Кинематический анализ механизма параллельно-последовательной структуры с пятью степенями свободы Текст научной статьи по специальности «Физика»

18

ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ. МАШИНОСТРОЕНИЕ

#8(713) 2019

УДК 621.01 doi: 10.18698/0536-1044-2019-8-18-24

Кинематический анализ механизма параллельно-последовательной структуры с пятью степенями свободы

Г.С. Филиппов

ФГБУН «Институт машиноведения им. А.А. Благонравова РАН»

Kinematic Analysis of a Parallel-Sequential Structure Mechanism with Five Degrees of Freedom

G.S. Filippov

Federal State Budgetary Institution of Science — Blagonravov Mechanical Engineering Research Institute of the Russian Academy of Sciences

Синтезирован механизм параллельно-последовательной структуры с пятью степенями свободы, способный решать задачу обработки объектов, имеющих протяженный размер в одном направлении. При этом рассматриваемый механизм может обладать высокой нагрузочной способностью. Соответствующие задачи связаны с изготовлением лопаток турбин реактивных двигателей, а также с вертебральными операциями (на позвоночнике человека). Движение вдоль координаты, которая связана с большими размерами обрабатываемого объекта, обеспечивается с помощью начальной поступательной пары, снабженной двигателем. Затем следует плоский частичный плоский механизм параллельной структуры с тремя степенями свободы, далее — вращательная кинематическая пара. Выполнен кинематический анализ рассматриваемого механизма, решена обратная задача о его положениях. При решении задачи о скоростях механизма параллельно-последовательной структуры применен метод Ан-джелеса-Гослена, предназначенный для механизмов параллельной структуры. Приведены результаты численного эксперимента.

Ключевые слова: метод Анджелеса-Гослена, механизм параллельно-последовательной структуры, задача о скоростях, обратная задача о положениях, неявные функции

The article presents a synthesis of a mechanism of parallel-sequential structure with five degrees of freedom capable of processing objects with an extended dimention in one direction, wherein the considered mechanism can have a high bearing capacity. Corresponding problems are associated with manufacturing jet turbine airfoil as well as vertebrae operations (on the human spine). Movement along a coordinate that is linked to large dimensions of a processed object is provided using the initial translation pairs equipped with a motor. It is followed by a flat partial parallel structure mechanism with three degrees of freedom, and further - by a revolute kinematic pair. A kinematic analysis of the considered mechanism is performed, and the inverse kinematic problem is solved. The Angeles-Gosselin method for parallel structure mechanisms is used when performing velocity calculations of the parallel-sequential structure mechanism. The results of the numerical experiment are presented.

Keywords: Angeles-Gosselin method, parallel-sequential structure mechanism, velocity calculation, inverse kinematics problem, implicit function

#8(713) 2019

ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ. МАШИНОСТРОЕНИЕ

19

Развитие роботов-манипуляторов и их внедрение в различные отрасли науки и промышленности осуществляются высокими темпами. Применение роботизированных механизмов в различных сферах деятельности происходит повсеместно, открывая новые возможности для разработчиков и производителей. При этом растет разнообразие структур и компоновок механизмов, используемых в аддитивных технологиях [1, 2].

Современные способы создания и обработки деталей для различных отраслей промышленности, включая авиационную, ставят сложные задачи перед разработчиками механизмов [3, 4]. Характеристики роботизированных манипуляторов для высокоточного пространственного изготовления и обработки деталей синтезируемых механизмов, такие как точность и грузоподъемность, могут быть противоречивыми и трудновыполнимыми для разработчиков [4, 5].

Учитывая высокую значимость развития технологий высокоточного изготовления и обработки деталей, в Институте машиноведения им. А.А. Благонравова синтезирован механизм для решения данных задач, проведен его структурный анализ [7, 8].

Цель работы — провести кинематический анализ синтезированного механизма, получить решение обратной задачи о положениях и решить задачу о скоростях.

Рассматриваемый механизм параллельно-последовательной структуры с пятью степенями свободы (рис. 1) содержит основание 9 и соединенные между собой кинематическими цепями направляющую раму 8 и выходное звено

Рис. 1. Модель механизма параллельно-последовательной структуры с пятью степенями свободы

с установленным на нем рабочим органом 2. Направляющая выполнена в виде жестко закрепленной на основании по углам прямоугольной рамы 8, на двух параллельных сторонах которой имеются подвижные кинематические пары 7.

