CC BY
15УДК 004.588; 512.05; 519.21
Категорная модель теории вероятностей для интеллектуальной обучающей системы
© Н С. Васильев МГТУ им. Н.Э.Баумана, Москва, 105005, Россия
В условиях системно-информационной культуры возрастает роль правильных общих представлений, без которых невозможна работа в наукоемких областях знаний. В полной мере это относится к подготовке инженерных кадров. Создание компьютерных интеллектуальных обучающих систем (ИОС) — это перспективное инновационное направление, связанное с проводимой в стране реформой образования. ИОС можно использовать как надстройку традиционного обучения студентов и как инструмент непрерывного образования специалистов. При работе в сети ИОС опирается на все межпредметное пространство документов ноосферы, использует всю мощь новых информационных технологий и инструментальных компьютерных систем Интернета.
Знания в ИОС представлены (упакованы) с помощью языка категорий, являющегося математическим языком систем (языком смыслов). Без этого средства невозможно охватить мир знаний ноосферы. Универсальные конструкции языка категорий составляют каркас рационального знания. Они специализированы в любых учебных курсах. С помощью языка категорий развиваются когнитивные способности, формируются системные представления обучающихся, необходимые для успешной экспансии специалистов в межпредметные области незнаемого. Это пригодится для инновационной инженерной деятельности.
Применяемый в ИОС категорный подход изложен на примере курса теории вероятностей, моделью которой служит категория случайных величин. С помощью этой модели удается прояснить системный смысл основных понятий и результатов теории. В работе доказаны существование образующего объекта, эквивалентность понятий мономорфности и изоморфности, характеристическое свойство дискретных случайных величин. Проведен категорный анализ понятия независимости случайных величин.
Ключевые слова: ноосфера, системно-информационная культура, интеллектуальная обучающая система, категория, морфизм, образующий, (полу)группа, коммутативная диаграмма, конус, вероятностная мера, случайная величина, распределение.
Введение. Системно-информационная культура приобщает каждого к межпредметной деятельности, которая осуществляется посредством инструментальных систем компьютера. При постоянном увеличении объема знаний и их усложнении развитие образования идет по пути универсальности: только системность представлений позволит обучающемуся преодолеть возросшую сложность знаний. Новые информационные технологии (НИТ), Интернет, суперкомпьютеры могут
обеспечить универсальное обучение [1], дополнив традиционную форму посредством интеллектуальной обучающей системы (ИОС) [2-5]. Для работы со знанием в ИОС должен быть учтен личностный характер знания, обеспечена его доступность благодаря адаптивности по отношению к обучающемуся, а также использованы наиболее общие языковые средства моделирования (упаковки), которые уже созданы в математике — метаматематика, общая алгебра и теория категорий [6-8]. Их освоение способствует когнитивной деятельности человека. Общий рациональный смысл, системность знания передают математические языковые средства теории категорий, в которой выделяются и проясняются универсальные конструкции.
Становление категорной алгебры приходится на середину ХХ века. Примерно в то же время Дж. фон Нейман открыл свойство универсальности равномерного вероятностного распределения. Удобный для математиков язык категорий ныне применяется во всех разделах математики, например в математической логике, топологии, теории дифференциальных уравнений, анализе. Поэтому инженерам также важно владеть этим средством описания и сравнения систем.
В настоящей работе анализируется категорная модель теории вероятностей, дающая общее представление об организации работы с рациональным знанием в ИОС. Инженерные приложения теории вероятностей [9] разнообразны: теория массового обслуживания [9], теория оценки надежности сложных систем [10, 11], вероятностное моделирование, адаптивное стохастическое управление потоками в пакетных сетях [12]. Обладающий системными знаниями инженер вполне сможет освоить работу с этими приложениями.
Модель теории вероятностей построена в форме категории случайных величин. Категорный анализ выявил универсальность некоторых вероятностных распределений и понятий, прояснил смысл теоремы Колмогорова о согласованных распределениях.
Категория случайных величин П. Напомним, что категорией называется пара, состоящая из класса объектов A,B,C,... и класса морфизмов (стрелок) f: A ^B,g: B ^C,... , связывающих некоторые пары объектов, которые обладают следующими свойствами [6-8]. Для любой пары морфизмов вида f: A ^B,g: B ^C,... определено произведение g. f, являющееся морфизмом g. f: A ^ C. При этом произведение — ассоциативная операция, для каждого объекта A существует единица — морфизм 1A, такой, что для всех морфизмов
f: A ^ B, h: B ^ A справедливы равенства f. 1A = f, 1A . h = h.
