Кинетическое описание импульсной сверхзвуковой струи, истекающей в вакуум. I. одноатомные газы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 333.6.6.011

КИНЕТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ИМПУЛЬСНОЙ СВЕРХЗВУКОВОЙ СТРУИ, ИСТЕКАЮЩЕЙ В ВАКУУМ. I. ОДНОАТОМНЫЕ ГАЗЫ

А.В. Лазарев, Н.Н. Застенкер, Д.Н. Трубников, К.А. Татаренко, А.В. Прибытков

(кафедра физической химии; e-mail: [email protected])

В 13-моментном приближении метода Грэда решено уравнение Больцмана для сверхзвуковой импульсной струи одноатомного газа, расширяющейся в вакуум. Получены поправки к макропараметрам струи, связанные с конечностью числа Кнудсена источника. Выполнены конкретные расчеты для некоторых модельных ситуаций.

Импульсные сверхзвуковые струи обладают рядом очевидных преимуществ по сравнению с непрерывными [1]: для их получения не требуется мощных вакуумных систем, что делает их высокоэкономичными; они дают возможность получать параметры газового потока (высокая мгновенная плотность, расход газа при небольших скоростях откачки), недостижимые в непрерывных струях. Это делает перспективным применение импульсных струй в ряде исследовательских (изучение динамики столкновений частиц друг с другом, с поверхностью, релаксации в струях, молекулярная спектроскопия и т.д.) и прикладных (напыление пленок и др.) задач. Однако их использование затруднено вследствие нестационарного поведения параметров, что осложняет, а порой делает невозможной, интерпретацию результатов экспериментов с ними. В связи с этим представляет интерес моделирование процесса импульсного истечения газов и их смесей из звуковых сопел.

В работе [2] был развит кинетический подход к задаче об импульсном истечении струи из сверхзвукового сопла, основанный на решении уравнения Больцмана методом Грэда в 13-моментном приближении. Асимптотический анализ позволил получить аналитические выражения для макропараметров струи во внешней области: плотности п0, средней скорости и0 и температуры Т0 в нулевом приближении в пределе малых чисел Кнудсена Кп5 источника (теоретический предел Кп5 = 0). Представляет интерес оценка вклада в макропараметры струи членов первого приближения, учитывающих конечность числа Кнудсена источника. Ранее [3] такой подход использовался для уравнения Больц-мана с модельным интегралом столкновений. Кон-

кретные оценки были выполнены для моделей взаимодействия твердых сфер и максвелловских молекул. В работе [4] было показано, что при условиях, обычных для экспериментов с молекулярными пучками (р ° <10 атм и Т0 <1000 К), доминирующая роль в столкновениях принадлежит ветви притяжения потенциала взаимодействия. С учетом потенциальной ямы вклад в частоту столкновений, не превышает 1%, что позволяет ограничиться при построении модели ветвью притяжения потенциала Леннарда-Джонса.

Целью настоящей работы является развитие модели истечения в вакуум импульсной сверхзвуковой струи [2] — решение уравнения Больцмана в первом приближении, позволяющее определить границы применимости модели при варьировании условий в источнике.

Модель

Рассматривается следующая модель течения: газ из камеры, в которой поддерживается давление р 00 и температура Т через сопло диаметром d за время работы клапана т0 истекает в область пониженного давления. Вблизи сопла формируется газовый пакет, который с некоторой скоростью движется в сторону детектора. Обычные в эксперименте давления обеспечивают континуальный режим на расстоянии нескольких d от источника, поэтому можно считать, что центр тяжести газового потока движется с предельной скоростью

ипр = (5ЯТ 0)1/2,

где Я = к/т, к — постоянная Больцмана, т — масса атома. Течение при этом можно рассматривать как сферически-симметричное от точечного источника, связанного с центром масс газового пакета.

