CC BY
15
УДК 621.378.325
КАСКАД УДВОЕНИЙ ПЕРИОДА И ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЙ ХАОС В ЛАЗЕРЕ С САМОСИНХРОНИЗАЦИЕЙ МОД ЗА СЧЕТ КОМБИНАЦИИ ИНЕРЦИОННЫХ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ И ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ОБРАТНЫХ СВЯЗЕЙ
Системы с управляемой хаотической динамикой находят все большее применение в различных областях науки и техники. Новые методы криптографии и широкополосных систем связи ставят задачу разработки быстрых, простых и надежных генераторов хаотических последовательностей [1-4]. В оптическом диапазоне необходимыми свойствами мог бы обладать охваченный цепью отрицательной обратной связи лазер, генерирующий ультракороткие импульсы в режиме синхронизации мод. Для такого лазера поведение энергии импульсов х, нормированной на чувствительность обратной связи, описывается рекуррентным соотношением [5]
где хп+1 - энергия на проходе п +1, хп - энергия на проходе п, г - усиление, нормированное на пороговое значение, а выражение в скобках описывает действие отрицательной обратной связи. Рекуррентное соотношение (1) представляет собой одномерное дискретное отображение, известное как логистическое [6, 7].
В работе [8] было показано, что режим самосинхронизации мод может быть получен в лазере, охваченном цепью инерционной отрицательной обратной связи, действующей
М. В. Горбунков, Ю. Я. Маслова, О. И. Чабан, Ю. В. Шабалин
Предложена простая лазерная система, демонстрирующая поведение, характерное для логистического отображения: каскад удвоений периода, окна устойчивости периодических режимов, перемежаемость и детерминированный хаос на временах, равных времени обхода светом резонатора.
хп+1 — ГХп (1 — хп) ,
(1)
Рис. 1. Простейший релаксатор (а) и упрощенная схема лазера с электрооптическим модулятором (б).
Рис. 2. Временной ход интенсивности выходного излучения лазера /(<), фототока г(£), напряжения на модуляторе 1/(1) и пропускания модулятора Время нормировано на Тг.
с определенной задержкой. Пример лазера с отрицательной обратной связью за счет использования внутрирезонаторного электрооптического модулятора схематически представлен на рис. 1. Электрооптический модулятор на основе ячейки Поккельса (ЯП) управляется фототоком, который генерируется под действием лазерного излучения, от-
водящегося с помощью делительной пластинки в цепь обратной связи. В простейшем случае электрическая цепь модулятора представляет собой релаксатор, образованный емкостью модулятора С и сопротивлением Я. Инерционность управления имеет характерное время т = Я.С. Роль выбора задержки для осуществления режима самосинхрони зации мод иллюстрирует рис. 2. Предположим, что сформирован достаточно короткий одиночный импульс, циркулирующий в резонаторе, время обхода которого равно ТГ. Последовательность ультракоротких импульсов будет генерировать импульсы фототока, следующие с периодом, равным Тт (предполагается, что длительность светового импульса тс и время отклика фотоприемника грь связаны соотношением тс < трь <С Тг). В свою очередь, последовательность импульсов фототока, поданная на вход простейшего релаксатора, формирует на емкости С пилообразное напряжение с крутым передним фронтом, определяемым длительностью импульса фототока и пологим задним, определяемым временной постоянной релаксатора т. Пилообразное напряжение характеризуется максимальным и минимальным значениями 1/тах и {Лшт соотношение между которыми задается инерционностью обратной связи
где и,о - начальное напряжение смещения, V - напряжение, возникающее под действием излучения, Ц\/4 - напряжение полного закрытия ячейки Поккельса с учетом двух проходов модулятора (см. рис. 1). Если управление построено по принципу отрицательной обратной связи, большей интенсивности лазерного излучения соответствует большее напряжение, приводящее к большему закрытию модулятора. Для достижения режима самосинхронизации мод необходимо, чтобы импульсы фототока были задержаны на величину, которая обеспечивает прохождение импульсов света через модулятор в момент максимального пропускания. Режим самосинхронизации мод осуществляется в ряде областей значений задержки оптического сигнала. Первая область соответствует минимальной задержке управляющего воздействия. В этом случае управляющий импульс закрывает ЯП, а световой импульс проходит через нее в момент почти максимального открытия. Пропускание ячейки в момент прихода импульса определяется его энергией, а также энергией импульсов на всех предыдущих проходах резонатора с
(2)
Зависимость пропускания ЯП от напряжения смещения выражается как
О)
учетом разряда емкости С. Этому случаю соответствует рекуррентное соотношение:
хп+1 = гхп I 1 - хп-т1т ) , (4)
V 771=0 /
где 7 = е~Тг/Т. Удачным примером системы с минимальной задержкой является твердотельный лазер с оптоэлектронным управлением, в котором внутрирезонаторная ЯП управляется фототоком высоковольтных субнаносекундных полупроводниковых структур [9]. При этом для устойчивого формирования одиночных на аксиальном интервале импульсов минимальной длительности оптимальная временная постоянная затухания г составляет (1-2)Тт [10, 11].
