Класcы преобразований нестационарного сигнала в информационно-измерительных системах. I. элементы теории Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0868-5886

НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2002, том 12, № 2, c. 50-58

ОРИГИНАЛЬНЫЕ СТАТЬИ

УДК 621.391.266.037.372

© А. В. Меркушева

КЛАССЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ НЕСТАЦИОНАРНОГО СИГНАЛА В ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ.

I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ

Даны элементы теории двух классов преобразований — время-частотных и время-масштабных, — которые составляют основу анализа нестационарных сигналов в информационно-измерительных системах. Показана взаимосвязь этих видов преобразований и метод создания преобразований по некоторым заданным их свойствам.

ВВЕДЕНИЕ

Современные методы обработки сигналов, такие как кратковременное преобразование Фурье, преобразования Зака и Габора, билинейные преобразования класса Коэна (преобразования Вигнера, Бесселя, Бертрана, Вилсона и их модификации), преобразования время—масштаб (разновидности вейвлет-преобразований и вейвлет-пакеты, обладающие хорошей локализации свойств сигналов), не нашли пока широкого применения. Поэтому актуальной является задача разработки методического и алгоритмического обеспечения обработки локально-стационарных сигналов в информационных и информационно-измерительных системах (ИИС), в частности для контроля процессов со спорадическим характером изменения статистических свойств [1] и для фильтрации, основанной на контроле характеристик шума в течение кратковременных пауз полезной составляющей сигнала [2].

Перечисленные виды преобразований обеспечивают двумерное представление, которое в явной форме отражает динамику частотной структуры сигнала. Это может позволить решать задачи локализации свойств сигнала, например квазистационарных сегментов сигнала при контроле потока нефти с интервалами включения газовой фракции или пауз информационной компоненты речевого сигнала, для оценки характеристик шума с целью адаптивной формы его фильтрации.

Отдельным преобразованиям (Вигнера, Зака, вейвлет) посвящены обширные исследования [410], по другим имеются только сведения о структуре. Вместе с тем не существует однозначного преимущества и предпочтительности единого преоб-разования.[11-12]. Поэтому для корректного применения преобразований нестационарных сигналов в ИИС предлагается краткая сводка элементов теории, а также взаимосвязи и свойств классов время-частотных и вейвлет-преобразований.

Оба класса преобразований дают представление сигнала s(t) е L в форме интеграла или дискретного разложения в виде суммы ряда по базисам соответствующих классов: один образован модулированием единой образующей функции (когерентными состояниями Вейля—Гейзенберга), другой образован сдвигом и растяжением (аффинным преобразованием времени) образующей функции, которая определяет тип преобразования. Анализ обнаруживает тесную взаимосвязь двух классов преобразований и помогает использовать различные формы их характеристик, которые наиболее соответствуют особенностям сигнала и требованиям задачи его обработки в ИИС. Среди таких требований может быть наличие быстрого алгоритма реализации, существенность фазовой информации или приоритет локализации энергетической характеристики сигнала.

КЛАССЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ И ИХ ВЗАИМОСВЯЗЬ

Время-частотное преобразование (ВЧП) Габора [4, 13], его расширенная форма — кратковременное преобразование Фурье (КВПФ) Fs (^ю) и время-масштабное (вейвлет) преобразование Ts a) сигнала s(t) представляются в виде (1)-(3) при условном обозначении (•,•) — для скалярного произведения и (рюю (т) = ((т -1)ехр(-]'ют) — для

квазибазисного элемента разложения (где ( — временное окно):

Gí М) =

= |s(т)g(т- 0ехр[-]ю(т-1/2)Мт; (1)

^ (г,т) = | .(т)у * (т - г)е-О

Е(г,О) = <.,Уо), те Я;

Т. (г, а) =! .(т)у

. / /7 »

ат,

(2)

=|*2(фг = Ц|^(г,т)|2 агат = Ц|Т. (г, а )|2

2 аг &а

(8)

* I —) ат,

Т. (г,а) =<), () 1 Тг

(3)

При этом для КВПФ и вейвлет-преобразования (ВП) необходимы условия:

Использование спектрограммы и скейлограммы занимает значительное место в представлении энергетического состава речевых сигналов людям с повреждением слуха. Однако это только одна из форм совместного время-частотного и время-масштабного анализов.

