КАЛИБРОВКА БЕСПЛАТФОРМЕННОЙ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ НАВИГАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ ПРИ ПОВОРОТЕ ВОКРУГ ВЕРТИКАЛЬНОЙ ОСИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

www.mai.ru/science/trudy/

Труды МАИ. Выпуск № 89

УДК 629.051

Калибровка бесплатформенной инерциальной навигационной системы при повороте вокруг вертикальной оси

Матасов А.И.*, Тихомиров В.В.**

Московский Государственный Университет им. М.В.Ломоносова, Ленинские горы, 1, Москва, 119991, Россия *e-mail: alexander.matasov@gmail.com **e-mail: tmrv45@mail.ru

Аннотация

В данной работе рассматривается одна из базовых задач калибровки бесплатформенных инерциальных навигационных систем - эксперимент с разворотом системы вокруг вертикальной оси. Целью калибровки в этой задаче является построение оценок для аддитивных постоянных составляющих погрешностей блока акселерометров и датчиков угловой скорости, которые при таком эксперименте оцениваются с необходимой точностью. Предлагается исследовать задачу калибровки в едином контуре, включающем разворот в активный участок эксперимента. Представлена формализация задачи и описаны результаты моделирования.

Ключевые слова: бесплатформенная инерциальная навигационная система, инструментальные погрешности, приборный трехгранник, выставка, фильтр Калмана.

1. Общая характеристика эксперимента

В настоящее время методам калибровки бесплатформенных инерциальных навигационных систем уделяется большое внимание [1],[2], [3], однако эксперимент с плоским разворотом освящен в литературе недостаточно полно. Опишем кратко суть задачи калибровки при плоском развороте. Бесплатформенная инерциальная навигационная система (БИНС) ставится на поворотный стол. Сначала ее приборный трехгранник ориентируется по осям географического трехгранника, после чего проводится выставка по заданному курсу и с момента времени тг система начинает функционировать в инерциальном режиме, оставаясь неподвижной относительно Земли. Затем с момента времени т2 по момент т3 производится быстрый разворот корпуса БИНС на 180° вокруг вертикальной оси; и с момента времени т3 по момент времени т4 приборный трехгранник вновь неподвижен относительно Земли. График угла ф (t) поворота приборного трехгранника изображен на рисунке 1.

П Т2 Т3 т4 £

Рис. 1. График изменения угла поворота приборного трехгранника

Целью задачи калибровки является определение параметров

инструментальных погрешностей инерциальной навигационной системы по ее выходным данным о местонахождении и относительной скорости объекта. При традиционных методах анализа задачи калибровки ее решение разбивается на два независимых этапа, соответствующих положениям корпуса инерциальной системы до и после разворота. В настоящей работе задача калибровки исследуется в едином контуре, включающем разворот в активный участок эксперимента. Такой подход позволяет более полно использовать имеющуюся информацию о системе в данном эксперименте. Построена формализация задачи калибровки. Разработано соответствующее математическое обеспечение для моделирования процесса калибровки. Представлены результаты моделирования.

2. Уравнения ошибок инерциальной навигационной системы

Пусть О - центр Земли, М - материальная точка, соответствующая приведенной чувствительной массе пространственного акселерометра бесплатформенной инерциальной навигационной системы (БИНС), координаты и скорости которой должны быть определены. Введем, также,

О х ( Мх) - идеальный географический трехгранник; О х' ( Мх') - модельный географический трехгранник; - приборный трехгранник;

- квазиприборный трехгранник. Подробно эти трехгранники описаны в [4].

Запишем уравнения ошибок бесплатформенной инерциальной навигационной системы на исследуемых движениях. В соответствии с общими уравнениями ошибок БИНС, приведенными в [4], и с учетом того, что в данном эксперименте основание поворотного стола покоится относительно Земли, имеем

= -(02 + У2(0)д + 2^2 + ДДХ, (1)

8У2 = (01 + гШд - 2и36У± + Д/2х,

01 = %02 - ^203 + (2)

/?2 = + У2х,

03 = + Т3х.

