CC BY
49
приборостроение, метрология и информационно-измерительные приборы и системы
УДК 62137 в. Л. хазан
DOI: 10.25206/1813-8225-2018-158-88-92
м. н. Ковалева
Омский государственный технический университет, г. Омск
каналы связи
с переменными параметрами
Теория «парных эхо» является универсальным математическим аппаратом для анализа линейных и нелинейных явлений в радиотехнических цепях и каналах связи. В данной статье анализируются линейные каналы связи с переменными параметрами. Линейные искажения в каналах связи с постоянными параметрами рассматривались авторами в предыдущей статье. Нелинейные искажения в радиотехнических цепях предполагается проанализировать в следующей статье.
Ниже исследуется влияние изменений во времени амплитуды и фазы сигнала на характер его спектра. В принципе, данная задача рассматривается в различных учебных пособиях и в разделах, которые посвящаются вопросам модуляции. Тем не менее, учитывая поставленную задачу демонстрации универсальности математического аппарата, который известен как «теория парных эхо», для анализа линейных и нелинейных явлений в радиотехнических цепях и каналах связи, целесообразно рассмотреть влияние изменений во времени амплитуды и фазы сигнала, которые происходят в каналах связи с переменными параметрами, на структуру спектра этого сигнала. В отличие от обычных видов амплитудной и угловой модуляции изменения амплитуды и фазы сигнала в каналах связи могут происходить одновременно и под влиянием случайных факторов. Рассмотренные в статье конкретные примеры показывают, что изменения во времени амплитуды и фазы сигнала, передаваемого по каналу связи с переменными параметрами, приводят к дополнительному расширению его спектра.
Ключевые слова: коэффициент передачи, модуль коэффициента передачи, фаза коэффициента передачи, мультипликативные помехи, спектр сигнала.
Каналы связи и радиотехнические цепи могут такой канал связи считается каналом связи с перебыть с постоянными и с переменными параметра- менными параметрами. Канал связи с постоянными [1—3]. Если модуль и фаза коэффициента пере- ми параметрами [4] не вносит никаких изменений дачи канала связи с течением времени меняются, то в сигнал, кроме уменьшения/увеличения его уров-
Рис. 1. Амплитудный спектр косинусоидального сигнала с частотой ш0, модулированного по амплитуде гармоническим колебанием с частотой m(2п/T)
ня и факта появления многолучовости с различным запаздыванием сигнала по каждому из лучей за счет преодоления этим сигналом разного пути в соответствующих лучах. Изменение во времени модуля и фазы комплексного коэффициента передачи канала связи приводит к изменению как амплитуды, так и фазы передаваемого сигнала. Изменение амплитуды и фазы сигнала в канале связи, как правило, происходит по случайному закону. Каналы связи с переменными параметрами являются причиной мультипликативных помех, которые приводят к рассеянию спектра передаваемого сигнала. Модуляторы в передающей радиоаппаратуре также могут быть отнесены к радиотехническим цепям с переменными параметрами, которые, в отличие от коэффициента передачи среды распространения, изменяют параметры несущего колебания не случайно, а по закону, обусловленному передаваемым информационным сигналом.
Математический анализ явлений, происходящих в каналах связи с переменными параметрами, может быть произведен с помощью так называемой теории «парных эхо» [5, 6].
Рассмотрим сигнал на выходе канала связи у которого со временем по случайному закону меняются как модуль КА, так и фаза Ф = (Кф0ю + _Рф) комплексного коэффициента передачи К ):
К *(t) = FA(t)e
,-j[K®0»+F® (t)]
(1)
нале связи пртисходит изменение во времени фазы сигнала.
Рассмотрим для примера самый простейший случай, когда на заданном интервале времени Т изменения амплитуды и фазы сигнала происходят по гармоническхм законам:
ДА(Т) л К0 а корт(цг(Ин/0/Т),
Т^Л) л В 8т(п(2тт / Т)£) ,
где к<К0.