Обширный подкласс время-частотных преобразований составляют билинейные ВЧП, представителем которых является преобразование Вигне-ра—Вилле [3, 12, 15]

Су =

||У(v)|2dv<те — Фурье,

(4)

с^=/|^)|2и-1

dv < ^ — вейвлет.

Таким образом, КВПФ и ВП — это различные, но в определенном смысле эквивалентные линейные преобразования, и возможно перейти от одного к другому без потери информации. Для нормировки Су = СУ = 1 взаимосвязь этих преобразований выражается соотношениями:

(г,т) = | .(г + т /2) • * *(г -т /2) • е- (9)

Преобразование имеет ряд свойств. Это — вещественность, корректность маргиналов, согласно соотношениям (10), (11), инвариантность к сдвигам по времени (согласно выражению (12)) и по частоте (13), а также выполнение соотношения Мойела (14), которое отражает унитарность преобразования Вигнера [16]:

| Ws (г,ю)&г =| .(ю)|2 | Ws (г,ю)аю =| .(г) |2

Т*(г,а) =!! р*, (5) .От(т) = .(т-г)• е'

■]ОУГ

вейвлет

КВПФ вейвлет - преобр. окна КВПФ

(т,£) = Ws (т- Х,1-ю),

к(г,та) = }}т^^ ,(Рт) /а2. (6)

КВПФ вейвлет КВПФ от

Взаимосвязь преобразований явно отражается случаем, когда не нужна фазовая информация и важны только энергетические характеристики сигнала. При этом используется спектрограмма — квадрат модуля КВПФ | (г,т) |2 и скейлограмма — квадрат модуля вейвлет-преобразования | Т. (г,а) |2. Равноценность полученных оценок величины энергии сигнала связана с применением нормировки Су = С¥ = 1, при которой оба преобразования могут быть обращены и восстановлено (7) одно и то же значение сигнала .(г), и с изоморфизмом преобразований (т.е. с равенством нормы сигнала и его преобразования в Ь2) — согласно соотношению (8):

.а (т) =| а |1/2 •.(ат) ^

^ Ws (т,£) = Ws(атЛ),

а а

Ш.., w1)) = Ц Ws (т, I) • Wsl (т, :

=|<.1 )|2.

(10) (11)

(12)

(13)

(14)

Свойство корректности маргиналов дает основание называть преобразование Вигнера распределением, т. к. интегрирование его по времени дает мощность сигнала по частоте (10), а интегрирование по частоте дает мощность по времени (11).

Из определения спектрограммы, свойства инвариантности к временному сдвигу (12) и из соотношения Мойела (14) следует, что спектрограмма кратковременного преобразования Фурье имеет три эквивалентные формы выражения:

.(г) = Ц(т,£) •у^ (г

.(г) = Ц Т. (т, а) •Уа (г .

(г,т)|2 =|< .,угт) |2

по (14)

(7)

=т ,о)) = = !! Ws (т,^) • Wу (т-

а

Аналогичным образом из определения скейло-граммы, из свойств корректности маргиналов (10), (11) и из ковариантности к изменению масштаба (13) могут быть получены три формы выражения скейлограммы:

IТ, (г, а )|2 =К )|2 = = V, а )) =

(16)

я

V(т,Ъ)■ К\—.аЪ |йтЦ.

Соотношения (15) и (16) отражают взаимосвязь кратковременного преобразования Фурье (основу построения спектрограммы) и вейвлет-преобразования (основу скейлограммы) с преобразованием Вигнера—Вилле. Спектрограмма получается через распределение Вигнера—Вилле путем корреляции последнего, а скейлограмма получается с помощью так называемой аффинной корреляции двух распределений Вигнера (с масштабированием аргументов одного из них). Аффинная корреляция — это корреляция с частичной зависимостью, т.к. при ее получении масштабируется частота.

