CC BY
73
УДК 519.711.3
КЛАССИЧЕСКИИ И КВАНТОВЫЙ ПОДХОД В ИССЛЕДОВАНИИ НЕЛИНЕЙНОЙ ГАМИЛЬТОНОВОЙ СИСТЕМЫ
© Н.Н. Чеканова, И.К. Кириченко, В.Е. Богачев, Н.А. Чеканов
Ключевые слова: гамильтонова система; нормализация Биркгофа-Густавсона; квантование; компьютерное моделирование.
Приведены результаты исследования автономной двумерной гамильтоновой системы в классическом и квантовом подходах. Показано, что в этой системе даже при наличии областей с отрицательной гауссовой кривизной отсутствует динамический хаос при классическом рассмотрении. При определенных значениях параметров в классической функции Гамильтона найден интеграл движения. Эти результаты подтверждаются проведенными численными расчетами сечений Пуанкаре. Получена классическая нормальная форма Биркгофа-Густавсона, а также ее квантовый аналог согласно правилу квантования Вейля. На основе этого квантового аналога получены приближенные формулы для вычисления энергетического спектра нижайших состояний для локального минимума, расположенного в начале координат.
1. Общая постановка задачи. Анализ публикаций по теме исследования
В настоящее время усилия ученых направлены на исследования различных явлений, которые описываются нелинейными дифференциальными уравнениями или их системами. Это связано с тем, что их описание при помощи нелинейных дифференциальных уравнений является более адекватным по сравнению с их анализом в теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений [1].
В настоящее время найти решение нелинейных дифференциальных уравнений и их систем в явном виде через известные элементарные или специальные функции есть задача нерешенная. Кроме того, подавляющее число нелинейных дифференциальных уравнений, несмотря на выполнение условий существования и единственности решений, допускают т. н. детерминированный или динамический хаос, открытый А. Пуанкаре еще в позапрошлом столетии
Наиболее часто используемыми для описания реальных физических систем является гамильтонов формализм. Кстати говоря, что интересно, любую систему обыкновенных дифференциальных уравнений можно записать в га-мильтоновом виде [3]. Методов предсказания динамического хаоса по виду функции Гамильтона к настоящему времени не существует. Тем не менее имеются различные критерии, которые позволяют предсказать существование динамического хаоса [4]. Одним из таких критериев является критерий отрицательной гауссовой кривизны [5-6]. Следует отметить, что этот критерий является ни необходимым, ни достаточным, но во многих случаях существование хаоса по виду функций Гамильтона он хорошо предсказывает [7].
Еще более интригующим вопросом является вопрос о квантовом проявлении динамического хаоса в системах, которые при классическом описании допускают хаотический режим движения [8].
2. Цель статьи
В настоящей работе сообщается результаты, которые получены для одной, предложенной нами, консервативной двумерной гамильтоновой системы с тремя произвольными параметрами. Для этой системы при определенных условиях на параметры существует дополнительный интеграл движения, кроме полной энергии, т. е. система является интегрируемой. Также получена нормальная форма Биркгофа-Густавсона, которая позволяет приближенно исследовать решения исходной неинтегрируемой системы. Как известно [9], в этих случаях использование нормальной формы Биркгофа-Густавсона позволяет достаточно удовлетворительно аналитически описывать сечений Пуанкаре.
На основе классической нормальной формы Биркгофа-Густавсона в соответствии с правилом Вейля получен ее квантовый аналог. Найдены приближенные формулы для нижайших уровней энергии в центральном минимуме.
3. Основная часть
3.1. Классическое рассмотрение
В работе рассмотрена двумерная система с функцией Гамильтона
[2].
(1а)
И-.)-1«. «к. (3 4 - (и
2
(1б)
где Ь, с, ¡1 - параметры.
