = diagM\, Мг ...Мн} матрица размером (6У х 6У), М{ - известная блочнодиагональная матрица массово-инерционных характеристик i -ого тела [1-5],
V - матрица-столбец проекций абсолютных скоростей всех тел системы размером ^ х1), Я - матрица-столбец проекций
реакций в шарнирах системы, Е* - остальные члены уравнений;
e) с использованием матрицы 5, уравнения кинематики системы тел также можно записать в матричном виде:
5 V = уг,
(2.4)
5 V = '№г + wc,
(2.5)
где уг - матрица-столбец проекций отно-
^ Г
сительных скоростей тел системы, w -матрица-столбец проекций относительных
^ с
ускорений тел системы, w - матрица-столбец проекций переносных и кориоли-совых ускорений тел. Если кинематические соотношения умножить слева на матрицу Т получим явные выражения для абсолютных скоростей
V = Т уг,
(2.6)
V = Т wr + Т wc.
(2.7)
Таким образом, матрица 5 позволяет проектировать вектора из пространства абсолютных скоростей системы в пространство векторов относительных скоростей. А матрица Т - из пространства относительных скоростей в пространство абсолютных скоростей.
3. Конфигурационное многообразие
относительных движений
Рассмотрим конфигурационное многообразие относительного движения тела системы с номером і относительно "предшествующего" тела [5].
Пусть проведена параметризация этого многообразия, д є Яп - вектор относительных обобщенных координат і -ого сочленения.
Пусть А - матрица касательного локального базиса многообразия относительного движения, А = diag{Av А,... А} - блочно-
диагональная матрица размерности (бУ х и),
где п - общее количество относительных обобщенных координат системы.
Относительные скорости и ускорения тел системы можно выразить через вектор всех обобщенных относительных координат системы тел q = ... д^)Т в виде
уг = Ад + а , (3.1)
wг = Асі + Щ . (3.2)
Пусть Zi - матрица ортогонального локального базиса многообразия относительного движения. Для каждой матрицы A матрицу Z можно построить известными методами. Пусть Z = diag{Zl, ..^} - блочно-диаго-
нальная матрица размерности (бУ х бУ - и) .
Условие ортогональности касательного и ортогонального базисов выражаются соотношением 21А = 0 .
При условии идеальности связей векторы реакций в шарнирах принадлежат ортогональному подпространству. Тогда реакции можно разложить по ортогональному базису в
виде Я = ZX, где Я - (бЫ — и) -мерный вектор, компоненты которого являются координатами вектора Я в ортогональном базисе, множители Лагранжа.
Отметим, что если умножить уравнения кинематики (2.4) и (2.5) слева на матрицу
гу Т ^
Z получим уравнения связей, выраженные в скоростях и ускорениях
ZTS V = ZTуг,
(3.3)
2Т5 V = 2Т + wc),
(3.4)
4. Расширенная система уравнений движения
В качестве основной модели динамики системы твердых тел рассмотрим расширенную систему
М V — ¿Т Я = її *
—¿V + А 1| = Щ.
(4.1)
АТ Я
= 0
Первое матричное уравнение системы -уравнение динамики в форме Ньютона-Эйлера (2.3). Второе - уравнение кинематики
(2.5) с учетом (3.1) и (3.2). Третье - принцип идеальности связей. Система содержит 12И - п скалярных дифференциальных и алгебраических уравнений относительно такого же количества неизвестных величин V, д, Я . Матрица системы
(М —$ТО^ —5 О А О АТ О
V
блочная
(4.2)
симметричная, блочная трехдиагональная, достаточно разряженная.
Расширенная система (4.1) может быть использована непосредственно для разрешения и интегрирования при моделировании систем многих тел. С другой стороны, она служит основой для получения других (в том числе известных) форм записи уравнений динамики систем тел со структурой дерева.
5. Методы редукции расширенной системы
Первая группа методов уменьшения размерности расширенной системы (4.1) свя-
зана с исключением из системы реакций связей с использованием касательного подпространства. Преобразуем уравнения принципа идеальности связей следующим образом:
ЛТЯ = АТ(ТТ5Т)Я = (ТЛ)т5тЯ = 0 .