Например, класс множеств, рассматриваемых в качестве объектов, и класс отображений в качестве морфизмов образуют категорию множеств SET, если под произведением понимать суперпозицию функций.
Определим категорию случайных величин О. Изучение случайной величины £ = ((,£2,•••,£п) сводится к нахождению и исследованию свойств ее функции распределения [9]. Введение функции
Т~) п
распределения позволяет рассматривать векторное пространство К с заданной на нем вероятностной мерой в качестве выборочного
пространства случайной величины £. Эта мера из алгебры «прямоугольных» множеств однозначно продолжается в а -алгебре Вп всех борелевских множеств В е Кп [9, 13-15].
Этим объясняется выбор вероятностных пространств = (Кп, Вп, )
в качестве объектов категории О. Разумеется, разные случайные величины могут соответствовать одному и тому же вероятностному пространству. Наличие £ в обозначении подчеркивает существование
этого соответствия. Будем считать, что все случайные величины £ принимают значения в конечномерных подпространствах К универсума М = КЯ, Я = {1,2,„.}. Элементы М, у которых лишь конечное число координат, отвечающих К^, не равно нулю, служат значениями случайной величины £. Цилиндрические борелевские подмножества В х К?, М = К£ х К?, образуют а -алгебру, на которой задана вероятностная мера .
Рассмотрим класс измеримых по Борелю функций £ : К£ ^ Кп [9]. Введем отношение эквивалентности £ ~ /2, означающее совпадение значений этих функций всюду на общей области определения, за исключением, быть может, подмножества нулевой меры . Класс эквивалентности [£ ] функции £ по этому отношению назовем морфиз-мом £ : ^ . Квадратные скобки в обозначении морфизмов будем опускать.
Определим произведение морфизмов £ о £2 как класс эквивалентности функции, являющейся суперпозицией произвольных представителей классов [£], [£2] соответственно. Единичными морфизмами служат тождественные преобразования выборочных пространств К . Корректность данных определений устанавливается непосредственно. Не вызывает затруднений и проверка того, что система указанных объектов и морфизмов образует категорию. Упрощая запись, считаем, что морфизмы определяются функциями £: М ^ М. Всякий морфизм £ преобразует одну случайную вели-
чину в другую и переносит вероятностную меру из области в кооб-ласть морфизма.
В зависимости от вида функций распределения в категории случайных величин О можно выделять различные подкатегории, объекты которых отвечают абсолютно непрерывным Ор , сингулярным О* и дискретным Оа вероятностным распределениям [9]. Объекты подкатегорий Ор или О * задаются непрерывными распределениями. Дополнительный верхний индекс п, п = 1,2,..., будем использовать для обозначения подкатегории Оп случайных величин размерности, не большей п. Класс абсолютно непрерывных распределений (имеющих плотность вероятности) размерности п, п = 1,2,...,
составляют объекты подкатегории Ор,п.
В соответствии с теоремой Лебега в подкатегории О1 всякая функция распределения Е^ однозначно раскладывается на три составляющих Е = Еа + Е* + Е —абсолютно непрерывную, сингулярную и дискретную [9]. В подкатегориях Оп, п > 1, «дискретная» составляющая функции распределения может быть устроена гораздо сложнее — возможны поверхности разрыва различных размерностей, а не только нульмерные, подобно «обычным» дискретным случайным величинам.
В категории О существуют конечные объекты (единица О1) [6-8] — дискретные одноточечные распределения. Случайная величина, соответствующая объекту О1 , принимает единственное
значение. Категория О не является полной, не содержит, например, нуля и произведений.
Заметим, что все морфизмы категории О являются эпиморфизмами, а действие морфизмов описывает известная эргодическая теорема Биркгофа [13-15].
Существование образующего объекта. В образующем объекте О0 содержится все «богатство» категории. В случае его существования (это предстоит доказать) О0 можно считать выборочным пространством любой случайной величины: ф : О0 ^ О^. Ядро кег ф задает отношение эквивалентности на пространстве О0 , по которому определены фактор-пространство О0/кегф с фактор-алгеброй В/кегф [8].
