CC BY
50
НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ МГТУ ИМ. Н. Э. БАУМАНА
НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ
Эл № ФС77 - 48211. Государственная регистрация №0421200025. ISSN 1994-0408
электронный научно-технический журнал
Кинематика и динамика формирования сил резания
при фрезеровании упругой оболочки
# 04, апрель 2013
DOI: 10.7463/0413.0541767
Козарь Д. М., Крауиньш П. Я.
УДК 621.9.06
Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана kozardima@gmail.com peterkrau@tpu.ru
1. Введение
В 2010 году число автомобилей, зарегистрированных во всем мире, превысило отметку в миллиард штук [2] и в настоящий момент продолжает расти. Это ведет к накоплению на свалках огромного количества изношенных шин, которые необходимо либо переработать в востребованное вторсырье, либо полностью уничтожить.
Ежегодный объем выбрасываемых автомобильных покрышек в России составляет более 1 млн. тонн [3, с.3]. Наибольшие объемы образования приходятся на Москву — 70-90 тыс. тонн, Санкт-Петербург и Ленинградскую обл. — 60 тыс. тонн [3, с.3]. Однако в целом проблема утилизации изношенных шин актуальна для каждого региона России.
Доля переработки шинных отходов в России очень мала, и в основном они хранятся на свалках. Контакт покрышек с дождевыми осадками сопровождается вымыванием токсичных веществ, которые попадают в почву. Разложение шины в земле длится более 100 лет [3, с.3]. В связи с этим развитые страны постепенно переходят от захоронения изношенных покрышек к их переработке и вторичному использованию. Среднеевропейский показатель доли перерабатываемых шин составляет 82% [4].
Россия также начала двигаться по пути создания предприятий по утилизации старых шин. Этот процесс идет довольно медленно, что связано с отсутствием административной поддержки, большим сырьевым потенциалом и неэффективностью имеющихся в настоящее время технологий по утилизации покрышек.
Существует множество способов переработки шин, которые условно можно разделить на измельчение и сжигание. В России, по имеющимся оценкам, объем механической переработки покрышек не превышает 17% от общего объема ежегодных отходов. Еще до 20% сжигается, остальной объем приходится на захоронение [5].
Также стоит отметить важную особенность российских предприятий по переработке тин — они в основном являются маломощными, с годовым объемом потребления сырья до 5000 тонн [5].
В частности, в России производятся маломощные установки (рис. 1) для утилизации отработанных шин [6], которые могут перерабатывать около 800 тонн покрышек в год путем их механического измельчения специальной цилиндрической фрезой на гранулы, с последующим извлечением корда и разделением на фракции в зависимости от размера.
В ходе эксплуатации одной из таких установок было выявлено много недостатков, основная часть которых — конструктивные: ручной зажим покрышек, завышенная мощность привода, необходимость остановки фрезы для смены набора обрабатываемых покрышек. Они были устранены. В частности, была разработана улучшенная модель станка [7], позволяющая повысить производительность за счет значительного снижения вспомогательного времени и автоматизации механизма зажима покрышек (рис. 2).
Но остались нерешенными некоторые технологические проблемы, связанные с обрабатываемым материалом: сильные вибрации и, как следствие, быстрый износ инструмента, подшипников и других элементов конструкции.
В литературе практически нет теоретических и экспериментальных данных для определения требуемых механических параметров проектируемого станка, поэтому была начата разработка его математической модели с учетом влияния формы покрышки и ее механических свойств на характер вибрации технологической системы.
Ранее была опубликована [8] математическая модель станка, в которой учитывались только его конструктивные особенности.
В данной статье предлагается улучшение указанной модели, за счет учета влияния кинематики и динамики технологической системы на формирование силы резания при фрезеровании покрышек.
2. Постановка задачи
Основная причина вибрации в рассматриваемом оборудовании — материал. Покрышка имеет полую форму, которая легко деформируется при резании. Резина, применяемая в изготовлении шин, имеет высокую механическую износостойкость и упругость. Помимо этого, покрышка содержит металлокорд, прочность которого значительно выше прочности резины. В сумме, эти свойства автомобильной покрышки приводят к тому, что материал режется плохо и не стабильно. Структура покрышки показана на рис. 3.
Рис. 3. Структура покрышки: 1 — протектор; 2 — плечевая часть;
3 — каркас; 4 — боковая часть; 5 — брекер; 6 — дополнительная вставка в плечевой зоне; 7 — бортовое кольцо; 8 — бортовая часть
Форма и механические свойства покрышки влияют на изменение мгновенной толщины срезаемого слоя az (за счет упругих отжатий) и соответственно на силу резания F, вследствие изменения площади S поперечного сечения срезаемого слоя. Помимо этого на мгновенную
толщину срезаемого слоя влияет и кинематика движения режущей пластины фрезы относительно поверхности обрабатываемого материала. В свою очередь, упругие смещения всей технологической системы, вызванные непостоянством силы резания, оказывают сильное влияние на кинематику движения режущих пластин фрезы. Блок-схема их взаимного влияния показана на рис. 4.