Здесь:

, - ошибки определения относительных линейных скоростей; 01 , 02 , 03 - компоненты вектора малого поворота квазиприборного трехгранника Огх относительно модельного географического трехгранника Ох' в проекциях на оси Ох';

У1, У2 - компоненты вектора малого поворота модельного географического трехгранника Ох' относительно идеального географического трехгранника Ох в проекциях на оси Ох;

д - абсолютная величина ускорения силы тяжести в точке проведения эксперимента;

щ = 0, и2 = и с о s р, и з = и s i n p - компоненты вектора угловой скорости вращения Земли в проекциях на оси географического трехгранника; и - абсолютная величина угловой скорости вращения Земли; р - широта места проведения эксперимента;

Af lх, Д/2 х - ошибки показаний блока акселерометров в проекциях на оси идеального географического трехгранника;

, , - ошибки измерителей угловой скорости приборного

трехгранника в проекциях на оси идеального географического трехгранника;

Уравнения (1) называются динамическими уравнениями ошибок, а уравнения (2) - кинематическими. Отметим, что сигналы t)g и y2( t) g, входящие в правые части подсистемы (1), при стендовых испытаниях с высокой точностью являются известными функциями времени и могут трактоваться как внешние известные возмущения. Иными словами, точно известны функции

71 ( t) =7i( t) + ôYl, (3)

72 (О = 72 (0 + ^72-где ÔYl, ÔY2 - малые постоянные величины.

Главными внешними измерениями zl ( t), z2 ( t) для динамической системы (1), (2) являются относительные скорости, вычитаемые инерциальной системой. А так как основание поворотного стола неподвижно относительно

Земли, то

где 71 ( и г2 ( - ошибки измерений величин < К1( и < К2( .

Отметим, что с учетом (3) и (4) уравнения для динамических ошибок (1) можно представить в более простом виде (пренебрегая членами Яу^Х t ) д, <У2( 0 д, ( 2 и 5 1 п <р) 7 ( и ( 2 и 5 1 п <р) г2( ):

<^1 = - 02 д + ДА х - У2 (0д + 2 и 3 (О, (5)

= ргд + Д/2х + УхСО^ " 2и3*1(0,

где функции , , и точно известны.

Уравнения ошибок в форме (5), (2) указывают на кинематическую природу задачи калибровки. Кроме того, они более удобны для аналитического исследования, чем исходные соотношения (1), (2).

3. Модели погрешностей чувствительных элементов

Опишем в этом разделе погрешности чувствительных элементов БИНС и V* [4].

3.1. Модель погрешностей блока акселерометров.

Общая модель погрешностей показаний блока акселерометров с учетом разнесения чувствительных масс имеет вид:

ЛДЛ /Сг1 О С13\ /А1г\ /£1г\

А/22 = С21 с22 С23 \1А22 + £2г + 5/22

Мъг) \0 0 с3 3;\А Зг) V \ 8Г3г) (6)

+

+

/-(со 2г + (О^УГ +

/(2) / 2 , 2 Л/(2) , /(2) . • ,(2) . ,(2)

— К<*>1г + <л)3 2)12 + 0)22а)3213 + — <л)1213

где

- ошибки показаний показания акселерометров; - проекции удельной силы, действующей на чувствительную массу акселерометров, на оси приборного трехгранника; С1 ъ с22, с33 - постоянные ошибки масштабных коэффициентов; с13, с215 с23 - коэффициенты взаимных перекосов акселерометров;

- проекции вектора абсолютной угловой скорости вращения приборного трехгранника на собственные оси;

(1(5!\ 12\ т, 5 = 1 ,2 ,3 - вектор смещения (от точки М) установки -того акселерометра в проекциях на оси приборного трехгранника; без потери

общности можно считать, что точка совпадает с центром подвеса первого

,(1) ,(1) ,(1) п акселерометра, поэтому I \ = 12 = 13 = = 0;

- постоянные смещения акселерометров;

- непараметрические ошибки акселерометров; в дальнейшем они будут полагаться случайными белыми шумами.

Корпус инерциальной системы в рассматриваемом эксперименте приблизительно ориентирован по осям географического трехгранника, а быстрый разворот может осуществляться лишь вокруг вертикальной оси. Поэтому пренебрежем в (6) квадратичными членами с о 12 и о22, а в членах первого порядка малости положим

= Л2г = 0, А3г = д.

Тогда, с точностью до членов второго порядка малости,

Д/12 = С1 зд + £12 + </12 - о 32 ¿(1) - о32 I(1) - (7)

А/22 = + £22 + </22 - 6)1,/® + й)3г1?\

А/з2 = Сзз^ + £32 + </32.

В уравнениях ошибок бесплатформенной инерциальной навигационной

системы (5), (2) фигурируют проекции ошибок показаний блока

акселерометров на оси географического трехгранника, обозначаемые ,

и соответственно. Поскольку приборный трехгранник БИНС

осуществляет разворот относительно географического трехгранника, то, с

точностью до членов второго порядка малости,

где

5(0(0) =

(9)

3.2. Модель погрешностей измерителей угловой скорости.

