CC BY
208KASR TARTIBLI INTEGRO-DIFFERENTSIAL OPERATORLAR VA
ULARNING FIZIK TATBIQLARI
Nargiza O'ktamovna Sharipova
Buxoro muxandislik texnologiyalari institute "Oliy matematika" kafedrasi katta
o'qituvchisi mamatov. tulkin@mail. ru
ANNOTATSIYA
Maqolada kasr tartibli hisoblash rivojlanishining qisqacha tarixiy sharhi berilgan, butun sonli bo'lmagan hosilalar bilan ishlash uchun matematik tahlilning maxsus funktsiyalari qaralgan. Kaputo va Riman-Liovilning kasr tartibli hosilalari qaralgan.
Kalit so'zlar: kasrt tartibli tenglama, Kaputo kasr tartibli hosilasi, Riman-Liovil kasr tartibli hosilasi.
INTEGRO-DIFFERENTIAL OPERATORS AND THEIR PHYSICAL
APPLICATIONS
Nargiza Uktamovna Sharipova
Senior Lecturer, Department of Higher Mathematics, Bukhara Institute of Engineering
Technology mamatov. tulkin@mail. ru
ABSTRACT
The paper provides a brief historical overview of the development of fractional arithmetic, considering the special functions of mathematical analysis for working with non-integer products. Fractional-order derivatives of Caputo and Riemann-Lioville are considered.
Keywords: fractional equation, Caputo fractional product, Riemann-Lioville fractional product.
KIRISH
Kasr tartibli integro-differentsial operatorlari yordamida matematik tahlil qilish uch asrdan ko'proq tarixga egadir. Lopital va Leybnits o'rtasidagi yozishmalarda birinchi marta butun sonli bo'lmagan hosilalar haqida so'z boradi. Ularning 1695 yildagi oxirgi maktubida ular 1/2 tartibli differentsialning imkoniyatlarini muhokama qilib, bashoratga aylangan so'zlarni yozgan: "... Ushbu paradoksdan vaqt o'tib foydali natijalar oxir-oqibat kelib chiqadi".
ADABIYOTLAR TAHLILI VA METODOLOGIYA
Butun 19-asr va 20-asrning birinchi yarmi matematik tahlilning mustaqil bo'limi sifatida natijalarni to'plash va kasr hisobini shakllantirish davriga aylandi. Shu bilan birga, bunda fiziklar va matematiklarning ilmiy ishlari nashrlari paydo bo'ldi: Laplas, Furye, Riemann, Abel, Lyuvil, Grunvald, Xivisayd, Kuryant va boshqalar. Mashhur rus matematikasi A.V.Letnikov kasr tartibli matematik tahlilining rivojlantirishga katta hissa qo'shdi. A.V.Letnikovning kasr tartibli hisoblash bo'yicha birinchi ilmiy maqolalari 1868-1872 yillarga to'g'ri keladi.
Ilmiy jamoatchilikning kasr tartibli hisoblashga bo'lgan qiziqishining yangi to'lqini 1974 yilda "Kasr tartibli hisoblash" (KB Oldham, J.Spanier) kitobi nashr etilgandan so'ng paydo bo'ldi. Ushbu kitobda kasr tartibli hisoblash nazariyasi tizimli ravishda keltirilgan, shuningdek, uni qo'llash sohalari muhokama qilingan [2].
Shu vaqtdan boshlab turli xil jurnallarning tematik sonlari paydo bo'la boshladi, ular ilm-fan, texnika, tabiatshunoslikning turli sohalarida kasr tartibli hisoblashni qo'llashga bag'ishlangan.
MUHOKAMA
Hozirgi vaqtda kasr tartibli hisoblash nazariy jihatdan ham, uning qo'llanilishi jihatida ham tez rivojlanish bosqichidadir. Matematik tahlilning ushbu bo'limi har xil (an'anaviy va fraktal) muhitdagi murakkab dinamik jarayonlarni matematik modellashtirish vositasiga aylandi, bu tahlil, sintez, diagnostika va yangi boshqaruv tizimlarini yaratishning turli muammolarini hal qilishga imkon beradi [5].