Для хорошо локализованных базовых функций вейвлет-преобразования соответствующее распре -деление Вигнера можно интерпретировать как низкочастотные функции (размерности два), действующие как локальные сглаживающие фильтры. Это и объясняет более высокую разрешающую способность ВЧП Вигнера сравнительно со спектрограммой и скейлограммой.

К недостаткам преобразования Вигнера следует отнести появление кросс-членов, связанных с интерференцией отдельных частот сложного сигнала, а также возможность появления отрицательных значений, которые трудно интерпретировать. Первый недостаток успешно преодолевается существующими модификациями распределения Вигне-ра—Вилле (преобразования псевдо-Вигнера и сглаженное псевдо-Вигнера) [3, 14, 16].

ПОСТРОЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИИ

Возможна другая форма представления распределения энергии сигнала. Показано, что спектрограмма и скейлограмма — результат некоторой корреляции (в случае вейвлет-преобразования это аффинная корреляция) между двумя распределениями Вигнера—Вилле (от сигнала и от базисной функции). Это может быть обобщено и на другие распределения (результаты преобразований) при условии, что они инвариантны к сдвигу по времени, ковариантны к изменению масштаба и унитарны, т.е. удовлетворяют соотношениям (12)—(14). При таких условиях могут быть созданы группы распределений энергии [12], а спектрограмма и скейлограмма будут только частным случаем. Метод такого подхода заключается в следующем [14, 15].

1. Спектрограмма, скейлограмма и распределение Вигнера — это нелинейные преобразования, и при использовании ядра общего вида К(т,т', г,ю) все они могут быть представлены в единой форме соотношением

Я, (г, Я) =

= Ц К (т,т', г, Я) ■ ,(т), *(т')йтйт'. (17)

2. На распределение накладываются требования ковариантности к сдвигу по времени и по частоте. Исходя из этих требований определяются необходимые свойства допустимого ядра.

3. Добавочные требования на распределение (преобразование) в некоторых случаях приводят к единственному решению для ядра.

Такой способ определения общей формы ядра приводит в качестве частных случаев к известным преобразованиям. Для время-частотного преобразования требования ковариантности по времени реализуются по схеме, представленной выражениями (18):

,(г)

Т = ,(г -т)е

^ Я, (г,т)

Д

^ Я, (г,т) = Я, (г-т,т-тх).

(18)

а

Использование этой схемы показывает, что любое ядро (с четырьмя параметрами) должно удовлетворять свойству (19)

К(т,т'; г,ю) = К(т- 0,0) ехр[-;ю(т-т')] (19) и, следовательно, должно зависеть только от двух

независимых переменных. Это можно сравнить с инвариантностью к сдвигу времени, которая превращает линейный оператор в фильтр.

Так получается обширный класс допустимых время-частотных преобразований, которые определяются произвольной функцией от двух переменных [12, 14, 15]. Это класс Коэна. Самая

простая форма преобразования этого класса имеет вид

С,((-,П) = (т,£)П(т-. (20)

Соотношение (20) подчеркивает значимость распределения Вигнера, т. к. любое преобразование класса Коэна может быть представлено как корреляция преобразования Вигнера Ж, с произвольным ядром П. Другое представление распределения (т. е. результата время-частотного преобразования Коэна) для любого сигнала ,(() может быть получено из выражения (21)

С,((,-;Л)е Я о М,т) = /(-¿,-т). (22)

(тогда и только тогда)

2. Согласованность преобразования (в качестве время-частотного распределения) с энергией сигнала Е

Ц ((—; П )Л( Л- = о / (0,0) = 1. (23)

3. Корректность маргиналов, т. е. верное представление энергии сигнала в частотной и временной областях (при проинтегрированной второй переменной распределения):

С, ((-,П) = ЦА, ¿,т)/(¿,т)е-^, (21) |

С, ((, -; П)Л( =| £(-) |2 о /(0, т) = 1,

в котором А(Л, т) — двумерное преобразование Фурье от распределения Вигнера

^((,-) ^ А,(¿,т) = (т,£),

/Л, т) — двумерное преобразование Фурье от ядра П, которым определено преобразование Коэна:

П((,-) ^ /(¿,т) = Ь(тЛ).

