КИНЕТИКА ТРЕЩИН В ПОЛИМЕРАХ И КОМПОЗИТАХ НА ИХ ОСНОВЕ ПРИ МЕХАНИЧЕСКИХ И ТЕПЛОВЫХ НАГРУЗКАХ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 539.3

КИНЕТИКА ТРЕЩИН В ПОЛИМЕРАХ И КОМПОЗИТАХ НА ИХ ОСНОВЕ ПРИ МЕХАНИЧЕСКИХ И ТЕПЛОВЫХ НАГРУЗКАХ

Валишин А.А.

Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, Москва. Российский технологический университет - МИРЭА (Институт тонких химических

технологий имени М.В. Ломоносова), Москва.

Джемесюк И.А.

Российский технологический университет - МИРЭА (Институт тонких химических технологий имени М.В. Ломоносова), Москва.

Карташов Э.М.

Российский технологический университет - МИРЭА (Институт тонких химических технологий имени М.В. Ломоносова), Москва

KINETIC CHARACTERISTICS OF CRACKS IN POLYMERS AND COMPOSITES BASED ON THEM UNDER MECHANICAL AND THERMAL LOADS

Anatoliy A. Valishin

Moscow Technical University named after N. Baumann. Russian Technological University -MIREA (MV Lomonosov Institute of Fine Chemical Technologies), Moscow

Irina A. Dzhemesyuk Russian Technological University - MIREA (MV Lomonosov Institute of Fine Chemical Technologies), Moscow

Eduard M. Kartashov Russian Technological University - MIREA (MV Lomonosov Institute of Fine Chemical Technologies), Moscow DOI: 10.31618/nas.2413-5291.2023.2.86.692

АННОТАЦИЯ

Представлены теоретические соотношения важных кинетических характеристик для хрупких полимеров с трещинами при механических и тепловых воздействиях, лежащие в основе исследования термокинетики процесса разрушения полимеров в терминах теории временной зависимости прочности-долговечности. Рассмотрены трещины прямолинейные (внутренние и поверхностные) в образцах типа пластины и внутренние круговые (дискообразные) в полимерных волокнах. Рассмотрены последовательно два режима испытаний: постоянное напряжение растяжения, постоянная абсолютная температура, неменяющаяся структура, инактивная среда, а также более сложный режим чисто теплового нагружения - случай, наименее разработанный в теории разрушения. Приведены расчетные соотношения ряда предельных характеристик и параметров процесса разрушения: безопасное и критическое напряжение; начальная длина микротрещины и ее относительная критическая длина; безопасное и критическое напряжение; локальное напряжение в вершине трещины (во флуктуационном объеме); величина свободной поверхностной энергии. Приведенные соотношения являются основой для развития теории временной зависимости прочности - долговечности. Сформулированы перспективы для дальнейшего развития соответствующих теорий с учетом релаксационных процессов в полимерах, а также их химического строения и надмолекулярной организации.

ABSTRACT

Theoretical relationships of important kinetic characteristics for brittle polymers with cracks under mechanical and thermal influences are presented, which underlie the study of the thermokinetics of the process of polymer destruction in terms of the theory of the time dependence of strength-durability. Straight (internal and surface) cracks in plate-type specimens and internal circular (disc-shaped) cracks in polymer fibers are considered. Two test modes are considered sequentially: constant tensile stress, constant absolute temperature, unchanging structure, inactive medium, as well as a more complex mode of purely thermal loading - the case least developed in the theory of fracture. Calculated ratios of a number of limiting characteristics and parameters of the destruction process are given: safe and critical stress; the initial length of a microcrack and its relative critical length; safe and critical voltage; local stress at the crack tip (in the fluctuation volume); the amount of free surface energy. The above relations are the basis for the development of the theory of time dependence of strength-durability. Prospects are formulated for the further development of the corresponding theories, taking into account relaxation processes in polymers, as well as their chemical structure and supramolecular organization.

Ключевые слова: хрупкие полимеры; трещины разрушения; кинетические характеристики прочности; долговечность.

Key words: brittle polymers; fracture cracks; kinetic characteristics of strength; durability.

Введение

Современные конструкционные и функциональные полимерные материалы, представляющие собой совокупность микро- или наноструктурных элементов, называются структурно-чувствительными материалами [1]. Их создание на основе нанотехнологий - важное направление развития современного

материаловедения. Структурно-чувствительные материалы, получаемые различными методами (компактированием нанопорошков, осаждением на подложку, кристаллизацией аморфных сплавов и прочее) обладают уникальными механическими и теплофизическими свойствами, позволяющими их использовать в конструкциях, подверженных разнообразным внешним воздействиям. Важным этапом в создании и использовании указанных материалов является разработка соответствующих математических моделей для описания их поведения в широком диапазоне изменения внешних эксплуатационных факторов. Несмотря на достигнутые успехи в этой области [2-5], общая методология построения таких моделей еще далека от завершения. В первую очередь это относится к моделям, описывающим термокинетику процесса разрушения твердых тел (в частности твердых хрупких полимеров) при их испытании на долговечность. Основная трудность в разработке таких моделей заключается в необходимости математически описать взаимное влияние макро- и микростадий процесса разрушения, определить основные параметры и предельные характеристики процесса разрушения, установить связь между молекулярными константами, характеризующими структуру материалов с одной стороны и макроскопическими характеристиками прочности с другой, и, наконец, развить методику расчета долговечности образца в тех или иных условиях испытаний. Здесь уместно заметить, что традиционный подход к инженерной оценке механической работоспособности (то есть прочностных свойств) полимерных материалов предполагает проведение испытаний образца на растяжение или сжатие (или кручение) вплоть до разрушения. Напряжение, при котором происходит разрушение, и является мерой прочности полимерных тел. Но при этом не учитывается временной фактор, то есть конечное время жизни материалов при действии напряжения, меньшего предела прочности. По видимому, более целесообразно задаваться не напряжением, при котором должна работать конструкция, а временем ее жизни, то есть долговечностью т = т(а, Т) [2,3] и из этого соотношения рассчитывать то напряжение, которое может выдержать данная конструкция в течение заданного промежутка времени (при температуре испытания Т). Поясняющим эту точку зрения является тот факт, что в реальных полимерных материалах имеются микродефекты (трещины), которые являются ответственными за преждевременное разрушение.