Общая модель погрешностей измерения угловых скоростей (в проекциях на оси приборного трехгранника) имеет вид:

где

г» г» г) Т - погрешности показаний датчиков; ( о 1 г» о2 г» оз г) Т - компоненты абсолютной угловой скорости вращения приборного трехгранника в его осях;

Г; I, I = 1 »2 »3 - ошибки масштабных коэффициентов измерителей угловой скорости;

Г;, = 1 » 2 »3 , I - ошибки, характеризующие несоосность измерителей угловой скорости;

(10)

- постоянные смещения датчиков;

- непараметрические ошибки измерения угловой скорости; в дальнейшем они будут полагаться случайными белыми шумами.

Для этой модели, с точностью до членов второго порядка малости, получим

'Ь>1г\ /0\ /О

^ =5(0(0) и2 + о

\Щ/ \0( О/

где 5 ( ф ( 0 ) задается формулой (9), а < обозначает широту места проведения эксперимента.

Тогда

/Гц Г12

1 = г21 ^22

Узе/ \г31 Г32

5(0(0)

V

+ I V

1г

2г

.V

Зг/

(11)

В уравнениях ошибок бесплатформенной инерциальной навигационной системы (5), (2) фигурируют проекции ошибок измерителей угловой скорости на оси географического трехгранника, обозначаемые , и соответственно. Поскольку приборный трехгранник БИНС осуществляет разворот относительно географического трехгранника, то, с точностью до членов второго порядка малости,

= $тт))

(12)

где 5 ( ф( 1)) задается формулой (9), а (у1 2,у22,у3г)т выражается формулой

Отметим, что начальное значение фазового вектора уравнений ошибок (1), (2) не вполне произвольно. В этом разделе укажем на связь между начальными значениями компонент кинематической ошибки р1 (т1), Р2(т 1) с другими параметрами системы.

4.1. Выставка приборного трехгранника.

Для начала функционирования бесплатформенной инерциальной навигационной системы необходимо "выставить" приборный трехгранник М г в горизонте и в азимуте (по осям географического сопровождающего трехгранника ). Выставка в азимуте осуществляется по начальной азимутальной информации, например, с помощью датчиков углов поворотного стола (ее ошибка имеет порядок десяти угловых минут). Выставка в горизонте реализуется по "нулевым сигналам" соответствующих акселерометров. Поясним термин "выставка по нулевым сигналам акселерометров".

Под выставкой понимается определение с помощью акселерометров взаимной

(11).

4. Особенности начального состояния

ориентации приборного трехгранника и идеального географического трехгранника Ох в начальный момент времени тЭта взаимная ориентация определяется матрицей Б (т ± ) ; а именно [3],

/х = Б (тх) ил и Б 7 (тх) /х = . (13)

Матрица Dт ориентации истинного приборного трехгранника относительно идеального географического представляет из себя произведение матриц поворота на углы курса 0, тангажа в и крена к вокруг соответственно

третьей, первой и второй осей, и имеет вид

(cos гр cos к — sin гр sin в sin к sin ip eos к + cos ip sin в sin к — cos в sin /о

— sin гр cos в cos гр cos в sin в

cos гр sin к + sin гр sin в cos к sin гр sin к — cos гр sin в cos к cos в cos к

Расчетная матрица D', с которой оперирует бортовой вычислитель, имеет такой же вид, что и D , с той лишь разницей, что вместо истинных значений углов курса, тангажа и крена в и к матрица D' содержит их расчетные (т. е. определяемые вычислителем) значения 0' , в' и к ' . В бортовых алгоритмах начальное значение расчетной матрицы определяется

из следующего уравнения, соответствующего второму уравнению в (13):

/АЛ (АЛ

D 'т Ы) /2Х Ы /2Z' ) , (14)

W V/szV

где (Л х,/2 х,/з х) т - известные проекции удельной силы на оси идеального

географического трехгранника, а (ftz',f2z' ,f3z )T - известная тройка чисел, составленная из показаний акселерометров. Третья (вертикальная) ось географического трехгранника направлена противоположно вектору силы тяжести и при неподвижном основании поворотного стола (f гx,f2X)f3х)T = . Тройка чисел составлена из известных показаний

акселерометров. В уравнении (14) использован знак "=", так как это векторное уравнение, вообще говоря, является несовместным1. На практике при малых углах курса, тангажа и крена в системе уравнений (14) довольно часто используются лишь первые два из трех соответствующих скалярных уравнений

д sin к' cos в' = f

■ 9 sin в' = f' 2z (15)

^ д cos в' cos к' = f ,

из которых, очевидно, однозначно находятся малые величины в' и к'. Поэтому будем рассматривать знак "=" как точное равенство для первых двух уравнений (14).

Расчетное значение ф' угла курса определяется из априорной информации (например, из показаний датчиков углов стенда).