Умножив уравнение динамики слева на (ТЛ)Т , исключим реакции связей. Умножив уравнение кинематики слева на Т , получим явные выражения для V (и для V) через обобщенные ускорения, скорости и координаты, которые позволяют исключить также и абсолютные скорости. В результате получим уравнения динамики относительно обобщенных координат (уравнения Лагранжа второго рода)
ЛтТтМТЛс[ = ЛтТтЕ* = 0*. (5.3)
В зависимости от последовательности перемножения матриц в левой части уравнения (5.3) получим уравнения прямого метода составления уравнений динамики
(ЛТ)тМ (ТЛ)С = б (5.4)
и уравнения метода составных тел
ЛТ(ТтМТ)ЛС = б. (5.5)
Матрица перед старшими производными симметричная, достаточно заполненная. На ее формирование способом (5.4) требуется порядка п3 операций умножения, способом (5.5) - порядка П операций умножения.
Вторая группа основана на идее использования ортогонального подпространства. Используем выражение для сил реакций через множители Лагранжа Я = XX . Спроектируем уравнения кинематики на ортогональное подпространство (умножив его слева на 2Т).
Исключим тем самым обобщенные ускорения. Получим систему 12Ж - п уравнений относительно абсолютных скоростей V и множителей Лагранжа X (уравнения Лагранжа первого рода)
Г М V - БТ2Х = Е*,
\-1Т8 V + 0 = ХТ (wí - wc).
Матрица системы
( М -8Т2Л
к-гТ8 О ,
симметричная, блочная трехдиагональная, достаточно разряженная. На формирование матрицы системы (5.7) требуется порядка п операций умножения.
(5.6)
(5.7)
Третье направление связано с одновременным использованием обоих подпространств. Спроектируем уравнение динамики на касательное подпространство (умножив его на (ТЛ)Т ), исключим реакции связей. Спроектируем уравнение кинематики на ортогональное подпространство (умножив его на 2Т), исключим обобщенные ускорения (и скорости). Получим в результате систему 12Ж уравнений относительно неизвестных абсолютных скоростей V
ЛтТтМ V = ЛтТтЕ\
Г • Г , , (5.8)
2ТЪ V = ХТ(wí - wc).
Уравнения (5.8) представляют собой уравнения Маджи в избыточных квазискоростях для системы твердых тел [6, 7].
Аналогичным образом можно получить из расширенной системы (4.1) другие известные формы уравнений динамики систем твердых тел: уравнения Маджи в квазискоростях и обобщенных координатах, уравнения Лагранжа первого рода в обобщенных координатах, уравнения кинетостатики, уравнения в импульсах Пуассона и др.
6. Сравнение вычислительной эффективности методов
Говоря о вычислительной эффективности различных форм записи уравнений динамики систем твердых тел, необходимо учитывать затраты на разрешение этих уравнений относительно переменных состояния [8-12]. Так, для систем (4.1) и (5.6), с сильно разряженной, трехдиагональной матрицей, существуют алгоритмы с линейной зависимостью числа требуемых операций от числа тел в системе (методы прогонки) [8-12]. При этом скорость работы алгоритма мало зависит от структуры системы [8-12]. Для систем (5.3) и
(5.4), отличающихся малой размерностью, но имеющих в большинстве случаев достаточно плотно заполненную матрицу системы, алгоритмы разрешения имеют квадратичную (итерационные методы) и кубическую (методы Гаусса, Холецкого) зависимость числа необходимых операций от количества тел в системе [8-12]. Но для некоторых конкретных кинематических структур (например, бинарное дерево) такой показатель может стремиться к линейной зависимости.
Сказанное выше можно проиллюстрировать следующими примерами. Результаты исследования вычислительной эффективности рассмотренных методов для системы со структурой типа "бинарное дерево" (время, затраченное на шаг интегрирования в мс, в зависимости от количества тел) представлены на рис. 1, 2.
На рис. принята следующая нумерация методов:
1) прямой метод составления уравнений (5.4) с обратным итерационным методом разрешения уравнений [10-12];
2) метод составных тел (5.5) с прямым итерационным методом разрешения [10-12];
3) расширенная система (4.1) с прямым итерационным методом разрешения;
4) уравнение Лагранжа первого рода (5.6) с прямым итерационным методом разрешения.
Сравнение методов для случая, когда тела связаны шарнирами с одной угловой степенью свободы, представлено на рис. 1.