После приложения нагрузки, превышающей безопасную (напряжение) а0, разрушение полимеров происходит путем роста одной, реже нескольких, наиболее опасных трещин от начальной длины 10 до некоторой критической длины 1к, при которой происходит атермическая (быстрая) стадия процесса разрушения с критической скоростью ук, величина которой определяется скоростью распространения упругого возмущения в твердом теле (в результате чего происходит потеря несущей способности детали или конструкции). Для органических полимеров ук = (5 — 8)102м /с, для полиметилметакрилата (ПММА) ук = (700 — 800) м/с, для неорганического стекла ук = 2000 м/с [2]. Для оценки этой величины может быть использована формула Робертса-Уэллса [2]

ук = 0384ЁТР, (1)

где Е — модуль Юнга материала, р -плотность. В процессе роста трещины разрушение материала локализовано в малой окрестности ее вершины Уа (флуктуационный объем), где локальные напряжения а*, активирующие процесс разрыва напряженных связей (химических или межмолекулярных) значительно превышают напряжения в остальном объёме образца. Нахождение расчетных инженерных соотношений указанных кинетических характеристик для хрупких полимеров - одна из важнейших задач полимерного материаловедения [6]. Этим вопросам, собственно, и посвящена настоящая публикация. Ее цель - систематизировать важнейшие кинетические характеристики хрупких полимеров с трещинами при механических и тепловых воздействиях.

Идеологическая схема исследования

Регистрация субмикроскопических трещин дифракционными методами позволила в реальных полимерах установить их размеры (продольные и поперечные), форму (в виде разреза в образцах типа пластины, круговые дискообразные -в полимерных волокнах), положение в образце (поверхностные, внутренние). Для интерпретации трещины в рамках механических моделей (рассматриваемых ниже) обосновывающим экспериментальным

результатом являются весьма малые размеры начальных микротрещин 10 при ширине (или диаметре) образца Ь в несколько миллиметров, которые составляют для ПММА - 1700 А°, поливинилбутираля - 3000 А°, полиэтилена - 170 А°, полипропилена - 320 А°, поливинилхлорида -3000 А°, капрона - 90 А°. К этому следует добавить данные фрактографических исследований поверхности разрушения полимеров о независимости критической длины 1к от величины поперечного сечения образца, которое менялось более, чем в 100 раз [3]. Во всех случаях трещины разрушения растут из дефекта начальной длины 10

вдоль нормали к направлению максимального растягивающего напряжения, и для характеристики трещины (учитывая, что раскрытие трещины мало по сравнению с ее продольными размерами) применимо соотношение

Я<<10< 1(т) < 1к << Ь,0 <т < ц, (2)

где Я - флуктуационное продвижение трещины при разрыве одной или группы связей (для органических полимеров Я = 12А"), Тф(а,Т) долговечность на флуктуационной стадии при росте трещины от начальной до критической длины. На основании (2) образец в виде пластины (или цилиндрического штабика) интерпретируется как упругая плоскость (х, у) с внутренней трещиной 1х1 < 10,у = 0, или как упругая полуплоскость х > 0,1у1 < ^ с поверхностной трещиной 0 < х < 10,у = 0, или как упругое пространство (х,у,г) с внутренней круговой осесимметричной трещиной г = 0,0 < г < И*.

В математической модели термокинетики процесса разрушения в конкретных случаях нагружения полимерного образца важная роль отводится аналитической формуле скорости роста трещины как функции текущей длины ( ), поля напряжений а* в области дефекта Уа, температуры Тв(1, Ь) в вершине трещины и молекулярных констант, характеризующих структуру полимера, а также элементарный акт разрыва напряженных связей:

У = У(1;а*;Тв;Уа-,и;...), (3)

где и = и0 — цТв - энергия активации процесса разрушения, линейно уменьшающаяся с повышением температуры, и0 - энергия активации процесса разрыва, экстраполированная к абсолютному нулю; ц — коэффициент температурной зависимости энергии активации (для полимерных органических стекол ц ~ (15 — 20)Дж/мольК); а* - термофлуктуационный порог разрушения (безопасное перенапряжение в вершине трещины). Флуктуационный объём -важная молекулярно-структурная характеристика полимеров- рассчитывается на основании предположений о строении полимеров и механизма их разрушения [4]: Уа = ЯЯпЯт. где Яп — элементарный периметр фронта трещины, состоящий из одной или нескольких связей, одновременно охваченных флуктуацией; Ят-предразрывное удлинение связи. Для неорентируемых полимеров Уа = 6ЯЯ*Ят = 1.4 ■ 10-28м3 (например, полимерные стекла, образованные линейными полимерами), Уа = Я*Ят = 2.4 ■ 10-29м3 для ориентированных (волокна); (Ят = 1.5А°,Я0 = 4А° - среднее межмолекулярное расстояние в полимере). Локальное напряжение в (3) а* = ф(а,@,1...) -одна из важнейших локально-кинетических характеристик прочности. Величина а* зависит от приложенного к образцу (внешнего) напряжения а,

коэффициента концентрации напряжения р в вершине трещины, играющего исключительно важную роль в исследовании дефектности материалов, текущей длины трещины ( ), геометрии образца, конфигурации трещины и ее расположении в образце (поверхностная или внутренняя); величина а* рассчитывается методами механики хрупкого разрушения на основе решения краевых задач математической теории трещин. Рассчитанные значения величины а* при механических и тепловых нагрузках позволяют записать ряд предельных характеристик и параметров хрупких полимеров с трещинами в общей картине термокинетики процесса разрушения. Для напряжений а, не слишком близких к безопасному и не превышающих критические а* < а < ак, вероятность