С помощью естественного отображения т: О0 ^ О0/кегф перенесем вероятностную меру из пространства О0 в фактор-пространство О0/кегф.
Теорема 1 (об изоморфизме). Пусть ф : О0 ^ . Имеет место изоморфизм вероятностных пространств О0 /кегф = .
Теорема 2. Категория О содержит образующий объект О0.
Доказательство. Пусть объект Оип соответствует случайной величине ип, имеющей равномерное распределение на единичном кубе 1п, I = [0,1]. При п = 1 будем опускать индекс п . Сначала докажем, что О^„ — образующий объект в подкатегории Оп. Более того, для всех случайных величин £ с непрерывной функцией распределения (абсолютно непрерывных или сингулярных) покажем, что имеет место изоморфизм = О при некотором п > 1.
Доказательство становится особенно наглядным в одномерном случае: удается явно определить искомый морфизм ф : Ои ^ О^.
Впрочем, этот результат был ранее получен в работе [15].
g{и) = тах{х: /{х) = и},и е I\ {1}
— это коретракция g : Ои ^ , ведь Е^ является распределением случайной величины = g {и) :
Е {х) = Р { {и) < х) = Р {/ о g {и)< /(х)) = Р {и < /(х)) - / {х).
Более того, / ~ /, где / — сужение функции / на образ т(g) функции g . Следовательно, g = / 1 и Ои = .
Рассмотрим случай дискретной случайной величины £
Р {{ = ск ) = рк, к = 1,2,.
Для построения искомого морфизма g следует разбить отрезок I на такие подмножества Jk, чтобы Р{и е Jk) = рк, к = 1,2,..., и определить g как g{и) = ск, и е Jk, для всех к . Ввиду эпиморфно-сти, всякая О -стрелка обладает свойством /1 о g ф у2 о g для любых неравных стрелок /1, /2 : О^ ^ Ол. Только это оставалось установить для того, чтобы сделать вывод: Ои — образующий в подкатегории О1 .
Рассматривая общий случай, выделим объекты О^ с подкатегории Ор,п, п > 1, для которых величины принимают значения в кубе 1п и имеют кусочно-постоянную плотность:
р(х) = с}, х е П}, у = 1,2, •.., г.
Здесь параллелепипеды П.,у = 1, 2, •.., г, образуют разбиение I". Методом математической индукции, проводимой по числу параллелепипедов разбиения, доказывается изоморфизм Оип = О£с.
Не ограничивает общности предположение о том, что произвольная случайная величина £ принимает значения в кубе 1п. Аппроксимируем £ слабо сходящейся последовательностью {£*, * = 1,2, •..} случайных величин £с, имеющих кусочно-постоянную плотность вероятности р£ . Функцию р£ 1 будем строить по р£ , изменяя последнюю на кубах П*, у = 1, 2, •..,. Для этого разбиваем Пи на 2п кубов и на получаемых частях П *+1 задаем постоянные значения функции р£ , обеспечивающие более точное (в сравнении с р£ ) приближение к распределению р .
Согласно доказанному, существуют изоморфизмы ф*: О£ 1 = = О£ (0 = ип) . При этом их действие таково, что, отбросив часть кубов Пу произвольно малого суммарного объема (при * ^да ), для оставшихся множеств имеем фк (п*) е П*, к > * .
Определим последовательность изоморфизмов:
: °ип ^ ,= Ф* о Ф,-1 о••• оФl, * =
Поскольку все множества Пу сжимаются в точку при * ^да, то, согласно изложенному выше, почти всюду имеет место поточечная сходимость V* (х) ^ V* ( х), * ^ да, последовательности функций
{V*} . Благодаря слабой сходимости £* ^ £ , предельная функция V* определяет морфизм ^ : О ^ О£. Ввиду произвольности £ этим доказано, что Оип — образующий объект в подкатегории Оп.
Пусть теперь В = ВЯ есть а -алгебра на М = ЯЯ, порожденная цилиндрическими множествами. Рассмотрим семейство согласованных вероятностных мер {Л¥п, п е Я} на а -алгебрах (Кп, Вп). По
теореме Колмогорова о согласованных распределениях [9] в пространстве (М, В) существует единственная вероятностная мера Р,
такая, что ее проекции кп: М ^ Кп совпадают с ё¥ип, п = 1, 2,____По
построению все функции пп являются морфизмами.