Рис. 1. а) изолинии ППЭ и области с отрицательной ГК (затемненная область) при параметрах: ! = 1/100 , Ь = 4^/3/15, с = 17/375 ; б) сечения Пуанкаре
Ъ-Е—5—I—3-5-5-5-Т
а) б)
Рис. 2. а) изолинии ППЭ и области с отрицательной ГК (затемненная область) при параметрах: Ь = 0,420,! = 0,01; б) сечения Пуанкаре
Рис. 3. а) изолинии ППЭ и области с отрицательной ГК (затемненная область) при параметрах: Ь = 1/2, ! = 1/64; (с = 4!); б) сечения Пуанкаре
Поверхность потенциальной энергии V(ч1,ч2) (ППЭ) имеет сложный рельеф, четыре минимума, четыре Седло-вых точки и один максимум при произвольных значениях параметров (рис. 1). При произвольных значениях параметров реализуется хаотический режим движения.
При условии с = 4— нами был найден второй, кроме полной энергии, интеграл движения
1 = Р1Р2 + <М2 + Ъ +1 Чл ^ + 4— Ч1Ч2 (Ч! + 42 ). (2)
В случае интегрируемости (с = 4—) ППЭ имеет, тем не менее, области с отрицательной гауссовой кривизной (рис. 2).
Проведенный анализ показывает, что исследуемая нами система отличается от изученных в литературе систем тем, что: 1) несмотря на наличие отрицательной гауссовой кривизны на ППЭ, она при условии с = 4— является интегрируемой; 2) в широком диапазоне параметров стационарные точки квадратичной части ППЭ являются вырожденными, т. е. ее одно или оба собственные значения равны нулю (рис. 3, точки а, С и В).
В работе получена нормальная форма Биркгофа-Густавсона для гамильтоновой функции (1) в результате канонических преобразований (р,ч "), а затем еще одних (;,Q,Р) с валентностью, равной мнимой единице [10]:
= 1 / 2/(— 01 + Q2 + Р - Р2 ), ^ = 1/2(01 + Q2 + Р1 + Р2 ) ,
Л1 = 1/2(01 — 02 + Р — Р2), "2 = 1/2/(0 + 02 — Р — Р2) . (3)
С помощью программы [11] получена нормальная форма Биркгофа-Густавсона, которую представим в следующем виде:
—1в6 =Т0 + С41Т + 4С42Т? + 4С43Т2 + С61Т3 — 8^3 — 2С6зТ2Тз ++4С64Т?Т0 — 8С65Т12Т3 + +4 С66^2^0, (4)
где
С41 = 3/2— — -Ь2 , С42 = —-Ь2 + 3/8с, С43 = — - + с , С61 =——Ь4 +—Ь2- +13Ь2с — 17-2 , 41 12 42 12 43 2 8 61 432 36 36 4
Сб2 = —2/9Ь2-+1/18Ь2с, С63 = — Ць2-+11 ь2с, си = —17 с2 + 777 ъ?л+199 Ь2с—Ь*—17 с-,
9 36 64 64 36 72 144 8
С65 =11Ь2- —11 Ь2с , С66 = 9/4-2 — 1/2с- — — с2 — 1/36Ь2- + — Ь2с. (5)
65 9 3 6 66 64 1 44
В выражении (4) введены следующие функции:
% = + , Т = / (0Р2 — 02Р1) , Т = 1 (0Р — 02Р2 ), Т = \ + 02^ ) ,
для которых выражения для скобок Пуассона следующие:
{%,¥„}= 0 , Х = 1,2,3 . (6)
Из результатов для скобок Пуассона (6) непосредственно следует, что нормальная форма 06 описывает интегрируемую систему, т. е. Об является интегрируемым приближением для, в общем, неинтегрируемой исходной системы, причем выполняется тождество