Рис. 4. Схема взаимного влияния кинематики и динамики технологической системы
Определение упругих отжатий технологической системы с учетом динамики процесса резания, уже было изучено [9]. Однако авторы рассмотрели обработку металлических изделий, жесткость которых значительно выше жесткости покрышки, и влияние упругих отжатий на изменение силы резания ими не учитывалось.
Представим технологическую систему станка (см. рис. 2) в виде набора масс на пружинках с параллельно установленным демпфером (рис. 5).
На рис. 5 использованы следующие обозначения: Fx, Fy — проекции силы резания на координатные оси х, у; а — коэффициент сопротивления; c — жесткость пружины; m1 — масса фрезы с рамой и приводом; m2 — масса части покрышки, воспринимающей динамическую нагрузку; m3 — масса механизма зажима с башней.
Соотнесение номера массы и конструктивного элемента станка показано на рис. 2. Жесткость c и внутреннее трение а разложены по независимым осям координат х и у. Соответственно для каждой из осей масса m всех элементов продублирована. Колебания каждой элементарной массы рассматриваются в двух взаимно перпендикулярных направлениях, задаваемых осями х и у неподвижной системы координат.
Видно, что на рис. 5 приведены две одинаковые системы, расположенные ортогонально. На виде А между массами m1 и m2 показан схематичный разрыв, поскольку эти два элемента конструкции не связаны жестко между собой, а воздействуют друг на друга через точку контакта, в которой возникает сила резания F. Таким образом, каждая система состоит из двух более простых, разделенных точкой контакта. Одну половину системы составляет фреза m1 со своим приводом и креплением, другую половину — локальный упругий элемент цилиндрической поверхности покрышки, массой которого можно пренебречь, более крупный макроэлемент покрышки с массой m2, имеющий свойства, отличные от локального, а также механизм крепления покрышки с массой m3.
Приведем физическую модель изображенную на рис. 2, к четырем отдельным моделям, показанным на рис. 6.
в г
Рис. 6. Схема физической модели станка
б
а
На рис. 6 использованы следующие обозначения: х1, у1, х2, у2, х3, у3 — смещение центров масс m1, m2, m3 соответственно относительно положения равновесия; хе.^., уе^. — смещение локального упругого элемента цилиндрической поверхности покрышки относительно положения равновесия.
Приняв, что сила резания F является функцией от мгновенной толщины az срезаемого слоя, скорости резания V, ширины срезаемого слоя b и времени t, запишем систему уравнений для моделей 1 и 3:
F = f (az, b,V,t);
Fx = / (F) ;
Fy = /f2 _ F2;
-x
d2x 1 Fx --- a01 dx1
Ш1 dt2 dt ֊ CoiХ1
d2yi dyi
Ш1 dt2 Fy --- a01 dt ՜ С01У1.
(1)
Модели 2 и 4 будут описываться более сложной системой, поскольку в каждой из них содержится уже 3 переменных, а не одна.
Полная система уравнений для модели 2:
F= /(a z ,b,V, t);
Fx = / (F);
Fx - dx2
c12xe.d. a01 Լ Tdt - Vx - C12x2 )
d2x2 Vx - dxo\ ■ x2) f dx3 dx2
Ш2 dt2 = a121 'HT) + c12 (xe.d. --- + а2з ( dt dt
d2x3 dx2 dx3 Хз) dx3
Шз dt2 = а2з 1 \dT dt ^ + c23(x2 --- --- сз0^ --- аз0 dt
где Vx — проекция вектора скорости резания на ось x. Для модели 4 система будет иметь аналогичный вид:
С2з(хз - Х2);
(2)
' F = /(az,ь,V,t); Fx = / (F);
Fy = y/P-F*;
C12ye.d. = 'dy2 _
Fy- a01 ( v dt Vy - C12y2 )
to
to Vy- dy2 \ + c12 (ye.d. --- ■ y2) + а2з ( dyз dy2
Ш2 dt2 : = a12 1 ՜ dt ) dt dt
to
со (dy2 dУз dУз
Шз dt2 : = а2з 1 1 dt dt ) + С2з(У2 --- Уз ) --- сз0Уз --- аз0 dt
где Vy — проекция вектора скорости резания на ось у.
+ с*з(уз — У2);
(3)
Объединив системы уравнений (1), (2) и (3), получим общую систему уравнений математической модели технологической системы станка:
F = f (az ,b,V,t);
Fx = f (F);
d2xi dx i
mi = Fx - a°i~dt— coixi;
m2
d2x2
dt2
d2x3
Fx - / dx2
a0i Լ Hi ՜ - Vx) - ci2x2: )
Vx - dx2 \ ■ x2) f dx3 dx2
= ai2 ( ՜՜ժէ) 1 + ci2 (xe.d. - + a23 ( dt dt
dx2 dx3 \ dx3
= а23 ( +
О
to x3) - C30x3 - a30
со
to
V dt dt 1 dt;
m3 dt2
Fy = VfF-FI ;
d2yi _ p dyi
miltF = Fy - aoilt- c0iyi;
(4)
Ci2ye.d.