1Причина несовместности уравнения (14) заключается в том, что матрица Б' ( т 1) ортогональная, а, вообще говоря, \\ ^т \\ = \\ (Л х^2х^3х)Т \ \ = 9.

13

4.2. Связи между параметрами системы, порождаемые выставкой.

Пусть а (то) = (ао (то ) , а2 (то.) »аз Оч) ) 7 - вектор малого поворота квазиприборного трехгранника О гх относительно идеального географического трехгранника О х в проекциях на оси О х в начальный момент времени то, а а (то) - соответствующая ему кососимметрическая матрица. Тогда [4]

^ = Б'7 (то) (/ + Й (то ) ) /х (16)

и поэтому, в соответствии с формулами (7) (ввиду неподвижности корпуса системы во время выставки мы пренебрегаем членами, содержащими угловые скорости),

= (/ + С)Г(г1)(/ + а(т1)) (о) + £

V (17)

+ 5/(70,

где

/СЦ О С13\ С = I С21 С22 С2з I.

V о 0 с33/

Из соотношений выставки (14) и равенства (17) следует, что с точностью до

членов второго порядка малости

й^ы 0 - ф^Ы + С0'т(+ 0,т(чЖт,)) ^ + е + а/Сп);

напомним, что в силу нашей договоренности это векторное равенство выполняется лишь для первых двух компонент.

Поскольку матрица Б'т(т г) близка к единичной, то из последнего равенства с точностью до членов второго порядка малости получим

О = (С + а(т1)) ^ + £ + 8/(т±). (18)

Учитывая, что а±(т±) = & (т±) + у± (т±) и а2 (т = р2(т1) + у2(тг), из первых двух точных уравнений (18) получим соотношения

а , л с2зЗ + ¿2 ¿/2О1) г л пал

рг (тг) =---------У1(т1) > (19)

У У

с13д + £г 6/^)

Р2Ы = —-— + —---у2Ы.

У У

Формулы (19) указывают на зависимость фазовых переменных Р1 (тг) и в начальный момент времени от других параметров системы, входящих в соотношения (7), (1), (2). Эти зависимости позволяют правильно записать начальную ковариационную матрицу для решения соответствующей задачи оценивания с помощью фильтра Калмана.

В дальнейшем неизвестные инструментальные ошибки, в частности, со з, с2 з, £о, £2, будут трактоваться как взаимно независимые и независимые от , , и случайные величины с нулевыми

математическими ожиданиями и заданными дисперсиями.

Уравнение для азимутальной информации определяется известной формулой

[4]:

/з (то) = - Д0 (то ) - уз (то) = - Д0 (то) - /2 (то) ^ ц>, (20)

где - ошибка определения курса в начальный момент времени.

5. Полная динамическая система уравнений

5.1. Полная динамическая модель

Полная динамическая модель, описывающая поведение навигационной системы при калибровке, имеет вид

X (0 = А ( 0 х (0 + В (О ^ ( 0 + С/ (О » (21)

где вектор состояния , вектор немоделируемых возмущений , вектор известных случайных величин и матрицы , и можно

представить в блочном виде:

х(0 = Г>2°,0Т е м23,

<К0 = (6Ш,6уМ)т е м5, ВД = (г(0,7(0)т е м4,

/

А(0

(23 х 23)

Ш(0

АСО (2 х 2)

(21 х 21) 0

(19 х 2)

0 0

(2 х 21) (2 х 2)

В(0

(23 X 5)

/ ; о \

(2x2) • (2 х 3)

О ; 5Т(0 (3x2) ; (з х 3)

...............о..............

\ (18 х 5) /

С

(23 х 4)

/ С1

/

\

и ; С (2x2) ; (2 х 2)

.............о.............

(21 х 4)

Здесь компоненты векторов х ( 0 , ц ( 0 и / ( 0 определяются равенствами

5К = №(0,5К2(0)тем2, /?(0 = (ш, Ш, Рз(!))т е м3, с

= (С13- с23)т е м2, С = (£1, £2)т ем2, г = (Гц, г12, г13, г21, г22, г23, г31, г32, г33)т е м9,

VI = (V?,, ем3, 1 = (г[2\ 1?*)т е м2,

8Ш = {8Г1г{1),8Г2г{1))Т ЕЖ2, 8v.it) = {8у1г{1),8у2г{1),8у3г{1))Т

е м3,

= (г1(0, г2(0)т е м2, 7(0 = (пШМ)7 е м2

(через обозначена имеющаяся информация о компонентах

вектора у (t) ), матрица А х( t) имеет вид

ACO

(21 х 21)

/О F gsT(t) sT(t) 0 0 \

(2x2) (2X3) (2x2) (2x2) (2x9) (2 х 3)