Остается убедиться в том, что объект О0 ={М, В, Р) — образующий в категории О . Пусть О^ — любой объект подкатегории Оп. Тогда найдется некоторый морфизм у : Оип ^ О^. Взяв композицию пп и у, получим морфизм ф = у о пп : О0 ^ . Теорема доказана.
Проведенные рассуждения проясняют категорный смысл теоремы Колмогорова о согласованных распределениях.
Замечание 1. Выясним, когда морфизм у*, построенный при доказательстве теоремы 2, является изоморфизмом. Пусть у распределения величины £ имеется дискретная, для определенности нульмерная, составляющая Р {£ = а)> 0. Тогда преобразование у* стягивает прообраз точки А = (у*)-1(а) в точку а. Отсюда получаем неинъективность отображения у* и, как следствие, отсутствие обратной стрелки (у*)"1.
Пусть теперь распределение случайной величины £ абсолютно непрерывно. Если плотность вероятности р {х)> р0 > 0, х е П*., то под действием морфизмов фк, к = ^ +1,^ + 2,..., точка х не покинет множество П*.. Образ этого множества при отображении у* не сжимается в точку в отличие от случая дискретной случайной величины. Обратимость предельного морфизма у* сохраняется (наследуется от семейства (ух {х)}), т.е. у* является изоморфизмом.
Рассмотрим сингулярный случай. Распределение величины £ непрерывно. В кубе 1п имеется континуальное семейство поверхностей «уровня» функции Е = Е£, на которых происходит ее рост:
Сс = {х : Е(х) = с, УА1 > 0 Е{х- А)< с, Е{х + А)> с, с е I},
где А = {А1,0,...,0).
Вероятностная мера ёЕ «сосредоточена» на множестве С = ис Сс нулевой меры Лебега:
Р{£еI"\ С) = 0.
По свойству функции распределения каждая поверхность Сс пересекается с любой прямой, параллельной оси х1 , не более чем в одной точке. Тогда проектирование пс всякой поверхности уровня
Сс на часть гиперплоскости х1 = с взаимно-однозначно и непрерывно. С помощью функции п: С ^ 1п семейство поверхностей {Сс} «склеивается» в куб I", на который переносится исходная вероятностная мера. В результате приходим к абсолютно непрерывному распределению. В случае сингулярного распределения величины £ также имеем О£ = Ои».
О мономорфизмах категории П. Опишем строение автоморфизмов объекта О и . Рассмотрим произвольное разбиение множества
I \{0} на полуинтервалы 1у =(ау, Ьу ^, у = 1,2, • .. Пусть сюръективная функция I: I ^ I является кусочно-линейной (линейной на полуинтервалах I у), причем сумма модулей производных
^ уеЗ(у)1 I'(х} 1= 1.
Здесь суммирование проводится по не более чем счетному множеству индексов
3(У) = {У : Зх; е {Ь}, I, (ху ) = у} .
Утверждение 1. Функции указанного вида и только они являются автоморфизмами объекта Ои. Изоморфизмы объекта Ои характеризуются тем, что у них всякое множество 3 (у) одноэлементное.
Утверждение 2. В подкатегории Оё дискретных распределений всякий мономорфизм является изоморфизмом. Объекты Оа попарно изоморфны тогда и только тогда, когда у них совпадают вероятностные ряды р р2,... распределений. Автоморфизмы любого дискретного объекта образуют группу.
Теорема 3. В О всякий мономорфизм является изоморфизмом.
Доказательство. Для дискретных распределений теорема является следствием утверждения 2. Покажем, что всякий мономорфизм Ои„ ^ Ои„ является изоморфизмом. Тогда теорема Лебега и замечание 1 позволят сделать заключение о том, что это верно для всех морфизмов (см. далее замечание 2).
При п = 1 доказательство проводится геометрическим методом на основе утверждения 1. Все автоморфизмы объекта Ои» являются суперпозициями движений (когда сохраняются расстояния) частей куба I" и растягивающих накрытий этих частей. Поскольку всякое растяжение можно свести к последовательности растяжений вдоль единственной координаты, то общий случай сводится к п = 1.
Следствие 1. Все Q -объекты являются атомарными и инъек-тивными. Отметим, что в категории Q не существует проективных объектов.
Из теоремы 3 получаем также следующее характеризационное свойство дискретных случайных величин.