Выходное звено представляет собой прямоугольную раму 1. На ее двух сторонах, параллельных соответствующим сторонам направляющей с кинематическими парами, расположены две пары поворотных шарниров 4. Последние соединены с подвижными парами, расположенными на направляющей, двумя кинематическими цепями, каждая из которых включает в себя две пары параллельных жестких звеньев 5.

Звенья 5 с одной стороны сопряжены между собой и с рамой выходного звена поворотными шарнирами 4, а с другой — двойным поворотным шарниром 6 с вертикально установленным на подвижном шарнире направляющей рамы 8. Причем рабочий орган 2 закреплен на средней оси рамы выходного звена, связанной с вращательными приводами 3, расположенными на двух сторонах рамы 1 между поворотными шарнирами 4.

Для решения обратной задачи о положениях рассматриваемого механизма определяем центры систем координат (СК) выходного звена и основания (см. рис. 1). Рассчитываем переходную матрицу из СК выходного звена к СК основания:

^ cos Р sin Р sin а - cos а sin Р 0

M — A xyz Ac 0

cos а sin а 0

Ар —

sin Р - cos Р sin а cos Р cos а 0

(1)

где Aху2 — матрица смещения вдоль осей СК OXYZ•; Ла и Ap — матрицы вращения вокруг осей OX и OY; р и а — углы, определяющие вращение вокруг осей OY и OX; х, у и 2 — расстояния, задающие смещение вдоль осей ОХ, OY и OZ точки крепления инструмента в СК основания — Ао(х, у, 2).

Далее вычисляем переход точки А0 из СК выходного звена в СК основания через матрицу преобразования

Ml — Aixyz Аа АР A Z1

0 sin Р

x1 - L1 sin Р

Л

cos а - cos Р sin а y1 + L1 cos Р sin а sin а cos Р cos а z1 - L1 cos Р cos а 0 0 1

(2)

( cos Р sin Р sin а - cos а sin Р 0

ч /

где A1xyz — матрица перемещения вдоль осей СК OXYZ на расстояния xb yi, zb (xb уъ z0 в геометрический центр рамки — точку А1 (рис. 2);

20

ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ. МАШИНОСТРОЕНИЕ

#8(713) 2019

Рис. 2. Схема расположения основных элементов механизма параллельно-последовательной структуры

Аг1 — матрица перемещения на длину выходного звена Ь1.

Приравнивая матрицы (1) и (2), составим матрицу преобразования в СК основания, учитывающую поворот рамки вокруг оси ОХ:

МР — А1хуг Аа —

( 10 0 х + ¿1 8Ш Р ^

0 со8 а - 8т а у - Ь1 со8 Р вт а

0 8т а сое а г + Ь1 со8 Р сое а 0 0 0 1

(3)

Для нахождения перемещений в приводах зададим геометрические размеры подвижной рамки. Сторону, параллельную оси ОХ, обозначим как а, а параллельную оси ОУ — Ь (см. рис. 2). Зададим координаты точек А2 и Аз, расположенные в точках пересечения подвижной рамки и оси вращения выходного звена. Координаты точек А2 и А3 в СК А1Х1У121 с центром в точке А1 (рис. 3):

( 0 ^ ( 0 ^

А2 —

2 0

V1/

Аз —

V 1 у

(4)

Для получения координат точек А2 и А3 в СК основания необходимо применить матрицу преобразования МР (3) и выражения (4):

А 2о — МР • А2; А3о — МР • А3.

Отсюда

А.2о —

у-

х + Ь1 вт Р Ь сое а

2

?8т а

- Ь1 сое Р вт а

+ Ь1 сое Р со8 а 1

#8(713) 2019

ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ. МАШИНОСТРОЕНИЕ

21

Азо =

у-

x + L1 sin р b cos a

z —

2

sin a

- L1 cos р sin a

L1 cos р cos a

1

Точки соединения промежуточных звеньев обозначим как В (хЬ, уЬ, zb), С (хс, ус, zc), В (хй,уй, zd) и Е (хе,уе, zе), звенья, связывающие точки Аг, С и Аз, Е — Ьз, точки С, В и В, Е — Ь2. Введем обозначения углов (см. рис. 3): между промежуточным звеном Ьг и плоскостью ОХУ — 5 и ф ; между звеном Ьз и плоскостью ОХУ — у ; между звеном, соединяющим точки А2, В, и плоскостью ОХУ — 9 ; между звеном, связывающим точки Аг, В, и звено Ьг — у ; между звеном, соединяющим точки А3, В, и плоскостью ОХУ — ^; между звеном, связывающим точки Аз, В, и звено Ьг — к .