После того как класс преобразований определен, на него можно наложить дополнительные требования и найти соответствующие им условия, которые должны выполняться для ядра П((, о) или для его Фурье-преобразованной частотной формы /Л, т). При этом представляется возможным накладывать либо все, либо часть из перечисленных ниже условий, которые могут задавать набор желательных свойств преобразования. Каким условиям должна удовлетворять частотная форма ядра /Л, т) для реализации различных свойств преобразования, показывают соотношения (22)-(29).

1. Вещественность преобразования Коэна:

(24)

}С,((,-;П)Лю=К()|2 о/(¿,0) = 1.

4. Ковариантность к изменению масштаба:

С, ((-;П) = С, (а(,-; П) о /¿,т) = / (¿т), (25) а а

где /0 — функция одного параметра.

5. Выполнение соотношения Мойела (унитарность):

«С, (П), С^П)»^, ^ )|2 о |/(£т)|= 1. (26)

Преобразования Коэна являются обобщением широкого класса время-частотных преобразований. Но преобразования Коэна могут таким же образом характеризовать и класс время-масштабных преобразований. Изменяя обозначение Я ^ а в соотношении (17) и в полученных из него выражениях и заменяя сдвиг по частоте операцией изменения масштаба, можно получить требование ковариантности к сдвигу времени и масштаба в форме, представленной соотношением (27):

и

=| а |-1/2 ^

(-т

а

Я, ((, а)

и

(27)

о Яат ((, а) = Я,

(-т а

а а

5

ат

Так же как и во время-частотном классе, после определенных преобразований можно получить для ядра условие, выполнение которого гарантирует желательные свойства время-масштабного преобразования. Требование ковариантности преобразования к изменению параметра масштаба по соотношениям (27) можно привести к условию (28), необходимому в этом случае для ядра. Условие получается после преобразований, аналогич-

ных выполненным выше при рассмотрении время-частотного распределения Вигнера:

К(т,т\ (, а) =| а |-1 -1

"т- ( т'-(

0, 1

(28)

Условие (28) снова снижает до двух число переменных и определяет класс время-масштабных преобразований П в виде (29):

а

а

П. (г, а; П) =

= [Ы8 (т,*) • П\—, а£\ =

=11а • /

- 1(£г+та)

ата*. (29)

а*I- •

а

\ У

При этом время-масштабное преобразование оказывается выраженным либо через преобразование Вигнера (путем взвешивания его ядром П), либо через преобразования Фурье: (двумерные) А. и / от преобразования Вигнера (W) и от ядра (П) соответственно.

В этом классе также можно ввести дополнительные требования на свойства преобразования и привести их в дополнительные условия, которым должно удовлетворять ядро. Требование вещественности преобразования соответствует условию сопряженной четности двумерного преобразования Фурье /*,т) ядра П:

П.(г,а,П)е Я о /(*,т) = / *(-*,-т). (30)

Согласованность преобразования с полной величиной энергии сигнала соответствует (аналогично (23)) условию (31) для ядра П(г,а) этого преобразования:

ет соответствующее распределение нестационарного измерительного сигнала в плоскости время— частота. Как видно из соотношений (25), (27)-(29), класс построенный по тому же принципу, но с использованием аффинной ковариантности приводит к время-масштабным преобразованиям. Эти два класса имеют внутреннюю взаимосвязь. Можно, например, считать, что преобразование Вигне-ра принадлежит обоим классам. Кроме того, в некоторых случаях распределению энергии при преобразовании класса время—масштаб может быть дана время-частотная интерпретация в форме, аналогичной маргинальному свойству по соотношению (23).

С некоторой степенью условности возможно формально идентифицировать масштаб и обратную частоту по выражению т = т0 / а , где т0 — некоторая частота. При такой интерпретации оказывается, что все время-масштабные распределения (преобразования с корректными маргиналами) характеризуются функцией такого ядра, которое в частотной области представляется в виде (36):

/(*,т) = /* • е'

(36)

ЦП. (г, а, П)

аг аа

= Е. о

где

^ 11П (г, а)

ех =1 = 11 .(о) |2 ат.

