Кинетическое уравнение для плотных газов с учетом сил притяжения между молекулами Текст научной статьи по специальности «Математика»

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

ТомИ 197 1

№ 5

УДК 530.10

КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ПЛОТНЫХ ГАЗОВ С УЧЕТОМ СИЛ ПРИТЯЖЕНИЯ МЕЖДУ МОЛЕКУЛАМИ

Л. А. Пальцев

В работах Н. Н. Боголюбова [1], [2] был предложен метод построения кинетического уравнения для плотных газов и выведено такое уравнение при допущении, что потенциальная функция межмо-лекулярного взаимодействия монотонно убывает с расстоянием. Там же было указано, что, не предпринимая существенных видоизменений метода, можно построить кинетическое уравнение и для случая реальных потенциалов взаимодействия, т. е. когда межмолекулярное взаимодействие описывается потенциальной функцией вида

Ф (г) = Ф(0> (/■) + £<); (г).

В статье методом Н. Н. Боголюбова выводится кинетическое уравнение для одноатомных газов с указанной функцией межмолеку-лярного взаимодействия. Получены выражения для интегралов парных и тройных столкновений. Показано, что интеграл парных столкновений совпадает с интегралом столкновений Н. Н. Боголюбова, если в последнем динамика взаимодействия между молекулами описывается с учетом сил притяжения. В предельном случае статистического равновесия для двухчастичной функции распределения получено майеровское разложение, известное в равновесной теории.

1. Рассмотрим пространственно неоднородный одноатомный газ, имеющий в среднем в единице объема п молекул массы т.

Пусть и р} — координата и импульс у'-й молекулы и взаимодействие между молекулами описывается потенциальной функцией Ф Щ) = Ф (| г, - |).

Как известно [1], [2], состояние такой молекулярной системы определяется полной совокупностью в-частичных функций распределения Р8(хг ... х3, г), я = 1, 2, 3. . . . и Х; = (г]} /?Д которые удовлетворяют системе зацепляющихся уравнений

-^■+И^Ря(х1 ■ ■ - ха, *)=■—«£/■ ■•**+!.0^+1 (1Л)

4—Ученые записки № 5

49

и условиям нормировки

Fs(x 1 . . . Л^, t) = lim V*1 \dxs+iFs+i(xl . . . xi+i, t),

V-*oa J

1 = lim V~x f dx- Fx (хъ t)\

V~co ^

здесь

Я, = К, + ®,:

¡=i m dri i<j dr ц dp i dpj

dxt = dr[ dp i, 7l) = 7i — rj.

Рассмотрим случай, когда Ф(/у) можно представить в виде

ф (ij)=ф<0) m+fbm

где Ф<°> — потенциальная функция сил отталкивания, ф — сил притяжения. Параметр е характеризует отношение интенсивности потенциала в зоне притяжения к средней кинетической энергии молекул. В газах при нормальных условиях е обычно мало.

Следуя Н. Н. Боголюбову, будем искать частные решения системы уравнений (1.1) в виде

Fs(x1...xs,t) = Fs(x1...xJF1) (1.2)

при s = 2, 3 . . ., где зависимость F1 от времени t определяется из кинетического уравнения

— F^x-, 0^А(х/Рг), (1.3)

т. е. рассмотрим только такие решения, когда многочастичные функции распределения зависят от времени функциональным образом через одночастичную функцию распределения, эволюция которой во времени определяется кинетическим уравнением.

Кроме того, потребуем, следуя [1], чтобы Fs при s> 2 вдоль динамических траекторий, связанных только с силами отталкивания, удовлетворяли условиям ослабления корреляций в виде

ехр (- нт х) {F, (*, ...XS\FX (X)) - П Л (*1. *)} - 0. (I-4)

¿ = 1

т —» оо ,

где М0) = К, + ФГ ; /ч (х„ х) = ехр (К, (i) т) F, (xit t).

Неизвестные функционалы Fs и А в случае газа, когда параметр разреженности пг% мал (г0 — радиус межмолекулярных сил), можно искать в виде

Ft = F°s + nFl + n*Fs -f . . ■ (s = 2, 3, . . .); (1.5)

A = A0 tiAi -j- n} A2 -j~ • • • 0-6)

Фактически разложение в ряды ведется по параметру разреженности [1], [2].

Подставляя (1.5) в первое уравнение системы (1.1) при 5=1 и учитывая (1.6), получим следующие выражения для коэффициентов разложения функционала А в ряд по параметру разреженности:

Ao(x1IFi) = --£-4~F1(x1, t), т дгг

(*i/^i) = - j Фи 2 F*-» (хх xJFJ dx2 (k = 1, 2, . . .).

(1.7)

Согласно (1.2) производную по времени многочастичной функции распределения можно представить в виде

— Г в (Fs) dFx (х, t) ^ — г bFs A (xlF )dx (18)

dt—]bFi(x,t) dt ax-} hF^x, t) A{xltl)ax’

где при вычислении функциональной производной используется условие

8 (а) — трехмерная дельта-функция Дирака.