Точки В и В соединены с основанием звеньями Ь4. Обозначим обобщенные координаты как ^ - qs (рис. 4). После преобразований получим решение обратной задачи о положениях рассматриваемого механизма:

q1 = x + Li sin P;

q2 = arccos 0+ arccos y;

q3 = arccos

( b cos a ^ -yb-L2 cos5 + у +-----Li cosPsina

(5)

q4 = arccos q + arccos к;

q5 = P.

Для решения задачи о скоростях используем метод Анджелеса-Гослена [9, 10], суть которого заключается в дифференцировании уравнений связей. Составляем указанные уравнения связей в неявном виде, проводим дифференцирование и получаем зависимость между обобщенными скоростями в приводах © и абсолютными скоростями центра выходного звена V:

ЛУ = (-Б)Ю, (6)

где А — матрица частных производных от неявных функций по независимым координатам а, Р, х, у, z; В — матрица частных производных от неявных функций по q¡.

Тогда уравнение (6) принимает вид

( 8Fl 5a

F

5a

5a 5F4 5a

5F5 5a

5F1

"5р

5fl 5р 5FL 5р

5F4

"5р"

5P

5F1

5x

5FL

5x

5F3

5x

5F4

5x

5fl

5x

5F1 5F1 Л

5y 5z

5fl 52

5y 5z

5FL 5F3

5y 5z

5F4 5F4

5y 5z

5Fl 55

5y 5z

(a л P

У

z

v /

( 5F1 5q1 0 0 0 Л 0

0 5F> 5q2 0 0 0 f ^ 1

0 0 5q, 0 0 q2 q,

0 0 0 5F4 5q4 0 q4 v q5 1

0 0 0 0 _5FL 5qs

где F - F5 — функции уравнений связей, составленные в неявном виде.

Для составления функций в неявном виде используем систему уравнений (5):

F = x + L1sin р-q1;

F2 = cos (0 + y)-cos q2;

Рис. 4. Схема расположения приводов рассматриваемого механизма

, , b cos a . - yb - L2 cos 5 + у +---L1 cos р sin a

F, =-

-cos q3;

F4 = cos (q+к)- cos q4; F5 = р- q5.

22

ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ. МАШИНОСТРОЕНИЕ

#8(713) 2019

Приведем некоторые из частных производных от неявных функций:

дд дд Р дд , дд п

-— 0;-— Ь1со8 Р; -— 1;-— 0;

да дР дх ду

дД дД2 — — 0; — — 0;

дг дх

дД2 ( Ь 81п а т | т2 т2

— ^г - Ь4 +-----+ 11со8Р соеа| - Ц + Ц

Ь Ь со8 а т _ . I2 у- — +-----Ц со8Р81пау -....

Приведем пример решения задачи о положениях рассматриваемого механизма. Зададим его геометрические размеры: Ц — 300 мм; ¿2 — 330 мм; ¿3 — 330 мм; ¿4 — 270 мм. Размеры подвижной рамы: а — 681мм; Ь — 1100 мм. Координаты точек В и Б соответственно:

(хЬ — 155 мм; уЬ — 550 мм; гЬ — 270 мм)

и

(хй —155 мм; уй — -550 мм; гй — 270 мм).

Зададим положение выходного звена и углы его ориентации в пространстве:

а —15°13'; Р — 25°20'; х — 0; у — 0; г — 400 мм.

Используя программу расчета положений механизма параллельно-последовательной структуры с пятью степенями свободы, получим значения перемещений в приводах:

41 — 0; 42 — 65°;

42 —134°;

43 —134°;

43 — 65°;

44 — -34°;

44 —169°;

45 — 25°,

где 42,43,44 — вторые варианты положений звеньев в приводах, возникающие из-за наличия знака « ± » в системе (5) и объясняемые возможностью достижения заданных координат выходного звена в двух положениях промежуточных звеньев.

Составим матрицы частных производных:

дЦ ду

(ад эд. дЗ.