Запишем выражение для сигнала на выходе такого родд канала связи:
(t) = U
К + k cosí ml — t
^(í - Кфо) + Фо + B sin| П y t
(4)
В случае, когда B = О, сигнал ыринимает вид ам-плитудно-модулириваноюго коле(зания:
К„ + k cosí m\ — \t
Здесь: РА(§ — завияящий от аремени модуль коэффициента передачи канала связи; Кф0 — средняя крутизна фазо-частотной характеристики канала связи, которая мбудловливает среднее время задержки сигнала в канале связи; Рф(1) — зависящая от времени часдь фаз к ка эффициенга передачи канала связи.
Пусть на вхдд канлла сяязн поптдпает гармоническое (косинусоидальное) колебание с амплитудой ио, частотой ш0 и начталняй фазок ср0:
(t) = U о cos( ®ot + Фо)-
(2)
Ыи*И) = Ы]
X c+os[cO(((í ККсс,о0 <4io],
и его амплитудбый спектр) Hto выподн канала связи имеет три спектральные составляющ^е, как показано на рис. 1.
Одна спектрыльная составляющйя тадего ампли-тудно-модулирлнаиноно с+гна+а находится на его номиналх]c<osi насыотн ш0. а^мп+шуиа сдой спектральной составляющей ртена НОГ,. Дфе доугие спектральные составляющир расположены симмесринно относительно пыр вое! скектралмд=й тоставляющей справа и рсева от нвн на рнсстояаии ±т(Дс/й0- Их амплитуды равны UQk/ 2.
Вслучае, когда в оыражении +4Ы £ = 0 йитнал принимает вит медулировынного пк фазт колебания:
На выходе канала связи, с учетом (1) и (2), будет иметь мес то коре Рание:
Щчш(н) =
■■ Р.[FA(í)]cHo=a>0(f -КJ + Фо + F„(])].
(3)
ЫиС) и и о H о X
Де
Выражение (3) кортветимвует случаю носледо-вательно включениавк дрм за длуяок дцнх ктнилов связи. В первол канале /ояти происходит изменение во времени амплитуды сигнала, а во втором ка-
Ho(t о HHoo) + (,0 + б н1ии(í с| у И
Воспользовавшись фориулой Эйлера и известными соотношхниями [4 — 9]
± jasiß T-í \ ± jß
и ев, еорOi(o) и ;
± (а cos р
№
е ■, = ХГ=_„(± л Оа («) е
можно получить следующе е 15 ыр аыкение:
и вых (V =
и 0К0
] ®о^(-Kф0Уw+Bsm[n2Гt
+ е
-КО)„)+<Р0+в^п\ п^
-КФ0 )+ф0 ^ = ^(В)Л ПТ ) +
2 п
+ е Л^-КФ0 )+Ф0] » = ПТ
(5)
Из выражения (5) следует, что при изменении фазы сигнала по гармоническому закону амплитудный спектр сигнала расширяется за счет появления бесконечно большого количества копий сигнала, которые располагаются симметрично вдоль оси частот справа и слева относительно номинальной частоты сигнала ш0, как показано на рис. 2.
Амплитуды этих копий сигнала зависят от амплитуды В модулирующего фазу гармонического колебания и номера копии сигнала, который от-считывается от основного сигнала, расположенного на номинальной частоте. С учетом того, что функции Бесселя больших порядков имеют заметный уровень только при больших значениях аргумента, количество копий справа и слева от основного сигнала практически ограничивается числом 1<2Б. Данный результат анализа влияния изменения во времени фазы сигнала по гармоническому закону на его амплитудный спектр полностью совпадает
с результатами, приведенными в [1, 9] для случая угловой модуляции сигнала.
Возвращаясь к выражению (4), соответствующему случаю одновременного изменения во времени по гармоническим законам и амплитуды и фазы сигнала и учитывая то, что мо дель такого канала связи, возможно, представить как два последовательно включенных четырехполюсника, в одном из которых изменяеася только амплитуда, а ао втором — только фаза сигнала, можно утверждать, что амплитудный спектр сиональ на вылоде такого составного канала свя и представляет собой структуру, обусловленную первоначально первым четырехполюсником с изменением во иремени амплитуды с последующим изменением фаз в каждой копии сигнала, поступ ающих на вход второго четырехполюсника, которые отличаются по амплитуде и по частоте от расположенного на номинальной частоте сигнала, подаваамого навхое канала связи. Амплитудный спектр сигнала на выходе такого рода составного канала (а вси а и, ко гда л<< т, приа еден на рис. 3.