Kasr tartibli tahlil funktsiyalari
Kasr tartibli matematik tahlilda ko'pincha keng tarqalgan va klassik matematik tahlilda qo'llaniladigan funktsiyalar, xususan, eksponent funktsiya va faktoriallarning umumlashtirilishi mavjud. Ushbu funktsiyalarni ko'rib chiqishni ularni taqqoslash bilan boshlaymiz.
Eylerning gamma funktsiyasi
Gamma funktsiyasini quyidagicha aniqlash mumkin:
r(x ) =
œ
Je~ttx-1dt, Re(x)> 0,
0
n!nx-1
lim
n^œ x(x + l)(x + 2). ..(x + n - l) bu yerda x -ixtiyoriy. Gamma funktsiyasining argumenti sifatida istalgan sonlardan foydalanish mumkin. musbat butun x=n uchun gamma funktsiyasi faktorial bilan quyidagicha bog'liq:
r(n) = (n-1)!, n>0.
<
Bundan tashqari, Gamma funktsiyasi bilan bir qatorda, u bilan chambarchas bog'liq funktsiyalardan ham foydalaniladi. Xususan, bu to'liq bo'lmagan Gamma-funktsiya, Beta-funktsiya va Psi-funktsiyalardir [2]:
To'liq bo'lmagan Gamma funktsiyasi quyidagicha aniqlanadi:
c-x x œ xj
y(c, x ) = j yx -1 exp(- y Vy = exp(- x )Z t^t-.
r(x ) 0 j=o r(j + c +1)
Beta funktsiya esa gamma funktsiya bo'yicha quyidagi tarzda ifodalanadi:
B( ' )=rgr§.
Psi funktsiyasi Gamma funktsiya orqali quyidagi ifodalanadi:
V(x ) = • dr(x).
r(x ) dx
Psi funktsiyasi kasr tartibli hisoblashlarda tez-tez ishlatiladigan bir qator qiziqarli xususiyatlarga ega:
y(x +1) = y(x ) + —
x
n — .
j =1 j
Mittag-Lefler funktsiyasi
Mittag-Lefler funktsiyasi [3,4] cheksiz qator yordamida z kompleks argumentining qiymatlari to'plamida ko'rsatilgan va ikkita a va P parametrlarga bog'liq:
œ zk
Ea,P(z)=Zw^-aeR+, PeR, ZeC.
P k=o r(P + ak )
Agar a=P=1 bo'lsa, u holda yuqoridagi formula ez eksponent funktsiyani aniqlaydi
œ k œ k
E','(z '=S r(Z+k) = S k!=eZ.
Mittag-Lefler funktsiyasi butun sonli bo'lmagan tartibli integral-differentsial tenglamalarini yechishda muhim rol o'ynaydi. Ko'pgina maxsus funktsiyalarni turli xil parametrlarga ega bo'lgan Mittag-Lefler funktsiyalari bilan ifodalash mumkin. Bunday funktsiyalarga, xususan, giperbolik sinus va kosinus, Miller-Roza, Rabotnov va boshqalarning funktsiyalari kiradi. Batafsil ma'lumot uchun [4] ga qarang.
Riman-Livuvilning kasr tartibli integrali va hosilasi
Kasr tartibli hosilali va integrallarning eng keng tarqalgan turlaridan biri bu Riman-Lyuvil ko'rinishidir [2,3]. Ushbu ko'rinishda aniqlangan kasr tartibli intégral bu kasr tartibda aniqlangan Koshi tipidagi integral formulasining umumlashmasidir.
t h tn-1 ^ t f(x\
jdt1 jdt2... jf (t„ R = jfp <* .
a a a V '' a V V
| ^ Page 1096 I
NATIJA
Kasr tartibli hosilalar va integrallar tushunchasi kiritilishi bilan hosila va integral orasidagi chegara keskin yo'qolib ketadi. Shunday qilib, biz integrallarni manfiy tartibli hosilalar sifatida, hosilani esa mos ravishda manfiy tartibli integrallar sifatida qarashimiz mumkin. Kasr tartiblilarni matematik tahlilda quyidagi atama mavjud: differintegral [2]. Integral-differentsial operatorlarning kasr tartibli operatorlariga Koshi tipidagi umumlashgan integral formulasi kasr tartibli differentegrallarining quyidagi ta'riflariga olib keladi:
bu yerda: aeR, n-1 < a <n.