Fy - 4dr - Vy) - ci2y2;
m2
d2y2
dt2
dt
dy
= Vy - ֊֊) + Ci2(ye.d. - x2) + a2-(֊ - ֊) + С23(У3 - У2)
m3
dy- _ dy-շ՝ dt dt
d2y- _ / dy2 dy- Հ . Հ ч dy-
Ж = “2Ո 1гГ - +c23(y2 - y3) - Сз0Уз - “30 ՜-Г՛
В системах (1), (2), (3) и (4) проекция силы F на ось x записана в виде функции Fx = f (F). Найдем эту функцию.
Для этого используем два разных буквенных обозначения силы резания: F и P.
Силу резания, обозначенную буквой P, спроецируем на координатные оси по классической схеме, принятой в резании металлов (при фрезеровании). Для этого совместим начало декартовой системы координат с вершиной каждого отдельного зуба фрезы. На рис. 7 вершина зуба обозначена точкой Ai. Ось x располагается параллельно оси вращения заготовки. В данном случае это ось вращения покрышки, которая параллельна оси вращения фрезы. Ось z направлена по касательной к поверхности фрезы, т.е. совпадает с направлением вектора скорости фрезы Й. Ось y ортогональна осям x и z и проходит через центр вращения фрезы.
Таким образом силу резания P раскладываем на составляющие Px, Py и Pz (см. рис. 7):
1) Pz — тангенциальная составляющая (определяет собой мощность, затрачиваемую на процесс резания);
2) Py — радиальная составляющая (направлена вдоль радиуса фрезы в точке соприкосновения зуба с деталью);
3) Px — осевая составляющая (направлена параллельно оси вращения фрезы).
Сила Px при использовании фрезы с прямым зубом равна нулю.
Рис. 7. Схема разложения силы резания по координатным осям
В данном случае использование координатных осей, принятых в резании металлов неудобно, поскольку усложняет расчеты. Поэтому примем, что центр координат совпадает с осью вращения покрышек 02, а ось х проходит через центр координат и ось вращения фрезы
О1. Ось у также проходит через центр координат O2 и ортогональна оси х. Направления осей показаны на рис. 7. Проекции силы резания P на эти координатные оси обозначим как Fy и Fx (F = P).
Фреза 1 (см. рис. 7) вращается с угловой скоростью и1. Угловое положение одного отдельно взятого зуба фрезы обозначим как ^1.
Введем угол а1 значение которого определяется выражением:
а1 = 180 — (р1 — 360 ■ n), (р1 G [0; +^о],
где n — колличество целых оборотов фрезы.
Введем угол в1 между P и Py. Тогда тангенс этого угла будет равен:
tg01 = -р .
Py
Соответственно значение угла в1 будет равно:
Pz
в = arctg 01 = arctg —.
Py
Пропорция между Pz и Py определяется экспериментально.
Введем угол у1 между P и Fx. Значение угла у1 будет равно 01 — |а11. Это достаточно
легко увидеть из рис. 7. Определим значение Fx:
/
Fx = P cos Y1 = P cos(01 — |«11);
P = F = f (az ,b,V,t);
< «1 = 180° — (^1 — 360° ■ n);
01 = arctg .
Py
Уточним параметры покрышки. Выделим радиальную (нормальную) жесткость cn и касательную ст (рис. 8). Тоже самое сделаем для сопротивления а.
Значение угла а2 для покрышек типа ««КАМАЗ»», при максимальной глубине резания, не превышает 5°, а для легковых 8°. Поэтому примем, что нормальная жесткость постоянно совпадает по направлению с осью х, тангенциальная с осью у в любой точке контакта. Для сопротивления а аналогично.
Получим, что жесткости из выражения (4) будут определяться системой
c12x = c12n;
^ c12y с12т;
c23x c23n;
^ c23y = c23т•
Для сопротивления а получим систему
а12х = а12п;
^ а12у = а12т; а23х = а23п;
^ а23у = а23т •
Теперь составим уравнение расчета величины силы резания в зависимости от толщины срезаемого слоя az, направления скорости резания V и ширины срезаемого слоя b. Для упрощения задачи примем, что обрабатываемый материал однороден.
При измельчении покрышек используется крупногабаритная цилиндрическая фреза диаметром 300 мм, длиной 610 мм и массой 160 кг (рис. 9). В конструкции фрезы используются
твердосплавные пластины специальной конструкции, с треугольными зубчиками по краям (рис. 10). Пластины устанавливаются таким образом, что передний и задний угол равны 0°. По фрезе пластины распределены в шахматном порядке, но условие постоянства площади поперечного сечения срезаемого слоя не соблюдается.
Рис. 9. Общий вид фрезы применяемой для измельчения покрышек
Рис. 10. Общий вид зуба фрезы
В известной литературе отсутствуют данные по механической обработке резины, однако имеются сведения [1] по обработке пластмасс и высокопрочных композиционных полимеров [12], которые по некоторым своим свойствам (анизотропия, сильные упругие деформации, низкая плотность, прочность, теплопроводность и теплостойкость по сравнению с металлами) схожи с резиной.
