Кинематика и геометрия несоосных эпициклических механизмов Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 621.01 Синенко Евгений Григорьевич,

к. т. н., профессор кафедры «Прикладная механика», Сибирский федеральный университет Конищева Ольга Васильевна, к. т. н., доцент кафедры «Прикладная механика», Сибирский федеральный университет,

т. (391) 24-97-590, e-mail: olgakon13@mail.ru

КИНЕМАТИКА И ГЕОМЕТРИЯ НЕСООСНЫХ ЭПИЦИКЛИЧЕСКИХ МЕХАНИЗМОВ

E.G. Sinenko, O.V. Konishcheva

KINEMATICS AND GEOMETRY OF MISALIGNMENT EPICYCLICAL MECHANISMS

Аннотация. Рассматриваются особенности эпициклического несоосного механизма, оси центральных колёс которого смещены на заданный эксцентриситет. Получены четыре схемы механизмов с различными кинематическими возможностями и со сложным плоским вращательным движением их выходных звеньев.

Ключевые слова: механизм, передаточное отношение, колёса, эксцентриситет, угловая скорость.

Abstract. Features of the epicyclical misalignment mechanism are considered, axes of their central tooth gears are displaced on set eccentricity. Four schemes of mechanisms with various kinematic possibilities and with a complex plane rotary motion of their output links are received.

Keywords: mechanism, transfer relation, tooth gears, eccentricity, angular speed.

При выполнении некоторых технологических процессов (полирование, шлифование, перемешивание и др.) для воспроизведения заданной траектории движения рабочего инструмента применяются комбинированные механизмы либо механизмы, вращательное движение в которых снимается с сателлитов планетарных редукторов, а одно из центральных колёс неподвижно. Число степеней свободы таких механизмов W = 1.

Ниже рассмотрим особенности схемы планетарного механизма, в котором центральные колёса несоосны за счёт применения сателлитов различных диаметров [1] (рис. 1).

Ось водила этого механизма может совпадать с осью центрального колеса 4, с осью колеса 1, либо находиться на оси симметрии в пределах эксцентриситета. Механизм состоит из центрального колеса 1, сателлитов 2,3 и 5, водила H и центрального колеса 4 внутреннего зацепления. Отличительная особенность этой схемы от тради-

ционнои схемы планетарного редуктора состоит в том, что колёса 1 и 4 несоосны за счёт применения сателлитов разного диаметра. Вообще, в редукторе может быть два, три, пять и более сателлитов, но для кинематического исследования рассмотрим схему с двумя сателлитами (рис. 2, а), т. к. на кинематику их количество не влияет [2].

На схеме (рис. 2, а) неподвижное колесо 1 и водило H соосны, тогда колесо 4 будет совершать сложное плоское движение. Так как механизм исследуется при произвольном положении сателлитов 2 и 3, то можно сделать вывод: в процессе работы ось вращения O4 колеса 4 перемещается по окружности радиуса г4 = г2 - г3 . Здесь г2 и г3 -радиусы делительных окружностеи сателлитов [3].

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

V

ОС = ^ ю

4

(н) = ю4 -юн

(1)

,(Н )

где и41 - передаточное отношение от четвертого

колеса к первому при остановленном водиле; ш1; ю4, юН - угловые скорости первого, четвертого колес и водила соответственно.

Так как ю1 = 0, то формула перепишется как

(Н) = _ ю4 М1 _

ю

+1,

Н

или передаточное отношение и4Н определится как

и 4Н = 1 и41 ) = 1 +

41

(2)

где г и г4 - числа зубьев первого и четвертого колес.

Если ведущим звеном будет водило Н, то имеем

= г 4

иН 4 = . (3)

+ г4 (3)

Найдем положение мгновенного центра скоростей О4 . Из плана (рис. 2, б) видно, что

В свою очередь, скорость точки С

VC = ю2 • й2,

(4)

(5)

где й2 - диаметр делительной окружности сателлита 2.

Так как

V»

(6)

Для определения передаточного отношения механизма по этой схеме иН4 (и4Н) предварительно построим обычным порядком план скоростей (рис. 2, б). Из плана видно, что точка О'4 (мгновенный центр скоростей) пересечения линии распределения скоростей колеса 4 с вертикалью V—V смещена относительно оси ОН вращения водила Н. Мгновенный центр скоростей О4 звена 4 также будет перемещаться по окружности радиуса гмц = ОНО'4. Из плана скоростей видно, что скорость точки С колеса 4 (отрезок С—С) больше скорости точки ¥ (отрезок ¥—¥), что свидетельствует о его сложном плоском движении. Вычисление передаточного отношения планетарного механизма на данной схеме начнем с записи формулы Виллиса

то скорость точки В можно определить по зависимости

Vв = (1 + Г2) Юн . (7)

Для определения О4 С подставим (7) в (6), а (5) в (4) и получим

О4С = 2(11 + г2)Ын 4. (8)

Тогда радиус окружности мгновенного центра скорости колеса 4 определится как

г = О О' = г + 2г _ О'С =

мц ^Н^ 4 1 2 4

= Г1 + 2Г2 _ 2(Г1 + Г2)ин4- (9)

В планетарном механизме (рис. 3, а) водило Н и неподвижное колесо 4 соосны. В этом случае колесо 1 совершает сложное плоское движение. Его ось вращения О1 перемещается по окружности радиуса г[ = г2 _ г3. План скоростей механизма (рис. 3, б) показывает, что линия распределения скоростей звена 1, как в предыдущем случае, смещена относительно оси ОН вращения водила Н. Мгновенный центр скоростей О( звена 1 будет перемещаться по окружности радиуса гмц = ОН О1.