аг аа

Ю"

= 1, (31)

Требование правильности соответствия маргиналов преобразования и мощности сигнала при ее выражении во временной и в частотной областях приводит к условиям (32) и (33):

где /0 — функция одного аргумента: произведения [12, 16]. Эта функция такова, что служит для создания ядра П время-масштабного преобразования. Это ядро выражается через ядро типа Коэна П0 , но для получения весовой функции П0 , образующей это ядро, используется ее время-частотное представление/0. Это утверждение выражается соотношением

П. (г, а; П) = С Пй), (37)

а

1п . (г, а; П

1п.(г,а;П)Оа =| .(г)|2 о1 /( а*,Т |^ = 8(г). (33)

т | аа

а I а7

Требование унитарности, которое фактически выражается формулой Мойела и в рассматриваемом случае имеет вид (34), приводит к условию (35), выражающему ортогональность двумерных преобразований Фурье / от ядра П:

ЦП.(г,а;П) • П*1 (г,а;П)^ =\<з,.) |2

А

11 / í а*''

• / '

а*,-

Класс преобразований Коэна относится в основном к время-частотным преобразованиям и да-

о /(0,т) = е~2л]а°т, (32) где П0 — время-частотное представление функции /0, т. е. П0 = БПФ-1 (БПФ-1 /0).

Эта взаимосвязь преобразований (или распределений энергии сигнала в двух формах) объясняется тем, что распределения имеют общность, связанную с требованиями ковариантности к сдвигу частоты (ВЧП) и ковариантности к изменению масштаба (ВП). Такая интерпретация может быть дана не всем время-частотным распределениям. Так, скейлограмма не ковариантна к сдвигу частоты.

Считается, что ограниченность частотной по-

лосы вейвлет-преобразования достаточна для интерпретации его в терминах фильтрации. Однако это справедливо для одномодального спектра вейвлет-базиса, но не выполняется при многомодальном спектре у вейвлет-функции.

В работах по анализу взаимосвязи двух классов преобразований проводилась известная аналогия переменной масштаба с аккордами, поэтому ее соотношение с частотой лучше для понимания

аг аа

(34)

= 5(г-г'). (35)

а

т

2

а

0

а

а

в форме обратного отношения —1 /—2 = а2 / а1 . Это соотношение подчеркивает также характер преобразования частот в операциях, связанных с изменением масштаба. Делая функцию ядра зависящей от некоторой частоты — 0, можно получить распределение, основанное на частотной переменной —0 /а. Эта частотная переменная может быть формально идентифицирована с обычной частотой в преобразовании Фурье с той разницей, что она не может быть отделима от частотного разрешения А—, так что относительная ширина полосы А—/— постоянна (постоянное качество анализа во всем частотном диапазоне, характерное для вейвлет-преобразования). С формальной точки зрения результирующие распределения могут быть использованы как определения время-частотных распределений независимо от способа их получения.

НЕСГЛАЖЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ (РАСПРЕДЕЛЕНИЯ)

Как показано выше, время-масштабные распределения (аффинный класс) получаются из распределения Вигнера—Вилле действием оператора корреляции. Часто эта корреляция принимает форму сглаживания, как в случае скейлограммы. Но это бывает не всегда. В классе время-масштабных преобразований можно рассматривать подкласс такой, что ядро, определяющее его, имеет форму

/(1,т) = О(1) - е

-2п ]Н (|)г

(38)

ваний к функциям Н(1 и О(1), определяющим частотную форму ядра.

СОЗДАНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Создание преобразований при использовании рассмотренной последовательности действий сводится к решению уравнений, составленных для функций Н(1 и О(1), которые входят в частотное представление ядра формируемого преобразования. Выполнение процедур, связанных с созданием преобразований на основе описанного принципа, можно проследить на процедуре получения двух время-масштабных преобразований: преобразования Бертрана и преобразования, введенного Фландрином [16, 18].