При механической обработке пластмасс и прочих полимеров выделяются несколько особенностей, отличающих процесс их резания от процесса резания металлов. Так, в процессе резания часть срезаемого слоя, которая подминается под заднюю поверхность режущего инструмента, упруго деформируется, а затем упруго восстанавливается на величину h [1, с. 11]. Это вызвано высокими упругими характеристиками обрабатываемого материала [12, с. 19].
Упругие деформации приводят к увеличенным площадкам контакта и как следствие к тому, что сила, действующая на заднюю поверхность резцов Py, составляет от 70 до 95% значений силы Pz, а при плохо заточенном инструменте превышает ее в 1,25-1,5 раза [1, с. 13]. Поэтому в общем случае можно принять, что сила Pz равна силе Py.
Следующей закономерностью являются низкие значения сил резания в сравнении с металлами, вследствие более низкой прочности и твердости [1, с. 13]. Эти силы при обработке полимерных материалов в 10-20 раз ниже [12, с. 19], чем при аналогичной обработке металлов, а упругость выше. В данном случае обрабатывается не только резина, но и металлокорд. Однако из-за сложности учета металлокорда, в предлагаемой модели он не учитывается.
График зависимости силы резания от толщины срезаемого слоя az, представляет собой параболу [10, с. 104-105]. Поэтому функциональную зависимость силы резания от толщины
срезаемого слоя az удобно выразить степенным уравнением [11, с. 59-60]:
P = ciaxz
где ci — коэффициент пропорциональности, который можно определить при a =1 мм; показатель степени х и коэффициент пропорциональности ci являются константами.
График зависимости силы резания от ширины фрезерования b представляет собой прямую, причем эта прямая проходит через центр координат [11, с. 59-60]. Такую заивисимость можно также представить степенным уравнением:
P = C2by
где с2 — коэффициент пропорциональности, который можно определить при b =1 мм, с2 = const; показатель степени у = 1.
Зависимость силы резания от скорости нелинейна и ее часто выражают степенной функцией [10, с. 105-106], [11, с. 60]:
P = cvi Vn
где cVi — коэффициент пропорциональности, для отдельного i-го скоростного интервала; ni — показатель степени i-го скоростного интервала.
Если ввести единичную силу резания Ро, для заданной единичной толщины azo = 1 мм и ширины срезаемого слоя b0 = 1 мм, то, умножая эту силу на текущую ширину b и толщину az в степени х, можно с некоторой точностью достоверно описывать изменение мгновенной силы резания, при постоянной скорости резания:
Р = P0cic2 baX.
Добавив степенную функцию зависимости силы от скорости, получим выражение:
P = Pocic2cVi baXVn. (5)
Для вычисления силы резания P необходимо экспериментально опеределить значение степени х (для металлов х = 0,75) и параметры ci, c2, для единичной толщины az и ширины b. Для вывода зависимости силы резания от скорости необходимо выделить ряд скоростных интервалов и произвести измерения Vni и cVi при неизменной подаче на зуб sz и глубине фрезерования T.
Произведение baz — площадь срезаемого слоя S. Поскольку сила резания P нелинейно зависит от az, в расчетах удобнее использовать приведенную площадь S' = baX. Однако сначала определим зависимость площади срезаемого слоя S от толщины az.
Из рис. 10 видно, что зуб фрезы имеет сложную форму, что влияет на площадь S, которая контактирует с обрабатываемым материалом. Эта площать плавно изменяется от нуля и до некоторого максимума Smax (при максимальной толщине срезаемого слоя azmax, рис. 11).
Найдем зависимость параметров h', w' и w от h, L, угла а и количества зубчиков (больших и маленьких). На образце достаточно точно можно измерить лишь три параметра: L, h и угол а. Они равны 26 мм, 4,5 мм и 60° соответственно. Угол а одинаков для всех зубчиков. Остальные размеры вычислим аналитически.
Определим зависимость w от h и угла а:
а
w = h tg —. 2
Вычислим значение w при h = 4,5 мм и а = 60°:
60°
w = 4,5 է^՜շ՜
2,5980.
Составим выражение для w' относительно h':
а
w = h tg —.
2
Определим значение L, через h и h':
аа L = 4w + 14w' = 4h tg —+ 14h' tg —.
22
Из полученного выражения (7) выразим h':
а
L - 4h tg -
h' = „ а 2 .
14 tg շ
Вычислим значение h' при L = 26 мм, h = 4,5 мм и а = 60°:
60°
26 - 4 ■ 4,5 ■ tg —
h' =----------60^^ = 1,9312.
14 ■ tg -
Аналогично выразим w' через h, используя выражения (6) и (8):
а
L - 4h tg а
w=
а
2 а
. а tg 2. 14 tg շ 2
(6)
(7)
(8)
Вычислим значение w' при L = 26 мм, h = 4,5 мм и а = 60°:
w
/
26
4 ■ 4,5 ■ tg
60°
՜2՜
14 tg
60°
՜2՜
60° ■tg ՜շ՜
1,1149.
