Каким методом геофизики должны заменить метод Лаврентьева нахождения устойчивых приближенных решений систем линейных алгебраических уравнений с симметричными положительно определенными матрицами и приближенно заданными векторами правых частей Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вычислительные технологии

Том 12, № 6, 2007

КАКИМ МЕТОДОМ ГЕОФИЗИКИ ДОЛЖНЫ ЗАМЕНИТЬ МЕТОД ЛАВРЕНТЬЕВА НАХОЖДЕНИЯ УСТОЙЧИВЫХ ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С СИММЕТРИЧНЫМИ ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫМИ МАТРИЦАМИ И ПРИБЛИЖЕННО ЗАДАННЫМИ ВЕКТОРАМИ

ПРАВЫХ ЧАСТЕЙ

В. Н. Страхов

Институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН, Москва, Россия

e-mail: [email protected]

It is shown that the classical M.M. Lavrentiev method for solving linear algebraic equations with the symmetric positively definite matrices can not be considered as the optimal method. A new method for regularization of the linear algebraic systems mentioned above is proposed.

В геофизике (и прежде всего — в гравиметрии и магнитометрии) достаточно много задач сводится к задачам нахождения устойчивых приближенных решений X систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида

т. е. с точно заданной матрицей А и приближенно заданным вектором правой части (вектор 8/ — вектор помехи).

© Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук, 2007.

Каждый век с сожалением смотрел на ошибки предыдущего.

Франсуа Сарсэ, французский философ Над прошлым, настоящим и будущим имеет власть человек.

Александр Грин. Жизнь Гнора

Введение

Ax = fs = f + 8f,

(1)

При этом вектор X (устойчивое приближенное решение СЛАУ (1)) должен обеспечивать выполнение соотношений

АХ « /, / - АХ « 6/. (2)

Иначе говоря, вектор X в основном определяется вектором полезного сигнала /, а вектор помехи 6/ уходит в невязку.

Сразу же необходимо подчеркнуть тот момент, что в геофизике (и прежде всего — в гравиметрии и магнитометрии), а также в геодезии и геоинформатике чаще всего возникают СЛАУ (1) с квадратными (Ж х N)-матрицами А со свойством

А = Ат > 0. (3)

Ниже описывается (естественно, в очень краткой форме) два основных метода редукции задач гравиметрии и геоинформатики к СЛАУ (1) со свойством (3).

1. Первый метод редукции к СЛАУ (1) со свойством (3) — это предложенный автором в первой половине 90-х годов XX века метод линейных интегральных представлений, (см. [1-3]).

Суть этого метода такова. Пусть задано аналитическое соотношение

й г.

/(х) = V / РгШг(£,х)ф,г(0, X е (4)

r=1

Mr

в котором все множества Mr, r G Rn, n > 2, а также меры ßr (С) на этих множествах являются заданными. Заданными также являются все функции:

Qr (Ç,x),

С G Mr, x G S, 1 < r < R. (5)

Функции

Pr(С), 1 < r < R, (6)

подлежат определению по функции f (x).

(A propos — ясно, что эта задача — обобщение классической задачи решения линейного интегрального уравнения первого рода.)

В задачах гравиметрии и геоинформатики имеют место ситуации, когда функция f (x) задана лишь на конечном множестве точек, т.е. задано лишь конечное число значений:

fi = f (x(i)), i =1, 2,...,N, (7)

— и по этим значениям требуется найти все функции pr(С), 1 < r < R.

