CC BY
78Г.А. СТЕПАНЕНКО кандидат технических наук, доцент кафедры гуманитарных и социально-экономических дисциплин Ставропольского государственного педагогического институт, г.
Железноводске*
Д.Р. СЫТНИКОВА учитель математики государственного бюджетного образовательного учреждения СОШ №291 г. Санкт-Петербурга**
Категории математики: об аксиомах, определениях и постулатах
Вопрос о значении аксиом и определений и тех требований, которые следует предъявлять к их формулировке, имеет большое значение, как с точки зрения строгости изложения, так и с точки зрения педагогической. Достаточно привести в качестве примера хотя бы те определения, которые давал Евклид1: «точка есть то, что не имеет частей»; «линия есть длина без ширины»; «прямая есть такая линия, которая одинаково расположена по отношению ко всем своим точкам» и т. д. (всего 23 определения). Одним из обычных упреков, которым подвергается Евклид за цитированные определения, является то, что приведенными определениями он в дальнейшем изложении материала «Начал» не пользуется. Одно это обстоятельство наводит на мысль, что задача определения основных понятий геометрии скрывает особые трудности.
Следует отметить, что вопрос о том, какие могут быть виды определений и тех требований, которым должны удовлетворять определения, занимал многих ученых. Так
* Степаненко Геннадий Алексеевич, e-mail: stepang46@mail.ru
** Сытникова Данута Ришардовна, e-mail: ms.eufimceva@mail.ru 1 Начала Евклида: Пер с греч. М.-Л., 1948-1950, т.1, с.10.
1
еще у древних логиков Арно и Николя высказывается требование различать определение вещей от определений слов, требование, следствием которого является деление определений на реальные и номинальные. Эту позицию занял Фреге в своем споре с Гильбертом по поводу его «аксиоматики», но победителем оказался все-таки Гильберт, и мы думаем потому, что различие в математике этих двух видов определений является в высшей степени затруднительным, а то и невозможным.
Чтобы выяснить причины неудач и недоразумений, имевших место при построении определений в математике, является необходимым исследовать вопрос о том, какие виды определений возможны и об отношении этих определений к аксиомам. Так как определения являются диалектической формой характеристики понятий, то важно остановиться на том, в каких смыслах употребляется слово «понятие». Различают три различных термина «понятие».
Понятие эмпирическое это понятие вещи, которое является пригодным в житейских делах. Такое понятие одной и той же вещи может быть различным у разных людей и даже у одного и того же лица - в разные времена.
Понятие метафизическое это такое, которое соответствует требования Лейбница: оно соответствует исчерпывающему познанию вещи; это понятие адекватно самой вещи. Построение такого понятия является невозможным2.
Понятие в логическом смысле слова представляет возможный компромисс между понятием эмпирическим и понятием метафизическим.
Не претендуя на исчерпывающее познание вещи, оно включает в себя такие признаки, которые позволяют термин, соответствующий понятию употреблять в одном и том же смысле и не смешивать этого понятия с другими, ему близкими. Такое понятие какой-либо вещи является достаточным, чтобы им можно было пользоваться в науке.
Если поставить задачу построения понятий, входящих в какую-либо науку, то процесс постепенной редукции должен привести нас к таким понятиям, для которых мы не смогли бы подыскать таких более простых, которые можно было
1 Есенин-Вольпин А.С. Об аксиоматическом методе // Вопросы филисофии. 1959, №7.
2 Садовский В.Н. Аксиоматический метод построения научного знания, в кн. «Филосовские вопросы современной формальной логики». М., 1962.
бы использовать для их определения. Это так называемые простые или элементарные понятия. Так определение понятия «окружность» сводится к сочетанию понятий «точка», «геометрическое место», «расстояние», «плоскость», «ровный». Таким образом, в основе всякой науки лежит известное количество таких основных логически неопределенных понятий. Они называются интуитивно данными или интуитивно определенными. В работах по основания геометрии Гильберт считает интуитивно данными понятия точки, прямой и плоскости.
Каким же образом оказывается возможным познакомить с таким понятием лицо (в частности школьника), которому оно не известно? Что охраняет нас от ошибок при употреблении названий этих диалектически неопределимых понятий? Этот вопрос имеет существенное значение. Если эти простые, основные понятия не допускают словесного определения, то не надо думать, что они не допускают никакого определения. Можно показать саму вещь, называемую этим словом, если нет вещи, то показать картину, на которой она изображена. Нарисовать мелом на доске линию, как непрерывное многообразие одного измерения, сказать, что ровная поверхность стола - часть плоскости. Если и это оказывается невозможным, то иногда бывает достаточным для того, чтобы у человека появилось правильное понятие такой вещи, приучать его правильно употреблять термин, соответствующий этому понятию. Так, например, мы учим учеников правильно употреблять слова: «отрезок», «площадь», объем, в результате чего они начинают ясно представлять различие между этими понятиями, хотя и не могут выразить на словах этого различия. Таким образом, основные понятия, не допуская логического определения, могут быть определены иначе: конкретно или психологически.
