CC BY
36
УДК 519.2
КЛАСС ГЕОМЕТРИЧЕСКИ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕКТОРОВ С ЗАВИСИМЫМИ КОМПОНЕНТАМИ
И.В.Золотухин
A NEW CLASS OF GEOMETRICALLY DISTRIBUTED RANDOM VECTORS WITH DEPENDENT COMPONENTS
LV.Zolotukhin
Санкт-Петербургский филиал института океанологии им. П.П.Ширшова РАН, igor.zolotukhin@gmail.com
В работе вводится многомерное геометрическое распределение (MVE) с зависимыми компонентами. Найдены функции надежности и характеристические функции как для самого распределения, так и для его проекций на координатные гиперплоскости. Показано, что проекции также имеют MVG-распределение. Аналогично одномерному геометрическому закону, распределение обладает свойством отсутствия последействия и имеет в качестве предельного (при соответствующей нормировке) многомерное экспоненциальное распределение Маршалла—Олкина.
Ключевые слова: многомерное геометрическое распределение, отсутствие последействия, многомерное экспоненциальное распределение Маршалла—Олкина
The paper introduces the multivariate geometric distribution (MVE) with dependent components. The characteristic functions and the reliability functions as well as their projections on any coordinate hyperplanes have been found. It is proved that these projections also have MVG distribution. By analogy with the univariate geometric law the MVG distribution has characteristic property of aftereffect absence and has the multivariate exponential distribution of Marshall—Olkin as a limit (at an appropriate normalization). Keywords: multivariate geometric distribution, absence of aftereffect, multivariate exponential distribution of Marshall—Olkin
Введение
При введении многомерных аналогов известных распределений важно, чтобы они обладали свойствами подобными свойствам одномерных законов. В настоящей работе вводится многомерное распределение, чьи одномерные проекции распределены геометрически, а само распределение обладает свойствами подобными свойствам геометрического распределения.
Для дальнейшего изложения нам понадобится ряд обозначений.
Пусть E={е} — совокупность к-мерных индексов е = (е(1),...,е(к)), каждая компонента которых
равна 0 или 1; 1 = (1,...,1); £ = 1-е,||е||= У е(г). Обозначим Е. — совокупность индексов, у которых е(г) = 1, е1 vе2 —вектор, каждая ¿-я координата которого равна тах{е[г),е2г)}.
На множестве E зададим отношение частичного порядка:
V£,5eE 5<е, еслиУ](]=1,...,к) 5 .<е ..
Положим 5<е , если 5<е и 5^е.
Запись (а,Ь) будет обозначать скалярное произведение векторов а и Ь , а запись аЬ и II1 а. —
а ±¿=1 г
покоординатное произведение соответствующих векторов.
Пусть N — независимые геометрически распределенные случайные величины:
P(N = n) = pqr\n = 1,2,..., pe =1-qe
c характеристическими функциями
Pze
i-я/
Класс распределений будем обозначать G(qе). Рассмотрим случайные величины
Мг = тш{^},/ = 1,..,к.
ееБ.
г
Положим N = ж, если р =0 .
е ' -^е
По известному свойству геометрического распределения
Мг е^Це).
ееБ.
г
Определение. Распределение вектора М = (М1,...,Мк ) = (шш{^},. • .,шш{^})
ееБ, ееЕ,
1 к
назовем многомерным геометрическим распределением, а сам вектор М — геометрически распределенным случайным вектором.
Ясно, что компоненты вектора М зависимы. Вместо функции распределения удобно рассматривать функцию надежности вектора М , которая, очевидно, равна
Р ^) = Р (тр..., тк )=
тах^
=Р(тЫ^}>тр...,тт{^}>тк) = Ц?1^ . (1)
ееБ,
"1 "'^k ееБ
Здесь m = (m1,.,mk), m. (j = 1,...,k) — натуральные числа.
Класс многомерных геометрических распределений с функцией надежности (1) обозначим
MVG(qe ,e eE).
1. Свойства распределения MVG
Свойства распределения MVG естественно описывать в виде аналогов свойств одномерного геометрического закона.
Теорема 1. Многомерное геометрическое распределение обладает свойством отсутствия последействия при сдвиге всех аргументов на одну и ту же величину:
P(M > n + m/M > n)=P(M > m), n = (n,n,...,n). (2)
Известно, что если N eG(q), то pN ——Z , где
p—0
Z eE(1). Здесь через E(X) обозначен класс экспоненциальных распределений. Многомерным аналогом экспоненциального распределения является MVE-распределение, введенное Маршаллом и Олкиным в [1], с функцией надежности
F (z) = F (zj,., zk ) = exp[-^Xe maxez], z. >0,
seE
1<i<k
Хе > 0 — параметры распределения.