Определим функциональную зависимость S от толщины срезаемого слоя az. Для этого поделим максимальную толщину срезаемого слоя az max на участки (см. рис. 11). На этих участках закон изменения функции будет разным, поскольку изменяется количество зубчиков и их размер. Всего их шесть: I, II, IIIa, IIIb, IVa и IVb. Однотипные участки обозначены одинаковой буквой.
Для участка I функция зависимости S от az будет иметь вид:
Si = 2az2 tg а, az е [0; h - h'].
Для участка II:
Sii = 2a2, tg а + 5(az - (h - h'))2 tg а, az е [h - h'; h].
Для участка IIIa:
а
SIIIa = SII + L(az - h) + (az - h)2 tg 2, az е [h; h + w'].
Для участка IIIb:
Siiib = Siiia + L(az - h- w')+((az - h- w')h'- (az - h- w')2tg2 ^, az е [h+w';h + 2w']. Для участка IVa:
SIVa = SIIIb + L(az - h - 2w') + (az - h - 2w')2 tg — , az е [h + 2w'; h + 3w'].
Для участка IVb:
Sivb — SiVa + L(az — h — 3w ) + (az — h — 3w )2
(az
h - 3w')2
a
tg 2
az е [h + 3w'; h + 4w'].
Построим график изменения площади S от толщины az. Можно заметить, что это будет набор парабол, так как функции площадей квадратичные. Максимальная толщина срезаемого слоя az max при врезании составляет 5 - 6 мм. Для построения графика эта величина взята с запасом и равна 9 мм. График показан на рис. 12.
Из графика видно, что есть две основные зоны резания. До глубины 4,5 мм площадь срезаемого слоя растет умеренно, а после практически прямопропорционально глубине срезаемого слоя az. Видно, что боковые зубчики не оказывают значительного влияния на площадь S, поэтому их можно исключить из анализа. В результате получим эквивалентную форму зуба фрезы, показанную на рис. 13.
Составим формулы для вычисления приведенной площади S' в зависимости от глубины резания az.
Для участка I:
S' = 4
w
а
tg 2
X
dw =
4 w X+1
7 гг а
(x + 1) tgx 2
+ C.
(9)
где w = az tg а, az Շ [0; h — h՛]; x = const; a = const.
2
При az = 0 S' = 0. Получим, что C = 0. Выражение (9) примет вид: S
S ՚ _4( az tg Ю" + ‘ 4aX+1 tg а
(x + 1) tgx շ x + 1
(10)
Поскольку значение показателя степени x пока неизвестно, оставляем выражение (10) без дальнейших преобразований.
Для участка II:
S' = 4
w
а | dw + 10
,tg շ.
Проинтегрировав выражение (11) получим:
S' = 4
w
x+1
+ 10֊
w
w'
а
,tg շ.
,'x+1
dw՛.
аа (x +1) tgX շ (x +1) tgX շ
+ C.
(11)
(12)
где w = az tg а, w' = (az — (h — h')) tg а, az g [h — h'; h]; x = const; a = const.
При az = h — h' выражение (12) примет вид выражения (9). В результате вычислений получим, что C = 0 и выражение (12) примет вид:
ax+1 tg а (az — (h — h'))x+1 tg a
а
S' = 4
2
x + 1
+ 10-
x +1
Для участка III:
(13)
S' = 4
w
а
2g շ
+ X dw + 10
w'
а
,tg շ
+ dw'.
(14)
Проинтегрировав выражение (14) получим:
x+1
x+1
а
. vtg 2 S' = 4 2
w т. \ а + X) tg շ
а
x +1
tg? +X tg 2
+1^.12—L------+ C.
x + 1
где w = az tg а, w' = (az — (h — h')) tg а, X = az — h, az G [h; h + 4w']; x = const; a = const.
После замены w, w' и X получим:
а
S' = 4
(2az — h)x+1 tg а (2az + h' — 2h)x+1 tg ֊
+ 10-
2
+ C.
(15)
x + 1 x + 1
При az = h выражение (15) примет вид выражения (13). В результате вычислений получим, что C = 0 и выражение (15) примет вид:
(2az — h)x+1 tg 2 (2az + h' — 2h)x+1 tg а
S' = 4
x + 1
В конечном итоге получим систему
+ 10-
2
x + 1
ax+1 շ x + 1
a
S' = 4
, az G [0; h — h'];
ax+1 tg а (az — (h — h'))x+1 tg ֊
S' = 4-------t՜2 + 10--------------—----------2, az G [h — h'; h];
x + 1
x + 1
S' = 4
(2az — h)x+1 tg 2 (2az + h' — 2h)x+1 tg ֊
2 + 10-----
x + 1
x +1
, az G [h; h + 4w'].
x
x
Выражение (5) для расчета силы резания преобразовываем к виду:
P = Po c1 С2 еуг S' Vni.
Полученная сила P — сила резания возникающая от одного зуба фрезы. Поскольку зубья располагаются на фрезе рядами, для нахождения суммарной силы резания необходимо умножить силу резания от одного зуба на количество зубьев в ряду.