О Ü о О S£(t) ST(t)

(3 х 2) (3 х 3) (3 х 2) (3 х 2) (3 х 9) (3 х 3)

\

О

(16 х 21)

/

Матрицы S( t) , s ( t) , Sm (t), W( t) , ü, F, U и G определяются выражениями

5(t) / cos ф (t) Sin ф (t) 0\ s(t) (3x3)"PY(i) cos0(t) Oj, (2x2)

_ / cos ф (t) sin ф (t)\ \— sin ф (t) cos ф (t)/

5 ^ / m cos ф (t) m sin ф (t) 0 \ /w2 sin ф (t)\

Г9Х 31 = ~m sin ^ ^ m cos ^ ^ 0 ' ГД6 771 = U2 C0S ^ ^ '

1 j V 0 0 m/ \ ii3 + 0(t) /

W(t) _/-0(t)sin 0(t) 02(t)sin0(t) (2 x 2) \ 0(t) cos ф (t) -02(t)) cos ф (t),

u3 0

ь /О -1 0\ (2 X 3) ~ ^ VI 0 OA

—щ

u _ 9 f 0 1\ G _ /0 -1\ (2x2)" 3 v—1 oJ' (2x2)~g VI 0/'

5.2. Выражение для переходной матрицы

Для реализации фильтра Калмана необходимо перейти от непрерывной системы (21) к эквивалентной ей дискретной, а для этого необходимо вычислить переходную матрицу системы (21). Однако явное вычисление входящих в А ( 0 членов, содержащих ф ( , не представляется возможным, поскольку функция неивестна и может принимать сколь угодно

большие значения в окрестностях концов отрезка [т2,тз] . Соответственно, и явное вычисление переходной матрицы представляется

затруднительным. Приведенная ниже лемма помогает решить эту проблему.

Лемма. Переходная матрица системы (21) имеет вид

ФМ) (23 х 23)

Ф^б) (21 х 21)

\

О

(2 х 21)

г

Ш(т) дх

(2 X 2) О

(19 X 2)

Е2 (2 х 2)

\

/

(22)

где Ф о ( я ) — переходная матрица усеченной системы вида у ( = А о( О У ( 0 с матрицей А о( , а Еп — единичная матрица порядка п.

В справедливости леммы легко убедиться непосредственной подстановкой. Удобство такого подхода заключается в том, что все элементы матрицы А 1 ( Ь ) ,

в отличие от А (Ь), можно явно вычислить. Вычисление /^УУ(т) сС т для

произвольных Ь, 5 невозможно по указанным выше причинам, однако в этом и нет необходимости, поскольку после проведения дискретизации уравнений ошибок вычисление этого интеграла оказывается необходимым не для произвольных, а лишь для дискретных моментов времени, соответствующих сетке разбиения временной оси. В следующем разделе будут приведены

соответствующие формулы для / \¥ (т) сСт.

6. Дискретизация уравнений ошибок

6.1. Дискретная система.

Разобьем отрезки [т1,т2] и [т3,тА] на меньшие отрезки, зафиксировав на отрезке некоторые дискретные моменты времени (отрезок

не разбивается на меньшие отрезки, т. е. точки и соответствуют соседним моментам времени):

Т1 = ^о < < < = т2 < т3 = ¿п+1 < ¿п+2 < ••• < = т4.

В соответствии с формулой Коши непрерывную систему (21) можно представить в дискретном виде

х/+о = Ф /Л+ ^ + 7 ъ ^ = 0 - 1 ■ .,г-1 , (23)

где

Фк =

(23 X 23)

(21 X 21)

V

0

(2 х 21)

г£к+1 11

Ш(т) йт

\

(2 х 2) О

(19 х 2)

Е2 (2 х 2)

/

Л к

1

— J Ф (^+1,т)С/г(т)йт.

6.2. Удобные выражения для и 77 Представив матрицу Ф о ( 5 ) в видах

\

Ф22М)

(21x19) ' /

/

Ф^б) (21 х 21)

Фц(^) (21 х 5)

\

\

Ф12(М

(21 х 16)

/

/

Ф21<М

(21 х 2)

\

выражения для и можно записать в виде

( [ ФцС^+ц-О^СОяСОат N & = (21 х 1)

..........................о........................

\ (2x1) /

Чк

У]к = (21 х 1)

........................о........................

\ (2x1) /

6.3. Вектор возмущений в динамической системе.