- a-tartibli integral operator; Da+ - a-tartibli differensial operator.
Kasr tartibli hosilali va integralli operatorning bu ta'rifi yagona emas. Integro-differensial operatorlarning Veyl, Grunwald-Letnikov, Caputo va boshqa ko'rinishlari ham ma'lumdir.
Kaputoning kars tartibli hosilasi Amaliyotda Kaputo ma'nosida butun bo'lmagan tartib hosilalarining ko'rinishi eng ko'p qiziqish uyg'otadi. U Riman-Liuvillning ko'rinishidan farq qiladi, chunki funktsiya birinchi navbatda a buyrug'idan kattaroq eng kichik n tartibi bilan differensiallanadi, keyin esa natija n - a tartib bilan integrallanadi:
bu yerda ae R, n -1 < a < n.
Riemann-Liovil integralida avval integrallanadi, so'ngra esa differensiallandi. E'tibor bering, formulalarning o'xshashligi juda ehtiyotkorlik bilan ishlatilishi kerak, chunki butun son bo'lmagan tartibdagi hosilalarning (shuningdek, integrallarning) xossalari ularning butun sonidan ancha farq qiladi.
Shunday qilib, amaliyotda qo'llanishda kasr tartibli Riemann-Liovil hosilasi muhim kamchilikka ega, xususan, doimiyning kasr tartibli Riman-Liovil hosilasi nolga teng emas:
XULOSA
t~a
D+C = г(Г0)C.
Kasr tartibli Riman-Liovil hosilasidan farqli o'laroq, doimiyning kasr tartibli Kaputo hosilasi nolga teng:
gd:+C=0.
Kaputo kasr tartibli hosilasining fizik ma'nosi.
Quyidagi ko'rinishdagi kvant kuzatuvlar uchun umumlashgan Lindblad tenglamasini qaraylik:
cDt At = LVAt,
bu yerda, cDf - vaqtga nisbatan kasr tartibli Kaputo hosilasi va
LVAt = 1[H, A ]]T(v;[ At ,Vk ] + [V*, A ]Vk ). ih 2hk=i
a =1 da biz oddiy Lindblad tenglamasiga ega bo'lamiz. [1] Agar a kasr tartibli bo'lsa, u holda bu tenglama kvant jarayonlarini daraja bilan belgilaydi.
REFERENCES
1. Lindblad, G. (1976). On the generators of quantum dynamical semigroups. Commun. Math. Phys. - № 48. -119-130.
2. Oldham, K.B. (1974). The Fractional Calculus. - Academic Press, - 234 р.
3. Podlubny, I.(1999). Fractional Differential Equations. Mathematics in Science and Endineering. - Academic Press, - Vol. 198. - 340.
4. Tarasov, V.E. (2008). Quantum Mechanics of Non-Hamiltonian and Dissipative Systems. - Amsterdam, Boston, London, New York: Elsevier Science.
5. Mamatov ,T.(2018). Mixed fractional integro-differentiation operators in Holder spaces. Proceedings of the VII International Scientific Conference North Charleston, SC, USA, 6-9
6. Mamatov, T. (2014). Mapping Properties of Mixed Fractional Integro-Differentiation in Holder Spaces. Journal of Concrete and Applicable Mathematics (JCAAM). Vol. 12 (3-4). 272-290
7. Mamatov, T. (2019). Composition of mixed Riemann-Liouville fractional integral and mixed fractional derivative. "Journal of Global Research in Mathematical Archive^', vol. 6 (11), India, 23-32
8. Васильев, В.В. (2008). Дробное исчисление и аппроксимационные методы в моделировании динамических систем. - Киев : НАН Украины, - 256 с.