Ч? + Т +Т32 = 1 . (7)
Имеют место также соотношения
{ТТ2}= / Тз, {Т2,Тз} = /Т, {г,,^}= /Т2
(8)
которые коротко можно записать в виде
{Т, Тц}= /в^,, X, ц, ,= 1, 2,3 ,
(9)
где - полностью антисимметричный тензор третьего ранга (символ Леви-Чивиты). 3.2. Квантовое рассмотрение
Для получения квантового аналога нормальную форму (4) представим в виде
о, = о(2) + о(4) + о(6), о(2) = ар+а2р2, С(4) = ^ р + £р2 + 2QlplQ1p1)+с,
г-а2 р2 - р2 +л
+ С4З(£12Р12 + 22р2 - 22^2рр?),
о(6) = С61 (а^р3 + а2р23+3£12р12а2р2+ада^р2)+с,2 (-а|р3 - а3р23 - - ада^р2)+
+с,
32 23 23 3 2
-аз р1 р2 - 2 р1 £2 - £2р2 2 - £2р2 р1
63 2 2 2 2
' -^2^2 - 2а^р2£2р1
3 3 3 3 2 2 ^ + £23р13 -21р2'
+с г -а/р2р2 - а2р2и - р3а - ар2р2+1 64 [+2й2р2а2р2+2йр22а2 р J
+Сб5 (а? р23 + а2р3 - а2 Р22?2 Р - ада^2) + Сбб(зр3+22Р3 - а12р2а2р2 - ар^р2)
(10)
Как известно, переход от классического описания к квантовому является неоднозначным. Имеются различные правила соответствия [12]. В настоящей работе получение квантового аналога классической функции Гамильтона (4) проводим в соответствии с правилом Вейля:
& {2,т • р"=р; • 2,т} =
,у = 1,2.
(11)
=-Е
2" Е к !(" - к)!
рк • ат • р
Далее, используя соответствие между классическими канонически сопряженными переменными и их квантовыми операторами
а,+,
р,^ 2,
(12а)
и правилом коммутации
22м22+ - 22+22М=8М„ м, , = 1,2,
(12б)
где - символ Кронекера, по правилу Вейля (11) находим квантовый аналог нормальной формы Биркгофа-Густавсона в степенном приближении = 6 по произведению операторов 0+ и степени = 6 , который представим в виде следующей суммы
Г6 ^+ ^Гnondiag,
(13)
Г ^ = 2?1+0?1 + а/а 2 +1+С4
(а+а+& а 2+1)2
+1/2
+ С42 (а+а + С? 2+0?2 + 2Ql+Ql • С?2+2?2 +1 / 2) +
+С42 (а+а+(2+22+2а+а • а2+й2+1/2)+С43 (а+а - с?2+с?2) +1/2
+с61 [(4+4 + 4+4)3+з (4+4 + 4+4 )2+5 (4+4 + 4+4) -
+с
(о?10>1+4+4 +1)
.+01+й + <22+(?2 + 1
а+а+а+а +
+2<?1+4 * <22+^2 J
+ С66
(4 + 4 + 4+42 + 1)(4 + 4 - 4+42 )2 +4+4 + 4+42+1
(14а)
^ = -С42 (4+ 242 + 4+ ^ )-Сб2 [б<21+ (4+4 )• 4+ (4+4 ) +з а+ • 4+ (4+4)+з 4+ •4+ (4+4)+4+343+4+3а3 ]+ 4+ (4+4+1)2 • 4 + 4+ (4+ • (4+4 + 4+4)+
-с
+4+4+ (4+4+4+¿2+1)2+2 4+¿2+ (4+4 • 4+ 4)] - С64 [ а+2 (а+а+3/2) а +2 / /2 +
+4+2 (4+¿2+3/2) 42+а+2 (4+а) 4+2+4+2 (4+4) 4+2+24+2 ]+ [+343+4+343 - зг (а+4) • 4+ (4+ ¿2) - 4+4+ (4+4 + 4/42)
(14б)
В приближении = 4 приближенный квантовый аналог исходной функции Гамильтона (1) принимает вид
о=а+а+а+а+1+с
(4+а+а+а+1) +1 / 2 + с42 (4+4+4+4+24+4 • 4+4+1 / 2)+
(01+01 - 02+02 )2 +1/2
- C42\Q^ + 02+ Ях
(15)
который в интегрируемом случае с = 4й классических уравнений движения также вследствие резонанса 1:1 содержит недиагональный член (последнее слагаемое в выражении (15)).