восстановления связей в вершине трещины пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью их разрыва, и средняя скорость роста трещины исходя из ее молекулярной модели [2,4] может быть записана в следующем виде

у(1,а*,Тв...)=ЯУоехР[—^],(4)

где V* - частота тепловых колебаний кинетических единиц, участвующих в разрыве и восстановлении связей (V0 ~ 10-13с-1); к — постоянная Больцмана. Долговечность т = т( а, Т) (Т - температура испытания, в общем случае отличная от температуры в вершине трещины Тв ) образца в виде пластины шириной Ь складывается из времен процесса разрыва на первой (флуктуационной) стадии Тф(а,Т) при росте трещины со скоростью (3) от начальной длины * до критической к и второй (атермической) к с предельной скоростью ук (1)

т = тф + ч= &—*!— + ь--к. (5)

Обобщенное соотношение для коэффициентов интенсивности напряжений при механических и тепловых нагрузках

Как указывалось, разрушение хрупких полимеров локализовано в малой окрестности вершины трещины (в объёме Уа ) и для нахождения в (1) локального напряжения а* необходимо привлечь методы математической теории трещин. Это позволит изучить асимптотическое распределение напряжений вблизи вершины трещины (как разреза в однородном и упругом изотропном континууме). Рассмотрим напряженно-деформируемое состояние в окрестности вершины трещины 1х1 < 1,у = 0 в упругой плоскости (х,у) при заданных произвольных нагрузках, действующих на берегах трещины и постоянных нагрузках на бесконечности. Одновременно имеет место термонапряженное состояние, вызванное стационарным потоком теплоты, параллельным плоскости симметрии образца. При плоском растяжении распределение напряжений в

окрестности вершины трещины по Ирвину имеет вид [7]:

Кл в * л . в 3в•» К? .в в 3в

огг = -=cos-(1 + sin-sin—) + -= sin-cos-cos —,

t 4 t t S ,/o-v- t t t

Ki

7yy = 72rcosl(1

sÍ2r"

в 3в^ К2 . в /_ в 39s.

s in-s in—) —=s in-(2 + с os-с os—),

2 2J S2r 2 K 2 2J

Kaxy

Кл . в в 3в , К2 в / л

= -=s in-c os-с os--+ -=с os - (1

V2r 2 2 2 \2r 2 K

в 3 в

s in-s in—),

22

(6)

где (г, в) - полярные координаты с полюсом в вершине трещины; К1,К2 — коэффициенты интенсивности напряжений, которые находятся из решения задачи теории упругости как функции нагрузки и параметров, характеризующих конфигурацию тела, форму трещины, расположение ее в образце, а также упругих и теплофизических постоянных материала. Как следует из (6), величины К и К2 представляют собой асимптотику компонент напряжения в окрестности вершины трещины, т.е., в конечном счете, локальные напряжения а* в соотношении (3). Соответствующая задача в частных случаях рассматривалась в [8]: постоянное напряжение растяжения, изотермические условия нагружения, отсутствие нагрузок на бесконечности; ряд частных случаев при (только) тепловых нагрузках рассматривался в [9]. В данном случае предлагается вывод обобщенного соотношения для коэффициентов интенсивности напряжений при наличии спектра механических и тепловых нагрузок на берегах трещины и вне ее. Развивается самостоятельный подход, основанный на комплексных потенциалах Мусхелишвили [10] и. как оказалось, весьма эффективным для указанного случая достаточно сложной задачи математической теории трещин.

Сформулируем задачу в напряжениях, используя известные соотношения для плоских статических задач термоупругости [11]. Задача заключается в определении коэффициентов интенсивности напряжений в асимптотическом поведении тензора напряжений а^(х,у) в (6) при г ^ ± 1(г = х + 1у) на основе решения уравнений: равновесия

д°хх i дг*ху _ q. д°ху dtjyy _ q

дх ду ' дх ду

(7)

совместности

Л(о:

хх + оуу)

2¡3TG

(X-W + 2G)

ЛТ(х,у) = 0;

(8)

в области Б\В, где Б = (1х,у1 < &>), В = (1х1 < 1,у = 0). Здесь и(х,у),У(х,у) -компоненты вектора перемещения;

^х = (3- v)/

Л* = уЕ(1 — У2),рт = 2аЕ(1 + V) (1 + V) - для плосконапряженного состояния;

Л = vE/[(1 + v)(1 — 2v)],pт = 2аЕ,х(3 — ) -

для плоской деформации; - коэффициент Пуассона, Е - модуль Юнга, а - коэффициент линейного теплового расширения,

С = Е/[2(1 + V)] ; температурная функция Т(х,у) удовлетворяет уравнению Лапласа ЛТ(х,у) = 0 в области 0\В с разрывными граничными условиями на линии | х| < у, у = 0 (на верхнем и нижнем ее берегах). На берегах трещины (при 1х1 < 1,у = 0) и на бесконечности заданы компоненты напряжений

о±х (х, 0), о±у (х, 0), ауу (х, 0) и оХу = const,

у у

const; граничные условия на берегах трещины запишем в виде

^2р(х) = (ау+у + ауу) - i(о+у + оХу),

I 2Ч(х) = (о+у - ау-у) - Ка+у - а-у1

Jx| < 1,у = 0,

(10)

где р(х) и ц(х) — заданные (по условиям задачи) функции, удовлетворяющие условию Гельдера при 1х1 < I. Здесь знак (+) относится к верхнему берегу трещины (у ^ 0+, |х| < I), знак (-)- к нижнему берегу трещины (у ^ 0—, 1х1 < Г). Пусть Е(г) — аналитическая функция комплексного переменного = х + у с действительной частью Т(х,у): Р(г) = Т(х,у) + I Ш(х,у), где Ш(х,у) - функция, сопряженная с Т(х,у) и определяемая с точностью до произвольной постоянной соотношением: Ш(х,у) = /м м(дТ/дп)йз. С помощью тождественных преобразований