Передаточное отношение этой схемы механизма при использовании формулы Виллиса

(Н) _ Ю1 ЮН

и14 -

ю. _ЮН

При ю4 = 0 формула преобразуется в виде

Ю2 =

г

2

1Н

г

4

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

и(Н) = +1,

ю ю

Н

(10)

а искомое передаточное отношение определяется как

иш = 1 _ и^) = 1 + ^

В случае ведущего водила будем иметь 1 г

и

1Н

+ г 4

(11)

(12)

Найдем далее положение мгновенного центра скоростей О1. Из плана скоростей (рис. 3, б) имеем:

VА

О'А = -

ю,

В свою очередь, скорость точки А Так как

УА =ю2 • ^2.

(13)

(14)

(15)

(16)

то скорость точки В можно определить

УВ = (г1 + г3)юН . Для определения О' А подставим последовательно (16) и (13) и получим

О1А = 2(г + г3)и н 1. (17)

Тогда положение мгновенного центра скоростей колеса 1 определится как

или

О'ОН = О'А _ ОНА О'Он = 2(г + Т3 )иН1 _ Он А =

= 2(г1 + г3)иН1 _ (г1 _ е).

ности радиуса гН = 0,5(г2 _ г3), а ось вращения колеса 1 - по окружности радиуса г/ = г2 _ г3. И колесо 1, и водило Н совершают сложные плоские движения. Передаточное отношение механизма и1Н вычислим по формуле (11), а передаточное отношение иН1 - по формуле (12).

Рис. 4

(18)

В механизме (рис. 4, а) ось водила расположена эксцентрично относительно оси О1 неподвижного колеса 1. В этом случае в процессе работы водило Н и колесо 4 совершают сложные плоские движения. Ось водила ОН перемещается по окружности радиуса гН = 0,5(г2 _ г3), а ось вращения колеса 4 - по окружности радиуса

г4 = г2 _ г3.

Передаточное отношение механизма и4Н определяется по формуле (2), а передаточное отношение иН4 - по (3). На плане скоростей механизма видно (рис. 4, б), что оси вращения водила ОН и колеса 4 - О4 совпадают с мгновенными центрами этих звеньев.

В планетарном механизме (рис. 5, а) ось водила Н эксцентрично расположена относительно оси неподвижного колеса 4. В этом случае водило Н и подвижное колесо 1 совершают сложные движения. Ось водила будет перемещаться по окруж-

Рис. 5

На плане скоростей (рис. 4, б) видно, что оси вращения колеса 1 О1 и водила Н — ОН совпадают с мгновенными центрами скоростей этих звеньев.

Таким образом, выше было показано, что предложенная схема планетарного механизма с несоосными центральными колесами увеличивает число звеньев, совершающих плоскопараллельное движение, что существенно расширяет его технические свойства и возможности.

Однако получить соответствующие преимущества от несоосной передачи можно только в том случае, если число зубьев и расположение сателлитов будут подчиняться определенным правилам. Планетарные передачи традиционных конструкций изучены хорошо, и наработан большой опыт в их проектировании, особенно в части подбора числа зубьев сателлитов и их собираемости.

Для несоосной планетарной передачи [4] эти условия необходимы, но не достаточны. Данная

г

иН1

2

г

2

а

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

передача несоосна, так что условие соосности отпадает. Кроме того, все сателлиты передачи имеют различные размеры и число зубьев, которые для каждого сателлита должны назначаться индивидуально. Далее, сателлиты, не расположенные на оси симметрии передачи АВ (рис. 6, а), входят в зацепление с колёсами 1 и 4 в точках А и В, не лежащих на оси симметрии сателлита. Эти и другие отличия несоосной планетарной передачи побуждают искать другие методы назначения чисел зубьев, обеспечивающих собираемость несоосной планетарной передачи [5].

На (рис. 6, а) показано положение, когда минимальный сателлит радиусом гтт входит в зацепление с колёсами 1 и 4 на оси симметрии передачи АВ. Следующее положение сателлита определится угловым шагом колеса 1, равным т = 2п / В этом случае впадина зуба колеса 1 окажется против впадины зуба колеса 4, и здесь может быть установлен сателлит большего радиуса, но, как было отмечено выше, зацепление с колёсами 1 и 4 уже не будет совпадать с его осью симметрии [6].