Такой же метод применим для получения время-частотных преобразований.

1. Преобразование Бертрана [17] может быть получено на основе требования унитарности, т. е. выполнения соотношения Мойела, и требования высокой локализации преобразования по времени (высокой его разрешающей способности). Использование выражения (26) и частотной формы ядра в виде (38) приводит к дифференциальному уравнению (40), определяющему связь функций Н(1 и О(1):

О 2(1) = Н (!)-1

ЛН (1)

Л!

(40)

Ограничение на временную локализацию, состоящее в выполнении (41), ведет к условию (42):

где Н(1 и О(1 — произвольные функции.

Это очень существенно отличается от аффинного сглаживания распределения Вигнера тем, что этот вид двумерного преобразования от ядра не соответствует низкочастотной функции пропускания — фильтру. Вместе с тем эта форма определения ядра в частотной области дает широкий набор преобразований. Для полученных преобразований имеется возможность формировать их полезные свойства, накладывая требования на ядро в частотной форме (38). Согласно данному определению ядра, соответствующее преобразование имеет вид

П, ((, а; П) =

=1 оЦ ^-| )• / (^>

X ехр( -2п )Л£. (39)

Таким образом, формирование новых преобразований с хорошими свойствами получается на основе приведения желаемых свойств к форме требований к ядру и выражения их в виде требо-

5(у) =|у |-1/2 ехр(-2п V (0 ) ^

^П, ((, а; П) =| а | -8(( - (0),

О2(1) = Н2(1) -

(!)

2

V у

(41)

(42)

Отметим, что (42) приводит к дополнительному требованию Н(Л) > Л / 2. Сравнение выражений (40) и (42) для О2(Л) приводит к дифференциальному уравнению для Н(Л), решение которого определяет функцию Н(Л) в виде (43)

Н (!) =

1

2

V у

1

2

V у

(43)

После этого О(Л) может быть выражено соотношением (44)

О(1) =

1 2

(44)

Подстановка этих выражений в ядро, форма которого приведена в (39), и использование получившейся аналитической формы ядра для создания преобразования приводит к окончательному выражению для преобразования Бертрана [9, 16, 18]. Преобразование Бертрана (или распределение Бертрана в плоскости время—масштаб) определяется соотношением (45):

В(г, а) =-0- X

| а |

х

1 2

(

{ £ Л

ехр

*ЛЛ 2

а ^ Н 2

(* (¿ЛЛ • ехр

2

2

а • бЫ — 1 2

х

(

х ехр

-

^ Л

чау у

а*.

(45)

\П. (г, а; П)^ =|.(г )|

2

(46)

1 / к а \ аа=«« )■

а I а

Можно показать, что это ведет к условию

Ш (*)

О*) = н (*)

а*

(47)

(48)

H (*) = 1 +

'1'

^ о*) = 1 -

Т

(49)

выражения ядра (в частотной форме) позволяет с помощью соотношения (39) получить окончательное выражение преобразования Фландрина [8, 16, 18]:

О. (г, а) =

1 -'I

|а|

с

-8

- (1 л

а 1 4

ч 2 Л г Л -* \ •

I [, Д

а 1 4

2

х ехр

- 2пГ

а*.

(50)

2. Преобразование Фландрина описано, в частности, в [9, 16, 18]. Создание время-масштабного преобразования Фландрина (и соответствующего распределения для сигнала) основано на требовании наличия корректного временного маргинала. В то же время не используется ограничивающее требование унитарности, формализованное соотношением Мойела. Согласованность интеграла преобразования по параметру масштаба с энергией сигнала

накладывает условие (47) на ядро (более точно, на его частотную форму, которая является двумерным преобразованием Фурье от ядра):

Дополнительным требованием к преобразованию является временная локализация, которая, как и в случае преобразования Бертрана, приводит к соотношению (42). Совместно выражения (42) и (48) позволяют решить уравнение для Н(*) и затем найти О(£).