Теперь рассмотрим влияние кинематики технологической системы на мгновенную толщину срезаемого слоя az. Фреза и покрышка вращаются навстречу друг другу. Фреза имеет угловую скорость ш1, а покрышка ш2. Глубину фрезерования обозначим T. Для расчетов примем, что покрышка зафиксирована и не вращается. Ее угловую скорость ш2 прибавим к фрезе, которая будет вращаться с этой скоростью вокруг оси вращения покрышки. Таким образом, зуб фрезы, по отношению к наружной цилиндрической поверхности покрышки, будет описывать в пространстве эпитрохоиду (рис. 14).
Рис. 14. Траектория движения зуба фрезы относительно покрышки
Кинематика движения фрезы, обрабатываемой покрышки, а также упругие смещения технологической системы тесно связаны с динамикой. В данном случае нельзя рассматривать отдельно кинематику или отдельно динамику, так как в каждый отдельно взятый момент времени они вносят изменения в поведение друг друга.
Параметрами связывающими динамику и кинематику будут x1, x2, x3, xe.d., y1, y2, y3 и ye.d., т.е. упругие смещения.
В динамической части модели все смещения технологической системы происходят вдоль осей координат, показанных на рис. 5.
В кинематической части модели, при расчете траектории движения зуба фрезы относительно поверхности обрабатываемого материала приняли, что покрышка остается неподвижной, а центр фрезы O1 вращается вокруг центра покрышки O2. Соответственно для переноса упругих смещений из динамической части в кинематическую необходимо, чтобы координатные оси вращались синхронно с центром фрезы, относительно центра покрышки. Примем, что координатные оси x, у — исходные и неподвижные, а оси x', у' — производные и вращаются со скоростью и2 относительно исходных.
Рассмотрим движение одного зуба фрезы, как наиболее простое и наглядное. В его движении можно выделить два состояния:
1) свободное — зуб фрезы движется не соприкасаясь с обрабатываемым материалом;
2) внедренное — зуб фрезы движется внутри обрабатываемого материала (резание).
На рис. 15 показано свободное состояние. Центр покрышки O2 в начальный момент времени t0 = 0 имеет координаты (xO2,Уо2) по осям х и у. Начальные значения координат принимаем равными нулю:
Центр фрезы Oi в начальный момент времени располагается на некотором расстоянии R от покрышки
где r1 — радиус фрезы; r2 — радиус покрышки в свободном состоянии; T — глубина резания; х и у — координаты точек по соответствующим осям координат; R — расстояние между точками O1 и O2.
Координаты центра фрезы O1 (xOl, yOl), в любой произвольный момент времени, будут определяться системой уравнений:
XO2 °; yO2 0-
(16)
R = Г1 + Гշ - T = у/(XOl + XO2 )2 + (yOl + yO2)
2
xOl = R cos ^2; yOl = R sin ^2; ^2 = ^2^1 + ^20-
где ^20 — начальное значение угла <^2.
Данная система уравнений описывает движение точки O1 по окружности. Движение режущей кромки зуба А1 вокруг центра вращения фрезы O1, также представляет собой окружность:
(17)
где <^10 — начальное значение угла ^1.
Рис. 15. Первая фаза движения зуба фрезы относительно покрышки
Совместив системы (16) и (17), получим систему, описывающую движение кромки зуба (точка А1) относительно центра покрышки O2:
= ri cos + XOi + xo2;
Уах = ri sin ^1 + yoi + У02;
Vi = ^i t + ^10 •
На рис. 16 показана начальная фаза внедренного состояния, когда кромка зуба только вошла в заготовку и сила резания еще не успела сформироваться в ответ на это воздействие. Упругие смещения технологической системы не показаны, поскольку их еще нет. Кинематика движения осталась прежней и уравнения не изменились, однако образовался срезаемый слой толщиной az = А2А!1, начальное значение которой близко к нулю. Найдем az.
Уравнение отрезка прямой от центра фрезы O1 к точке на режущей кромке А[ имеет вид: (yo1 - Уа1 )x + (xa - xo1 )y + (xo1 Уа1 - XA1 Уо1) = 0, где x и y — координаты точек прямой.
Рис. 16. Вторая фаза движения зуба фрезы относительно покрышки
В общем случае точек пересечения прямой с окружностью может быть 2, 1 или 0. В каждом временном интервале выбираем решение только с двумя точками, где одна из точек (точка А2) принадлежит интервалам (xOl, xAl) по оси x и (yOl, yAl) по оси у. Вторую точку отбрасываем.
Уравнение окружности в декартовых координатах имеет вид: (x — х0)2 + (у — у0)2 = r2.
Для нахождения координат точки А2 неоходимо решить систему:
(хA2 ХՕշ ) + (yA2 yO2 ) Г2 ;
_ (AxA2 + C) ։
yA2 b ;
A = У01 — va[ ;
< B = xa1 — xo1;
C = yo'1 Уа\ — xa1 xo'1;
xA2 ^ [xO1; xA1 ];
, yA2 e [yoi; уа1 ].