В результате проведенного выше квантования получаем уравнение Шредингера
Е=ЕЕ,
(16)
которое в нашем приближенном подходе соответствует исходной классической гамильтоновой системе (1). Здесь в обозначениях Дирака | Е} - вектор состояния квантовой системы с энергией, равной Е . Для его решения можно
использовать собственные функции и значения изотропного двумерного осциллятора [10] с гамильтонианом, равным
О2 = 0+ 01 + а2 02 + 1
(17)
Легко убедиться, что каждое собственное состояние изотропного двумерного осциллятора (17), кроме основного состояния, (Ж +1) -кратно вырождено. Введя основное (вакуумное) состояние
а|о,о>=4И=о,
получим следующий ортонормированный базис
(18)
N, Ь =
2 м 2
Ж+Ь\{ Ж^к I,
N-Ь I { N+Ь
е2ч 2 2 ^ о,о)
(19)
2
где N - главное квантовое число, N = 0,1,2,3,..., а Ь - орбитальное квантовое число, которое при заданном значении N принимает следующие значения: Ь =±N,— 2),— 4),...,1 (или 0) ■ Используя определение основного состояния (18) и правило коммутации (12), получим следующие соотношения:
¿+| N, Ь) = 1N +1, Ь +1, 0 N, Ь> = | N +1, Ь — 1,
¿1N,Ь = — 1,Ь — 1,41N,Ь = ] ^ N — 1,Ь +1 ■ (20)
Из соотношений (20) непосредственно следуют выражения:
Й+Й1N,Ь = (^)|N,Ь , ¿2+62!N,Ь = (^)|N, Ь, (21)
т. е. векторы N, Ь являются собственными для операторов (¿10! ) и (¿+¿2 к = 1,2,3,____Абстрактный вектор состояния N, Ь в представлении полярных координат и(г, ф) = = (г, ф | N, Ь^ удовлетворяет дифференциальному уравнению
(¿1+01 + ¿202 + 1)и(г,Ф) = X • и(г,ф) , (22)
где
й+2 = + 1- ехр(+/ф)(|- + ^ — г), 0и = + / ехр(±/ф)|^|±^ + г) , (23)
а X - собственные значения.
В предположении, что собственная функция и(г,ф) представима в виде
и(г,ф) = -^ехр(— /Ьф) • Я(г) , (24)
У12п
для радиальной функции Я(г) получаем следующее обыкновенное дифференциальное уравнение
d2R 1 dR - +--+
( j2\ 2X- r 2 - L
v r2 ,
R = 0,
dr2 г dг которое при замене Я = ехр(г2/2)у(г)
d-y + ( ^ — 2г +1) * — (2 Ь\ — 2Х + 2)у = dr2 ^ Г г) dr V 1 1 ;
I..2 , ........ приводит к уравнению
а после замены х = г2 приходим к уравнению Куммера [13]
+ № +1-x)f -1 <И + = 0 . (25)
Решением уравнения Куммера является следующий гипергеометрический ряд
y( x)=м (a, b, x)=1+ax+aian) x!+a(a+1)(a+2) x!+..., (26)
b 1! b(b + 1)2! b(b + 1)(b + 2)3!
где
2а = | Ц + 1 -X, Ь = | Ц +1.