Выражения для Н(*) и О(*) полностью определяют ядро преобразования. Знание аналитического

ОБЩИЕ ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Проведенный анализ показывает основную методическую схему создания различных преобразований нестационарного сигнала в ИИС на основе обобщенной формы представления классов преобразований и введения некоторых требований к математическим свойствам преобразования. Это — требования унитарности (выражающейся соотношением Мойела), временной локализации, выполнения у маргиналов соотношений, отражающих правильное выражение энергии сигнала в частотной и временной областях. Преобразования с корректными маргиналами наиболее обосновано называют распределениями, хотя в области обработки сигналов распределениями называют и другие преобразования, имея в виду представление результата преобразования сигнала в координатах время—частота или время—масштаб.

Некоторые замечания могут быть сделаны о свойстве локализации распределения энергии сигнала в результате преобразований рассмотренного класса. В отношении локализации по частоте и предела ширины полосы разрешения имеет значение различие между двумя концепциями — частоты и масштаба, которые связаны с двумя общими классами преобразований и которые естественным образом входят в способ интерпретации понятий локализации и разрешения. Если рассматривать преобразования время-частотного класса (аффинные), то общая форма их выражения может быть представлена различным образом:

— как свертка аффинно-преобразованного ядра с преобразованием Вигнера от сигнала;

— как обратное преобразование Фурье (БПФ-1) от скалярного произведения частотной формы преобразования Вигнера с аффинным преобразованием частотной формы ядра;

— как преобразование Вигнера от частотной формы сигнала с включением весовой функции.

2

х

2

2

2

Первые две формы представления преобразования даны выражением (51), а третья форма представления — выражением (52):

Оs (t, a; П) =

jj Ws (t,z) • П

= JJ As • f

t -1

a

,a •Z

dt dZ =

\

T

a •Za

v j

2nZt

dZdT,

(51)

О s (t, a; П) =

= JJV(aZ,v) • S

xexp(-2n jZ t)dZ dT.

(v Z^ (v , a2

■S

a 2

V у

(52)

Здесь щ(Л,у) заменяет произвольную функцию ядра, зависящую от двух частот.

В случае сигнала, состоящего из одной спектральной линии ^?(у)= ¿(V - V]), выражение (52) сводится к а щ(0, av1). Это означает, что если для функции выполняется условие у(0, V) = ¿(V - v0), то само распределение точно локализовано по частоте согласно выражению (53):

О х (t, a; П) = 8

-v

a = -°-. (53) v,

Справедливо более общее положение. Если анализируемый сигнал узкополосный и спектр его занимает малую окрестность около некоторой центральной для него частоты, то эффективное интегрирование по Л ограничено малой областью вокруг начала. В этом случае влияние функции ядра главным образом зависит от локальных свойств его разложения Тэйлора:

W(aZ,v) =w(0,v) + aZ% (0,v).

dZ

(54)

Тогда, если можно принять, что ^(0, v) = S(v - v0)

( d^

dZ

(0,v) = 0 , то получится аппроксимация преобразования в форме выражения

О s (t, a; П) =

vn

Z

S — -a 2

Y

Z

Л

a 2

exp(-2n jZt )dZ =

= W

(

v

Л

(55)

Оказывается, что при принятом выше условии обычное преобразование Вигнера—Вилле может рассматриваться как узкополосный предел некоторого время-масштабного преобразования (и распределения как результата этого преобразования). В этом смысле время-масштабные преобразования можно интерпретировать как время-частотные путем формальной идентификации V = v0 /а. Вследствие этого о них можно говорить как о широкополосных разложениях преобразования Виг-нера—Вилле или как о время-частотных преобразованиях, приспособленных к широкополосным сигналам.