Поставим вопрос: «Как сделать интуитивно данные понятия предметом логической обработки»? Если какое-либо понятие (или группа понятий) является интуитивно данным, то в силу интуиции мы приписываем ему (или понятиям, входящим в группу) ряд определенных свойств. Спросим себя, например, есть ли какая-либо необходимость в определении понятия «длина отрезка» («площадь» или «объем») для изложения раздела об измерении отрезков. Необходимо указать те свойства, в силу которых ее можно рассматривать как величину, т.е. необходимо дать определение равенства и
неравенства отрезков и определение их суммы. Этого достаточно для построения всего учения об измерении длин отрезков, площадей и объемов, в определении самих этих понятий надобности не встречается.
Все изложенное показывает, что граница между определениями и аксиомами может быть проведена лишь формально и что между теми данными нашей интуиции, которые дают материал для аксиом и определений, различия по существу нет. Различие между аксиомами и определениями будет охарактеризовано вполне, если мы назовем аксиомы неявными определениями.
Теперь попытаемся ответить на вопрос: чем отличается постулат от аксиомы. Согласно имеющемуся определению, постулат - предложение, (условие, допущение, правило), в силу каких-либо соображений «принимаемое» без доказательств, но как правило, с обоснованием, причем это обоснование и служит обычно доводом в пользу «принятия» постулата.
Евклид различал постулаты, утверждающие (постулирующие) наличие некоторых определенных свойств у результатов этих построений (пять постулатов), например: «Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой можно было провести прямую линию»; «И чтобы каждую прямую можно было неограниченно продолжить».... Аксиомами он называл принимавшиеся им без доказательства предложения чисто логического (а не геометрического) характера.
Эта двоякая и не вполне четкая линия разграничения близких понятий продолжалась и далее. Термины «аксиома» и «постулат» употреблялись как синонимы, в частности, знаменитый постулат Евклида о параллельных прямых в гильбертовской аксиоматике именуется «аксиомой параллельности». В учебнике «Геометрия» Погогелова А.В.1 в качестве аксиом стереометрии используются утверждения: «если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку», «если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну». Указанные аксиомы в геометрии Евклида доказываются в виде теорем. Так или иначе, выбор аксиом остается за автором и определяется логикой изложения последующего материала.
1 Погорелов А.В. Геометрия. 7-11, 13-е изд. М., 2014.
Многие авторы, например, А. Черч называют аксиомами «чисто логические предложения, принимаемые в данной теории без доказательства, в отличие от постулатов, относящихся к специфическим понятиям данной (обычно математической) теории».
И, наконец, постулатами называют такие утверждения дедуктивных и особенно полудедуктивных наук, доказать которые вообще нельзя хотя бы потому, что подтверждающие их доводы и факты носят исключительно интуитивный характер, например «принцип постоянства скорости света и предельного ее характера» .
Можно отметить, что при всей разнородности этих примеров общим для них является то обстоятельство, что не жалея доводов, призванных убедить в разумности предлагаемых постулатов, мы в конечном счете требуем этого принятия.
Из изложенного ясно, что вопрос о разграничении рассматриваемых понятий далек от завершения и что строгим может считаться не то изложение, в котором все понятия определены, а то, в котором, во-первых, не встречается слово «очевидно» (вместо ссылки на определенную аксиому), а во-вторых, указывается, какие понятия определяются и какие должны быть оставлены без определения.
Степаненко Г.А., Сытникова Д.Р. Категории математики: об определениях, аксиомах и постулатах. В данной статье на основе анализа существующей литературы делается попытка выяснения понятий «определение», «аксиома», «постулат», смысл которых должен быть понятным школьникам.
Ключевые слова: математика, геометрия, определение понятия, аксиома, постулат.
Stepanenko G.A., Sitnikova D.R. Categories mathematics: about definitions, axioms and postulates. In this article, based on analysis of the existing literature, an attempt is made to clarify the concepts of "definition", "axiom," "postulate", which should be understood by pupils and students.
Keywords: mathematics, geometry, the definition of the concept, the axiom, postulate.
1 Черч А. Введение в математическую логику: в 4 т. / Пер с англ. М., 2009, т.1.
2 Клини С.К. Введение в метаматематику. Пер. с англ. М., 2009.