Запишем уравнение Больцмана для нестационарного сферически-симметричного расширения в вакуум в безразмерном виде:

д/ ,г \,д/ ди дА ди д/ д/ дг дг д- д/ д-

р^ д/-Р(и+ -) д/ = г д- г др ^

(1)

Здесь 1=1 (/(-')/(-1)-А-У(-1))М#, -

интеграл столкновений, /(-) и /(-') — функции распределения частиц по скоростям до и после столкновения, ^ — относительная скорость сталкивающихся частиц, % ) — дифференциальное сечение рассеяния, ¿И = % и ю — углы рассеяния, и — средняя скорость газа, t — время. Введены сферические координаты в физическом пространстве Г = (г, ф) и цилиндрические координаты в пространстве скоростей - = (-, р, е)• Обезразмеривание проводилось со следующими масштабами. Масштаб расстояния вводился таким образом. За время т0 в пространство истекает масса газа т0, связанная с условиями в источнике и временем т0 [5]:

„0 9 (А)1/2 °

0 64 3 0 04 о'

Далее вблизи сопла выбиралась точка г, где поток еще континуальный, но уже обладает сферической симметрией. Тогда в этой точке можно рассчитать числовую плотность п,, = п (г) и температуру Т = Т (г,) по обычным соотношениям континуальной теории [6]:

Т = Т0(1 + -1; п = По0(1 + 1 -3/2.

При этом число Маха М5 можно вычислить по одной из эмпирических зависимостей М,, = М(г,), например по формуле Шермана [7]:

М(у) = у — 2/у; у = 3,26(г^ - 0,075)2/3.

Затем по плотности п, определялся начальный размер газового облака Л,, который и был выбран в качестве масштаба расстояния:

„ г 27 ,5ч1/2 ,, . 1 ,,2чз/2 ,2, „.701/2,1/3 = т0(1 + уЛ (^Т0У ] ■

Далее в качестве масштабов были определены: Я!1 /(ЛТ )1/2 — для времени, Т, — для температуры, п8 — для плотности и (Л Т,)1/2 — для скорости. В этом случае число Кнудсена источника записывается как

где 0п(2) — эффективное сечение второго порядка, имеющее для ветви притяжения — 4е(а/г)п потенциала Леннарда—Джонса следующий вид [8]:

= еп(4ео6)2/пя"4/п , где еп — функция п.

В 13-моментном приближении метода Грэда, которое будет использовано для решения уравнения Больцмана (1), функция распределения представляется в виде [9]:

/ = А [1 + -^Ц-(2-2 - Р2) + -(-2 + Р2 - 5Т)], (2) 4пТ2 5пТ

/0 = п(2пТ)-3/2 ехр(- ^2+Тр2 )■

Появляющиеся в (2) моменты функции распределения — макропараметры течения: числовая плотность

п = / /ё^, = р ф ёЬ, ёг, средняя скорость

и=1 / (ь+и

Кп8 = [Я^Ч^Щ) ]-1 ,

п

кинетическая температура и давление

Т = ±- / (Ь 2 + р2)/ё 4 р = пТ, 3п

тензор напряжений

П||= / (3 Ь2 - -3 р2) / 1

тепловой поток

д = / Ь(Ь 2+ Р 2/ I-Выбор функции /0 обусловлен тем, что она является хорошим приближением к реальной функции распределения в струе при не очень больших степенях неравновесности.

Система моментных уравнений во внутренней области и ее решение

Для получения системы моментных уравнений уравнение (1) умножается на 1, -, 1/2(-2+р2), (2/3-2 —1/3 р2), 1/2-(-2+р2—57) и с учетом того, что функция распределения представима в виде (2), интегрируется по всему пространству скоростей.

При достаточно больших давлениях в источнике число Кнудсена Кп5 является малым параметром, и поэтому естественно во внутренней области (вблизи источника) решение системы моментных уравнений искать в виде разложения по этому параметру:

Г г) = Г0 (^ г) + КпБ Г! (^ г). (3)

В нулевом приближении получаем систему уравнений:

dn0 1 d

dt r2 dr v 00

( п0и0 r 2) = 0,

ди0

-+и

ди0 + 1 d dr n0 dr

^+u2 d (r X)+2 To r^ = 0.

(nT0) = 0,

d u

dt r dr

dr r

В пределе больших времен t для параметров п0, и0 и Т0 имеем следующее асимптотическое поведение:

П0 = g+§ g ""to 'Я"1 + ; t 6

1 , 5 ' -1/3 1

U0 = Я + Т gg "Г,

" . 2 '2 ч1

ï + T g )"?'