Подставляя (1.5) в (1.1) и (1.4) и учитывая (1.8), получим следующую реккурентную систему уравнений для коэффициентов разложения многочастичных функций распределения:

§ J -8f?8f,u;o|fl) WFJ dx - - н■ F-(x' ■ ■ ■ ^ ~

m+1—к

s

— £ j Ф/, s+1 Fs+\ (*i • • • xs+i IFJ dxs+1, (1.9)

/=i

* граничные условия“ для которой имеют вид

S

ехр (— His)x){F°s{x1 . . . I Z7! (т)) — т)} ^0 (т^оо); (1.10)

i~ 1

exp (- М0)х) Fks [хг...х,\ F, (т))-0(х-оо; k=l, 2,.. .;s=2, 3,. ..). (1.11)

Таким образом, задача построения кинетического уравнения (1.3) с учетом представления (1.7) сводится к решению системы функциональных уравнений (1.9) при условиях (1.10) и (1.11).

2. Рассмотрим нулевое приближение по пг% для многочастичных функций распределения. Зная из (1.7) определим и, следовательно, получим кинетическое уравнение в приближении парных столкновений.

Заменим в (1.9) функциональный аргумент F1(xi, t) на F1(xi, т). Учитывая определение А0 (1.7), получим, что

8F° (х, . . . xs\ Ft (т)) д

8F,(x, !) = —(2.1)

I

Тогда решение системы уравнений (1.9) при ¿ = 0 и s=2, 3,... можно записать в виде

F® (Хг ... xs | FJ = exp (- Hf> x)F°, {x, . . . xs\ Ft (x)) -

-ejexpi-^x,)^^^ • • (2-2)

о

где ^ = ¿¿4»,;.

I <j

Следуя [1], выполним в (2.2) предельный переход х-*оо. Тогда, учитывая (1.10), получим

S

F°s(Xl . . . A:i|/7J) = A°L(1 - 5)П F^Xj, t) ~

где

-g]exp(-Hfix)^sF^{xi . . . ха\Л(х))йх,

О

.s) = \im/°l(l ...s), I

Т-*00 I

У(Л (1... s) = exp (- tfj0) X) exp (Ks X). J

(2.3)

(2.4)

Решения интегральных уравнений (2.3) можно представить в виде бесконечных рядов по е

/=?(■*. • • • ■*, IЪ) = [ 1 ■+ £ «* Г (Зк I 00) ] л (1 ... «) П Л (*у, *). (2.5>

■ ' 7=1

*=1

где

Г (sk | оо) = lim Г (sk | х),

Т-*00

Г (sk | х) = ( 1)* j ф, (х,) rfXj j (x2) dx2 . . . J ф4 (x*) dxk,

0 TI '-k-l

<!>s (x) = exp (— M0) ^) tv exp (M0) T).

(2.6)

При записи в виде (2.5) использовали следующее операторское соотношение:

Л (1 • ■. S) exp (Ks X) = ехр (М0) X) (1 ... s).

Покажем, что (2.5) можно представить в виде

F°s(x,...xs\Fi)^J-oa(l...s) П Fi(xf, t),

(2.7)

где У_оо(1 . . . s) получается из iiL(l . . . s) (2.4) заменой М0) на Hs.

Для этого представим оператор У_т (I ... s) следующим образом:

J-r (1 ...s) = exp (- Я <°> X) Bs (X) exp (Ks X). (2.8)

Продифференцировав (2.8) по х, получим для оператора В3(х) уравнение

Переходя в (2.10) к пределу х-»оо и сравнивая полученное выражение с правой частью (2.4), получим, что действительно можно представить в виде (2.5).

Подставляя (2.5) в (1.6), получим следующее выражение для интеграла парных столкновений:

Таким образом, интеграл парных столкновений аналогичен интегралу столкновений Н. Н. Боголюбова [1], [2] при замене J-«¡ (12) на (12). Однако (2.11) учитывает и возможные связанные двухчастичные состояния.

3. Перейдем к определению первого приближения по пг\ для многочастичных функций распределения. Зная из (1.7) определим А2 и, следовательно, получим кинетическое уравнение с учетом тройных столкновений.

Произведем в (1.9) при к=\ замену функционального аргумента, как и в случае к = 0.

В результате система функциональных уравнений сведется к системе дифференциальных уравнений. Решение полученной системы уравнений можно записать в виде

~ В, (х) = - £Ф,(- *) Ва (х).