Вектор ц ( будем полагать случайным процессом типа белого шума: М ц (¿) = 0 , М [ц (¿) цт (я) ] = @ 8( ¿ — я) ( М - символ математического ожидания), где 8 ( — дельта-функция Дирака. Различные компоненты вектора будем полагать взаимно некореллированными:

diag ( (?!,(? 2 ■ 5 ) . Тогда последовательность {<^} является последовательностью независимых случайных величин типа дискретного белого шума: М ^ = 0 , М [<^т] = @ ь где 8^ 1 — символ Кронекера, а

£к+1

(¿к

(23 X 23)

■К.+1

где

(23 х 5)

/ Фц т)^ СО \ (21 X 5)

V

О

(2x5)

/

Отметим, что последовательность {77/;.} представляет собой последовательность известных величин.

6.4. Вычисление матрицы Ф^.

Для вычисления входящего в выражение для матрицы Ф к блока Ф 1 (^+ разобьем отрезок [ ^+1 ] на достаточно малые промежутки времени так, что матрицу А1 можно положить на каждом из них практически постоянной.

Точки разбиения обозначим через ^ = < я(к) < • • • < ) = ^+-,_. Тогда

т=р-1 т=О

где матрицы Ф 1 ( ) легко вычислить по приближенной формуле:

л (к) (к)

где .

Для вычисления интеграла от , входящего в состав , были

выведены явные формулы. Поскольку ф( = 0 на отрезках [т1(т2] и

[т з, т4] , то на этих промежутках и IV ( = 0 , откуда

т2 т4

| I \¥ (0^ = 0.

Тз

Для вычисления интеграла на отрезке применим формулу

интегрирования по частям:

Тз

[

Тз ~~

/

т2

/ 13 13 \

- J ф(р) 5Ш 0 (р) сИ I Ф2 (р) БШ Ф (р) сИ

У\Г (Р)(И =

т2

Тз

т2

Тз

/

т2

-/

Ф (Р) СОБ Ф (Р) (И - \ фг (Р) СОБ Ф (Р) (И

т2

/

I ф2 (0 соз ф (0 Л - [<ктз) зш ф (Тз) - Ф(т2) зш ф (Т2)]

Тз

/ 0^ (0 зш 0 (0 + [0(г3) соз 0 (Тз) - 0(Г2) соз 0 (Т2)]

т2

Тз

0 (0 5Ш 0 (0 (И

т2

Тз

- I Ф2 (0С05 Ф (0 &

т2

/

Учтем следующие соображения:

1) на почти всем отрезке [т 2,т 3] (кроме небольших окрестностей концов этого промежутка) угловая скорость ф ( вращения корпуса БИНС постоянна и равна П;

2) ф (т 2) = 0 , ф (тз ) = тг;

3) ф (т2) = ф (т3) = 0 (поскольку мы полагаем зависимость ф ( гладкой).

Тогда получим, что

т 3

/ т3 т3 \

I ф2 (0 соз ф (0 с^ | ф2 (0 бш ф (0 бХ

Т2 Т2

Тя

| ф2 (О 5Ш ф (О С^ — [0(Т2) + Ф(Т3)] - | ф2 (О С05 ф (О (И

\т-> т-> /

2П

VI О/

6.5. Уравнение для измерений

Измерения, поступающие в дискретные моменты времени, описываются равенством

г„ = Ях ( ^) + гъ /с = 0 ,1 . .,г-1, (24)

где

Н _ / Е2 0 \ /г± (рк) \

(2X23) 1(2X2) (2 х 21)/' \г2(1к))-

При этом г; будем полагать дискретным белым шумом: М г; = 0 , М [г;ггт] =

Л г .

7. Дискретный фильтр Калмана

Для постановки задачи оценивания представим вектор состояния системы (23) в следующем виде: Вектор является решением уравнения

Ук+1 = фкУк + к = 0,1,..., Уо — хо-

Вектор является решением уравнения

Съ+1 = Ф + л & = 0, 1 ,■ . Со = 0 . (25)

Для вектора состояния системы (6.1) в качестве оценки хл примем

хк = Ук + С/с-

где ул - оптимальная в среднеквадратичном оценка вектора ул по измерениям

гк = гк~ Нк$к - НкУк + гк-

Решение задачи оценки вектора с помощью фильтра Калмана имеет вид

[5]:

Ук = Ук+РкНт(НР]^Нт + Я)-1(г*к-НШ

Рк = +

Ук+1 = фкУк>

Рк+1 = ФЛМ + (2к, к = од,...,

с начальными условиями

Уо" = Муо = Мх0, Ро = М(у0 - Муо)(уо - Му0)т = М(х0 - Мх0)(х0 - Мх0)т.