Ясно, что указанная здесь задача — типичная линейная некорректная задача. Ее решение рационально находить так. Ставится условная вариационная задача

У [ 4Ш dßr (С) = min ^ 1 р2(С) Pr (€),

r-tJ Р2(С)

r=1 Mr

R р

fi - Е / Pr (С)Qri)(C(С) = 0, 1 < i < n, (8)

r=1 Mr

в которой все

р2(£), 1 < г < я, (9)

суть заданные функции, а

Q(r)(0 = Qr (£; х(г)). (10)

Условная вариационная задача (8) решается так. Сначала классическим методом множителей Лагранжа (см. [4, 5]) задаче (8) ставится в соответствие семейство безусловных вариационных задач

¿/рЦ Фг (о + 2 £ лЛ и рг (ш(г)(е ж (е)) = ж, (п)

Г=1Ыг ( (=1 V Мг

при этом в (11) все

Лг, 1 < г < М, (12)

суть те множители Лагранжа, которыми учтены условия-равенства в исходной задаче (8).

Использование необходимого (а в данном случае и достаточного) признака экстремума приводит к представлениям

N

Рг(£) = р2(0^2ЛгQ()(C), 1 < г < я. (13)

г=1

Используя далее условия-равенства в исходной задаче (8), находим, что вектор Лагранжа Л (с компонентами Лг, 1 < г < N) удовлетворяет СЛАУ вида

АЛ = /, (14)

в которой (М х N)-матрица А обладает свойством

А = АТ > 0 (15)

и имеет элементы

к „

<Ы = £/ р2(Ш(г)(^(СЖ(е), 1 < г, 3 < N. (16)

(=1Мг

Понятно далее, что в СЛАУ, возникающих при решении задач гравиметрии, магнитометрии, геодезии и геоинформатики, фактически является заданным не вектор /, а вектор

/ = / + 8/, (17)

где 8/ — это вектор помехи (или по-другому — вектор погрешности).

Следовательно, надо находить не точные, а устойчивые приближенные решения

СЛАУ

Ах = /д = / + 8/, (18) А = АТ > 0. (18)

2. Далее о втором основном методе редукции задач гравиметрии, геодезии и геоинформатики к СЛАУ вида (18). Этот метод, именуемый методом точечных источников (см. [6, 7]), имеет три варианта:

а) локальный;

б) региональный;

в) глобальный.

В первом варианте сферичностью Земли можно пренебрегать, трактуя Землю как нижнее полупространство с криволинейной границей раздела Б Земля-воздух.

Во втором и третьем вариантах учитывается сферичность (или даже эллипсоидаль-ность) Земли.

В настоящей работе дается лишь краткое описание метода точечных источников в самом важном — локальном — варианте.

В этом варианте принимается, что в определенном (конечном, с числом точек N) количестве точек на границе раздела Б Земля—воздух измерены значения некоторой функции и(х), х = (х1, х2, х3),которая является непрерывной в области О £ Б, содержащей все точки х(г) = ^ х1г), х2г), х3^, где заданы значения функции и(х). Пусть система координат (х1, х2, х3) введена так, что

х? > 0, 1 < г < N (19)

у3

причем величина

min > 0 (20)

i

небольшая. В этом случае в нижнем полупространстве задаются N точек, располага-

д (i) ( (i) (i) (i)\

ющихся поо точками 44 = 1x1 , x2 , xg I, причем у них третья координата равна

x(i)^, т.е. равна по величине, но противоположна по знаку, когда функция u(x) не представляет собой какой-либо элемент некоторого физического поля

N

u(x) = Е

c

j

R(x - x(j)) =

R (x - x(j))' /01ч

2 / 2 л21 1/2 (21)

^ ) + ( 43 - 4

(xi - ¡j + (x2 - + (xg - 4(j)y

При этом ясно, что через х7) = ^х^, х27), хЗ"7^ , 1 < ] < N, обозначены координаты точек, симметричных (относительно плоскости х3 = 0) точкам задания значений функции и(х), при этом

х37) < о, 1 < ] < N. (22)

Из (22) получаем СЛАУ для нахождения ^вектора с компонентами с7-, 1 < ] < N: Ас = и, где N-вектор и имеет компоненты

щ = и(хМ), 1 < г < N, (23)

а (N х N)-матрица А обладает свойством

А = Ат > 0 (24)

и имеет элементы

aij = ^гТл-ГЪ, 1 < i, j < N. (25)

j R(x(i) - x(j)) _ _ v 7

Из (25) следует, что

аГ > 0, 1 < i, j < N, (26)

что очень важно с вычислительных позиций.

