CC BY
197
УДК 62101 Е. С. ГЕБЕЛЬ
А. А. АБДИРАИМОВ Е. В. СОЛОНИН
Омский государственный технический университет
Кыргызский государственный технический университет им. И. Раззакова, г. Бишкек
КИНЕМАТИКА ЧЕТЫРЕХЗВЕННЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПОЛЗУННЫХ МЕХАНИЗМОВ_
В статье рассмотрены четырехзвенные пространственные механизмы, которые оказываются более предпочтительными благодаря компактной схеме и возможности передачи движения между осями, произвольно расположенными в пространстве. Решение прямой задачи кинематики на основе известных принципов аналитической алгебры, геометрии и тригонометрии позволили оценить кинематические характеристики рассматриваемых конструкций. Моделирование работы механизмов доказало адекватность предложенных методик и позволило сформировать рекомендации по выбору свободных параметров синтеза для исключения «мертвых» положений. Ключевые слова: пространственные механизмы, четырехзвенные механизмы, кинематика, моделирование.
Введение. В различных отраслях промышленности широко распространены исполнительные механизмы цикловых машин-автоматов, преобразующие вращательное движение в поступательное, например, в кривошипных прессах и двигателях, в сельскохозяйственных и швейных машинах и т.д. Наиболее простым схемным решением задачи являются плоские кривошипно-ползунные механизмы, которые к настоящему моменту хорошо изучены и описаны во многих научных источниках [1, 2]. Пространственные кривошипно-ползунные механизмы по сравнению с плоскими позволяют при меньшем числе звеньев осуществлять передачу движения в различных плоскостях и, в конечном итоге, обеспечивают более рациональную компоновку машины.
В настоящий момент известно множество конструкций пространственных четырехзвенных механизмов [1—3, 5]. Например, предложенный профессором Н. И. Левитским [1] пространственный стержневой механизм, использующий две кинематические пары 5-го класса (согласно классификации И. И. Артоболевского [2]) между входным и выходным звеном и стойкой соответственно, и две пары третьего и четвертого класса — сферическую и сферическую с пальцем соответственно. Сложность реализации последней (сферической с пальцем) кинематической пары затрудняет использование такой схемы механизма.
Профессором Л. Т. Дворниковым и А. А. Обряди-ным запатентована схема пространственного четы-рехзвенного механизма [3], ведущее звено которой соединено при помощи упругого элемента со стойкой через сферический поршень, помещенный в гидро-или пневмоцилиндр. Как отмечают авторы, достоинством конструкции по сравнению с другими механизмами является использование только кинематических пар пятого класса.
Несмотря на существующее в инженерной практике многообразие четырехзвенных пространственных механизмов наиболее рациональными, с точки зрения простоты реализации и обеспечения точности позиционирования выходного звена, являются схемы, показанные на рис. 1а и б, которые отличаются классом используемых кинематических пар.
Механизм, показанный на рис. 1 а, состоит из звеньев, соединенных кинематическими парами пятого класса, согласно классификации И. И. Артоболевского [2], и позволяет передавать движение в перпендикулярных плоскостях. Использование пар третьего и четвертого класса (сферической и сферической с пальцем) в рассматриваемой кинематической цепи (рис. 1б) обеспечивает перемещение ползуна вдоль прямой, произвольно расположенной в пространстве, однозначно задаваемой углами Эйлера и параллельным переносом осей координат.
б
а
Рис. 1. Структурные схемы четырехзвенных пространственных механизмов
Кинематическое исследование пространственных механизмов. Существующее положение в области кинематического исследования пространственных рычажных механизмов характеризуется наличием большого числа различных методов [6 — 9], основанных на применении того или иного математического аппарата для установления функциональной зависимости параметров движения звеньев или их отдельных точек от заданных переменных и постоянных параметров синтеза механизма.
В работе [6] автором предложен аналитический метод исследования пространственных механизмов, составленных из вращательных и цилиндрических кинематических пар, основанный на использовании приемов аналитической и кинематической геометрии в трехмерном пространстве Современная теория механизмов всё в большей степени при решении задач анализа пространственных механизмов обращается к аппарату теории винтов и винтового исчисления, родоначальником которой является Р. Болл [10]. Первым применил теорию винтов в теории механизмов Ф. М. Диментберг [11], а позднее А. П. Котельников [12] опубликовал ряд работ, посвященных этой тематике. Актуальность применения теории винтов растет с переходом от одноконтурных механизмов с одной степенью свободы к открытым кинематическим цепям манипуляторов и к многоконтурным пространственным манипуляционным механизмам параллельной структуры [13].