Заметим, что при помощи изложенного выше алгоритма можно получить удобную форму алгоритма оценки вектора . Для этого прибавим к уравнению для оценки ук уравнение (24), к уравнению для оценки у+ -величину ^ (справа и слева) и введем обозначения

^к — Ук + Ск> %к = *к + С/с-

Тогда получим, что для оценок вектора состояния исходной системы (6.1)

справедливы соотношения:

К = Ч+РкНт(НРкНт+ Ю-1(2к-Нхк),

= Рк - РкНт(нркнт + Ю-'НР^,

%к+1 — Фк*к + Лк'

Рк+1 = ФЛМ + (1к, к = ОД, ... ,

с начальными условиями

Хц = Мх0, = М(х0 — Мх0)(х0 — Мх0)т.

начальный момент времени все параметры системы считаются независимыми, за исключением входящих в уравнения (19), (20), задающие зависимость //¿, I = 1 , 2 , 3 от параметров погрешностей блока акселерометров и ошибок определения начального местоположения . В соответствии с этими формулами математические ожидания всех компонент начального вектора состояния полагаются равными нулю: , а

ненулевые элементы начальной матрицы ковариаций имеют

вид:

Pl,l

3,3

Tl) Tl)

3,9 D4,4 D4,6 D4,8 Э5,5 \б Э8,8

Tl) Tl) Tl) Tl) Tl) Tl) Tl)

= ^2,2 (Ti)

Рз,7 Ы =

PlO.lO (Tl) =

^13,13 (Tl) — ^16,16 (Tl) ^19,19 (Tl)

= P

^7,3 (Tl) ^9.3 (Tl)

^6,4 (Tl)

^8,4 (Tl)

^7,7(Tl)

^9,9 (Tl) ^11,11 (Tl) ^14,14 (Tl) 17,17 (Tl) 20,20 <

Pf n 9 Г) (Tx )

— P\2,12 (Tl) —

(Tl) =

= P

22,22

(Tl) = ^23,23 (Tl) =

15,15

— ^18,18 (Tl) — (Tl) =

= P

21,21

= + °i/gz + + oift

-O,

с >

-all 9, = + °ll92 + + бт|/У

"С '

öav + °у£д2(р>

Ос,

oh

Ol Ol Ol

Oy,

где бг5 ö

v

ö , ör

дисперсии соответствующих координат

вектора состояния, - дисперсия ошибки стендовой информации об угле курса при выставке, - дисперсия ошибки начальных значений координат

БИНС.

8. Результаты численного моделирования задачи оценки параметров

погрешностей БИНС

Для численной реализации фильтра Калмана (в форме квадратного корня)

использовалась библиотека программ, разработанная А.А. Голованом.

Моделирование выходных данных БИНС проводилось на интервале времени

от до сек с началом разворота при сек и

28

окончанием при сек.

При решении задачи оценки параметров инструментальных погрешностей до и после разворота измерения поступают с шагом Л t = 1 сек; при этом на интервале разворота измерения не производятся из-за отсутствия информации об угловой скорости разворота.

Для случайной ошибки измерений относительной скорости принята величина = 5 , 0 • 1 0"3 м/сек.

Интенсивности случайных возмущений в уравнениях ошибок полагаются следующими: для акселерометров - ; для датчиков

угловой скорости - ( (?.„) 1 /2 = 3 • 1 0 "7 1 / с е к 1 /2 [6] , [7]. Начальные среднеквадратические значения ошибок по скоростям, по координатам и азимутальному углу приняты такими: м/сек,

(Ту = 10 " 5, (гРз = 3 . 0 • 1 0 " 3.

В таблицах 1 и 2 приведены численные результаты решения задачи оценки инструментальных погрешностей датчиков угловой скорости и акселерометров БИНС. Для момента времени т 1 в таблицах приведены начальные значения среднеквадратических величин оцениваемых параметров, для момента времени - значения, полученные к концу интервала оценивания.

Таблица 1.

(,0 [ 1/сек] 5 ,0 • 1 0 "7 2,5 2 • 1 0 "8 [ /сек] [ /сек]

т£1 [ м/с ек2] 1 ,0 • 1 0 "2 3,84 • 1 0 "3

т£2 [ м/ с е к2] 1 ,0 • 1 0 "2 3,84 • 1 0 "3

бтС1з 3,0 • 10~4 2,88 • Ю-4

<тс 3,0 • Ю-4 2,88 • Ю-4

с23 ' '