Ясно далее, что фактически надо находить не точное решение СЛАУ (22), а устойчивое приближенное решение СЛАУ

Ac = щ = u + Su, (27)

где Su есть вектор помехи.

Далее рассмотрим тот случай, когда в совокупности точек на поверхности Земли S заданы значения функции

4 , ч dva(x) , ,

Дд(х) = , (28)

где Va(x) — потенциал аномального гравитационного поля. В этом случае аппроксимацию функции Дд(х) необходимо брать иной, нежели в (21), а именно

Ag(x) = £ WTT• (29)

j—1 R3(x — x(j))

Понятно, что и в данном случае для нахождения вектора c получаем СЛАУ

Ac = Дд + SДg, (30)

в которой векторы Дд и SДg суть векторы полезного сигнала и помехи, с компонентами

Ддг = Дд(х«), SДgг, (31)

1 < г < N. (31)

Матрица A имеет элементы

x(i) — x(j) х3 х3

= Я3(Х(.) - X»)) • 1 < < М (32)

Ясно, что и в данном случае

а.з > 0, 1 < г, 3 < N. (33)

Нетрудно также найти, что в данном случае матрица А имеет сильное диагональное преобладание, что облегчает нахождение устойчивого приближенного решения СЛАУ (30).

3. Итак, выше было показано, что для гравиметрии и геоинформатики большое

значение имеет задача нахождения устойчивых приближенных решений X СЛАУ вида

Ах = /& = / + 8/ (34)

А = АТ > 0. (34)

М.М. Лаврентьевым в 1959 году (см. [8]) впервые был предложен метод нахождения векторов

X = х . (35)

В методе Лаврентьева принималось, что априорно известна величина

82 = ||8/||Е . (36)

Суть метода в том, что СЛАУ (34) заменяется на регуляризованную СЛАУ

(«En + A)x„ = f, (37)

в которой En суть единичная (N х N)-матрица, а

а > 0, (38)

есть параметр регуляризации, малый по величине.

Вектор ж<5 определяется как вектор жа5, который удовлетворяет равенству

f - Ax«, ||E = (39)

Доказывается ряд важных положений. Во-первых, что если

""V < 1, (40)

1Е

то значение а = а, при котором имеет место соотношение (39), существует и единственно.

Во-вторых, имеет место соотношение

IIх - х НЕ ^0, (41)

в котором х есть точное решение СЛАУ

Ах = /, (42)

т. е. при / = 0.

Внимание! Оба приведенных положения установлены в духе "чистой математики". Это означает, что:

а) все числа (элементы а^ матрицы А и компоненты /¿^ вектора /) заданы с бесконечным числом значащих цифр;

б) все арифметические действия над числами выполняются идеально точно, т. е. без каких-либо ошибок округления.

Внимание! Уже в то время, когда М.М. Лаврентьев создавал свой метод, было известно, что если матрица А имеет достаточно большую размерность (условно: N > 100) и является очень плохо обусловленной (например, это известная матрица Гильберта,

с элементами а^ = --:-), то даже в том случае, когда = 0, система может не

г + ] — 1

решаться — из-за того, что разложение Холецкого матрицы А,

А = , (43)

не находится — в силу ошибок округления, а потому при некотором г под знаком квадратного корня возникает отрицательное число. Таким образом, переход от СЛАУ

Ах = /г = / + ¿Л (44)

А = Ат > 0 (44)

к регуляризованной СЛАУ

+ A)x„ = f (45)

фактически имеет две цели:

а) подавить влияние вектора помехи if ;

б) обеспечить нахождение разложения Холецкого матрицы СЛАУ (44). Итак, при заданном значении а сначала матрица

A„ = A + aEN (46)

разлагается (классическим методом Холецкого, см. [9, 10]) в произведение треугольных матриц

Aa = LaLTa (47)

(здесь LT суть нижняя треугольная матрица размера (N х N), а LT — верхняя треугольная матрица, получаемая транспонированием матрицы LT).