T =■ Â0

t2

+5 g -z/3(2gg 'я-1+gg ч г g '2) i

где B1, C1 и D — функции X и не приводятся здесь из-за громоздкого вида (см. [10]); B2, C2 и D2 — неопределенные функции X.

Анализ полученного решения, а именно, сравнение соответствующих членов в Г0 и Г1 показывает, что- при некоторых временах и соответственно на

(4) некоторых расстояниях сходимость разложения (3) во внутренней области нарушается (неравномерная пригодность). Продвижение в область больших времен и расстояний требует выделения внешней области и перемасштабирования переменных. Легко показать [10], что для потенциала Леннарда—Джонса во внешней области дрейфовые члены, а также интеграл столкновений уравнения Больцмана (1) будут одного порядка при t = O(Kn~a), X = r/t = O(1), a = 1/(4 — 2ю), что и определяет размер внутренней области и способ перемасштабирования перемен-

(5) ных во внешней области.

где g = g(X) — неопределенная пока функция X = r/t, определяемая начальными и граничными условиями для (3). Решение (4) — континуальное и соответствует, следовательно, бесконечно большому давлению в источнике (Kns — 0). Для определения поправок к плотности, средней скорости и температуре, связанных с конечностью числа Кнудсена, следует решить систему моментных уравнений в первом приближении

Система моментных уравнений во внешней области и ее решение

Определим внешние переменные следующим образом:

а внешн

tBHyi Kn/', r

внут ту- -3а внешн

n Kns , u

Knsa,

-г внешн _ y7 внут j-^ -2а

u

-а

= Tвнут Kn~ , p = Kl*, ф = pKns-a.

Уравнение Больцмана в новых переменных принимает вид (индексы опущены):

duj

dn, 1 d r. . 2П n

—1 + — — [(n0u1 + n1u0)r ] = 0 dt r dr

du n dn

n0 —1---- T0 —- + n0u0--г

dt n0 dr dr

, du0 d T dn

+ n0ui~Z~ + V (n0T1) + T0 = dr dr dr

= 4t;

d 4 d

d u

(—) T'r—(-0-)]

dr r 3 dr

dr r

§+u- ddr (r 2t.)+41- (r T,)+

dt r dr r dr

+3 t 1 ( ^ - 3 rT d- (=

3 dr r 3 dr r

=15 r- n0l — (r Ta—)+8 T^ [A (^)] 12 dr dr 9 n0 dr r

'0 M2

df df du df uф df „ а df ,du du.

— + u——p-------—— Knа — (— + u—) +

dt dr dr dp r dф dp dt dr

^ а df ф2 df pфdf\ r +Knsа (p —+ -—= I. dr r dp r dф

(7)

Функцию распределения (решение уравнения (7) во внешней области) следует искать в виде:

I = /0 + кп^ + ... Тогда моменты функции распределения будут иметь вид:

Г = Г0 + Кп^Г, + ...

Граничными условиями для моментов будет внешний предел внутренних разложений (5) в новом масштабе:

где ю = 1/2 + 2/п. Асимптотическое решение этой системы уравнений имеет следующий вид:

п1 = Бу t + В2 t ,

U = Cl t 2m + C2 t 2, T1 = D1 Г2т + D2 Г2,

n = g + Kn2; 5g-1/3 (2ggЯ"1 + gg' + 3g/2)1 6 3

t

t

u = Я + Kn2а 5g-1/3g' 1

2/3 г 9 1

T = + Kn2; 9g~2/3(2gg'Я-1 + gg' + 3g'2) t (8)

внешн

внут

внешн

n

Система уравнений моментов во внешней области в нулевом приближении имеет следующий вид:

дп0 1 д , 2ч л

37+—^Кио г2) = 0, дt г дг

ди0 ди0 —- + и0—0 дг дг

дТ0 и0 д

= 0,

д и

+^-00г2) +- т>Г— (-0-) = 0

дг г дг

дг г

При этом для Т1 получается обыкновенное дифференциальное уравнение

дТ 2Т 2 , да, _ д^ 2 — + —+ -8 '(— + 2—)г2 + дг г 35 ^дЯ Я

,20

+(17 8

20 / 1/3 1 _1 , 10 ' 1/3 ч 1 п —88 Я +—88 )— =0

(11)