Общий вид решения этой системы:
xA2
УА2
K = L = < M--A =
B = C =
-L ± VL2 - 4KM
2K
(AxA2 + C) ;
B ;
A2 + B2;
2AC + 2AByo2 - 2B2xo2;
C2 + 2CByo2 + ByO 2
B 2r2 + B2xO2;
22
xr
yo' - уа; ; xa' - xo';
Уо' уа' - xA' xo';
XA2 e [xo' ; xA' ];
, УА2 e [yo'; уа; ].
Теперь можно вычислить длину отрезка A2 A1, который и является мгновенной толщиной срезаемого слоя:
A2 Ai = XA'^уА^ = . (18)
На рис. 17 показана следующая фаза внедренного состояния, когда сила резания начала формироваться и воздействовать на технологическую систему. В системе начинаются интенсивные изменения, как в кинематике, так и в динамике.
С учетом упругих смещений получим, что координаты центра покрышки O2 станут O2
(xo2, yo2)
xo2 = хз; yo2 = у з.
где x3 и у3 — величина упругой деформации механизма зажима покрышки по осям x и у соответственно. Эти значения берутся из системы уравнений математической модели станка (4).
Наружный радиус покрышки r2, после упругой деформации в месте контакта с зубом фрезы, станет равным:
r2 = \ЛГ2 + x2 + xe.d.)2 + (r2 + У2 + ye.d.)2,
где x2, y2 — величины упругой деформации формы покрышки по осям x и у соответственно; xe.d., ye.d. — величины упругой деформации поверхностного слоя покрышки по осям x и у.
Центр фрезы, под действием силы резания, сместится на величину xi, yi и займет положение с координатами:
{xo" = Rcos ^2 + xi;
yo'' = R sin ^2 + yi;
^2 = ^2^3 + ^20.
В результате упругих смещений и деформаций, расстояние R также изменится и станет равным R:
R = \! (xo'' + xo2)2 + (yo" + yo2)2,
Рис. 17. Третья фаза движения зуба фрезы относительно покрышки
Уравнение движения кромки зуба А1, с учетом упругих смещений покрышки и фрезы, примет вид:
{Жд" = ri cos ipx + Хо» + xo2;
Va» = ri sin ^i + уо» + Уо2; v'1 = Ui h + ^10.
Жесткость фрезы значительно выше жесткости технологической системы станка, поэтому принимаем ее абсолютно жесткой, с неизменным наружным диаметром r1. Толщину срезаемого слоя определяем с использованием формулы (18).
3. Заключение
В результате проделанной работы, получена математическая модель процесса формирования силы резания при фрезеровании автомобильной покрышки, с учетом кинематики и динамики технологической системы станка. Ряд параметров полученной модели необходимо определить экспериментально. Из-за отсутствия этих данных, в статье не приводятся результаты моделирования.
Необходимо отметить, что предложенный метод расчета мгновенной толщины срезаемого слоя, подходит только для процесса резания, при котором каждый зуб фрезы врезается в необработанную часть покрышки.
Список литературы
1. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика: учеб. пособие для университетов. В 10 т. Т 1. Механика. 4-е изд., испр. М.: Наука, 1988. 215 с.
2. Сайт «За рулем». Режим доступа: http://www.zr.ru/a/350201 (дата обращения 08.10.2012).
3. Рециклинг отходов: специализированный информационно-аналитический журнал. 2009. №3. 31 с. Режим доступа: http://www.wasterecycling.ru/resources/itf5e1d16ff96d11d b99dbccf722b65740/b0e8da3d9af24f9ea523943d8c043e3d.pdf (дата обращения 08.10.2012).
4. МБУ «Управление экологии города Чебоксары». Утилизация автомобильных покрышек. Мировой опыт. Режим доступа: http://gov.cap.ru/hierarhy.asp?page=./515378 /520381/520477/563097//570041 (дата обращения 08.10.2012).
5. Colesa.ru: шинный портал. «Сибур» проанализировал проблему утилизации шин в России. Режим доступа: http://sibur.colesa.ru/news/10449.html (дата обращения 08.10.2012).
6. Денисов Л.Н., Игнатов В.Д., Мкртчян С.Р, Прохоров В.В. Способ переработки изношенных покрышек: пат. 2325996 Российская Федерация. №2006124603/12: заявл. 10.07.06; опубл. 10.06.2008. Бюл. № 16.
7. Гольдшмидт М.Г., Козарь Д.М., Темиров А.Г., Вендров З.И. Устройство для утилизации отработанных шин: пат. 104511 Рос. Федерация. №2010149939/05: заявл. 07.12.10; опубл. 20.05.2011. Бюл. № 14.
8. Козарь Д.М., Крауиньш П.Я. Математическая модель станка для утилизации автомобильных покрышек фрезерованием // V Международная конференция «Проблемы механики современных машин» (Улан-Удэ, 25-30 июня 2012 г.): материалы. Т 1. Улан-Удэ: Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управления, 2012. C. 213-216.
9. Пашинин А.В., Чернышев Е.А. Определение упругого отжатия при резании металла с учетом динамики процесса. Режим доступа: http://masters.donntu.edu.ua/2012/ fimm/pashinin/library/article7.htm (дата обращения 10.03.13).