В [1] были исследованы ряд свойств МИЕ, в частности, показано, что МИЕ-распределение обладает свойством отсутствия последействия при сдвиге всех аргументов zi на положительную константу. Дальнейшие свойства МУЕ исследовались в [2], в частности, показано, что вектор 1 = (1,..., 1к )еМИЕ(Хе ,е еЕ) может быть представлен в виде
(
Z =
Л
min{Xs},...,min{Xs}
seE
vseEi
к /
где Хе — независимые экспоненциально распределенные случайные величины с параметрами
Хе(X еЕ(Хе)).
Пусть МеMVG(q ,ееЕ) и
Теорема
p = X p, тогда
2.
pM —Z,
p—0
где 1 еМИЕ(ке,ееЕ), т.е. МИЕ-распределение является предельным для многомерного геометрического.
2. Распределения проекций вектора М на координатные гиперплоскости
Вектор е будем использовать для задания координатной гиперплоскости в к-мерном пространстве.
Теорема 3. Проекция еМ вектора М на координатную гиперплоскость е имеет многомерное геометрическое распределение с функцией надежности
P (вш) = П П
%
\max
1<i<k
8ш
8<s Vy:ys=8
Другими словами,
(
sM eMVG
П
Vy:Ys=8
,8<s
Теорема 4. Характеристическая функция проекции вектора М на гиперплоскость е равна
„'■(М) И
у(е1) = Ев'(>,ш)=-V/. ,
j=i
8:8s>0
V8vSt
t ).
1 ^^ где /1,е = V П^П ^
v=1 у:уе>0 I 1<у< ] у^
Следствие 1. Характеристическая функция многомерного геометрического распределения равна
y(t) =Eei(tM ^-e
i(t,i)
^П* £
qy /=18v^8nV=1 V yeE
V8vt
8eE 8vËE 1<v< /
y^8
v
1<v< /
Следствие 2. Характеристическая функция проекции вектора М на ось е = (1,0,...,0) равна
y(st) = Eei(ilMl) =-е
1-ег1П?8 8еЕ1 УеЕ1
y^8
8eE,
3. Доказательства
Доказательство теоремы 1. Согласно (1) _ таХт _ _
р (т+п)=п?тахе(т+п)=Пе '■ Ш=р(т)р(п),(з)
ееЕ ееЕ ееЕ
где
р (п)=П" (4)
ееЕ
Из (3) следует (2). Теорема доказана.
Доказательство теоремы 2. Положим параметры MVG-распределения равными р = Хер и рассмотрим вектор рМ = (тШееЕ {Р^е},.--,тШееЕ {рЫЛ) .
1 ь к ь
По известному свойству геометрического распределения
рЫ —х, И е р-0 е
где X eE(X ). Значит,
s 4 s7 f
pM -
p—0
min{Xs},..., min{Xs}
VseE1
seE,
= ZeMVE(X ,seE).
к /
Теорема доказана.
Доказательство теоремы 3.
тахует Р (ет)=ПУ 1<'<к .
уеЕ
Обозначим 8 = уе .
Меняя порядок сомножителей в (5) и учитывая, что УуеЕ уе<е , получим
(5)
f
1у
P (sm) = П П
8<s vys=8 У
Теорема доказана.
^max<
1<i<k
5ш
При доказательстве теоремы 4 будем исполь- Подставляя (12) и (13) в (11), затем (11) в (9),
зовать следующую лемму. (9) в (8) и суммируя по п , получим
Лемма.
Е^^);еМ >£п)= е^ | ?5"Еег(1,еМ).
ег(1,е)
А,е =
У Р5П ?уЕ)).
5:5е>0
Доказательство леммы. Е^^ );еМ > еп)= е^реМ > еn)Eeг(t,еM) =
1,е 1-ег(^е) П ?у
у:уе>0
В общем случае I. е вычисляем по аналогич-
1 ,е
у^5
= вНие)
П ?пЕе
1г(t,еM )
(6) ному алгоритму.
5:5е>0
1 ( 1 Л
1-1
В равенстве (6) используются свойство отсутствия последствия распределения вектора М и формула (4). Лемма доказана.