Таким образом, многие из известных методов базируются на сложном и весьма специфическом математическом аппарате. Между тем сложность метода анализа не обязательно свидетельствует о его эффективности. Напротив, часто более быстрыми и эффективными оказываются алгоритмы, составленные на базе сравнительно простых методов, например, на аналитической геометрии.
Кинематический анализ пространственных четырехзвенных механизмов, направляющая ось выходного звена которых лежит в плоскости хОг. На рис. 2 представлена кинематическая схема пространственного кривошипно-ползунного механизма, геометрические размеры звеньев /1, 12 и 13, а также угол наклона р направляющей выходного ползуна 3 назначаются в соответствии с техническими требованиями.
Поворот кривошипа 1 вокруг оси Ох на угол ф (рис. 2а) переводит центр шарнира А в точку А. и вызывает перемещение на расстояние 5 шарнира В, причем траектория движения последнего параллельна направляющей ползуна Б.
Для расчета расстояния между центром шарнира О и плечом выходного звена Б в плоскости хОх
изображена проекция механизма (рис. 2 б) в начальный момент времени, соответствующий нулевому значению угла ф. Фигура представляет собой наклонную трапецию с параллельными сторонами ОА и ВБ. Достроим рисунок до параллелограмма, для этого из точки В проведем прямую, параллельную стороне ОБ. Изображенный на рис. 2б угол а вычислим, используя известные соотношения углов при параллельных прямых и теорему синусов:
cos(p) I, если 1 >13;
11 -13 12
13-11 |cos(P) I-b, если 1. < 13
(1)
Расстояние ¡ОЕ) зависит от соотношения кинематических параметров и 13 и определятся с учетом формулы (1) из соотношения:
1™ =
cos(a + B)
12-^-если 1. < 13
2 cos(b) 1 3
cos(a)
12-, если 1. > 13.
2 cos(b) 1 3
(2)
По теореме косинусов длину стороны В A треугольника DOB A. вычислим следующим образом:
(B'A. )2 = 12 +12 -21113 -cos(Ф).
(3)
Аналитическую зависимость между входной и выходной координатой получим в явном виде из теоремы Пифагора, записанной для прямоугольного треугольника АВ Л.В1 используя выражения (2) и (3):
12 = 12 +12 -21,13cos(ф)+( 1od -5)2.
(4)
В результате алгебраических преобразований функция положения четырехзвенного пространственного кривошипно-ползунного механизма, выходной ползун которого перемещается в плоскости хОх, примет вид:
5 = 1OD-л/122 -12 -132 + 2Л13 cos(ф)
(5)
Дифференцируя по времени уравнение (5), получим скорость и ускорение изменения положения выходного ползуна исследуемого четырехзвенного механизма:
5' =
1113 sin(ф)-ф
л/122 -12 -132 + 2L13 cos(ф) '
(6)
л
Рис. 2. Кинематическая схема пространственного четырехзвенного механизма, выходное звено которого перемещается в плоскости хОг
Рис. 3. Кинематическая схема пространственного четырехзвенного механизма, выходное звено которого перемещается в плоскости хОу
S'=hh Kcos(j)-(j' )2 +sin(ф)-ф' )х >
(l2 -1,2 -132 + 21,13cos(ф))1
(l22 -11 -132 + 2I1I3 cos (j))+ I1I3 sin2 (ф)-(ф ' )2 ]
. (7)
Л0Л,. =21, sin(0,5ф).
(9)
Расстояние А 0 В1 вычислим из прямоугольного треугольника ДА0А;В; по теореме Пифагора с учетом формулы (9) как:
А0В,2 = 122 -41,2 sin2 (0,5ф).