Следствие 2. Полугруппа автоморфизмов объекта Q^ является
группой тогда и только тогда, когда £ — дискретная величина.
Алгебраические и геометрические свойства объектов. Пусть £ = £2,...,£n) и O5n (х) — n -мерный открытый шар радиусом
5> 0 с центром в точке х е Rn. Введем обозначение p5 (х) для вероятности P (( е O5n (х)).
Определение 1. Носителем вероятностной меры случайной величины £ назовем множество sup £ = {х: V5 ps (х) > 0}.
Для любой точки х е sup £ возьмем произвольную окрестность O5n (х), для которой p5 (х) > 0 . Пусть Fn — условное распределение случайной величины £, £ е O5n (х) . (Мере dF отвечает некоторая случайная величина п = п(£, 5) и объект Qn.)
Определение 2. Геометрической размерностью случайной величины £ в точке х, х е sup £, назовем такое число q = q (х), для которого (350 )(V5 < 50) dim(sup £^O5n (х)) = q .
Под геометрической размерностью величины £ будем понимать максимум из локальных размерностей (по всем точкам х е sup £ ):
q£ = max{q: q е Q(£)}; Q(£) = {q(х): х е sup£}.
Например, для n-мерной случайной величины £ всегда < n.
Дискретная величина имеет нулевую геометрическую размерность.
В соответствии с теоремой Лебега нарушение свойства непрерывности функции распределения происходит только тогда, когда
0 е Q (£).
Изучение геометрической размерности носителя вероятностной меры позволяет классифицировать многомерные распределения. Множества supq £ = {х : q (х) = q}, q е Q (£), образуют разбиение носителя вероятностной меры случайной величины :
sup£ = U supq£.
q£Q(S)
Геометрические свойства величин не являются категорными (универсальными), но придают наглядность при изучении теории.
Замечание 2. Нетривиальное разбиение носителя говорит о том, что вероятностное распределение случайной величины является смесью простых распределений, для которых разбиение носителя меры тривиально, т. е. Q (£) = {^} . Это позволяет проводить доказательство, например, теоремы 3 лишь для случая простых распределений.
Пусть объект Оп отвечает условному распределению величины
£, £ е Бир0 £. Выделение нульмерной составляющей Бир0 £ и значений вероятностей в точках х е Бир0 £ полностью характеризует полугруппу автоморфизмов 80 (£) объекта О£.
В самом деле, рассмотрим автоморфизмы подполугруппы 801 объекта Ои и группы 00 (п), дискретного объекта Оп. Тогда справедлива следующая теорема.
Теорема 4. Имеет место изоморфизм 80 (£) = 801 х 00 (п) .
Следствие 3. Объекты О£, О^ изоморфны в том и только в том
случае, когда изоморфны полугруппы их автоморфизмов и совпадают вероятности
Р(£ е вир0£) = Р (£' е я^').
Объекты (случайные величины) с изоморфными полугруппами автоморфизмов естественно назвать подобными. Для подобных объектов пересчет вероятностей сводится к перенормировке этих величин.
Понятие независимости случайных величин. На интуитивном уровне в основе важного понятия независимости лежит различное «происхождение» случайных величин. В предложенной модели были изначально исключены исходные выборочные пространства случайных величин. Неполнота категории О , в которой отсутствуют произведения, препятствует тому, чтобы дать универсальное «стрелочное» определение этому понятию. Остается открытым вопрос, обладает ли понятие независимости случайных величин чертами универсальности хотя бы в каком-нибудь ослабленном виде.
Напомним некоторые определения. Под диаграммой Э в категории понимают любую конфигурацию стрелок (морфизмов). При этом особый интерес представляют коммутативные диаграммы [6-8]. Из любой диаграммы Э с помощью добавления каких-либо стрелок (морфизмов) можно построить новые диаграммы. Например, конус КЭ (и) получается с помощью расширения Э благодаря
добавлению всех морфизмов вида f: U ^D, где D — произвольный объект диаграммы D.
Для выражения понятия независимости случайных величин на категорном языке важен случай коммутативного квадрата-конуса
Ф1 Ф2
KD (U), получаемого из диаграммы D вида u1 ^u0 ^u2. В рассматриваемой категории соответствующий объект U всегда существует. Для построения U = U* достаточно применить к диаграмме D забывающий функтор Ф: Q ^ SET и рассмотреть Ф^ х ФU2 — произведение в категории множеств SET. Затем на построенном множестве можно ввести вероятностную меру так, чтобы проекции объекта U на сомножители U1,U2 стали морфизмами. В случае непрерывных распределений на U1,U2 и конечности дискретной составляющей распределения на U0 на множестве Ф^ х Ф^ удается ввести вероятностную меру с кусочно-постоянной плотностью.