Исходя из физических соображений, согласно которым функция у(х) должна быть конечной, полагаем, что а = —п, п = 0,1,2,3,... Тогда гипергеометрический ряд обрывается, превращаясь в полином, а числовая величина X должна принимать только дискретный ряд значений X = 2п +1Ц +1 или X = N + 1, где N = 2п +1Ц , N = 0,1,2,3,.
После известных стандартных вычислений можно получить следующий ортонормированный базисный набор функций и(г, ф) для квантового изотропного двумерного осциллятора
,н1 (г, ф)=л еанзд М+ЦМ! „ ГЦ еХр ^ ^
Ц! л/2^ V [(N—Ц)/2]! Р
V 2 у
М(а, Ь, г2) , (27а)
(N-Ь\ . .
а = I, Ь = | Ц +1 , (27б)
I I иNЦ(г,ф)г <^г<#=5NN'5Ш . (27в)
.10 0
Вычислив матричные элементы квантового аналога ',ЦN,Ц классической нормальной формы, в общем, в
произвольном приближении по степеням переменных , можно, например, методом диагонализации найти решение уравнения Шредингера (16), т. е. найти приближенные волновые функции и соответствующий приближенный энергетический спектр с определенным учетом нелинейных членов в исходной классической функции Гамильтона и для конкретной «потенциальной ямы» (локального минимума на ППЭ).
Однако в предлагаемом подходе эти результаты приближенно равны только для энергий, не превышающих энергию потенциальной энергии в соседней к данному локальному минимуму, а также они никак не учитывают эффекты квантового туннелирования между многими локальными минимумами, которые имеются при произвольных значениях параметров в исследуемой классической системе, описываемой функцией Гамильтона (1). Найти явное аналитическое решение как в классическом случае для системы с функцией Гамильтона (1), так и при ее точном представлении оператором Шредингера
Н = — I 2
^82 а2 ^
дд12 8д2 2
+2 (,?+)+Ь (»+3 „2 у+«+„ (+)2 (28)
не представляется возможным. Также прямые численные расчеты даже с применением современных достаточно мощных компьютеров сталкиваются с трудностью решения задач на собственные значения, например, тщательно разработанными программными пакетами на основе метода диагонализации, какой является и задача интегрирования уравнения Шредингера для двух и более переменных.
Одна из трудностей связана с тем, что волновая функция между двумя локальными минимумами принимает значения очень близкие к нулю, поэтому из-за ограниченных возможностей современных электронных вычислительных устройств неизбежно наступает потеря значащих цифр, а в итоге невозможность решения задачи.
Как нам кажется, одним из перспективных направлений в решении уравнения Шредингера является метод самосогласованного базиса [14], который есть модификация известного метода Канторовича [15] на случай задачи на собственные значения на бесконечном интервале. Методом самосогласованного базиса достаточно успешно найдено решение уравнения Шредингера, ППЭ которого имеет много минимумов [16].
Тем не менее метод нормальных форм Биркгофа-Густавсона дает удовлетворительное описание как при классическом подходе, так и квантовом.
К примеру, квантовый спектр в ^ = 4 приближении и соответствующие собственные векторы | Щ находятся из следующего уравнения Шредингера
6^Е) = ЕЩ , (29)
которое можно, например, решить методом диагонализации, представляя вектор состояния | Щ в виде разложения по базисному набору:
Е = Ц . (30)
N, Ь
Используя выражения (20), находим приближенную формулу (без учета недиагональных членов) для вычисления энергетического спектра при 8МАХ = 4 (общий случай)
F = 1 -
fnl = 1
N -
3d_ 5bL 2 12
Лг2 3^ (3c 5b2 N2 + 2 N + - l + l---
2 j i 8 12
1N 2 -1L2 + N +1 V( c - d j( L2 +1 2 2 2 m 8 2 jl 2
(31)
если c = 4d (интегрируемый случай)
r3£_ 5ь1л 2 24
(32)
Как видно из формул (31), (32), энергетический спектр вырожден по знаку орбитального квантового момента. В общем, для получения формулы (32) следует учесть недиагональную часть, которая при 8ЫАХ = 4 определяется недиагональным выражением
y(N, L) = 1/4 •
(N - L + 2)(N - L + 4)(N + L) х
х(N + L - 2)
(33)
которое присутствует как в общем, так и в интегрируемом случае, однако, как видно, энергетический спектр в обоих случаях вырожден по знаку орбитального квантового момента. Кроме того, учет вклада недиагонального элемента оказывает влияние (сдвиг) на уровни, отличающиеся значением орбитального квантового числа на четыре единицы. Поэтому формулы (31), (32) с удовлетворительной точностью описывают энергетический спектр нижайших состояний в окрестности стационарной точки, расположенной в начале координат.