д:
г
Рис. 3. Фрагмент фазопараметрической диаграммы (зависимость установившегося значения х от г), соответствующей нелинейной динамике отображения (1), т > 3.
Фазопараметрические диаграммы отображений, представленные на рис. 3 и 4, демонстрируют отличия в динамике системы с памятью (4) и логистического отображения (1). Уже при 7 = 0.1 (т = 0.43ТГ) отсутствует "окно'1 (суперустойчивый цикл) с периодом, равным 3Тт, которое в отображении (1) реализуется при г > 1 + ^/8^3.83 (рис. 3). При дальнейшем увеличении 7 поведение системы становится все менее разнообразным. Фазопараметрические диаграммы, представленные на рис. 4(6) и 4(в), соответствуют значениям г = Тт и т = 2Тг.
Проявление инерционности может быть преодолено в системе с управлением комбинацией двух обратных связей: отрицательной и задержанной относительно нее на время
3.5 3.7 3.9 4.1 г
9.2 9.4 9.6 9.8 10 10.2 г
Рис. 4. Фрагменты фазопараметрических диаграмм системы с памятью (4), соответствующие нелинейной динамике, (а) г = 0.43ТГ, (б) т = ТГ) (в) т = 2Тг.
АТ положительной, относительная чувствительность которой а выбирается так, чтобы компенсировать остаточное (по истечении времени относительной задержки) управляющее воздействие отрицательной обратной связи. Такая организация управления приводит к "стиранию памяти". Дискретное отображение, соответствующее комбинации положительной и отрицательной обратных связей, в которой отрицательная имеет минимальную задержку, а АТ = ТГ имеет вид:
/ оо оо \
Хп+1 = ГХп ( 1 - £ Хп-т1т + а Хп-т-\1т ) . (5)
V т=0 тп—0 )
При а = 7 суммы, соответствующие инерционности обратных связей, взаимно сокращаются и в результате отображение (5) точно совпадает с логистическим отображением (1). Следовательно, переход к комбинации отрицательной и положительной обратных связей позволяет обогатить динамику лазера.
Возможность реализации простой лазерной системы, способной демонстрировать каскад удвоений периода, окна устойчивости периодических режимов, перемежаемость, детерминированный хаос с характерным временем, равным времени обхода резонатора, была нами исследована с помощью численного моделирования динамики. Для этого был применен подход [10, 11], в котором для выбранного времени задержки в цепл обратной связи прослеживается тонкая временная структура излучения на временах, много меньших Тг, с учетом конечной ширины линии усиления активной среды и шумового вклада спонтанного излучения. В модели используется последовательный (от прохода к проходу) расчет интенсивности лазерного излучения, фототока, напряжения на емкости С и потерь, вносимых ЯП.