<7Г11 3,0 • Ю-4 3,0 • Ю-4

аГ12 3,0 • Ю-4 2,98 • 10~4

<7р1з 3,0 • Ю-4 2,88 • Ю-4

<Тр21 3,0 • Ю-4 3,0 • Ю-4

<Тр22 3,0 • Ю-4 2,00 • Ю-4

<Тр2з 3,0 • Ю-4 2,88 • Ю-4

б7рз1 3,0 • Ю-4 3,0 • Ю-4

<Трз2 3,0 • Ю-4 3,0 • ю-4

<Трзз 3,0 • Ю-4 2,96 • Ю-4

ч

Т.(2) [м] 3, 0 • 1 0 -2 5,3 5 • 1 0 - 3

((2) [м] 3, 0-1 0 - 2 5 , 3 1-1 0 - 3

Результаты, приведенные в таблице 1, показывают, что значительного повышения точности оценок параметров, кроме величины постоянных составляющих ошибок датчиков угловой скорости и смещения

чувствительной массы акселерометра V? и , I = 1 , 2, не происходит. Значительное повышение точности оценок части параметров появляется при уменьшении начальных среднеквадратических значений элементов матрицы ошибок датчиков угловой скорости и ошибок установки осей

чувствительности акселерометров с ^ 3,1 = 1 , 2 . Соответствующие результаты вычислений приведены в таблице 2.

Таблица 2.

Т1 Т4

[1/сек] 5,0 • 1 0 - 7 1,57-10~!

[1/сек] 5,0 • 1 0 - 7 8,60 • Ю-'

[ /сек] 5,0 • 1 0 - 7 3,96 • Ю-'

[м /с е к2] 1,0 • 1 0 - 2 4,18 • Ю-'

(Тр е2 [м /с е к2] 1,0 • 1 0 - 2 4,19 • Ю-'

ог с13 3,0 • 1 0 - 5 2,99 • 1 0 - 5

ас23 3 ,0 • 1 0 - 5 2,99 • Ю-1

3,0 • 1 0 - 5 3,0 • Ю-5

3,0 • 1 0 - 5 3,0 • Ю-5

31

^Г13 67Г 67Г 67Г °Г31 аг32

6ТГ

1 зз

21

22

23

3,0 • 1 0 - 5 3 ,0 • 1 0 - 5

3,0 • 1 0 - 5 3 ,0 • 1 0 - 5

3,0 • 1 0-5 2,98 • 1 0 - 5

3,0 • 1 0 - 5 3 ,0 • 1 0 - 5

3,0 • 1 0 - 5 3 ,0 • 1 0 - 5

3,0 • 1 0 - 5 3 ,0 • 1 0 - 5

3,0 • 1 0 - 5 3 ,0 • 1 0 - 5

<7.(2 ) [м] 3,0-1 0-2 5,34-1 0- 3

67.(2) [м] 3,0-1 0-2 5,29-1 0- 3

При задании начального среднеквадратического значения смещения чувствительной массы акселерометра, равного 5 , 0 -1 0 - 3 м, заметного изменения точности оценок постоянных составляющих ошибок датчиков угловой скорости и постоянных составляющих ошибок акселерометров не происходит.

Полученные результаты показывают, что при эксперименте с быстрым разворотом системы вокруг вертикальной оси в случае, когда априорные среднеквадратические значения параметров ошибок датчиков угловой скорости и перекосов осей чувствительности акселерометров равны

, постоянные составляющие ошибок датчиков угловой скорости определяются с точностью порядка 1 0 - 8 1/сек (0,0 02°/час), а ошибки

акселерометров определяются с точностью около .

Точность оценки смещения чувствительной массы акселерометра мало зависит от точности задания геометрических параметров.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 10-01-00703-а

Библиографический список

1. Вавилова Н.Б., Васинёва И.А., Парусников Н.А. О стендовой калибровке авиационных бескарданных инерциальных навигационных систем // Труды МАИ, 2015, №84: http://www.mai.ru/science/trudy/published.php?ID=63069

2. Вавилова Н.Б., Голован А.А., Кальченко А.О. Определение погрешностей бескарданной инерциальной навигационной системы в режиме рулежки и разгона // Труды МАИ, 2015, №84: http://www.mai.ru/science/trudy/published.php?ID=63092

3. Веремеенко К.К., Галай И.А. Разработка алгоритмов калибровки инерциальной навигационной системы на двухосном испытательном стенде // Труды МАИ, 2013, №63:

http: //www.mai .ru/science/trudy/published.php?ID=3 6139

4. Голован А.А., Парусников Н.А.. Математические основы навигационных систем. Часть I. - М.: Изд-во МГУ, 2010. - 128 с.

5. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. - М.: Наука, 1992. - 576 с.

6. Брозгуль Л.И., Зайцев А.В. Состояние и перспективы развития

инерциальных навигационных систем // Мехатроника, автоматизация, управление. 2006. №3. С. 2-8.

7. Auch W., Schlemper E. Optical gyroscope. Electrical Communication, 1984, vol. 58, no.3, pp. 314-318.