Далее будем рассматривать случай U0 , причем U0 является конечным объектом: U0 = 1 . Ослабим стандартную конструкцию универсального конуса [6, 7], исследовав свойство универсальности в классе коммутативных диаграмм KD (S) специального вида. Именно объекты S отвечают равномерным распределениям, заданным на декартовых произведениях некоторых множеств Si, i = 1,2. В качестве
морфизмов f: S ^D, D е D в диаграмме KD (S ) выбирают только те морфизмы, которые пропускаются [6, 7] через проекции щ : S ^ Si. Такие объекты S назовем расслоенными.
Ф1 Ф2
Определение 3. Пусть диаграмма D имеет вид u1 . Ко-
нус KD (U *) назовем слабо универсальным, если для любого расслоенного объекта S найдется единственный морфизм S ^U*, для которого диаграмма
D(S,U*) = {S ^ U*}U KD(S)UKd(U*)
коммутативна.
При этом объект U* назовем слабо расслоенным произведением объектов U1, U2 или слабым пределом диаграммы D .
В следующей теореме прояснен категорный смысл понятия независимости.
Теорема 5. Вероятностное распределение слабого предела U* диаграммы D определено однозначно. Проекции : U* ^ Ui, i = 1,2, являются независимыми случайными величинами.
Доказательство. В соответствии с замечанием 2 обоснование теоремы достаточно провести для простых диаграмм D(U ,U *).
Далее в рассуждениях всюду полагаем U = S. «Сборка» всех простых диаграмм полностью определяет исходную диаграмму, искомый объект U* и единственный морфизм U ^U*.
Не ограничивая общности, можно считать, что все объекты диаграммы d(u ,U *) отвечают равномерным распределениям на «кубах» Iq. Здесь q — геометрическая размерность объекта. Можно также считать, что геометрические размерности объектов не убывают, если подниматься по диаграмме К® против стрелок, начиная
с объекта U0 = 1 .
К диаграмме ®(U,U*) применим забывающий функтор Ф: Q ^ ^ SET. Ввиду полноты категории множеств SET [6, 7] существует предел V* диаграммы Ф®, называемый обратным образом отображений Фф1, Фф2, и единственное отображение F вида
F = (Ф/1, Ф/2): Фи ^ V*, f : U ^ U}, j = 1,2, для которого
Ф/1 = п ° F; Ф/2 = п2 ° F; п} : V* ^ U}, j = 1,2.
По построению функция F является сюръективной. Покажем, что имеется единственный способ введения вероятностной меры на множестве V* , превращающий F в искомый морфизм F : U ^ С*, V* = Фи*, причем диаграмма D(U,U*) коммутативна.
Анализ диаграммы КФ® (V * ) позволяет утверждать, что множество V* с Iq1+q2 можно, не ограничивая общности, представить в виде разбиения на кубы Ц. разных размерностей:
V* = и П, п. = (Фф!)-1 (Фи0 )х (ФФ2)1 (Фи0), Фи = Фио.
Здесь множества U'0 также образуют разбиение U0 = U U .
Коммутативность диаграмм к э (и *), К э (и) доказывает, что вероятностные меры обратных образов морфизмов
п и, и), ; = 0,1,2, и = (ф1 о у;)-1 (и0 )с и; и; = (ф, П) с ,
должны быть равны одной и той же величине р). Здесь наборы этих
множеств пронумерованы индексом ).
Таким образом, требуется выяснить, можно ли «согласовать» вероятностные меры на борелевских а -алгебрах этих множеств. Достаточно дать ответ, проведя соответствующие построения для каждого )-го набора множеств в отдельности. Поэтому далее будем считать, что все объекты из диаграммы ® (и ,и *) ,¥ * = Фи * отвечают равномерным распределениям на кубических множествах
и = 1д; V* = 1д+?2; и; = (д > д + д2).