U = U' + рти'/2(Г + G)(x - 1), V = V'+pTV/2(r + G)(x-1), U* + iV* = ¡F(z)dz (11)

связи напряжений и перемещений

охх =\*e + 2G~ Рт(Х - 1)Т(х,у)

Оуу = Л*е + 2G^- Рт(Х — 1)Т(х,у)

rtau . д^w ди оху = G (— + —), (е = — + —)

д у

д х д х д у

(9)

уравнения закона Гука в (9) приводятся к виду, не содержащему Т(х,у):

охх = Ге' + 2GdU'/дх,оху = G(dU'/dy + dV'/dx),

со

ауу = Я*е' + 2вдУ'/ду, (е' = ди'/дх + дУ'/ду). (12)

Таким

образом,

при

определении

(ахх, аху, ауу) в условиях изотермической плоской задачи теории упругости могут быть использованы известные соотношения теории функция комплексного переменного [10], принимающие с учетом (11) следующий вид:

ахх + ауу = 4Ие[Ф(г)], (13)

Из соотношений (16) и (17) следует, что коэффициенты интенсивности напряжений определяются достаточно быстро после нахождения комплексного потенциала Ф( ) Мусхелишвили получены следующие выражения для комплексных потенциалов Ф(г) и П(г) при растяжении упругой плоскости с разрезом 1х1 < 1,у = 0:

ауу — 1аху = Ф(г) + П(г) + (г — Т)Ф (г), (г ■ х — гу), (14)

2в(и' + IУ') = х<р(г) — ш(г) — (г —

г)Ф(г) + р*в(г).

(15)

Здесь Ф (г) и П (г) - комплексные потенциалы Мусхелишвили

р(2) = / Ф(г)йг; со(г) = /П(Г)((г); в(г) = ¡Р(г)(г;

Р* = аЕ/(1+у) - для плосконапряженного состояния и р* = аЕ - для плоской деформации. Из (13) и (6) следует, что в малой окрестности левой и правой вершин трещины имеют место, соответственно, соотношения [12]: для правой вершины

К++ — = 242Ит2^47—1Ф(2), (16) для левой вершины

К- — Ш- = —¿2^2 4г + I Ф(г).

(17)

Ф(г) = Ф*(г)+Р(г)/Х(г) — Т /2, (18) П (г) = П0 (г) + Р (г)/Х(г) + Т'/2, (19)

где

Ф*(2) =

П*( ) =

1

2тХ(г)

1

2тХ(г)

■'-1 ¡-г 2т •'-I ¡-г

(20)

+ 1 I

¡-г

(И

2т •'-I ¡-г

(21)

Здесь Р( ) = * + 1 — многочлен первой степени с неопределенными (комплексными в общем случае) коэффициентами, которые подлежат

нахождению;

Т = (а.

у у

Л™)

)/2

а

ху

(предполагается, что на бесконечности напряжения ограничены); Х( ) = — I2 — функция Племеля, причем выбирается та ее ветвь, для которой Х(г)/г^1 при 1г1 ^ ю;Х(г) — значение этой ветви на верхнем берегу трещины, так что Х+(х) = Х(х) и Х-(х) = —Х+(х) = —Х(х). Выражение (18) перепишем в виде Ф(г) = Q(z)/ — I, где

Q(z) =

аг + ^ «жаг + {с2 + С)

12т ■'-I ¡-г 2т ■'-I ¡-г у 0 1

1

47+1

/г2-2

4(°уу °ХХ 21°ху >

т}. (22)

хх

X

В соответствии с (16) и (22) находим для правой вершины трещины:

К1 — = 4

1 Г+1 г*-\/12-12 ^ I 1 I

(23)

[10]:

При больших | | потенциал Ф( ) имеет вид

Ф(г) = Т + (Х + 1У)/2п(1 + х)г + 0(1/г2), (24)

Т = (а(т) +

у у

где (Х, V) - главный вектор внешних усилий, приложенных к берегам трещины;

))/4. Из (18) и (24) следует при

1г1 ^ ю:с0 = (ауу — 1аХу')/2. Коэффициент сх находится из условий однозначности перемещений. На основании (15) это условие заключается в том, что выражение ХР (2) — ш (?) —

р*в(г) должно возвратиться к своему первоначальному значению, когда точка описывает замкнутый контур А, охватывающий трещину. Стягивая контур А к L (где L - контур, состоящий из нижнего и верхнего берегов трещины) находим условие:

Г+1с0х + с1 Г+1г ^

2(х+1)\ ^==йх + X I [Ф+(х) - Ф-(х)] йх + J-1 ^х2 - I2 1

+ Ц[П+(х) - П-(х)]йх + 3* Ц[Т+(х) - Т-(х)] йх + +1 !+№+(х) - Ш~(х)] йх = 0, (25)

которое представляет собой алгебраическое Т(х,0);Ш(х) = Ш(х,0)). Используя (20), (21) и уравнение относительно с 1 (здесь Т(х) = равенство

£[™+(х) - Ш~(х)] йх = - —1(I - х)(д^- д-^)йх, (26)

которое следует из определения функции Ш(х,у) через Т(х,у), получим:

1=-

г+1

<•+1 г+1

1(х-1)1 ч(х)йх + 13*1 [Т+(х)-Т-(х)]йх +

■с

+3*1 (1-х)(дТ+/ду-дТ-/ду)йх ]/2п(х + 1).