Решение этого уравнения при t ^ 0 и сшивание с (8) задает граничное условие:

и легко интегрируется:

п0 = ш/^, и0 = Я, Т = я2/3/Л

(9)

Для определения первых поправок к плотности, скорости и температуре необходимо решить систему моментных уравнений во внешней области в первом приближении:

дп д

+ — (п0и1 + п1и0) + 2(п0и1 + п1и0) / г = 0,

ди. ди0 ди. 1 др0

—1 + и1—0 + и0—1 +--— = 0,

дг дг дг п0 дг

п0^Г + п0и1г"Г"(Т0г2) + п0и0г_2 ^Г(Тг2 ) +

К

дг

дг

д и

дг

1 68

п =

(2дд' Я-

, . 2

1

+ Т8 )"Т>

5 / -1/3 1

и1 = 3 8 8 тт,

а1 =_ ^ 84/38' ехр( А) А-Г(а, ^)

34'

где А = 3 а8 3

г1

гт 5 -2/3/л '1-1, № ■ 2 '2\ 1 ■

Т1 = 98 (288 Я + 88 + 38 )^ +

, 5 ^/О 4-1 , ' , 2ю-1 '2 -К 1

+6ГЮ)8 3 (28 Я +8 8 8)?=-■

(12)

+ ^ (Р1 +П|1)^ (—) + 3 дг г

2 д щ 2 -2 д , 2

+ Т(—) + ог —(д1г ) = 0,

3 дг г 3 дг

да д , , 14 -1 11 ди0 5 д ,

— + — (и0 д1) + — дхщ г + —41 — + -—(п0Т0) -дг дг 5 5 дг 2 дг

- 5 Т> ^+3 п0дТ01-ю= 0.

2 дг 3

Полученная система уравнений легко упрощается. Уравнения для п1, и1 и интегрируются аналитически и после сшивания полученных решений с (8) имеем:

(10)

Теперь (11) может быть решено численно с граничным условием (12).

Результаты и обсуждение

Прежде чем приступить к конкретным вычислениям, нужно определить вид функции ш = ш(Я). В [11] рассматривалась автомодельная задача о расширении в вакуум газового шара заданной массы. При больших временах макропараметры газа имеют такое же асимптотическое поведение (при t ^ как и в нашей задаче. Это позволяет определить ш как ш(Я) = 3 3/2(1 — Я2/3)3/2. В общем случае система моментных уравнений во внешней области имеет аналитическое решение для п0, и0, Т0, п1, и1 и а Т1 удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению (11) с граничным условием (12), которое может быть решено численно. Проанализируем асимптотическое поведение данных параметров при больших t• Согласно (9) и (10) имеем:

1

1

п = 5 (1 --Я2)3/2^ +

+ Кп]а |5-5/2(1 -1 Я2)(|Я2 -1) 1 и = Я- Кп2"— Я 1

' 25" г2' 1

5 4 5'

Т0 = 1(1 -1 Я2)1

г

Для анализа поведения Т1 нужно сначала рассмотреть поведение д1. Из выражения (10) видно, что ~ 1/t6 при t ^ Тогда из уравнения (11) для T1 можно получить, что при t ^ ^

5-2ю

Рис. 1. Плотность в зависимости от расстояния от сопла для различных моментов времени при Kns = 10 3

Рис. 2. Плотность в зависимости от времени для

различных расстояний от сопла при Кп3

10

Т1 = C(Я)/t , причем значение С (Я) может быть определено численно. Таким образом, подтверждается вывод [3] о том, что при нестационарном расширении в вакуум температура не "замораживается", а падает как 1/t2.

Результаты численных расчетов представлены на рис. 1—4 в лабораторной системе координат в соответствии с преобразованием г = к — ипрА, £ — расстояние на оси распространения пучка от среза сопла. Для температуры в источнике Т 0 = 300 К безразмерное ипр = 7,49. Отсчет времени Ь = 0 соответствует моменту прекращения действия импульсного сопла. На рис. 1 показано поведение плотности в зависимости от расстояния от сопла в различные моменты времени при КпБ = 10—3, а на рис. 2, наоборот, — в зависимости от времени для различных расстояний от сопла. Видно, что с течением времени происходит рассеяние газового пакета, воз-

растают его размеры, уменьшается плотность в ядре пакета. Кривые плотности на рис. 2 асимметричны, что связано с различными временами пролета молекул, находящихся в областях "переднего" и "заднего" фронтов пакета, от сопла до данной точки.