Так как 5^(0)= 1, то имеем

(2.9)

о

Решение уравнения (2.9) можно представить в виде

Тогда из (2.8) следует, что

00

(1 . . . в) - [ 1 + 2 е*г (*А | Т) ] /л ( 1 . . . 5). (2.10)

А (*11 ^і) = — ^ Фі. 2 -/-00 (12) Т3-, (х„ і) Рі (х2, Є)(ІХ2. (2.11)

/^(.х, . . .х,|/7і) = ехр (— яГх)/^*, . . . х,!/7! (х)) -

т

С ехр (- /40) X) [вф, (*, . . . X, I/7! (*,)) + 2Л1 . . . 5 | Т7, (X,))] (3.1)

о

где

5

+ £ j (Ф^л+і + ефу, «+1) (-*1 • • • ^і+і | Рі) (ІХй+і. (3.2)

Переходя в правой части (3.1) к пределу т ->оо и учитывая (1.11), получим

Fl (Xl... xs | FJ = - / exp (- M0) x) [Q,( 1 . . . s | F, (x)) +

0

+ e<|», Fl (x, . . . xs\ Ft (t))] d*. (3.3)

Решение интегрального уравнения (3.3) можно представить в виде бесконечного ряда по е:

F\(Xl . . .xs\/71) = - [ exp(-M°4)2s(l • • -s| ^(т)) rfx —

6

00 со

— £ S* r (sk 1 °°) J еХР ^0) ) 2Л1 • • • S l^j (Х*+1 )) rfx* + l ’ (3-4)

/г=1

где Г (sk | оо) определяются соотношениями (2.6).

Учитывая (2.10), (3.4) можно записать в виде

7^.. .*,|/ч) = - Jexp (-Hst)Qs(\...s\Fl(,))dx-

О

00

- £ е* {Г (s* I оо) J* dx — Г dxT (sk I Т)| exp (— м0) X)Q,(1... s|f, (*)). (3.5)

*=i 8

Из (3.5) следует, что в общем случае в первом порядке по параметру разреженности Fs(xx . . . ArJFj) нельзя представить в виде, аналогичном полученному Н. Н. Боголюбовым, как это имело место в нулевом приближении.

Подставляя (3.5) в (1.7) при k = 2, получим интеграл столкновений во втором порядке по параметру разреженности — интеграл тройных столкновений:

А2 (-*i|fi) = — / ф1,2 F\ (хг х2\Ft) dx2.

Совершенно аналогично можно выписать высшие приближения для многочастичных функций распределения и интеграла столкновений.

4. Покажем, что в случае статистического равновесия, когда

$Р\

F1 (я,) = а ехр

2т

здесь а — нормировочная константа, р = (¿7) \ Т — температура и ¿ — постоянная Больцмана, для и Р\, определяемых соотношениями (2.5) и (3.4) соответственно, получим известные выражения равновесной теории [1].

Учитывая соотношение

Л.(1... оехр (- і І "?) - е*Р [- е £ (24 + І »!?/>

\ У=1 / 1 j=l ' ¿</

а также представление оператора Л(1 ... в) (2.10), можно показать, что

( 5 Г / г»^ 5 \ “М

“ ......................• (4.1)

F°s(xі . . . jc,) = fl*exp f - р 2 + £ ) (ф(?/) + еФ<г/))

і у=1 L\ к/>

Далее из (4.1) имеем Н2Г° = 0 и, следовательно, Л, (^Z7;) = 0. Тогда для 22(12) из (3.2) получим

22(12) = — Н2В(\2), (4.2)

где

5(12) = а® ехр (— ß Д) ¡dqf(\q\)f(\q- г211);

Д = -^^ + Ф<°>(12) + еф(12);

/( I Г I) = ехр {— ß [ф(°» (I Г |) + еф (I г |)]} - 1.

С учетом (4.2) из (3.4) имеем для F\ следующее выражение:

F* (*, *,) = J ехр (- Я<°> х) Н2 В (12) dx +

О

+ £ е* г (2 А1 оо) J ехр (- М0) t*+i) Я2 ß (12)<ix*+1. (4.3)

Ä=1 Zk

Так как

- ехр (— М0) х) Я10) = ехр (— М0) *) и lim ехр (-М0) 's) 5 (12) = О,

ul Z-+QO

формулу (4.3) можно частично проинтегрировать not и xft+1 и представить в виде

Рз(х1 Jtr2) = i5 (12) + s J exp (— M0) x)«j*li25(12)iix +

0

+ £ E* Г (2 k I °°) iexp ^0) x*) +8 j exP H<2°} 4+1) +1*2 ^H-i) B O2).

*=1

Легко видеть, учитывая определение операторов Г(2£|оо) (2.6), что

£ е*Г(2А|оо)ехр(—/^°>т)Я(12)+ £ s*+i Г (2 & | оо) X

А=2 fc = l

X J ехр (— м0) ^A+i) <l»i, 2 ß (12) dxft+i = О

и, следовательно,

F\ (*, х2) == ехр (- ß//2) / d?/( | q I)/(| ? — r211). (4.4)

Таким образом, для двухчастичной функции распределения в нулевом (4.1) и в первом (4.4) приближении по параметру разреженности получили известные выражения равновесной теории [1].

В заключение автор выражает благодарность академику В. В. Струминскому за помощь в работе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Боголюбов H. Н. Проблемы динамической теории в статистической физике. М.—Л., Гостехиздат, 1946.

2. Боголюбов H. Н. Кинетические уравнения. ЖЭТФ, т. 16, вып. 8, 1946.

Рукопись поступила 26jXII 1969 г.