Аналогичным образом могут быть проведены рассуждения и для левой вершины трещины. Окончательный результат имеет следующий вид:

П-Д I }-1 у

^^¿^{С« -х)(%- дд^)у=0йх ± I С[Т+(х) - Т-(х)]йх}. (27)

_1_ 1 I Г I ^ х х 1 С г (ж) I_

Здесь 3* = аЕ/(1 + у) и 3* = аЕ соответственно для плосконапряженного состояния и плоской деформации; (дТ / ду)±=0,Т±(х) - соответственно тепловой поток и температура на берегах трещины; знак (+) слева относится к правой вершине трещины, знак (-) - к левой. При изотермических условиях нагружения (в (27) следует положить Т = 0) и при отсутствии нагрузок на бесконечности Оу = о^ = 0 ) приходим к выражению, полученному в [8]. Полагая берега трещины свободными от напряжений (р(х) = ц(х) = 0), а также отсутствие напряжений на бесконечности, находим из (27) коэффициенты интенсивности для чисто температурных напряжений. Следует еще раз подчеркнуть, что соотношение (27) представляет собой принципиальный результат математической теории трещин, отсутствующий в известных руководствах по данным вопросам. Соотношение (27) содержит многочисленные частные случаи механического и теплового нагружения, каждый из которых может служить предметом самостоятельного исследования при изучении кинетики разрушения хрупких полимеров.

Перейдем теперь к приложению соотношения (27) при выводе ряда важных кинетических характеристик для полимеров с трещинами. Вначале рассмотрим чисто механическое нагружение при постоянной температуре. При одноосном растяжении образца постоянным

(го) (го) „ ,—пч

напряжением оуу = о, оху = 0 находим из (27)

К1 = оД,К2 =0, а из соотношения (6) -максимальное растягивающее напряжение в окрестности (для определенности правой) вершины трещины, достигаемое в плоскости трещины: [оуу(х, 0)\Л^2(х -1) Прямые опыты

(методом ИК-спектрометрии) по измерению истинных напряжений на отдельных химических связях для твердых полимеров показали, что по мере приближения к кончику трещины на максимально напряженных связях нагрузка увеличивается вплоть до некоторого значения, после чего остается практически постоянной и превосходит среднее напряжение на связях в объёме образца на несколько порядков. Такие связи сильно деформируются и разрываются в первую очередь; их разрыв обусловлен напряжением, приходящимся на связь, отстоящую от вершины трещины на расстоянии ее флуктуационного продвижения Я. Таким образом, искомое локальное напряжение в вершине трещины можно описать выражением о* = о^1/2Я, а в окончательной форме

о* = о3(1о)4Т/Го, (28)

где появляется коэффициент концентрации напряжения для внутренней прямолинейной трещины начальной длины 2 0

р(10) = 0.7lJljA. (29)

В экспериментах по ползучести (при а = const) показано, что коэффициент р за время жизни образца практически не изменяется и определяется длиной начального дефекта в образце. Из (29) находится величина (полудлина) начальной микротрещины

10 = 2Хр2. (30)

Численные расчеты на основе соотношений (28) - (30) дают результаты близкие к экспериментальным [2,3].

Перейдем к рассмотрению поверхностных трещин. Такие трещины являются наиболее распространенными и растут с края образца, где имеются наиболее опасные дефекты. При расчете а* образец согласно [2] рассматривается как упругая полуплоскость (х,у) с краевой трещиной 0 < х < 1,у = 0. Указанный случай относится к числу достаточно сложных в математической теории трещин. Решением задачи (7) - (10) при различных видах нагрузки на берегах краевой трещины (линейная; неоднородная; общего вида; сосредоточенная) занимались многие

исследователи [13]. Развитый автором настоящей статьи подход [2] (для случая растяжения образца постоянным напряжением при постоянной температуре) позволил получить следующее выражение для локального напряжения в вершине трещины

а* = ар(10)^Т/Г0;р(10) = 0.79^0/А. (31)

Отсюда длина начальной поверхностной трещины равна

Так для ПММА Я = 12А°[4],р = 11[3] и 10 = 2.3 ■ 10-7м, что близко к оценке начальной (исходной) краевой микротрещины, приведенной в [3] (10 = 1.5 ■ 10-7м); для неорганического стекла Я = 5.4А°[4],р = 60[4] и из (32) имеем 10 = 4мкм, что совпадает с экспериментальными данными в

[3].

Следующий вопрос - круговые трещины. Как указывалось, наряду с линейными субмикротрещинами в полимерах обнаружены дискообразные субмикротрещины,

ориентированные перпендикулярно

растягивающей силе. Образец цилиндрического типа интерпретируется упругим пространством ( х, у, ) с внутренней осесимметричной трещиной 0 < г < И,г = 0. Пусть и (г, г), Ш(г, г) — компоненты вектора перемещения в цилиндрических координатах, Т( , ) — температурная функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа ЛТ(г,г) = 0 вне плоскости г = 0, содержащей трещину; пусть в (г, г) - объёмное расширение. Задача заключается в нахождении

коэффициентов интенсивности напряжений К

К

(Т)

(м) 1

1

тепловой нагрузок в

механической и асимптотическом представлении осевого (разрывающего связи) напряжения агг(г,0) =К1/ /2(И — г), (г > И) из основных уравнений термомеханики [11], записанных в перемещениях в условиях осевой симметрии:

ли-^U +

1 дв

Л№ +

1

1-2v дг дв 2(1+v)

1-2v dz

2^а21=о,

1-2v дг дТ

а— =0,

dz

AQ(r,z) = 0,ЛТ(г, z) = 0 (33)

при следующих граничных условиях

l0 = 1.6XP2.