На рис. 3, 4 представлены изменения температуры в нулевом Т0 (сплошные кривые) и первом Т1 (штриховые кривые) приближениях для чисел Кнуд-сена источника 10—2 и 10—3 соответственно. Видно, что с уменьшением Кп5 вклад поправок от первого приближения Т уменьшается.

Таким образом, в работе построена кинетическая модель расширения в вакуум сверхзвуковой импульсной струи одноатомного газа. Получены уравнения для параметров струи (нулевое приближение), удобные для описания экспериментов со струями. Получены поправки к параметрам, связанные с ко-

Рис. 3. Температура в нулевом (сплошные кривые) и первом (штриховые кривые) приближениях в зависимости от расстояния от сопла для различных моментов времени при Кп3 = 10 2

Рис. 4. Температура в нулевом (сплошные кривые) и первом (штриховые кривые) приближениях в зависимости от расстояния от сопла для различных моментов

времени при Кп, = 10

—3

нечностью давления в источнике. Решения уравнений для поправок в каждом конкретном случае (температура и давление в сопле, его диаметр и параметры потенциала взаимодействия газа) позволяют судить о возможности использования модели. Так, например, для импульсной струи аргона при времени действия сопла т0 = 50 цс, T 0 = 300 К и диаметре сопла d = 0,05 см можно использовать нулевое приближение с ошибкой не более 4%, если

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Чекмарев С.Ф. Импульсные течения газа в сверхзвуко-

вых соплах и струях. Новосибирск, 1990.

2. Колосова Т.Ю., Лазарев A.B., Трубников Д.Н. // Вестн.

Моск. ун-та. Сер. 2. Химия. 1990. 31. С. 133.

3. Гранди A, Томас C. // Ракетная техника и космонавти-

ка. 1969. 7. С. 210.

4. Лазарев A.B., Застенкер H.H., Трубников Д.Н. //Вестн.

Моск. ун-та. Сер. 2. Химия. 2004. 45. С. 177.

5. Пирумов У.Г., Росляков Г.С. Течение газа в соплах. М.,

1978. С. 121.

давление в источнике не меньше 2,5 атм. Отметим, что, как и в случае непрерывных струй, выражение для предельной температуры

TM (t )=43+KnT

t2 t2

может оказаться полезным для получения информации о потенциале взаимодействия из экспериментов с импульсными пучками.

6. Липпман Г.В., Рошко А. Элементы газовой динамики.

М., 1960. С. 71.

7. Ashkenas Y., Sherman S.F. Proc. 4th Int. Symp. on Rarefied

Gas Dynamics. N. Y., 1966. 2. P. 84.

8. Кулезнев Е.В., Лазарев А.В., Трубников Д.Н. //Вестн.

Моск. ун-та. Сер. 2. Химия. 1987. 28. С. 118.

9. Жданов В.М. Явления переноса в многокомпонентной

плазме. М., 1982. С. 33.

10. Колосова Т.Ю. Дис. ... канд. хим. наук. М., 1990.

11. Майрелс X., Муллен Дж.Р. // Ракетная техника и космонавтика. 1963. 1. С. 65.

Поступила в редакцию 23.06.05

KINETIC DESCRIPTION OF PULSED SUPERSONIC CURRENT EXHAUSTING INTO VACUUM. I. MONATOMIC GAS

A.V. Lazarev, N.N. Zastenker, D.N.Trubnikov, K.A. Tatarenko, A.V. Pribytkov

(Division of Physical Chemistry)

The Boltzmann equation for supersonic impulse jet of a monoatomic gas expanding into vacuum has been solved with the use of the 13 moment approximation of the Grad method. The corrections to the jet parameters were obtained, which are due to the finiteness of the Knudsen number of source. The calculations were made for some model situations.