(10)
Траектории движения звена 3 и шарнира В запишем в виде уравнений прямых, для которых известен градиент и смещение по оси Ох:
Yo =tg (b)-xo + i'-V
Ув = tg(b)-хв + j-10 +,-13 -sin-1 (b). (11)
Далее найдем расстояние от точки Л0 (0; 0; -1,cos(ф)) до прямой В (11), упростив выражение, используя известные тригонометрические соотношения:
Подставив рассчитанные по формулам (9—12) значения параметров и выполнив соответствующие математические преобразования, получим уравнение четвертой степени относительно неизвестного перемещения выходного ползуна:
Кинематический анализ пространственных четырехзвенных механизмов, направляющая ось выходного звена которых лежит в плоскости хОу.
Рассматриваемая конструкция четырехзвенного механизма (рис. 3а) может существовать в следующих модификациях: параметр j=±1 определяет положение направляющей выходного звена 3 относительно оси Оу, значение параметра г=±1 задает положение под прямым углом шарнира В выше или ниже прямой, по которой перемещается ползун 3. Дополнительно вводятся угол наклона (3 и расстоянием 10, как показано на рис. 3 б. Геометрические параметры 11,12 и 13 а также модификация кинематической цепи ОАББ, показанной на рис. 3, на этапе кинематического анализа известны.
Зависимость выходной обобщенной координаты (перемещение ползуна 3) от входной (угол поворота кривошипа 1) получим, записав площадь треугольника Д А 0 А1В1:
у/р(р-БоБ,)(р-АоБо)(р-АоБ,)=0,5-^Б,, (8)
где для расчета длины хорды А0 А(, используя теорему синусов в треугольнике Д А0 ОА;:
S4 +2S2 (h2 -2-12 )+(122 -А0В2 )2 =0 .
(13)
Дифференцируя выражение (13) по времени, которое как параметр неявным образом входит в входную, и во выходную обобщенную координату, запишем законы изменения скорости и ускорения движения выходного ползуна механизма:
S,= 1,2sin(ф)(4 1,2sin2 (0,5ф)-12 )-ф';
S3 + S(h2 -2-122) '
,, 1,2 -[(j')2 -(41,2 sin3 (p)-cos (ф) А0В2 )-
S"=
h=cos (b)-| j -10 + i -13 -sin-1 (b) .
(12)
[S3 +S(h2 -2-12 )]2
® -CP"sin(ф)А0В2 ]-S[S2 +(h2 -2-12 )]+
12 Бт(Ф)А0Б2 -ф'-5'[352 +(Л2 -2-122)] + [53 + 5(Л2 -2-122 )]2
Кинематический анализ пространственных четырехзвенных механизмов, направляющая ось выходного звена произвольно направлена в пространстве Охут. Траектория перемещения выходного звена в общем случае задается углами а и у поворота относительно осей абсцисс, ординат и аппликат соответственно, а также относительным перемещением 1, т, п по данным осям. Кинематическая схема механизма (рис. 4) для реализации такого движения требует замены кинематических пар пятого класса в сочленениях А и В на более высокий класс, допускающий вращение в нескольких плоскостях.
Подвижность и статическую определимость предлагаемой конструкции оценим по формуле Сомова — Малышева [2]:
^ = 6л-3р3 -4р4 -5р5 =6-3-3-1-4-1-5-2 = 1.
Поскольку количество степеней свободы рассматриваемого механизма равно единице, то при заданном движении входного кривошипа все остальные звенья будут иметь вполне определенные движения и при соответствующих значениях параметров кинематической цепи пространственный четырехзвен-ный механизм будет работоспособным.
б
а
■4
V
Рис. 4. Кинематическая схема пространственного четырехзвенного механизма, выходное звено которого перемещается вдоль прямой произвольно расположенной в пространстве Охуг
Для решения прямой задачи кинематики рассматриваемого механизма вводится относительная система координат Вх'у'х', положение которой однозначно определяется углами р, а и у и линейными перемещениями 1, т, п. Не нарушая общности рассуждений предположим, что согласно техническим условиям заданы не нулевые значения параметров Р, a и 1=1ОС, как показано на рис. 4. Матрица перехода (преобразования координат) в силу принятых допущений примет вид:
где Ry=
А = Ry • Rx T
cos (a) 0 - sin (a) 0
0 10 0
sin (a) 0 cos (a) 0
0 0 0 1
(14)
' 1 0 0 0" " 0 0 0 0
R = 0 cos(Р) sin(р) 0 ; T= 0 1 0 0
x 0 - sin (Р) cos(р) 0 0 0 1 0
_ 0 0 0 1 _ _ loc 0 0 1
Как было сказано выше, кинематические параметры 11, 12 и 13 цепи ОАВБ рассчитываются на этапе кинематического синтеза в соответствии с заданной функцией положения или иными требованиями. В системе Бх'у'X однородные координаты точек Б и В определятся следующим образом:
Ботн =[ 10 + 5; 0; 0; 1], Вотн =[10 + 5; 0; -13; 1].