1 -Ф-2 -^3 —і— 4
Рис. 1. Система с одностепенными шарнирами
1 -9-2 -ъ-3 —і—4
На рис. 2 приведены результаты для случая, когда тела связаны шарнирами с тремя угловыми степенями свободы.
Рис. 2. Система с трехстепенными шарнирами
Анализ вычислительной трудоемкости показывает, что выбор оптимального алгоритма моделирования неоднозначен, существенно зависит от количества тел в системе, структуры системы и от параметров относительного движения [7-9].
Заключение
В статье представлены матричные формы записи моделей движения систем твердых тел, удобные для системного анализа различных подходов к составлению и разрешению уравнений динамики и определения их места в общей классификации методов.
Наглядность представленных форм записи позволяет выбирать уравнения, обеспечивающие наибольшую эффективность моделирования для каждой конкретной механической системы.
Единая классификация дает возможность легко переходить от одних переменных к другим, легко перестраивать вычислительные процедуры в ходе моделирования.
Построенные графики вычислительной трудоемкости основных форм записи моделей динамики позволяют осуществлять выбор оптимальных методов в каждом конкретном случае моделирования.
Список литературы
1. Виттенбург Й. Динамика систем твердых тел / Й.Виттенбург. М.: Мир, 1980.
2. Лилов Л.К. Моделирование систем связанных тел / Л.К.Лилов. М.: Наука, 1993. 272 с.
3. Коноплев В.А. Агрегативная механика систем твердых тел / В.А.Коноплев. СПб.: Наука, 1996.
4. Погорелов Д.Ю. Введение в моделирование динамики систем тел / Д.Ю.Погорелов. Брянск: БГТУ, 1997.
5. Величенко В.В. Матрично-геометрические методы в механике с приложениями к зада-
чам робототехники / В.В.Величенко. М: Наука, 1988. 280 с.
6. Byachkov A.B. Maggi's equations in terms of quasi-coordinates / A.B.Byachkov, V.M.Suslo-nov // Regular and Chaotic Dynamic. 2002. Vol.7, №
3. P.269-279.
7. Бячков А.Б. Уравнения Маджи в квазикоординатах / А.Б.Бячков // Вестн. Перм. ун-та. Математика. Механика. Информатика. Пермь, 2008. Вып. 4(20). С.82-91.
8. Шимановский В.А. Методы составления уравнений движения систем связанных твердых тел в декартовых координатах / В.А,Шимановский, В.Н.Иванов // Проблемы механики и управления: Нелинейные динамические системы: межвуз. сб. науч. тр. / Перм. ун-т. Пермь, 2007. С.188-201.
9. Шимановский В.А. Формирование уравнений движения механических систем в обобщенных координатах / В.А.Шимановский, В.Н.Иванов // Проблемы механики и управления: Нелинейные динамические системы: межвуз. сб. науч. тр. / Перм. ун-т. Пермь, 2005. С.188-201.
10. Иванов В.Н. Модификация алгоритма Пау-элла-Бройдена для решения систем линейных алгебраических уравнений / В.Н.Иванов // Вестн. Перм. ун-та. Информационные системы и технологии / Перм. ун-т. Пермь, 2005. Вып. 4. С.115-119.
11. Иванов В.Н. Использование итерационных
алгоритмов разрешения уравнений движения механических систем при их численном интегрировании / В.Н.Иванов,
В.А.Шимановский // Вестн. Перм. ун-та. Математика. Механика. Информатика / Перм. ун-т. Пермь, 2006. Вып. 4(4). С.28-38.
12. Иванов В.Н. Применение итерационных методов для разрешения уравнений движения систем связанных твердых тел / В.Н.Иванов, В.А.Шимановский // Вестн. Перм. ун-та. Математика. Механика. Информатика / Пермь ун-т. Пермь, 2008. Вып. 4(20). С.109-116.
Classification of various forms of dynamic multibody equations with tree structure
A. E. EmKoe, B. H. Heanoe, B. A. ^UManoecKUU
A. B. Byachkov, V. N. Ivanov, V. A. Shimanovsky
Perm State University, 614990, Perm, Bukireva st., 15
In this article the classification is based on the new compact forms of multibody system equations. The kinematical structure matrix and a unified geometric approach to modeling of constrained mechanical system make it possible to derive multibody dynamic equations in compact matrix notation. The presented equations are considered from the point of simulation efficiency.