да дР дх дх

дД3 дД3 дД3 дД3

да дР дх ду

дД4 дД4 дД4 дД4

да дР дх ду

дг

да дР

ду дг дД3 дг дД4 дг

0

8Д5 8Д5 дД5 дД5 дД5

8а 8Р дх ду дг ( 0 271,169 1 0

-3,513-108 6,443 -107 0 3,993 •Ю5 -4,117-105

-1,113 •Ю8 4,452 •Ю7 0 -1,917-105 -4,117 •Ю5

-4,017-105 5,706 •Ю6 0 1,001 •Ю5 -1,885 •Ю4

А

д41 0

0

0

0

(-1

0

0

дД2

д42 0

0

0

1

0

0

0

0 0

д43 0

0

0 0 0

дД4

д44 0

0 0 0 0

д45

0

0 1,768 •Ю8 0 0 00 0 0

0 0

-1,4-108 0 0

0 0 0

-2,378 -107 0

0 I 0 0 0 -1

Зададим абсолютные скорости:

а — 0,21 рад / с; (3 — 0,35 рад / с; х — 200 мм / с; у — 400 мм / с; г — 300 мм / с. Получим обобщенные скорости

(411 (0,295 м/с I

42

43

44

V 45 У

0,085 рад/с -1,486 рад/с 1,527 рад/с 0,35 рад/с

#8(713) 2019

ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ. МАШИНОСТРОЕНИЕ

23

Вывод

Проведен кинематический анализ механизма параллельно-последовательной структуры с

пятью степенями свободы, имеющего перспективы использования в аддитивных технологиях, а также в испытательных и диагностических устройствах.

Литература

[1] Концепция долгосрочного социально-экономического развития Российской Федерации

на период до 2020 г. Распоряжение Правительства Российской Федерации от 17 ноября 2008 г. № 1662-р.

[2] Ганиев Р.Ф., Глазунов В.А., Филиппов Г.С. Актуальные проблемы машиноведения и

пути их решения. Волновые и аддитивные технологии, станкостроение, роботохирургия. Проблемы машиностроения и надежности машин, 2018, т. 5, с. 16-25, doi: 10.31857/S023571190001553-9

[3] Глазунов В.А. Механизмы параллельной структуры и их применение:

робототехнические, технологические, медицинские, обучающие системы. Москва-Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2018. 1036 с.

[4] Филиппов Г.С., Глазунов В.А., Лактионова М.М., Терехова А.Н., Гаврилина Л.В.

Разработка механизмов параллельной структуры с пятью степенями свободы для ортопедических операций и аддитивных технологий. Машиностроение и инженерное образование, 2018, т. 4, № 57, с. 2-11.

[5] Григорьянц А.Г., Третьяков Р.С., Фунтиков В.А. Повышение качества поверхностных

слоев деталей, полученных лазерной аддитивной технологией. Технология машиностроения, 2015, т. 10, с. 68-73.

[6] Ганиев Р.Ф., Глазунов В.А. Манипуляционные механизмы параллельной структуры и

их приложения в современной технике. Доклады Академии наук, 2014, т. 459, № 4, с. 428-431, doi: 10.7868/S086956521434009X

[7] Глазунов В.А., Филиппов Г.С., Петраков А.А., Царьков А.В. Разработка новых

механизмов для современных робототехнических систем, предназначенных для технологических, медицинских, аддитивных и диагностических устройств. В кн.: Новые механизмы в современной робототехнике. Москва, ТЕХНОСФЕРА, 2018, с. 131-143.

[8] Филиппов Г.С., Глазунов В.А., Ласточкин А.Б. Механизм параллельной структуры с 5

степенями свободы для вертебральных операций и аддитивных технологий. Справочник. Инженерный журнал, 2018, т. 10, с. 55-60, doi: 10.14489/hb.2018.10.pp.055-060

[9] Gosselin C.M., Angeles J. Singularity analysis of closed-loop kinematic chains. IEEE

Transactions on Robotics and Automatics, 1990, vol. 6(3), pp. 281-290, doi: 10.1109/70.56660

[10] Хейло С.В. Решение задачи о скоростях манипулятора с тремя степенями свободы

с применением теории винтов. Проблемы машиностроения и автоматизации, 2011, № 1, с. 77-81.

References

[1] Kontseptsiya dolgosrochnogo sotsial'no-ehkonomicheskogo razvitiya Rossiyskoy Federatsii na

period do 2020 [The concept of long-term socio-economic development of the Russian Federation for the period up to 2020]. Rasporyazhenie Pravitel'stva Rossiyskoy Federatsii ot 17 noyabrya 2008 no. 1662-r.