Радиус-вектор р положения колеса 1 определяется из треугольника ОО1С (рис. 6, б):

р2 = е2 + (г + г )2 + 2е(г + г )ео8т . (19)

откуда

Учитывая, что

I = r4 -P,

имеем

2 „2

р2 = e2 + (r1 + r4 -p)2 + 2e(r1 + r4 -p)cosт

или

откуда

e2 + (r1 + r4)2 + 2e(r1 + r4)cos т- 2p(r + r4 + e cos т) = 0,

P =

e2 + (r1 + r4)2 + 2e(r1 + r4)cos т 2(r1 + r4 + e cos т)

(20) (21)

(22) (23)

Pn =

e2 + (r1 + r4)2 + 2e(r1 + r4)cos( пт)

(24)

2((г + г4 + г со$,(пт)) Центральный угол ф1 поворота колеса 1 относительно неподвижной оси О при повороте этого колеса относительно своей оси О1 на угол т определится из соотношения

P

ri + гг

Г + r4-p

sin т sin Ф1 sin Ф1

(25)

sin Ф1 =

ri + r4 P sin т = - 1)sin т, (26)

P

P

а угол ф1п, соответствующий повороту колеса 1 на угол пт, определится по аналогичной формуле

sin ф1и = (Г + Г -1) sin(nx),

Р n

где r1 - радиус колеса 1, r4 - радиус колеса 4, е - эксцентриситет передачи.

(27)

Р = К|- ТЛ

Рис. 6

При повороте колеса 1 на угол ф1п водило должно повернуться на угол фЯп, равный

Радиус-вектор р при повороте колеса 1 на угол пт вокруг своей оси О1 определится:

Ф Hn =Ф1п • UH1 =Ф1п

(28)

Это и есть угол, определяющий положение любого сателлита, соответствующего повороту колеса 1 на угол пт относительно своей оси О\ или на угол ф1п относительно неподвижной оси О.

Далее определим радиус сателлита, соответствующий повороту водила на угол фя из того же треугольника ОО1С, только вместо угла ф1 возьмём угол фя :

(Г + r )2 = e2 + (r4 - r )2 - 2e(r4 - r1)cosфд . (29)

б

z

z1 + z4

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

Преобразуем выражение (29), чтобы выра-

зить r,:

Г + Г + 2rir, = e + r4 - 2r4Г + Г --2er4 cos pH + 2er cos pH,

или

2r (r1 + r4 - e cos pH =-r12 + e2 + r42 - 2er4 cos pH,

откуда

r =

2 2 , 2 о

r4 - r1 + e - 2er4cos pH 2(r1 + r4 - e cos pH)

(30)

Наконец, радиус любого другого сателлита, соответствующего углу pHn :

r = -

- r + e2 - 2er4 cos pHn 2(ri + r4 - e cos pHn)

тогда число зубьев этого сателлита

2rin

m

(3i)

(32)

где т - модуль этого зацепления.

Дробное значение числа зубьев округляют до целого числа, затем уточняют радиус сателлита гы по (31) и угол его расположения рН„ по (28).

Выше нами была показана возможность создания планетарных несоосных механизмов при условии проектирования сателлитов различных диаметров по предложенной методике, а также установке выходного вала в эксцентричную опору [7] и ее герметизации устройством [8].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Дифференциальная передача : пат. №2153612 Российская Федерация F16H1/28 / Е.Г. Синенко, А.С. Дегтярёв, М.Е. Синенко ; патентообладатель Краснояр. гос. техн. ун-т. 98103355/28; опубл. 27.07.2000.

2. Синенко Е. Г., Вайнер А. З., Синенко М. Е. Особенности кинематики эксцентричных эпициклических механизмов // Вестн. КГТУ. Т. 11. Машиностроение. Транспорт. 1998. С. 170— 175.

3. Синенко Е. Г., Беляков Е. В. Особенности кинематики и геометрии эксцентричных эпициклических механизмов // Вестн. Ассоц. выпускников КГТУ. 2004. Вып. 10. С. 157-163.

4. Синенко Е. Г., Абазин Д. Д., Конищева О. В. Кинематика и механика зубчатого эксцентричного дифференциала // Технология машиностроения. 2008. №9. С. 64-66.

5. Синенко Е. Г., Конищева О. В. Методика проектирования эксцентричных планетарных передач // Машиностроение : сб. науч. ст. Красноярск, 2009. С. 63-68.

6. Синенко Е. Г., Конищева О. В., Сенькин В. И. Некоторые элементы геометрического расчёта эксцентричных зубчатых дифференциалов // Машиностроение : сб. науч. ст. Красноярск, 2008. С.104-106.

7. Синенко Е. Г., Сильченко П. Н. The Rolling Beering, USSR, Patent, RFAC1774088, 1988.

8. Уплотнение подвижного соединения двух деталей : пат. № 2179274 Российская Федерация MRMF16 J15/16 / Е. Г. Синенко, М. В. Меснянкин, М. А. Мерко ; патентообладатель Краснояр. гос. техн. ун-т. 2000113996/06; опубл. 10.02.2002.

2

r

4