Была исследована лазерная система с параметрами активной среды, соответствующими В расчетах время обхода резонатора ТТ составляло 10 не. Минимальная
задержка в цепи обратной связи была выбрана 6Т = 400 пс, что является разумной величиной с точки зрения экспериментальной реализации. Время отклика фотогока составляло 500 пс. Расчеты проводились для двух значений начального смещения модулятора U0 (0.3£/д/4, O.bUx/4) и РяДа значений т.
Численное моделирование системы, управляемой комбинацией положительной и отрицательной обратных связей, где отрицательная имеет минимальную задержку, показало, что, несмотря на существенные изменения во времени пропускания ячейки Пок-кельса в режимах, соответствующих характерным проявлениям нелинейной динамики логистического отображения, самосинхронизация мод не срывается: на аксиальном интервале генерируется одиночный ультракороткий импульс. Примеры временного хода пропускания ячейки Поккельса и тонкая временная структура лазерного излучения в условиях окна устойчивости с периодом 3Тт и в условиях хаотической динамики в области перемежаемости представлены на рис. 5.
1.00 -
(а)
P(t) -l(t)
1.00 -
(б)
P(t) 1(0
0.75
0.75 -
£ 0.5
0.25 -
0.0
к-Д
5 t
0.5 -
0.25 -
0.0
Рис. 5. Тонкая временная структура излучения лазерной системы со "стиранием памяти в режиме самосинхронизации мод. Временной ход интенсивности I(t) и пропускания модулятора P(t): (а) - в окне стабильности периода 3ТТ; (б) - в области перемежаемости (при меньшем усилении). Время нормировано на ТГ.
Результаты моделирования динамики лазера, генерирующего ультракороткие импульсы в условиях минимальной задержки (6Т = 400 пс) в режиме "стирания памяти", представлены на рис. 6. Показана зависимость энергии импульсов выходного излучения лазера E(t) при линейном нарастании г за п = ЮООО обходов резонатора от 1
°0 2 4 6 8 / 0 2 4 6 8/ °0 2 4 6 8/
Рис. 6. Временная структура излучения лазерной системы со "стиранием памяти ' в режиме самосинхронизации мод. U0 = 0.3U\/4. Время нормировано на Тг. Усиление г линейно меняется с номером обхода резонатора от 1 до 5.5, число обходов п = 10000.
до 5.5. Энергия нормирована на энергию импульса Ео, соответствующую заряду емкости ЯП на величину U\/4. Задержка отрицательной обратной связи составляла ST, задержка положительной 6Т + Тг, относительная чувствительность обратных связей а = 0.717 (т = ЗТГ). Моделирование показало, что порог возникновения нелинейной динамики г2 (так называемый второй порог) несколько превышает соответствующее значение г2 = 3 для логистического отображения. Так, при г = З7'г и Uq = 0.3(/д/4 г2 = 3.28, а при i/o = 0.5£/д/4 г2 = 3.71. В то же время, основные особенности динамики отображения (1) сохраняются. Так, отчетливо наблюдается каскад бифуркаций удвоения периода, заканчивающийся переходом к хаотической динамике, далее возникновение периода 3 через перемежаемость и т.д. Вставки I-V на рис. 6 демонстрируют тонкую временную структуру излучения характерных режимов: I - стационарная точка отображения (1), II - удвоение периода, III - учетверение периода, IV - окно устойчивости периода 3Tr, V - детерминированный хаос. Хаотизация динамики не нарушает режим синхронизации мод при росте усиления до уровня г = 4.5.
Рис. 7. Временная структура излучения лазерной системы со "стиранием памяти'' в режиме самосинхронизации мод с дополнительной задержкой на ТТ, остальные условия как на рис. 6.