Аналогичным способом можно получить формулы для нижайших состояний в окрестностях других имеющихся стационарных точек, в которых потенциальная функция имеет локальный минимум.
4. Выводы и перспективы дальнейших исследований
В настоящей работе изучен конкретный класс консервативных гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Показано, что при произвольных значениях параметров функции Гамильтона в системе имеет место хаотический режим движения. Найдено, что при выполнении условия с = 4— система является интегрируемой, и это подтверждается вычисленными сечениями Пуанкаре. Методом Биркгофа-Густавсона получена функция Гамильтона, которая при малых энергиях адекватно описывает поведение фазовых траекторий исходной системы.
Исследуемая нами система отличается от изученных в литературе систем тем, что: 1) несмотря на наличие отрицательной гауссовой кривизны на ППЭ, она при условии с = 4- является интегрируемой; 2) в широком диапазоне параметров стационарные точки квадратичной части ППЭ являются вырожденными, т. е. ее одно или оба собственные значения равны нулю.
На основе классической нормальной формы Биркгофа-Густавсона по правилу Вейля был получен ее квантовый аналог. Получены выражения для последующего, при надобности, вычисления энергетических спектров и соответствующих волновых функций. В частности, для нижайших уровней энергии получена формула в явном виде в потенциальной яме в начале координат. Подобные формулы аналогично могут быть получены для всех локальных минимумов, которые возможны при допустимых значениях параметров в исходной функции Гамильтона (1).
В дальнейшем планируется провести подобные исследования для других консервативных гамильтоновых систем.
(
)
3N2 + 6N - L2 + 4
Fnl = N +1 +
ЛИТЕРАТУРА
1. ТаборМ. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике. М.: УРСС, 2001. 320 с.
2. Пуанкаре А. Избранные труды в трех томах. М.: Наука, 1972. Т. 2. 358 с.
3. DiracP.A.M. Generalized hamiltonian dynamics // Proceed. Roy. Soc. L., 1958. V. A246. P. 326-332.
4. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984. 528 с.
5. TodaM. Instability of trajectories of lattice with cubic nonlinearity // Phys. Lett. 1974. V. 48. P. 335-336.
6. Кривошей И.В., Литинский Г.Б., Лузанов А.В. Неустойчивость и стохастизация при внутримолекулярном перераспределении энергии в химической динамике // Хим. физика. 1985. Т. 4. № 6. С. 309-317.
7. Belajva I.N,. Gusev A.A., Lukianenko A.N., Rostovtsev V.A., Vinitsky S.I. Symbolic-numeric Solution of the the Two-dimensional Shroedinger Equation with Double-well Potential // Computer Algebra and Differential Equations Acta Academiae Aboensis. 2007. V. B67. № 2. P. 78-86.
8. ШтокманХ.-Ю. Квантовый хаос. М.: Физматлит, 2004. 376 с.
9. Богачев В.Е., Чеканов Н.А. Символьно--численные расчеты нормальной формы, интеграла движения и сечений Пуанкаре для консервативных двумерных гамильтоновых систем // Вычислительные технологии. 2012. Т. 17. № 4. С. 3-13.
