CC BY
22
УДК 530.1
КЛАССИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДЛЯ КВАНТОВОГО ОСЦИЛЛЯТОРА С ТРЕНИЕМ: СРАВНЕНИЕ МОДЕЛЕЙ С ГАМИЛЬТОНИАНОМ И КИНЕТИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЕМ
В. И. Манько, С. С. Сафонов
В явном виде получены решения нового кинетического уравнения квантовой механики для возбужденных состояний осциллятора с трением. Проанализирована разница между распределениями вероятностей координаты, определяющими состояния в новой формулировке квантовой механики, для осциллятора с трением в рамках модели с гамильтонианом Калдирола-Канаи и кинетического уравнения со столкновительным членом.
Проблема движения с трением занимает особое место в квантовой механике. В рамках квантовой теории для описания диссипативных квантовых систем были предложены различные модели. Простой квантовый гамильтониан, который описывает трение в рамках линейного уравнения Шредингера для волновой функции, был предложен и более подробно рассмотрен в [1, 2]. Для открытых (диссипативных) квантовых систем было предложено кинетическое уравнение с коэффициентами, которые описывают трение (см., напр., [3, 4]). Однако до сих пор существует неясность в сравнительном анализе различных моделей квантового трения по сравнению с классическим трением. Попытки сравнить различные модели, которые описывают квантовые системы с трением, были сделаны во многих работах (см., напр., [5], в которой была приведена зависимость от времени усредненной по периоду энергии затухающего осциллятора в классическом и квантовом случаях), но эти попытки не дали окончательного понимания проблемы.
В [б, 7, 8] было введено вероятностное представление в квантовой механике и получено новое уравнение эволюции, являющееся обобщением результата работы [9], в котором роль функции Вигнера играет распределение вероятности (маргинальное распределение) координаты частицы в ансамбле повернутых с изменением масштаба систем отсчета в фазовом пространстве системы (классическое представление квантовой механики).
В рамках этого классического представления в [10] был рассмотрен квантовый осциллятор с трением, который описывался моделью Калдирола-Канаи. Принимая во внимание возможность "классического" описания квантовой системы, мы сравним две различные модели с квантовым трением: модель Калдирола-Канаи с гамильтонианом и модель, в которой трение описывается кинетическим уравнением со столкновительным членом.
Цель настоящей работы - получить маргинальное распределение для квантового осциллятора с трением, используя модель с кинетическим уравнением, и сравнить найденное выражение с маргинальным распределением для системы с гамильтонианом Калдирола-Канаи, которое было получено в [10].
Как было показано в [6], для линейной комбинации координаты в фазовом пространстве и импульса р, которая является измеримой величиной (Й = т = 1)
Х = м + — р, (1)
ш 1
где ш\ - частота невозбужденного осциллятора, маргинальное распределение ъи (Л, р,, у) связано с состоянием квантовой системы, заданным функцией Вигнера, следующим образом:
го (X, /х,г/)= J ехр —Не — рд--р
/1 (2тт)
где ц и и - действительные числа. В работе [6] было показано, что для системы с трением, которая описывается с помощью кинетического уравнения для матрицы плотности со столкновительным членом
Р= р] + 7х (2ара* — а^ар — ра}а^ , (3)
где 7х - коэффициент трения в модели с кинетическим уравнением, а а\а - бозонные операторы рождения и уничтожения, можно переписать данное уравнение (в представлении взаимодействия) на языке маргинального распределения, используя классическое описание квантовой механики, в виде нового уравнения Фоккера-Планка
и)= 71
и>. (4)
д д 1/2 2\ д2 -дУ-Т^ + г^ +
Решением эволюционного уравнения (4) является маргинальное распределение когерентного состояния системы с трением в представлении взаимодействия [6]