В случае локализованных ядер, зависящих от двух частот, типа

f (Z,t) = G(Z) • exp[-2nj • H(Z)t]:

(56)

условие (57)

дщ

W(0,v) =8(v-v0), -^(0,v) = 0 (57)

dZ

может быть представлено в виде (58):

dH

dG

H (0) =v0, G(0) = 1, — (0) = — (0) = 0. (58)

dZ

dZ

В такой форме эти условия выполняются при создании уже упоминавшегося преобразования Бертрана (45). Использованные при его получении

соотношения y(0,v) = ö(v - v0) и -(0,v) = 0 при

dZ

интерпретации время-масштабного преобразования в терминах времени и частоты могут служить для выбора v0 в качестве единицы измерения частоты. При этом само значение v0 можно брать произвольно в соответствии с общим представлением о частотном диапазоне контролируемого в ИИС нестационарного сигнала.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Малыхина Г. Ф., Меркушева А.В. Детектирование речевого сигнала и фильтрация с адаптивным порогом // Микропроцессорные средства измерений: Сб. научн. трудов. СПбГТУ, 2001. Вып. 2. С. 26-35.

2. Кратиров Д.В, Меркушева А.В. Нейросетевой алгоритм на вейвлет-отображении сигнала в ИИС для контроля параметров двухфазного потока // Сб. докладов МНТК: Датчики и системы. СПбГТУ, 2002 (в печати).

3. Gaundaurd G.C., Strifors H.C. Signal Analysis by Means of Time — Frequency Transformation of Wigner Type // Proceedings of IEEE. 1996. V. 84, N 9. P.1231-1247.

4. Quian S., Chen D. Discrete Gabor Transform //

x

v

v

0

0

v1 =

a

a

t

a

IEEE Trans. Signal Processing. 1993. V. 41. P.2429-2435.

5. Zibulski M., Zeevi Y.Y. Frame Analysis of Discrete Gabor Scheme // IEEE Trans. Signal Processing. 1994. V. 42, N 4. P. 942-945.

6. Daubechies I. Orthogonal Basis and Wavelets // SIAM Journal of Math. Anal. 1993. V. 24, N 2. P.499-512.

7. The Wigner Distribution / Eds W. Mecklen-brauker, F. Hlawatsch. N. Y., 1997. 79 p.

8. Jawerth B., Sweldens W. Wavelet-Based Multiresolution Analysis // SIAM Review. 1994. V. 36, N 3. P. 377-401.

9. Recent advanced wavelet analysis / Ed. L.L. Schumaker. Boston: Academic Press, 1994. 254 p.

10. Strang G. // Bull. American Mathematical Society. 1993. V. 28. P. 288.

11. Исмаилов Ш.Ю., Меркушева А. В. Анализ время-частотных преобразований для обработки сигнала // Тезисы МНТК "Пятьдесят лет развития кибернетики". СПбГТУ, 1999. С. 14-15.

12. Cohen L. Time-frequency analysis. N. Y.: Prentice Hall, 1995. 95 p.

13. Quian S., Chen D. Signal Representation Using the Gaussian Functions // Signal Processing.

1994. V. 36. P. 1-11.

14. Loughlin P. Non Negative Time-Frequency Representation // IEEE Trans. Signal Processing. 1994. V. 42, N 10. P. 2697-2704.

15. Cohen L. Time-Frequency Distribution // Proceedings of IEEE. 1989. V. 77, N 7. P. 941-952.

16. Flandrin P., Gonsalves P. // Proc. IEEE Intern. Symp. on Time-Frequency and Time-Scale Analysis. Philadelphia, 1994. P. 80.

17. Bertrand J., Bertrand P. A Class of Wigner Functions with Extended Covariance Propertirs // Journ. Math. Phys. 1992. V. 33, N 7. P. 25152520.

18. Rioul O., Flandrin P. Time-Scale Energy Distributions: General Class Extending Wavelet Transforms // IEEE Trans. Signal Processing. 1992. V. 40, N 7. P. 1746-1757.

Санкт-Петербург

Материал поступил в редакцию 04.03.2002.

TRANSFORMATION CLASSES FOR NONSTATIONARY SIGNALS IN INFORMATION MEASUREMENT SYSTEMS. I. ELEMENTS OF THEORY

A. V. Merkusheva

Saint-Petersburg

The elements of theory are given for two classes of transformations: time-frequency and time-scale, which form the basis for analysis of nonstationary signals in information measurement systems. The interrelation of such transformations is shown and a method is given for transform construction on the basis of some of their properties.