10. Чеканов Н.А. Квантование нормальной формы Биркгофа-Густавсона // Ядерная физика. 1989. Т. 50. Вып. 8. С. 344-346.
11. Basios V., Chekanov N.A., Markovski B.L., Rostovtsev V.A., Vinitsky S.I. GITA: a REDUCE program for the normalization of polynomial Hamiltonians // Comp. Phys. Commun. 1995. V. 90. P. 355-368.
12. Ezra G.S., Fried L.E. Perturb: a program for calculating vibrational energies by generalized algebraic quantization // Comp. Phys. Commun. 1988. V. 51. P. 103-114.
13. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979. 832 с.
14. Виницкий С.И., Инопин Е.В., Чеканов Н.А. Решение двумерного уравнения Шредингера в самосогласованном базисе. Дубна, 1993. Препринт ОИЯИ. 11 с.
15. Канторович, Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. Л.: Физматгиз, 1962. 708 с.
16. Лукьяненко А.Н., Чеканов Н.А. Классическая и квантовая двумерные модельные системы с пятиямным полиномиальным потенциалом // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Теоретическая и прикладная физика. Саров, 2009. Вып. 2. С. 14-20.
Поступила в редакцию 12 января 2015 г.
Chekanova N.N., Kirichenko I.K., Bogachev V.E., Chekanov N.A. CLASSICAL AND QUANTUM APPROACH IN THE RESEARCH OF NONLINEAR HAMILTON SYSTEM
The results of investigation of autonomic two-dimensional Hamiltonian system in classical and quantum approaches are presented. It is shown that in this system even with negative Gaussian domain the dynamical chaos in classical dynamics is absent. For certain para-metrical values in classical Hamilton function the integral of motion is found. These results are confirmed by numerical direct calculations of Poincare sections. The classical normal Birkhof-Gustavson form is obtained and its quantum analogue according to Weyl rule is constructed. On the base of the constructed quantum analogue the approximated formula for the lowest energy levels in local minimum that located in origin are obtained.
Key words: Hamilton's system; Birkhoff-Gustavson normalization; quantization; computer modeling.
Чеканова Наталья Николаевна, Украинская инженерно-педагогическая академия, г. Харьков, Украина, кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры высшей и прикладной математики, e-mail: [email protected]
Chekanova Natalia Nikolaevna, Ukrainian Engineering Pedagogics Academy, Kharkov, Ukraine, Candidate of Physics and Mathematics, Senior Lecturer of Higher and Applied Mathematics Department, e-mail: [email protected]
Кириченко Игорь Константинович, Украинская инженерно-педагогическая академия, г. Харьков, Украина, доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой информатики и компьютерных технологий, е-mail: ikir238@rambler. ru
Kirichenko Igor Konstantinovich, Ukrainian Engineering Pedagogics Academy, Kharkov, Ukraine, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Head of Informatics and Computer Technologies Department, е-mail: [email protected]
Богачев Василий Евгеньевич, Белгородский университет кооперации, экономики и права, г. Белгород, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры естественнонаучных дисциплин, e-mail: [email protected]
Bogachev Vasiliy Evgenievich, Belgorod University of Cooperation, Economics and Law Belgorod, Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Senior Lecturer of Natural Science Department, e-mail: [email protected]
Чеканов Николай Александрович, Белгородский юридический институт МВД России, г. Белгород, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры информационно-компьютерных технологий; Белгородский государственный национальный исследовательский университет, г. Белгород, Российская Федерация, профессор кафедры прикладной математики и информатики, e-mail: [email protected]; [email protected]
Chekanov Nikolai Aleksandrovich, Belgorod Law Institute of the Ministry of the Interior of the Russian Federation, Belgorod, Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Professor of Information and Computer Technology Department; Belgorod State National Research University, Belgorod, Russian Federation, Professor of Applied Mathematics and Informatics Department, e-mail: [email protected]; [email protected]