После того, как разложение (47) найдено, последовательно решаются две СЛАУ с треугольными матрицами:

LtZt = fs, (48)

LT xa za •

4. Итак, способ решения регуляризованной СЛАУ (45) при заданном значении а описан. Остается указать на то, что для нахождения вектора

XS xa,5, (49)

при котором выполняется (приближенно, но с достаточно высокой точностью) соотношение (39), необходимо находить решения регуляризованных СЛАУ (45) при достаточно большом числе значений параметра регуляризации а. Вычислительный опыт показывает, что число n различных значений а, при которых решаются регуляризованные СЛАУ (45), обычно заключено в пределах

10 < n < 20, (50)

т. е. в среднем имеем

n =15. (51)

Иначе говоря, метод Лаврентьева очень трудоемок.

Но это не самый главный недостаток этого метода. Главный его недостаток в том, что в нем не выполняются определяющие соотношения (2).

В самом деле, при любом а > 0 в методе Лаврентьева имеют место соотношения

Xa = Рт, (52)

а

где положено

Pa = fs - Axa. (53)

Равенство (52) в развернутой форме таково:

f — Axa if

Xa = --T + — • (54)

аа

Из (54) следует

A(f - Ax«) Af

Ax« = -^ + —J-. (55)

a a

Но известно, что

ай = O(i), i = ||i/||e . (56)

Таким образом, имеем, что вектор Ax$ — Ax«^ достаточно сильно зависит от вектора помехи ¿f, а еще сильнее от вектора помехи ¿f зависит вектор хаг — X.

И эти два факта имеют место потому, что при всех a > 0 выполняется соотношение (52), т.е. векторы xa однозначно выражаются через векторы невязок ра и a.

5. В заключение укажу, что не только метод Лаврентьева, но вся классическая теория регуляризации СЛАУ вида

Ax — f — f + ¿f, (57)

созданная в 50-80-е годы XX века в основополагающих трудах А.Н. Тихонова, В.К. Иванова, М.М. Лаврентьева и их многочисленных учеников и последователей (см. [11, 12]), имеет ряд важных (принципиально важных!) недостатков. Основных недостатков этой теории три.

Первый недостаток состоит в том, что в этой теории используется точное знание величины

¿2 — ||f ||E , (58)

тогда как в геофизике (а также в геодезии и геоинформатике) точного знания этой величины никогда нет, известны лишь величины ¿min и ^ах в неравенствах

¿m^ < ||f He < Сх, (59)

причем величина

¿2

2 "max im\

Y — (60)

¿min

может быть и заметно больше единицы.

Второй недостаток классической теории регуляризации СЛАУ (57) состоит в том, что в ней не учитывается возможность (и необходимость!) использования и другой, априорной, информации о векторах ¿f и f.

Третий недостаток классической теории регуляризации СЛАУ (57) (по мнению автора - принципиально важный) состоит в том, что в ней не формулируются и не обсуждаются соотношения

AX « f, f - AX « ¿f, (61)

являющиеся характеристиками для вектора X.

6. Имея в виду решение задач гравиметрии, магнитометрии, геодезии и геоинформатики, следует указать на четыре принципиально важных момента, определяющих предлагаемый новый метод нахождения устойчивых приближенных решений СЛАУ:

Ax — f — f + ¿f,

(62)

A — AT > 0. ( )

Первый момент. Известными являются величины i^in и ^ах в неравенствах

^in < llf llE < <£ах, (63)

при этом имеем

i2

1 < Y2 = iP < 2. (64)

umin

Ясно, что наивероятное значение величины ||if ||E таково:

i2 + i2

Д2 = "mm 1 max (65)

2 ' 1 ;

Второй момент состоит в том, что априорно известно равенство

(f, if) = 0. (66)