Далее перейдем к рассмотрению более общего и наиболее характерного для реальных услывий случая, когда и амплитуда _РА(£) и фаза Рф(() коэффициента передачи канала связи являются случайными марковскими процессами. Сигнал на выходе такого канала связи описывается в ыражен ие м (3).
Представим функиии РА(£) и Рф(2 на даданном ограниченном интервале времени Т в виде рядов Фурье:
Ра(5) а 2 см Рф 5) а £ Са
? аз,
л?—'
А ' (Жо-ЫВ) иоКь7о(В)
1 i.
., 1 1
соо-2«(2тг/7) J соо 1 соо+2н(2х'Т) ®
соо-п(2к/Т) <оо+«(2я/7)
Рис. 2. Амплитудный спектр косинусоидального сигнала с частотой ш0, модулированного по фазе гармоническим колебанием с частотой п(2л/Г)
Рис. 3. Амплитудный спектр сигнала на выходе канала связи с одновременно изменяемыми по гармоническому закону модулем и фазой его коэффициента передачи
+
2
^0
2
1 = -Ю
В этом случае общее выражение, описывающее сигнал на выходе такого рода канала связи, принимает вид:
Щдь Д) = Д
X С.
..Яи
и
э (д - КФ0 )+Фо + X фФге
■Яз.
]г—Д
Т
(6)
ны амплитудами спектральных составляющих разложения в ряд ФурьФ функции, которая изменяет во времени модул- и фазу коэфффриинта передачи канала связи.
Так, амплит+иа вноьф образованной зс! счет пз-менения 130 и^1ео]у[д^]ьи модуле кзэффициента яере-дачи канала связи спектфмльной (оставляющей на частоте в И п • Яе / Т будет о л и сыват ьс я выражением:
Учитывая тот факт, что процессы, ^з 1Меняющие во времени модули и фа ту ко мффзйиента еередачи канала связи, являются случайными относительно медленно издетдющимзйя мартовскими процессами, можно мовдрждить, ато иозиеслво членов в рядах Фурье будет ограничено яоответственно числами МВ и I. В этом сэучае выоаекение (6) можно записать в во^мо:
Д (Д) = др
X с.
¡=-1
Д - Ьф )+ф о фф
Яе
.и )+Ф+и Сфг о * яе д
г=-г Т
+и
е гА ~
вр(д-ьФ0) + Ф0 +ф Сфуо Т г-г
До 4
X С
■■Яе,
е—д
о Т
][д (-Ьфр)+ фО] я — .. ( яе
о 0 уу Ха-г (Сфг и]фп Я] Д1 +
г=—г Иг=-Иг а Т
+и
^Ж Ии(Сфгии(пЯеД
г - г г т-Иг а Т
(7)
п(о0 И п 2*0) = Трйп Ж0п1 ЖСМи)-
На эеу же дастоту попадают и о(5]з^;^овмн-п1е за счет изменения во времени мое=^ля составляющие спектра, которя-е преофазухтСЯ под влиянием случайного проц+сса, изиеняюзцего фазо-^ф^сесе^от-ную характеристик моэффициента еередСчи канала связи:
е/Кип| е =
3е ^^ Ж^ВУ!) Г фр 0
2 Сй (п и 1) J (^ ) о к^Фг / ■
При э(оф фазы етизс в 4ееп яедазованных на частоте о0Ип-2е/Т спе^,^]=й.леных оССтавляющих будут определять^ индексом V.
( T2Ир— = 2 е
е( о0 и пу1(г)т 1пуд-
В результате лтоемно зл2исaть, оео -а кaФPдой из частот о0 И п • Ян / Т будет иметь место колебание, которое обрязуется за счет суммирования всех компоненте в, кото рмо рoдтоиют2я на э )ой частоте:
Согласня выражению (0), в общем виде канал связи со случяИ ными искажениями во времени ам-плиеуты и пазы cигуялт может бытф )ромоделиро-ван электрическоё цепью Тоследовательно включенных четырехполюсников, в первом из которых происходит модуияпия амулитуд01 ьфрняря по случайному закону измТнения модуля передаточной характеристикю еаналС связи, а в каждом из последую—их чeтыреxполюсeимoт п(юисходит модуляция фязы сигнало одиой из гармоник, представленной рядом Фурье функции, которая соответствует случайыому закону ипменения фазы сигнала в канале связи. СтруктурнаТ схема такого рода модели канала связи представлена на рис. 4.