(32)

azz(r,0) = -a0(r),0<r<R,

I azz(r, 0) = 0, W(r, 0) = 0,r>R, 1аИ(г,г)1 < lU(r,z)l < lW(r,z)l < +™,z > 0,

(34)

либо

T(r,z)lz = 0 = T0(r),0 <r <R, (dT/dz)lz = 0 = 0,r > R (35)

(dT/dz)lz =0 = 0(r),0 <r < R,T(r,z)lz = 0 = 0,r > R. (36)

Сформулированная задача также относится к числу достаточно сложных в математическом плане. Нахождением ее приближенного решения занимались многие исследователи, указанные в [13]. Автор настоящей статьи в [2] предложил свой

подход при ее решении и получил удобные для расчета соотношения для коэффициентов интенсивности напряжений при механических и тепловых нагрузках:

К

(м)

R yt?o(y)dy ^ (Т) _ 2(1+v)aC fR yTo(y)dy

fR ,_

n(1-v)JRJ0 ^R2-y2

(37)

Здесь T0 (r) - температура на трещине 0 < г < R, = 0, она либо задается, либо находится из решения соответствующей тепловой задачи. При постоянной внешней нагрузке а0 (г) = а = const и

изотермических условиях испытаний из (37) следует К1 = (2/п)а4Й и локальное напряжение в Я -окрестности круговой трещины имеет вид

г

-2 v

а* = = о.бТйоД,

(38)

где Я - переменный радиус растущей трещины, 2Я0 - диаметр начальной круговой трещины. Из (38) следует

Я0 = 4Яр2. (39)

Так для ориентированных волокон (полиэтилен; полипропилен; поликапроамид) согласно [4] Я = 4А°,@ ~ (4- 7); отсюда и из (39) радиус начальной микротрещины Я0 « (10-8 — 10-7)., что подтверждено экспериментами в [3].

Таким образом, получены ряд важных кинетических характеристик, соответственно, коэффициент концентрации напряжения Р(10) = Х^10/Я и величина начального дефекта в образце 10=Х-2Я/32, где х = 0.79; 0.71; 0.5 для трещин поверхностной, внутренней прямолинейной и внутренней круговой (дискообразной).

К этим соотношениям следует добавить ряд важных параметров и предельных характеристик процесса разрушения. Особого рассмотрения требует характеристика а0. В кинетической теории [14] безопасное напряжение вводится соотношением а0 = апов/($Ят), где апов -свободная поверхностная энергия материала (в вакууме). В [15] термодинамически и путем точного расчета показано, что величина а0 совпадает с порогом разрушения Гриффита а0 = аСо = ^2Еапов/л10, то есть термодинамический и кинетический подходы согласуются между собой.

Таким образом, из приведенных выше соотношений, вытекают следующие расчетные характеристики кинетики процесса хрупкого разрушения полимеров:

безопасное напряжение

°с0 = 42Ёс

10

-1/2.

(40)

начальная длина (полудлина или радиус) микротрещины

10 = Х-2 Яр2; (41)

коэффициент концентрации напряжения

К1 о) = х4Ш; (42) критическое напряжение

k vap xva 0 1 у

относительная критическая длина трещины

JTkJl0 =

Uo-дт.

(44)

локальное напряжение в вершине трещины

а* = ар(10)^Щ0. (45)

В таблице 1 в качестве иллюстрации соотношения (45) дана оценка величины а* для ряда полимеров на основе экспериментальных данных по долговечности [3].

Таблица 1.

Локальное напряжение

Полимер (ориентированный) Внешнее напряжение с МПа vaP ■10-29м3 10-29м3 Р а* МПа

Эксперимент [4] Расчет

Полипропилен 800 28 2.4 12 12000 11500

Капрон 840 38 2.4 16 20000 16000

Полиакрилонитрил 120 60 2.4 25 7000 4000

Полиэтилентеррефталат 800 60 2.4 25 20000 24000

Приведем еще одну расчетную формулу для важной прочностной характеристики - свободной поверхностной энергии апов, вытекающую из равенства указанных выше соотношений а0 и аСо для безопасного напряжения в кинетическом и термодинамическом подходах

с по в = Ш25 Х)Е, (46)

дающую хорошую корреляцию между расчетными и экспериментальными значениями апов ряда полимеров (Таблица 2).

Таблица 2.

Расчетные и экспериментальные значения свободной поверхностной энергии_

Я Е-107 Н/м2 ^пов • 10-2,Дж/м2

Материал 10-4 мкм Расчет Эксперимент

ПММА ПЭ ПС ПП ПВХ ПЭТФ КАПРОН 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 12 12 12 12 12 12 4 500 250 420 150 500 520 200 38 19 30 12 38 39 45 39 21 33 28 40 41 46

(неориентированный)

Расчет локальных напряжений при чисто тепловых нагрузках -практически не разработанные вопросы теории хрупкого разрушения. Наибольший интерес представляют случаи установившегося теплового состояния Т(х,у,г) в твердых телах с трещиной. Экспериментальные данные в [16] показывают, что при установившемся тепловом потоке в теле с трещиной происходит значительное увеличение температурных напряжений, вызванное локальным возрастанием величины температурного градиента в окрестности вершины трещины. Можно полагать, что термоупругие поля расширения (как и их механические аналоги) увеличивают

интенсивность напряжений в вершине трещины, заставляя ее расти. Эксперименты подтверждают это предположение {16}. Пластину из полимерного материала с внутренней сквозной трещиной, расположенной в центре, растягивали до напряжения, не вызывающего разрушения. Плоское установившееся температурное поле Т(х,у) с вектором gradТ, параллельным плоскости симметрии образца, наводили ортогонально трещины специальным нагревателем. По мере нагрева напряженное состояние образца изменялось: увеличивалась концентрация напряжения в вершине трещины, и через некоторое время образец разрушался. Так как во время опыта механическая нагрузка оставалась неизменной, то фактором, определяющим разрушение, было термоупругое поле. Таким образом, здесь также необходимо рассчитывать локальное напряжение, вычислять предельные характеристики и основные параметры процесса при тепловом разрушении, зависящие от вида тепловой нагрузки, физико-механических и теплофизических характеристик материала, его структуры с целью разработки способов локализации, интенсификации и управления кинетикой роста трещины. Рассмотрим математическую модель указанного эксперимента с доведением расчетов до указанной величины а*. Итак, полимерный образец в виде тонкой пластины с внутренней конечной трещиной (упругая плоскость с разрезом) подвергается воздействию однородным тепловым потоком перпендикулярно трещине (нагревание). Предполагается, что по нормали к плоскости образца температура не имеет градиента и, кроме того, через берега трещины тепловой поток не идет. Рассматривается также