[Х - (nqo + u^vpo) е-^']2
о;]"1 {И2 +
(5)
которое связано посредством уравнения (2) с функцией Вигнера гармонического осциллятора с трением
W (q,p) — 2ехр
(, - дое-^У - и'1 (р - рое-»4)2] . (6)
В уравнениях (5) и (6) параметры начального когерентного состояния <70, Ро можно записать в виде
а + а* и — и _
Яо = ж— , Ро = . ,к (I)
V 2а>1 г V 2
где о: - комплексное число. Поскольку уравнение (5) было написано в представлении взаимодействия, то для того, чтобы найти маргинальное распределение для когерентного состояния системы в представлении Шредингера, достаточно сделать замену
fl(t) = ¿íCOSWií + vsinüJit,
V (t) = — fi sin Wit + V COS Wit. (8)
Подставляя в (5) выражения (7) и (8), получаем маргинальное распределение для когерентного состояния системы с трением, являющееся решением нового квантового уравнения типа Фоккера-Планка (4), записанного в представлении Шредингера
wa (X,n,v,t)
exp
х ехр[-
(-1 ° i2)
,-2-yi t
exp
X2
v//í2 + V2
X
2 „.2
((/ícosu>i¿ — í/sina^í) — i (ps'mujit + г/coswit)) a
2{ц2 + и2)
((// cosa;ií — v sinwjí) — i (/í sinu>ií + v eos wjí)) a]
уДХе-^
e-27li
x exp[--—-— ((/í cosu^í — и sinc^it) -f i (/i s'mu>it -f v cosu;ií)) a"
2 (p2 + v2) V2Xe
u>~1/2 (p2 + v2) x exp [- (e~27lí - l) | a
((/zcosu^ií — i/sinu>i¿) -f i (fj,smu>it + и cosu^í)) o*]
(9)
Так как когерентное состояние является производящей функцией для возбужденных состояний системы (см., напр., [8]), то справедливо равенство
со апа*т
IV,
= ехр (- I а I2) ^ /т-г^пт СУ, ^ М) 4 ' п,т=о \/п\т\
(10)
Вводя обозначение и>п (X, р, и, ¿) = и>„п (X, р, I/, £), мы получаем маргинальное распределение для возбужденного фоковского состояния уоп [X, V, ¿), которое выражено через полином Эрмита от двух переменных Н^} (х,у) (см., напр., [5])
/и>1
и)п(х,1л,1/,г) =.
Щ 1
у/РТ
X
Н{0}
: ехр
ЫГ1 (Р2 + !/2)
П!
(11)
где /3 = 1 — е271<. Используя связь между полиномами Эрмита двух переменных с обычными полиномами Эрмита [5]
(г,,У) = (п!)22""£
(-2/?)" я2
2 п—/г
(12)
получаем маргинальное распределение для возбужденного фоковского состояния в виде
х
£
гЯ2
, ■ *! К* - *)!]3 ""Ч^Г1 +
где г^о (X, :/) - маргинальное распределение основного состояния системы
(13)
Гш\ 1 *>о{Х,1х,1/) = ^/ — -7===== ехр
X
Г 2
[ и\Х + 1/2)]
(14)
7Г у^р2 + г/2
Как было продемонстрировано в [10], для квантового осциллятора с трением, который описывается с помощью гамильтониана Калдирола-Канаи Н = р2е~2у*1 /2 + ы|92е27272 (ш2 - частота невозбужденного осциллятора для модели Калдирола-Канаи), маргинальное распределение возбужденного фоковского состояния имеет вид
Wn (X, р, и, t) = w0 (X, р, „, t) ¿Я2 j , (15)
где Wo (X, р, V, t) - основное состояние осциллятора,
1 / X2 \
Wo (X, р, V, t) - --ехр----, (16)
\J7Г££* (а2 + Ь2) V ££* («2 + Ь2) У
ехр (272í) V (е* é +е е*) v
« =-7TZ-- + ь=— (17)
2ее* ее*
и
e"72Í /-
£ (i) = [(72 sin Ш + Í2 cos Ш) + г sin Ш], ft = - 7|. (18)
Надо отметить, что характерной чертой данных двух моделей является то, что выражения для средней величины координаты в представлении модели Калдирола-Канаи и кинетического уравнения имеют одинаковый вид:
<<?>+271<<7) + (^+7г2)Ы = 0 (19)
для кинетического уравнения со столкновительным членом и
<<?)+272 (<?)+U;22(<?)=0 (20)
для модели с гамильтонианом Калдирола-Канаи. Поэтому квантовую систему, которая может быть описана с помощью этих моделей, можно условно считать квантовым аналогом классического осциллятора с трением. Для того, чтобы сравнить две эти модели, мы взяли одинаковые значения для коэффициентов трения и для коэффициентов при величине (q) в выражении для средней величины координаты, т.е. 7 = 71 = 72 = 0,9 и ш — + 7i = ш2 = 1,5.
Сравнивая теперь маргинальные распределения (13) и (15), можно сделать несколько важных выводов.