С учетом выражения (14) положение плеча ВБ выходного ползуна в абсолютных координатах вычислим как:
Бабс = Ботн * а и Вабс = Вотн ' а. (15)
Текущие координаты точки а в пространстве Охух, соответствующие некоторому промежуточному положению входного звена, задаваемому углом ф поворота кривошипа в плоскости Оух, равны:
Аa6c =[0; ^sin(j); -lxcos(j); 1].
(16)
Исходя из известной геометрии шатуна АВ и формулы для расчета евклидового расстояния между точками, сформируем уравнение:
l =1 а - в II J2_II^абс ^абс\\е '
Для пространственного случая невозможно выразить в явном виде зависимость между входной (углом ф поворота кривошипа ОА) и выходной (пере-
мещением S ползуна D) координатой четырехзвенного механизма и прямая задача кинематического анализа может быть решена численно, например, методом Зейделя или Ньютона-Рафсона [14] .
Численный эксперимент. Численное решение прямой задачи кинематического анализа и моделирование работы пространственных четырехзвенных механизмов (рис. 2 — 3) выполнено в математическом пакете Model Vision Studium (MVS). Программное приложение представляет собой интегрированную графическую оболочку для быстрого создания интерактивных визуальных моделей сложных динамических систем и проведения вычислительных экспериментов с ними.
На этапе моделирования в качестве закона движения входного кривошипа 1 пространственных кри-вошипно-ползунных механизмов принято равномерное вращение с постоянной угловой скоростью ш 1 при условии обеспечения стабилизации оборотов выходного вала электродвигателя:
Ф=ш 1 •t.
Кинематические параметры назначались произвольно, поскольку алгоритм синтеза в статье не разрабатывался. Для обеспечения единообразия результатов численных экспериментов приняты одинаковые значения геометрических параметров, а именно l0=15 мм l1= 10 мм, l2 = 23 мм, а l3=12 мм. Угол Р равен 10° для первого случая и 30° — для второго. В работе моделировалась модификация пространственного механизма (см. рис. 3), задаваемая параметрами z=—1 и j = +1.
На рис. 5 представлен фрагмент системы уравнений, содержащий не только аналитические зависимости для вычисления кинематических характеристик движения механизмов, но и выражения для расчета положений отдельных их точек в терминах пакета. Программа либо автоматически подбирает численный метод в соответствии с видом модели, либо позволяет пользователю выбрать наиболее подходящий вариант из числа имеющихся методов, а также регулировать точность вычислений.
Результаты решения прямой задачи кинематики для исследуемых вариантов механизмов показаны на рис. 6. Изменение функции положения в зависимости от угла поворота входного кривошипа 1 исследуемых механизмов представлены в виде фазовых диаграмм (рис. 6 а, б). Гладкая форма графиков, т.е. плавное изменение исследуемых кинематических характеристик, свидетельствуют об отсутствии мертвых положений в работе пространственных механизмов, при которых наблюдается неограниченный рост усилий при передаче движения, а также критическое значение угла давления в шарнире В.
В результате анализа данных численных экспериментов установлено, что для назначенных кинематических размеров звеньев пространственных че-тырехзвенных кривошипно-ползунных механизмов максимальное значение перемещение выходного звена для первых двух вариантов составляет 11,6 мм и 13,4 мм соответственно.
Анимация работы синтезированных пространственных кривошипно-ползунных механизмов (рис. 7) реализована из стандартных компонентов 3D-модели пакета Model Vision Studium. В результате моделирования работы пространственных четырех-звенных механизмов установлено, что при определенном сочетании параметров могут наблюдаться «мертвые» положения. Так, при j = 180' критичным, с точки зрения обеспечения работоспособности,
Рис. 5. Фрагмент программы для исследования кинематики пространственных кривошипно-ползунных механизмов
Фазовая диаграмма CiDLMj®
"lb 14 12 10 L.J...L.