случай, когда переносом теплоты через трещину можно пренебречь, что справедливо для не слишком высоких температур. В этих условиях температурная функция Т(х,у) в области И\В, где И = {(х,у): 1x1 < ж, 1у1 < ж], В = {(х,у): 1x1 < 1,у = 0} является решением тепловой задачи:

ЛТ(х,у) = 0, (х,у) Е Б\В, (47) дт+(х'У).1у=0 = д-1^1у=0 = 0,М<1,

ду

-Т(х,у) -У

-У

(48)

1^х2 + у2 ^ ю(у = = ЦТ/ХТ, (49)

где ХТ — теплопроводность материала, дТ — величина теплового потока, поступающего в образец через единицу площади границы за единицу времени. Обычно для решения подобного рода задач используются линейные задачи сопряжения, основанные на комплексных потенциалах Мусхелишвили [10], либо метод сингулярных интегральных уравнений [8]. И в том и в другом случаях это приводит к длительным и громоздким вычислениям. Рассмотрим для решения задачи самостоятельный подход. Учитывая симметрию исходной задачи, запишем для функции 0(х,у) = Т(х,у) — (цТ/кТ)у:

д20 д20 п . . ^ ^ _ д^ + ^ = 0,1х1<^,у>0,

(дв/ду)+=0 = —ЯтМт, 1х1 < I,

(50)

(51)

1у = 0 = 0,1х1 > I, (52)

( дв/ду)1

^ х2+у2^ж

= 0,1х1 < Ы. (53)

Задача (50) - (53) носит название внешней задачи Неймана для уравнения Лапласа на плоскости. Необходимым и достаточным условием существования решения этой задачи, обращающегося на бесконечности в нуль, является условие ^(д в / дп)йБ = 0 [17], которое выполняется в случае (49). Отсюда следует, что для нахождения функции в(х,у) может быть использовано экспоненциальное преобразование Фурье по х :

®(v,y) = (1/V2rc) J_™0(x,y) exp( iqx)dx. (54)

Решение преобразованного уравнения (50) запишем в виде: 0(r],y) = Ir^lqKr) exp( - lrly),

где неизвестная функция ^О) должна быть найдена из (51) - (52). Имеем для в(х,у) с учетом четности по х:

0(x,y) = V2AFO 1q1(v)exp(-vy)cosvxdt]. (55)

Удовлетворяя условиям (51) - (52), приходим к дуальному интегральному уравнению

2/п \ q..(r) eos у xdy = qT/AT,x < I,

которое может быть решено методом, развитым автором статьи в [18]. Находим Ч1(1)=^^/2(цт1/Хт)]1(г)Г) О !(г) - функция Бесселя) и вместе с этим из (55) функцию

1Г

Г 1ЦЛ (r) °os r xdr = 0, x > l,

0(x,y) = (qTl/At)Re 1к(Г) exp(- rz)dr = (Цт/Ят) Re(^l2 - z2 - z).

После выделения действительной части получим для T(x,y)

1/2

T(x,y) = (qT/AT)^2signy[^y4 + 2(x2 + l2)y2 + (x2 - l2)2 + y2 - (x2 - l2)] .

(56)

Из

(56)

следует, что

Т±(х) = ±(цт/Хт)\Ц2 — х2, и далее из (27) находим интересующий нас коэффициент интенсивности термоупругих напряжений К1 = 0 ,К2 = (ацтЕ/4Хт)13/2 (плосконапряженное состояние) и затем искомое локальное термонапряжение в вершине трещины

ат=рат(1/10)3/2, (57)

где

Ot = aEqTlo/4ÁT,P(l0) = О.71ф0/1.

(58)

Полученное соотношение для от в (58) представляет собой принципиальный результат для теории теплового разрушения: от есть механический аналог при тепловом нагружении и связывает между собой теплофизические, упругие и структурные характеристики полимеров, что позволяет проследить влияние каждого фактора на тепловую реакцию полимерного материала с начальной микротрещиной. Добавим к приведенным соотношениям еще ряд интересных характеристик, начиная с температуры Тв в вершине трещины. Вначале найдем асимптотическое распределение температуры вблизи вершины в координатах (г, в) (как и в (6)) в виде

Т(г, в) = JZl(qT/XT)r1/2 sin в /2. (59)

Отсюда в качестве Тв примем среднюю интегральную величину в Я окрестности правой вершины начальной микротрещины, что дает

Здесь также, как и в (58), прослеживается связь макро и микропараметров и их влияние на тепловое состояние полимерного материала в вершине трещины. Теперь согласно (4) и (58) можно записать скорость роста трещины в виде

У(1,о-т,тв,...)= Лу0 ехр (— (61)

где все основные величины рассчитаны. Основным внешним фактором, вызывающим рост трещины со скоростью (61) является тепловая нагрузка мощностью - одна из составляющих напряжения. Соотношения (40) и (43) (при Т = Тв ) определяют интервал напряжений от от безопасного о

(0)

Лк)

что

до критического о позволяет выявить характеристические значения внешнего теплового нагружения от безопасного

(0) _ 3.2Дгу«Пов/Д ,_3/2 qT „ 10

(62)

до критического

Тв = РМт/Ят.

(60)

Ш5.бя^0-3тв),-3/2. (63)

^т аБУа 0 1 у

Аналогичным образом могут быть рассмотрены и другие частные случаи, следующие из формулы (27).