1) Дисперсии функции вероятности состояния у двух моделей квантового трения различаются. В модели Калдирола-Канаи дисперсия маргинального распределения зависит от параметров р, v и величин 7, t, тогда как дисперсия функции вероятности в модели с кинетическим уравнением не зависит от величин 7 и Í, а зависит только от параметров рай. Данное различие параметров дисперсии функции вероятности
0.2
0.4
<о
0
Рис. 1. Маргинальное распределение основного состояния ш0{Х, и) а) для модели с кинетическим членом и б) для модели Калдирола-Канаи; р — 1,5, 'yt = 0,9.
состояния для двух моделей квантового осциллятора с трением легко видеть из рис. 1, где построены маргинальные распределения основного состояния (п = 0) квантового осциллятора с трением для модели с кинетическим трением (рис. 1а) и для модели с гамильтонианом Калдирола-Канаи (рис. 16) (р — 1,5 и ^ = 0,9). Маргинальное распределение было построено в зависимости от переменной X и и, а параметр р и величины £ и 7 были взяты постоянными.
2) Как следует из структуры формул (13) и (15), в модели квантового трения с кинетическим уравнением наблюдаются нули функции вероятности (нули полинома Эрмита), что отсутствует для функции вероятности в модели Калдирола-Канаи. Данное различие показано на рис. 2, где было представлено маргинальное распределение первого возбужденного состояния (п = 1) квантового осциллятора с трением с фиксированными параметрами р = 1 и 7* = 0,045 в представлении двух моделей: модели с кинетическим уравнением (рис. 2а) и модели с гамильтонианом Калдирола-Канаи (рис.
3) Важный вывод можно сделать, рассматривая структуру выражений (13) и (15) с точки зрения зависимости от параметров р и и. Как было упомянуто выше, физическим смыслом параметров р и V является то, что они описывают ансамбль повернутых с изменением масштаба систем отсчета в фазовом пространстве системы, то есть описывают систему отсчета, в которой измеряется координата X (см. выражение (1)). Видно,
26).
0.2
0.3
0.1
со
0
Рис. 2. Маргинальное распределение первого возбужденного состояния и}х{Х,и, <) а) для модели с кинетическим членом и б) для модели Калдирола-Канаи; р = 1, 7< = 0,045.
что функция вероятности (13) для модели квантового трения с кинетическим уравнением является симметричным выражением по параметрам р и г/, а функция вероятности (15) для модели Калдирола-Канаи асимметрична относительно этих параметров. Это значит, что в симметричных системах отсчета, т.е. в системах отсчета, где параметры р и V представлены местами, функция вероятности состояния квантового осциллятора с трением в модели с кинетическим уравнением имеет одинаковый вид, тогда как функция вероятности состояния в модели Калдирола-Канаи в симметричных системах отсчета, описывается различными выражениями.
В заключение отметим, что поскольку, как показано выше, с помощью "классического" описания квантовой системы можно легко проанализировать различие между двумя моделями квантового трения (модель с гамильтонианом Калдирола-Канаи и модель с кинетическим уравнением со столкновительным членом), то можно надеяться на успешное применение представленного метода также для сравнения других моделей квантового трения.
ЛИТЕРАТУРА
[1] С а 1 а * г о 1 а Р. 1Чиоуо Сип., 18, N 9, 393 (1941).
[2] Капа1 Е. Ргор. ТЬеог. РЬуэ., 3, N 4, 440 (1948).
[3] U 1 1 е г s m а P. Physica., 32, 27 (1996).
[4] L о u i s е 1 1 W. H. Quantum Statistical Properties of Radiation. Wiley, New York, 1973.
[5] Д о д о н о в В. В., M а н ь к о В. И. Труды ФИАН. М., Наука, 183, (1987), 208, (1992).
[6] M а п с i n i S., M a n ' к о V. I., and T о m b e s i P. Found, of Phys., 27, 801 (1997).
[7] M a n с i n i S., M a n ' k о V. I., and T о m b e s i P. Phys. Lett. A., 213, 1 (1996).
[8] M a n 'k о V. I. Proc. of Internat. Conf. Symmetries in Science IX, Bregenz (Austria), August 1996, edited by В. Gruber and M. Ramek, Plenum Press, p. 215.
[9] M о y a 1 J. E. Proc. Cambrige Philos. Soc., 45, 99 (1949).
[10] M a h ь к о В. И., С a ф о н о в С. С. ТМФ, 112, 467 (1997).
Поступила в редакцию 11 марта 1998 г.