I--:—:—:—:—
2 Б со 4
0 -2 ■4 0 20 40 ео 80 100 120140 1 ео 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 Fi, грац
<1 1 ►
Рис. 6. Фазовые диаграммы функции положения пространственных четырехзвенных механизмов
Рис. 7. 30-модель пространственных четырехзвенных кривошипно-ползунных механизмов
является соотношение размеров входного кривошипа ОА и шатуна АВ. Если для назначенных размеров выполняется следующее равенство:
12 = 2-11,
то в процессе работы звенья 1 и 2 накладываются друг на друга и возможен самопроизвольный переход из одной модификации в другую.
Заключение. Пространственные четырехзвенные кривошипно-ползунные механизмы при меньшем числе звеньев по сравнению с плоскими механизмами обеспечивают передачу движения в осях, произвольно расположенных в пространстве и имеют более рациональную компоновку, что позволяет создавать на их основе меньшие по габаритам машины.
В статье выделены структурные согласования схем кривошипно-ползунных механизмов отличающиеся плоскостью движения выходного ползуна. В первом варианте — вращение входного звена в плоскости уОх преобразуется в поступательное движение звена в плоскости хОх, во втором — хОу, и в третьем за счет изменения класса кинематических пар А и В — произвольно в пространстве
Oxyz. На основе известных принципов аналитической алгебры, геометрии и тригонометрии для двух первых вариантов получены в аналитической форме зависимости для функции перемещения, а также в результате дифференцирования первая и вторая передаточные функции. В последнем случае сформирована система уравнений прямой задачи кинематики, которая решается известными численными методами.
Выполненные численные эксперименты в математическом пакете Model Vision Studium (MVS) позволили построить фазовые диаграммы функций положения, скорости и ускорения выходного кривошипа и доказать адекватность предложенных методик и сформировать рекомендации по выбору свободных параметров синтеза механизмов, гарантирующие отсутствие «мертвых» положений. В продолжение работы планируется аналитически решить задачу анализа конфигурационного многообразия пространственных четырехзвенных механизмов.
Результаты исследования могут быть использованы при проектировании безмуфтовых прессов, которые по сравнению с традиционными более компактны, надежны и высокопроизводительны, по-
б
а
б
а
б
а
скольку управляющие устройства работают только в момент переключения, в рабочем режиме они отключаются и не участвуют в технологическом процессе штамповки изделия.
Библиографический список
1. Левитский, Н. И. Теория механизмов и машин / Н. И. Ле-витский. — М. : Наука, 1979. — 269 с.
2. Артоболевский, И. И. Теория механизмов / И. И. Артоболевский. — М. : Наука, 1988. — 640 с.
3. Пат. 2446331 С1 РФ, МПК Б16Н 21/00. Пространственный шарнирный четырехзвенник / Л. Т. Дворников, А. А. Обрядин ; заявитель и патентообладатель ГОУ ВПО Сибирский государственный индустриальный университет, г. Новокузнецк. — № 201045407/11 ; заявл. 08.11.2010 ; опубл. 27.03.2012, Бюл. № 9. - 5 с.
4. Пат. 2309051 С1 РФ, МПК В 43 Ь 11/00. Механизм для воспроизведения пространственных кривых / Л. Т. Дворников, А. С. Фомин ; заявитель и патентообладатель ГОУ ВПО Сибирский государственный индустриальный университет, г. Новокузнецк. - № 2005141747/06 ; 30.12.2005 ; опубл. 27.10.2007, Бюл. № 30. - 4 с.
5. Гебель, Е. С. Синтез четырехзвенных рычажных механизмов на основе метода оптимизации / Е. С. Гебель, А А Джо-мартов, Б. К. Синчев // Омский научный вестник. Сер. Приборы, машины и технологии. — 2011. — № 2 (100). — С. 58-60.
6. Романцев, А. А. К определению положений звеньев пространственных механизмов [Электронный ресурс] / А. А. Ро-манцев // Теория механизмов и машин, 2008. — Т. 6, № 2. — С. 48 — 59. — Режим доступа : http://tmm.spbstu.ru/ (дата обращения: 26.02.2015).