I,, - У 2Ж1Пч
1<1< 1
Доказательство теоремы 4. Обозначим через х¿О^еМ). N = 1 N > 1 уе>0 у=5 у = : . уЛ (14) W минимум среди компонент вектора еМ: V 5\ 1 ' ' У
вектора
Wе = тш еМ = тш{^}.
г:е =1 5:5е>0 г
В дальнейшем используем обозначение
Е(£В) = I 5(сй)Р(^) , предложенное в [3]. 1в
По формуле сложения для несовместных событий у(е1)=Ее1^ } =
=У У Е(ег(^еМ); Wе = N5 (V = 1,., Д
При N5 = I, 5VM = 5^(/,...,/), 1 <V< 1 и
V
Е^^N 5 = I, N. > I, уе >0, у^5 , 1<\< ;) =
г7(^5\£)
V=1
Е
е V=1 ; N > I, уе >0, у^5,1<\< _/
1=1 5\,:д\,е>0 \<\< 1
1
г7(^5\£) • \=! Р| N > I
N > N
, уе >0, у^5\,1<\< 1) = У/.^ (7)
1=1
Вычислим первое слагаемое 11 е в (7).
По свойству условного математического ожидания
ж -1
1],е = У УР5?П Де^.^ = n5,Nу >П5,уе>0,у*5). (8) 5:5е>0п =1
5
При N5 = п5 5еМ = 5еп5 , п5 =(п5 ,...,п5) и Е(ег(1:,еМ). N5 = п5, Nу > п5, уе >0, у*5) = =E(eг(t,5еM У1^); ^ = п5, Nу > п5, уе >0, у *5) =
=е^^ E(eг(t,5еM); Nу > п5, уе >0, у *5). (9) Запишем событие > п5,уе >0,у ^5} в виде суммы двух несовместных событий: N > п5,у5е >0}и{^ > п5, уе{{уе >0}\{5}\{у5е >0}}}.(10)
Вектор 5еМ от второго события в (10) не зависит, поэтому
Е(егЛ5еМ); ^ > п5, уе >0, у *5) =
=P(Nу > п5, уе{{уе >0}\{5}\{у5е >0}})х
х E(eг(t,5еM); Жу > п5, у, у5е >0). (11)
Первый сомножитель в правой части (11) равен
П ?п
уе{{уе>0}\{5}\{у5е>0}}
а второй согласно лемме равен
_п5 т^eг(t,5еM)
уе{{уе >0}\{5г}\.\{5 ^{у^е >0}}
х Е
е \=1 ; Nу >I, Уv5vе >0 \=1
( 1 Л
П
х?у П
3
У:УVе>0 \=1
уе{{уе>0}\{51}\...\{5 7}\у^^5\е>0 \=1
Л ( (1 ^
V
ч\=1 JE
\ /5 е^ V \
и /5 еМ V \
\=1
=¿ки)~
=^ П ?уЕе
у:уе>0
( 1 Л
и /5 еМ V \
V \=1 У
(15)
Подставив (15) в (14) и просуммировав по I, получим
П ?уп5 Еег(
(12)
(13)
1 ="
1 ^е) П ? У ПР5\П
1-е П ?у5\,:9\,£>0 \=1 \у:уе>С
9уУ
v5vеt
у5е>0
у:уе>0 К-1^
Теорема доказана.
у:уе>0 1<\< ]
х
=е
1
х
= е 4 \=! У
х
1. Marshall A.W., Olkin I.A. Multivariate exponential distribution // J. Amer. Statis. Assoc. 1967. V.62. №317. P.30-44.
2. Zolotukhin I.V. The study of the Laplace transform of Marshall-Olkin multivariate exponential distribution //Topics from the 7th International Workshop on Statistical Simulation, Springer Proceedings in Mathematics & Statistics, 2013, (в печати).
3. Боровков А.А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1986. 431 с.
References
1. Marshall A.W., Olkin I.A. Multivariate exponential distribution. J. Amer. Statis. Assoc., 1967, vol. 62, no. 317, pp. 30-44.
2. Zolotukhin I.V. The study of the Laplace transform of Marshall-Olkin multivariate exponential distribution. Topics from the 7th International Workshop on Statistical Simulation, Springer Proceedings in Mathematics & Statistics, 2013, (in print).
3. Borovkov A.A. Teoriia veroiatnostei [Theory of probability]. Moscow, "Nauka" Publ., 1986, 431 p.