Для объекта и * это служит определением. Осталось доказать, что отображение Е = (/1, /2): 1д ^ 1Чг+Ч2 является морфизмом Е: и ^ и * . При этом из диаграмм известно, что / — морфизмы / : йид ^ йи;; = 1, 2 . Рассмотрим произвольные параллелепипеды Qj, Qj с , ; = 1, 2, равного объема V, совпадающего с объемами полных прообразов ) . Как известно, в случае равномерных рас-
пределений вероятностная мера множества совпадает с его объемом. Сравним величину V с объемом полного прообраза Ех Q2), который по виду Е совпадает с пересечением /2-1©2) с 1д. Указанные числа должны быть равными. Иначе отображение Е не было бы определено на всем множестве 1д. Следовательно, Е — морфизм, что и требовалось доказать.
На основании теоремы 5 с помощью понятия слабого предела можно дать следующее «внутреннее» определение понятию независимости случайных величин.
Определение 4. Случайные величины £1, £2 назовем независимыми, если объект й^ ^ является слабо расслоенным произведением объектом й й ^ над единицей й1.
Отметим, что подкатегории й" и й1 эквивалентны и йи = йи„, п > 1 ; йи = йо.
Применение категорной модели в ИОС. Работа в ИОС помогает обучающемуся в продвижении по смыслам изучаемых понятий.
Главная цель системы — обеспечить понимание изучаемого учебного материала.
На нижнем уровне ИОС осуществляется формирование учебного курса на базе изучаемого «горящего» курса, в данном случае это, например, учебник [9]. Такой материал «пропускается» через кате-горный язык, посредством которого налаживаются связи с другими учебными материалами из базы знаний Интернета. Это делается благодаря наличию общих универсальных конструкций и общих понятий. Личностная база знаний строится из документов, находящихся в сети, и в процессе работы дополнительно снабжаемых качествами, облегчающими навигацию по этим документам [3-5]. В результате строится индивидуальный учебный курс: к исходному курсу добавляются профессиональные курсы, задачники, обзорные материалы и работы по истории развития научного знания, в которых учитывается процесс развития понятий при филогенезе [1-5]. В диалоге с системой обучающийся приобретает возможность участвовать в выборе собственного пути освоения учебного материала под руководством системы [2, 5].
Учебные материалы в ИОС приобретают связность целого для достижения эффективности работы поисковой системы ИОС. Это достигается путем создания иерархического индексного указателя, графа понятий, смысловых единиц текста внутри каждого документа и между всеми документами посредством введения их оглавлений и индексов [2]. Процесс формирования базы знаний автоматизирован в ИОС с помощью инструментальных систем НИТ. Редактирование, навигация по документам осуществляются в диалоговом режиме. Обучающийся занимается в ИОС исследованием системы понятий и важнейших свойств объектов изучаемых предметных областей в их связности с другими областями.
Верхний уровень ИОС привносит смыслы в работу обучающегося, способствуя его развитию путем сравнения изучаемого материала с другими теориями. При работе с горящим курсом теории вероятностей будут задействованы теория меры, математический и функциональный анализ, алгебра, дискретная математика.
Модель ИОС снабжена целеполаганием. В процессе работы ИОС формируются локальные цели обучения, составляющие тактику метода обучения, подчиненные достижению главной цели — стратегии: обеспечить усвоение больших объемов знаний за счет целостности восприятия (понимание) учебного материала;
обеспечить преодоление сложности за счет адаптивного поиска, разного по уровню сложности знания.
Согласно стратегии обучения, обучающийся будет ознакомлен с главными результатами изучаемой теории. На категорном языке
можно дать краткое точное описание общих результатов теории так, как это было сделано в настоящей работе ранее.
Всякий учебный курс будет «пропускаться» в ИОС через кате-горное описание. В диалоговом режиме, исходя из запросов пользователя, ИОС предложит ознакомиться с подграфом понятий изучаемой предметной области и поддержит навигацию к соответствующему материалу из базы знаний. Для обеспечения адаптивной доступности учебного материала ИОС использует динамическую модель обучающегося и протокол работы в системе. По мере необходимости будут привлекаться вспомогательные учебные курсы [1-5].
При изучении теории вероятностей главная цель обучения состоит в исследовании категории й . Поисковая система ИОС будет подбирать подходящий учебный материал так, чтобы для обучающегося стали «очевидными» общие свойства объектов и морфизмов.