7. Галиуллин, Ш. Р. О структуре и кинематике пространственного пятизвенного механизма с вращательными парами [Электронный ресурс] / Ш. Р. Галиуллин, Р. Ш. Марданов // Теория механизмов и машин. — 2011. — № 2 (9). — С. 30 — 37. — Режим доступа : http://tmm.spbstu.ru/ (дата обращения: 26.02.2015).
8. Fisher, I. S. Numerical analysis of displacement in special mechanism with ball joints / Mech. and Mach. Theory, 2000. — № 35 (11). - P. 1623-1640.
9. Zhao, X. H. A successive approximation algorithm for the direct position analysis of parallel manipulators / X. H. Zhao, Sh. X. Peng // Mech. and Mach. Theory, 2000. - № 35 (8). -P. 1095-1101.
10.Ball, R. S. A Treatise on the Theory of Screws / R. S. Ball. — Cambridge: Cambridge University Press, 1900. - 544 p.
11. Диментберг, Ф. М. Теория винтов и ее приложения / Ф. М. Диментберг. - М. : Наука, 1978. - 327 с.
12. Котельников, А П. Винтовое счисление и некоторые приложения его к геометрии и механике / А. П. Котельников. -Казань, 1895. - 216 с.
13. Глазунов, В. А. Применение винтового исчисления в современной теории механизмов / В. А. Глазунов, С. Д. Кос-терева, П. О. Данилин, А. Б. Ласточкин // Вестник научно-технического развития. - 2010. - № 6 (34). - С. 12-17.
14. Корн, Г. А. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. А. Корн, Т. М. Корн. - 6-е изд., стер. - М. : Лань, 2003. - 832 с.
ГЕБЕЛЬ Елена Сергеевна, кандидат технических наук, доцент кафедры автоматизации и робототехники Омского государственного технического университета (ОмГТУ).
Адрес для переписки: Gebel_es@mail.ru АБДИРАИМОВ Абдусамад Акматович, кандидат технических наук, доцент кафедры метрологии и стандартизации Кыргызского государственного технического университета им. И. Раззакова. Адрес для переписки: abdiraimov@mail.ru СОЛОНИН Евгений Владимирович, кандидат педагогических наук, доцент кафедры автоматизации и робототехники ОмГТУ. Адрес для переписки: Solonin_ev@mail.ru
Статья поступила в редакцию 16.03.2015 г. © Е. С. Гебель, А. А. Абдираимов, Е. В. Солонин
Книжная полка
Маркечко, И. В. Проектирование штампов листовой штамповки с использованием программного продукта «Компас-Штамп» [Электронный ресурс] : учеб. электрон. изд. локального распространения : учеб. пособие для студентов вузов по направлению 150200 «Машиностроительные технологии и оборудование», специальности 150201 «Машины и технология обработки металлов давлением». В 2 ч. Ч. 1 / И. В. Маркечко, М. В. Медведев, В. Г. Штеле. - Электрон. текстовые дан. (54,2 Мб). - Омск : ОмГТУ, 2014. - 1 эл. опт. диск (CD-ROM).
В первой части пособия описаны методика и пример проектирования разделительного штампа с использованием программного продукта «Компас-Штамп». Предназначено для студентов специальности «Оборудование и технология обработки металлов давлением» и специалистов обработки металлов давлением.
Маркечко, И. В. Проектирование штампов листовой штамповки с использованием программного продукта «Компас-Штамп» [Электронный ресурс] : учеб. электрон. изд. локального распространения : учеб. пособие для студентов вузов по направлению 150200 «Машиностроительные технологии и оборудование», специальности 150201 «Машины и технология обработки металлов давлением». В 2 ч. Ч. 2 / И. В. Маркечко, М. В. Медведев, В. Г. Штеле. - Электрон. текстовые дан. (54,2 Мб). - Омск : ОмГТУ, 2014. - 1 эл. опт. диск (CD-ROM).
Во второй части пособия описаны методики и примеры проектирования разделительного штампа совмещенного действия, а также дан пример формирования чертежа пуансона с использованием программного продукта «Компас-Штамп». Предназначено для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению 150200 «Машиностроительные технологии и оборудование», специальности 150201 «Машины и технология обработки металлов давлением».