Соглтсду (7), амялутуды сп-жтрaаоьных составляющих сигнала на вымоде канала связи обусловле-
и(Д) = Е/о-Ип —Т(0) [ы0 Д - Ьф0Лэф0 ]
X ем(о0 И п ^[(«)
■■ Яз. Ьф 0д
Таким образом, каналсвязи с изменениями модуля и фазыкомплексного коэффициента передачи можно моделировать как последовательно включенные четырехполюсники, один из которых функционально соответствует амплитудному модулятору, а остальные функционально соответствуют фазовым модуляторам, каждый из которых модулирует фазу сигнала по гармоническому закону, обусловленному той или другой спектральной составляющей разложения в ряд Фурье функции, соответ-
ило
АМ ФМ ФМ
ФМ
ивых(1)
I „2л
ЪСм,е"Т'
Сл/2
ч*)
Рис. 4. Структурная схема модели канала связи со случайными законами изменения во времени модуля и фазы его комплексного
коэффициента передачи К (I) = (Г)е
АКФ0™+рФ(1)]
X
1 = -с
е мик
о
г =-
о
+
и
е
X
=-с
е
+
ствующей закону изменения фазы комплексного коэффициента передачи канала связи.
Полученные в статье результаты показывают, что при передаче сигналов по каналу с переменными параметрами анализ происходящих в нем физических явлений возможно производить с использованием математического аппарата, который получил условное название теории «парных эхо», включающей в себя как элементарные правила перемножения гармонических функций, так и более сложную теорию разложения в ряд Фурье синусоидальных и косинусоидальных функций, аргументы которых изменяются периодически также по синусоидальному или косинусоидальному закону. У такого ряда Фурье коэффициентами являются функции Бесселя первого рода от действительного аргумента.
Библиографический список
1. Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы. 4-е изд., испр. и доп. М.: Радиотехника, 2016. 528 с. ISBN 978-59710-2464-4.
2. Хазан В. Л. Каналы связи. Модели, линейные и нелинейные искажения: моногр. Изд-во Palmarium Academic Publishing, 2015. 240 c. ISBN 978-3-659-60332-7.
3. Хазан В. Л. Методы и средства проектирования каналов декаметровой радиосвязи: дис. ... д-ра техн. наук. Омск, 2009. 358 с.
4. Хазан В. Л., Ковалева М. Н. Каналы связи с линейными искажениями // Омский научный вестник. 2017. № 6 (156). С. 121-125.
5. Farnett E. C., Stevens G. H. Pulse compression radar / ed. M. I. Skolnik // Radar Handbook. 2 nd ed. NY: McGraw-Hill, 1990. Ch. 10.1-10.39.
6. Кук Ч., Бернфельд М. Радиолокационные сигналы. М.: Советское радио, 1971. 568 с.
7. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике: пер. с англ. М.: Наука, 1968. 720 с.
8. Справочник по специальным функциям: пер. с англ. / Под ред. М. Абрамовиц, И. М. Стриган. М.: Наука, 1979. 830 с.
9. Картьяну Г. Частотная модуляция. Бухарест: Изд-во Акад. Румынской Народной Республики, 1961. 578 с.
ХАЗАН Виталий Львович, доктор технических наук, старший научный сотрудник, профессор кафедры «Средства связи и информационная безопасность». БРНЧ-код: 3890-8827 ЛиШотГО (РИНЦ): 463722 Адрес для переписки: vlhazan@yandex.ru КОВАЛЕВА Марина Николаевна, магистрант гр. ИСм-161 факультета элитного образования и магистратуры.
Адрес для переписки: marisha92@bk.ru
Для цитирования
Хазан В. Л., Ковалева М. Н. Каналы связи с переменными параметрами // Омский научный вестник. 2018. № 2 (158). С. 88-92. БОН 10.25206/1813-8225-2018-158-88-92.
Статья поступила в редакцию 18.01.2018 г. © В. Л. Хазан, М. Н. Ковалева