С помощью численного моделирования продемонстрировано также драматическое изменение нелинейной динамики при увеличении задержек обратных связей. Исследовалась самосинхронизация мод в режиме "стирания памяти", когда задержка отрицательной обратной связи составляла 6Т + Тг, задержка положительной 8Т + 2Тг, относительная чувствительность обратных связей а = 0.368 (т = Тг). Порог развития нелинейной динамики в этом случае ощутимо снижается. При [/0 = 0.50гд/4 составило 1.98, а для Цо = 0.3£/д/4 г2 = 2.15. Каскад бифуркаций удвоения периода не наблюдается: при увеличении усиления развитие нелинейной динамики начинается с гармонической модуляции огибающей ультракоротких импульсов с периодом ~ 6Гг (рис. 7 II). С дальнейшим увеличением г регулярная нелинейная динамика проявляется в формировании все более выраженных периодических пульсаций, скважность которых увеличивается. Наблюдается постепенный рост периода следования пульсаций. Макси-
мальное значение периода, кратного Тг, составляет 8ТТ (см. рис. 7 IV). Если период пульсаций не совпадает с целым количеством Тт, огибающая пульсаций приобретает низкочастотную модуляцию (рис. 7 III). Хаотизация проявляется в нерегулярном изменении периода пульсаций при практически неизменной амплитуде (рис. 7 V и рис. 8).
120 л 100 -^80-60 i 40 20 Н
4100
4150 /
0
(б)
4200
0.0 0.1
0.2
0.3 0.4 V
4100
4150
/ 4200
зб ев
Sf4 -^ 2 0
(г)
0.0
»^4,1! 1,1
0.1 0.2 0.3 0.4 V
Рис. 8. Тонкая временная структура излучения лазерной системы со "стиранием памяти" в режиме самосинхронизации мод с дополнительной задержкой на Тг. Временные зависимости энергии ((а), (в), время нормировано на Тг) и соответствующие спектры ((б), (г), частота и в единицах 1 /Тг): (а), (б) - регулярные пульсации с периодом 8Тг, (в), (г) - хаотическая нелинейная динамика при большем усилении.
Таким образом, предложена простая лазерная система, основанная на комбинации отрицательной и положительной обратных связей в режиме "стирания памяти . в которой реализуется нелинейная динамика, характерная для логистического отображения. Численное моделирование подтвердило, что такая система может быть создана на осно ве твердотельного лазера с оптоэлектронным управлением.
Авторы признательны А.Ю. Быковскому, A.B. Виноградову, М.С. Курдогляну, В.А. Петухову и В.Г. Тункину за полезные обсуждения. Работа проведена при частичной поддержке РФФИ, проекты No. 08-08-00108а, 09-02-01190а, Программы фундаментальных исследований Отделения физических наук РАН "Фундаментальные проблемы фотоники и физика новых оптических материалов", Программы поддержки молодежи УНК ФИ АН и программы Президиума РАН "Поддержка молодых ученых".
ЛИТЕРАТУРА
[1] P. Colet and R. Roy, Opt. Lett. 19, 2056 (1994).
[2] L. Larger, J.-P. Goedgebuer, and C. R. Physique 5, 609 (2004).
[3] M. Suneel, Sädhanä 31, 69 (2006).
[4] N. К. Pareek, V. Patidar, and К. К. Sud, Phys. Lett. A 309, 75 (2003).
[5] И. M. Баянов, В. M. Гордиенко, С. А. Магницкий и др. КЭ 16, 1545 (1989).
[6] М. Фейгенбаум, УФН 141, 343 (1983).
[7] Г. Шустер, Детерминированный хаос (М., Мир, 1988).
[8] В. К. Макуха, В. С. Смирнов, В. М. Семибаламут, КЭ 4, 1023 (1977).
[9] I). В. Vorchik and M. V. Gorbunkov, in: Proc. CLEO/Europe'96, Hamburg, Germany, 1996 {CLEO, Hamburg, 1996), p. 282.
[10] Д. Б. Ворчик, M. В. Горбунков, Краткие сообщения по физике ФИАН, No. 11-12, 70 (1997).
[11] M. V. Gorbunkov and Yu. V. Shabalin, Proc. SPIE 4751, 463 (2002).
Поступила в редакцию 3 апреля 2009 г.