Поисковая система ИОС способствует развитию обучающегося. Приобщение к знаниям происходит через понимание изучаемого материала. В соответствии со стратегией системы для оказания помощи обучающемуся ИОС задействует понятия, примеры-проблемы, теоремы из различных разделов математики. Для проведения доказательств потребуется всесторонняя поддержка — привлечение знаний из профессиональных курсов по математической логике, общей алгебре, теории категорий, анализу, топологии, теории меры, линейной алгебре.
Таким образом, учебный курс формируется персонально для каждого обучающегося в процессе его работы в ИОС. На базе тех же принципов система может заниматься обучением любой погружаемой в нее предметной области. Принципы построения ИОС и полное обоснование этого подхода изложены в работах [1-5].
Автор выражает благодарность своему коллеге по работе над ИОС В.И. Громыко за ценные советы и обсуждение настоящей статьи. Автор признателен Р.С. Исмагилову, прочитавшему рукопись статьи и указавшему на работу [15], в которой получены общие результаты о гомоморфизмах в пространствах Лебега. В [15] отмечено также свойство универсальности объекта йи .
ЛИТЕРАТУРА
[1] Громыко В.И., Васильев Н.С. Новые информационные технологии и обучение в системно-информационной культуре. Сб. тр. XII Всеросс. школы-коллоквиума по стохастическим методам и VI симп. по прикладной и промышленной математике (осенняя открытая сессия), 2007, с. 171—172.
[2] Громыко В.И., Аносов С. С., Ельцин А.В., Леонов М.И. Обучение в системно-информационной культуре — на пути реализации. Тематический сб. Программные системы и инструменты, вып. 11. Москва, МГУ ВМК, 2010, с. 5—20.
[3] Громыко В.И., Васильев Н.С., Казарян В.П., Симакин А.Г. Задачи и возможности образования в системно-информационной культуре. Тр. 12-й Между-нар. конф. «Цивилизация знаний: проблемы человека в науке XXI века». Москва, РосНОУ, 2011, с. 143-159.
[4] Громыко В.И., Васильев Н.С., Казарян В.П., Симакин А.Г., Аносов С.С. Смыслы образования системно-информационной культуры. Тр. 14-й Между-нар. конф. «Цивилизация знаний: проблемы и смыслы образования». Москва, РосНОУ, 2013, с. 134-154.
[5] Громыко В.И., Васильев Н.С., Казарян В.П., Симакин А.Г., Аносов С.С. Рациональное образование как технология сознания. Междисц. журн. Сложные системы, 2013, № 3(8), с. 87-107.
[6] Голдблатт Р. Топосы. Категорный анализ логики. Москва, Мир,1983.
[7] Маклейн С. Категории для работающего математика. Москва, Мир, 1982.
[8] Скорняков Л.А. Элементы общей алгебры. Москва, Наука, 1983.
[9] Боровков А. А. Курс теории вероятностей. Москва, Наука, 1972.
[10] Левин П.А. Павлов И.В. Оценка показателей ресурса технических систем в переменном режиме функционирования. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана, Сер. Естественные науки, 2009, № 2, с. 28-37.
[11] Левин П. А., Павлов И.В. Оценка надежности системы с нагруженным резервированием по результатам испытаний ее элементов. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2011, № 3, с. 59-70.
[12] Коновалов М.Г. Оптимизация работы вычислительного комплекса с помощью имитационной модели и адаптивных алгоритмов. Информатика и ее применения, 2012, т. 6, вып. 1, с. 37-48.
[13] Окстоби Дж. Мера и категория. Москва, Мир, 1974.
[14] Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. Москва, Наука, 1977.
[15] Рохлин В.А. Об основных понятиях теории меры. Математический сборник, 1949, т. 25 (67), № 1, с. 107-150.
Статья поступила в редакцию 05.07.2013
Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом:
Васильев Н.С. Категорная модель теории вероятностей для интеллектуальной обучающей системы. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 12.
URL: http://engjournal.ru/catalog/appmath/hidden/1159.html
Васильев Николай Семенович окончил МГУ им. М.В. Ломоносова в 1974 г. Д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры «Высшая математика» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 80 научных статей по оптимальному управлению, вычислительной математике, теории оптимизации, исследованию операций, информатике. Занимался параллельными вычислениями и математическим моделированием пакетных сетей передачи данных. В настоящее время областью научных интересов является проблема создания интеллектуальных обучающих систем. e-mail: nik8519@yandex.ru