10. Штучный Б.П. Механическая обработка пластмасс. М.: Машиностроение, 1987. 152 с.
11. Грановский Г.И. Резание металлов. М.: Высшая школа, 1985. 304 с.
12. Рубинштейн С.А. Основы учения о резании металлов и режущий инструмент. М.: Машиностроение, 1968. 393 с.
13. Степанов А.А. Обработка резанием высокопрочных композиционных полимерных материалов. Ленинград: Машиностроение, 1987. 175 с.
SCIENCE and EDUCATION
EL № FS77 - 48211. №0421200025. ISSN 1994-0408
electronic scientific and technical journal
Kinematics and dynamics of formation
of cutting forces during milling of an elastic shell
# 04, April 2013
DOI: 10.7463/0413.0541767
Kozar D. M., Krauinsh P. J.
Bauman Moscow State Technical University 105005, Moscow, Russian Federation kozardima@gmail.com peterkrau@tpu.ru
Nowadays small plants for tire recycling based on milling and with an annual consumption of raw materials up to 5000 tons are widespread in Russia. The authors research the problem of extreme vibrations in such equipment when used tires are disposed. Analysis is based on the developed setup and its prototype. This article describes the main causes of these vibrations, their adverse effects, as well as an example of a mathematical model of the process, which takes into account parameters of the technological system, mutual influence of the cutting tool kinematics and dynamics of the cutting force formation.
References
1. Landau L.D., Livshic E.M. Teoreticheskajafizika. V10 t. T. 1. Mehanika [Theoretical physics. In 10 vols. Vol. 1. Mechanics]. Moscow, Nauka, 1988. 215 p.
2. Sajt <<Za rulem» [Website “Driving”]. Available at: http://www.zr.ru/a/350201, accessed 08.10.2012.
3. Recikling othodov: specializirovannyj informacionno-analiticheskij zhurnal [Waste Recycling: a specialized information and analytical magazine], 2009, no. 3. 31 p. Available at: http://www.wasterecycling.ru/resources/itf5e1d16ff96d11db99dbccf722b65740/b0e8da3d9 af24f9ea523943d8c043e3d.pdf, accessed 08.10.2012.
4. MBU «Upravlenie jekologii goroda Cheboksary». Utilizacija avtomobil’nyh pokryshek. Mirovoj opyt [Ecology Department of Cheboksary city. Utilization of car tires. World experience]. Available at: http://gov.cap.ru/hierarhy.asp?page=./515378/520381/520477/563097/ 570041, accessed 08.10.2012.
5. Colesa.ru: shinnyjportal. «Sibur»proanalizirovalproblemuutilizaciishinvRossii [Colesa.ru: tire portal. “Sibur” analyzed the problem of recycling of tires in Russia]. Available at: http://sibur.colesa.ru/news/10449.html, accessed 08.10.2012.
6. Denisov L.N., Ignatov VD., Mkrtchjan S.R., Prohorov V.V. Sposobpererabotki iznoshennyh pokryshek [Method of utilization of the worn out tires]. Patent RF, no. 2325996. 2008.
7. Gol’dshmidt M.G., Kozar’ D.M., Temirov A.G., Vendrov Z.I. Ustrojstvo dlja utilizacii otrab-otannyh shin [Device forutilization of the worn out tires]. Patent RF, no. 104511. 2011.
8. Kozar’ D.M., Krauin’sh P.Ja. Matematicheskaja model’ stanka dlja utilizacii avtomobil’nyh pokryshek frezerovaniem [Mathematical model of the machine for utilization car tires by milling]. 5 Mezhdunarodnaja konferencija <<Problemy mehaniki sovremennyh mashin>: ma-terialy [5th International Conference “Problems of Mechanics of modern machines”: proc.], Ulan-Udje, 25-30 June 2012. Vol. 1, Ulan-Udje, East Siberia State University of Technology and Management Publ., 2012, pp. 213-216.
9. Pashinin A.V, Chernyshev E.A. Opredelenie uprugogo otzhatiia pri rezanii metalla s uchetom
dinamiki protsessa [Determination of the elastic deformation in metal cutting taking into account dynamics of cutting process]. Available at: http://masters.donntu.edu.ua/2012/
fimm/pashinin/library/article7.htm, accessed 10.03.2013.
10. Shtuchnyj B.P. Mehanicheskaja obrabotka plastmass [Mechanical processing of plastics]. Moscow, Mashinostroenie, 1987. 152 p.
11. Granovskij G.I. Rezanie metallov [Cutting of metals]. Moscow, Vysshaja shkola, 1985. 304 p.
12. Rubinshtejn S.A. Osnovy uchenija o rezanii metallov i rezhushhij instrument [Fundamentals of metal cutting and cutting tool]. Moscow, Mashinostroenie, 1968. 393 p.
13. Stepanov A.A. Obrabotka rezaniem vysokoprochnyh kompozicionnyh polimernyh materialov [Machining by cutting of high-strength composite polymer materials]. Leningrad, Mashinostroenie, 1987. 175 p. .