[2] Ganiev R.F., Glazunov V.A., Filippov G.S. Actual problems of engineering and their

solutions. Wave and additive technologies, machine-tool construction, robot-surgery. Problemy mashinostroeniia i nadezhnosti mashin, 2018, vol. 5, pp. 16-25, doi: 10.31857/S023571190001553-9

24

ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ. МАШИНОСТРОЕНИЕ

#8(713) 2019

[3] Glazunov V.A. Mekhanizmy parallel'noy struktury i ikh primenenie: robototekhnicheskie,

tekhnologicheskie, meditsinskie, obuchayushchie sistemy [Parallel structure mechanisms and their application: robotic, technological, medical, training systems]. Moscow-Izhevsk, Institut komp'yuternykh issledovaniy publ., 2018. 1036 p.

[4] Filippov G.S., Glazunov V.A., Laktionova M.M., Terekhova A.N., Gavrilina L.V. Engineering

of 5dof parallel-sequential structure mechanisms for vertebral and additive technologies. Mashinostroenie i inzhenernoe obrazovanie, 2018, vol. 4, no. 57, pp. 2-11 (in Russ.).

[5] Grigor'yants A.G., Tret'yakov R.S., Funtikov V.A. The quality improving of the parts surface

layers of parts received by means of laser additive technology. Tekhnologiya mashinostroeniya, 2015, vol. 10, pp. 68-73 (in Russ.).

[6] Ganiev R.F., Glazunov V.A. Manipulation mechanisms of parallel structure and their

applications in modern technology. Doklady Akademii nauk, 2014, vol. 459, no. 4, pp. 428-431, doi: 10.7868/S086956521434009X

[7] Glazunov V.A., Filippov G.S., Petrakov A.A., Tsar'kov A.V. Razrabotka novykh

mekhanizmov dlya sovremennykh robototekhnicheskikh sistem, prednaznachennykh dlya tekhnologicheskikh, meditsinskikh, additivnykh i diagnosticheskikh ustroystv [Development of new mechanisms for modern robotic systems designed for technological, medical, additive and diagnostic devices]. У kn.: Novye mekhanizmy v sovremennoy robototekhnike [New mechanisms in modern robotics]. Moscow, TEKHNOSFERA publ., 2018, pp. 131-143.

[8] Filippov G.S., Glazunov V.A., Lastochkin A.B. 5-dof parallel structure mechanism for

vertebral surgeries and additive manufacturing. Handbook. An Engineering journal with appendix, 2018, vol. 10, pp. 55-60 (in Russ.), doi: 10.14489/hb.2018.10.pp.055-060

[9] Gosselin C.M., Angeles J. Singularity analysis of closed-loop kinematic chains. IEEE

Transactions on Robotics and Automatics, 1990, vol. 6(3), pp. 281-290, doi: 10.1109/70.56660

[10] Kheylo S.V. Solving the problem of manipulator speeds with three degrees of freedom using the theory of screws. Engineering and automation problems, 2011, no. 1, pp. 77-81 (in Russ.).

Статья поступила в редакцию 08.04.2019

Информация об авторе

ФИЛИППОВ Глеб Сергеевич — кандидат физико-математических наук, заместитель директора ФГБУН «Институт машиноведения им. А.А. Благонравова РАН» (101000, Москва, Российская Федерация, Малый Харитоньевский переулок, д. 4, e-mail: filip-pov.gleb@gmail.com).

Information about the author

FILIPPOV Gleb Sergeevich — Candidate of Science (Physics and Maths), Deputy Director. Federal State Budgetary Institution of Science — Blagonravov Mechanical Engineering Research Institute of the Russian Academy of Sciences (101000, Moscow, Russian Federation, Maliy Kharitonievskiy Lane, Bldg. 4, e-mail: filippov.gleb@gmail.com).

Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:

Филиппов Г.С. Кинематический анализ механизма параллельно-последовательной структуры с пятью степенями свободы. Известия высших учебных заведений. Машиностроение, 2019, № 8, с. 18-24, doi: 10.18698/05361044-2019-8-18-24

Please cite this article in English as: Filippov G.S. Kinematic Analysis of a Parallel-Sequential Structure Mechanism with Five Degrees of Freedom. Proceedings of Higher Educational Institutions. Machine Building, 2019, no. 8, pp. 18-24, doi: 10.18698/0536-1044-20198-18-24