Заключение

В заключение следует упомянуть о других важных аспектах исследований проблемы прочности и разрушения полимерных и композиционных материалов. Это, прежде всего, связь между релаксационными явлениями и процессами разрушения. Релаксационные процессы связаны с различными формами теплового движения в материале, и

го

характеризуются спектром молекулярной подвижности структурных элементов различной природы (атомов, боковых и концевых групп, звеньев макромолекул, свободных и связанных сегментов, элементов надсегментальной и надмолекулярной структуры, физических и химических узлов сетки, частиц наполнителя). Это приводит к большому разнообразию форм молекулярной подвижности и соответствующих им релаксационных процессов, которые наблюдаются при действии механических, электрических или магнитных полей. По мере перехода от низкотемпературных областей при испытании к высокотемпературным роль молекулярной подвижности и теплового движения в процессе разрушения приобретает все большее значение. При этих условиях происходит смена механизма разрушения от термофлуктуационного разрыва ковалентных связей, который при низких температурах является главным, к вязко -локальному механизму преодоления

межмолекулярных связей, контролирующему процесс разрушения при относительно высоких температурах. Таким образом,

термофлуктуационный разрыв ковалентных связей сопряжен с химическими процессами релаксации, а вязко-локальный процесс разрушения,

характерный для эластомеров, - с физическими процессами релаксации. К этому следует добавить практически открытую проблему связи теплового удара при резких нагревах (охлаждениях) с временной зависимостью прочности [20,21]. Развитие соответствующих теорий разрушения, учитывающих влияние указанных факторов на кинетику роста трещин требует необходимости привлечения различных подходов: физики и химии полимеров; молекулярной физики и термодинамики; механики разрушения; теории тепло-и массопереноса; прикладной математики.

Выводы.

Получены теоретические соотношения кинетических характеристик для хрупких полимеров с трещинами при механических и тепловых воздействиях, лежащие в основе исследования термокинетики процесса разрушения полимеров и композитов.

Рассмотрены трещины прямолинейные (внутренние и поверхностные) в образцах типа пластины и внутренние круговые (дискообразные) в полимерных волокнах. Рассмотрены последовательно два режима испытаний: постоянное напряжение растяжения, постоянная абсолютная температура, неменяющаяся структура, инактивная среда, а также более сложный режим чисто теплового нагружения -случай, наименее разработанный в теории разрушения.

Получены соотношения ряда предельных характеристик и параметров процесса разрушения: безопасное и критическое напряжение; начальная длина микротрещины и ее относительная критическая длина; безопасное и критическое напряжение; локальное напряжение в вершине

трещины; величина свободной поверхностной энергии. Приведенные соотношения являются основой для развития теории временной зависимости прочности - долговечности.

Сформулированы перспективы для дальнейшего развития теории с учетом релаксационных процессов в полимерах, а также их химического строения и надмолекулярной организации.

Литература

Aскадский A.A., Хохлов AP. Введение в физико-химию полимеров. M.: Научный мир. 2009. 380 с.

Карташов ЭМ. Современные представления кинетической термофлуктуационной теории прочности полимеров // Итоги науки и техники. Серия химия и технология высокомолекулярных соединений. M.: ВИНИТИ. 1991. Т.27. С.3-Ш.

Регель В.Р., Слуцкер AÄ, Томашевский Э.Е. Кинетическая природа прочности твердых тел. M.: Наука. 1974. 560 с.

Бартенев r.M. Прочность и механизмы разрушения полимеров. M.: Химия. 1984. 280 с.

Валишин A.A., Карташов ЭМ. Энергетические эффекты в кинетике разрушения твердых тел.// Изв. РAН, серия Энергетика. 2006. №4. С.150-160.

Гуль В.Е., Кулезнев В.Н. Структура и механические свойства полимеров. M.: Высшая школа.1976. 352 с.

Irwin G.R. Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate // Appl. Mech. 1957. T.24. №3. P.361-364.

Панасюк В.В., Саврук M.fr, Дацишин АП. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках. Киев. Наукова Думка. 1976. 446 с.

Си. О сингулярном характере температурных напряжений у вершины трещины // Прикладная механика (переводной).162. Т.29. №3. С.157-159.

Mусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. M.: Наука. 1966. 708 с

Карташов ЭМ., Кудинов ВА. Aналитическая теория теплопроводности и прикладной термоупругости. M.: URSS. 2012. 655 с.

Си, Парис, Эрдоган Коэффициенты концентрации напряжений у вершины трещины при плоском растяжении и изгибе пластин. // Прикладная механика (перевод Трудов Aмериканскoгo общества инженеров-механиков). 1962. Т29-Е. №2. C101-10S.

Саврук M.П. Коэффициенты интенсивности напряжений в телах с трещинами. Mеханика разрушения. Т.2. Киев. Наукова Думка. 1088. 620 с.

Бартенев T.M. Состояние и перспективы развития физической теории хрупкой прочности полимеров. // Mеханика полимеров. 1966. № 5. С.700-721.

Карташов ЭМ. Энергетическая проблема Гриффита для хрупких полимеров // Инженерно-физический журнал. 2007. Т.80. №1. С.156-165.

Финкель В.М. Физические основы торможения разрушения. М.: Металлургия. 1977. 360 с.

Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. М.: Высшая школа. 2001. 540 с.

Карташов Э.М., Кудинов В.А. Аналитические методы теории теплопроводности и ее приложений. М.: URSS. 2017. 1080 с.

Бартенев Г.М., Зеленев Ю.В. Релаксационные явления в полимерах. Л.: Химия. 1972. 376 с.

Карташов Э.М. Модельные представления теплового удара в динамической термоупругости // Российский технологический журнал. 2020. Т.8. №2. С. 85-108.

Карташов Э.М. Оригиналы операционных изображений для обобщенных задач нестационарной теплопроводности // Тонкие химические технологии. 2019. Т.14. №4. С.77-86.