Третий момент состоит в том, что вектор X, в силу первого и второго моментов, должен удовлетворять равенствам

2

- AXllE = Д'

(AX, f - AX) = 0,

или по-другому — равенствам

(67)

llAxllE = llf llE - A2, (ATf,x) = lfllE - A2

E ii^IIe ~ , (68)

Четвертый момент состоит в том, что вектор X, удовлетворяющий соотношениям (7), проще всего найти (как именно, описывается ниже), если предварительно определить вектор X, для которого выполняется неравенство

2

0 < / - АХ||е (69)

В приводимом ниже описании нового метода нахождения устойчивых приближенных решений X СЛАУ (62) все приведенные четыре момента учитываются. При этом, естественно, учитывается и различие в свойствах векторов / и /.

А именно, вектор полезного сигнала / является низкочастотным, т. е. его компоненты /¿, 1 < г < N при изменении номера г на единицу изменяется плавно (закономерно), а вектор / является высокочастотным, более того — случайным и однородным.

7. Итак, пусть задана СЛАУ

Ах = / = / + / (70)

с (Ж х N)-матрицей А со свойством

А = Ат > 0, (71)

которая является достаточно плохо обусловленной (что почти всегда имеет место, если N велико, условно: N > 1000).

Обозначим через

Da (72)

диагональ матрицы A, т. е. ее элементы di суть

di = au, 1 < i < N. (73)

Так вот, в новом (описываемом ниже) методе нахождение векторов X СЛАУ (70) заменяется на регуляризованную СЛАУ

A«x„ = [(Da + aDA1) + (1 - в)(А - Da)]X„ = A/, (74)

при этом в (74) в и A не являются независимыми, они однозначно определяются по заданному значению a (см. ниже).

Внимание! Прежде всего обратим внимание читателей на тот факт, что в новом методе улучшение обусловленности матрицы A путем ее замены на матрицу

Aa = [(Da + aD-1) + (1 - в)(A - Da)] (75)

достигается двумя способами:

во-первых, заменой матрицы Da на матрицу

Da + aDA1, (76)

где

a > 0 (77)

— небольшое число;

во-вторых, заменой матрицы A - Da на матрицу

(1 - в)(A - Da). (78)

(A propos — в методе Лаврентьева (см. [8, 11, 12]) используется существенно более простая конструкция, а именно — матрица Da заменяется на матрицу Da + aE, где a > 0, а матрица A - Da остается без изменения.)

Так вот, в (75) величина a > 0 является заданной, а величина в находится по величине a на основе соотношения

||Da + aDA11| E + (1 - в)2 II A - Da||e = ||Da IlE + l|A - Da||e , (79)

которое представляет собой развернутую запись соотношения

IIAJE = IIAIlE , (80)

выражающего собой принцип сохранения евклидовой нормы матрицы при ее регуляризации.

Ясно, что из (79) следует

2

HDa + aD- - ||DaI|p (1 - в)2 = —-A llE 2 " A"E (81)

|A-DA

2

Ie

и далее

1 'Д + аД;1 ц; -Рл||

в = 1 -

\

-1 п2 _

; ""л||; (82)

11А - Дл||Е

Ясно также, что при достаточной малости величины а имеем

0 < в < 1. (83)

При этом ясно, что условие достаточной малости а имеет вид

||Дл + аД—11||Е - ||Дл||| < IIА - Дл|||. (84)

8. Далее рассмотрим вопрос об определении величины Л, фигурирующей в СЛАУ (74). Для этого введем вектор Ха, являющийся решением СЛАУ:

А«Х„ = [(Д; + аД—1) + (1 - в)(А - Дл)] Ха = /. (85)

Иными словами, СЛАУ (85) есть СЛАУ (74) при Л =1. Допустим, что решение СЛАУ (85) при заданном значении а — и найденном по нему значении в — получено (как именно, описывается ниже, см. п. 9 статьи). Ясно, что тем самым найдена и величина

^ = II/- АХ«|||. (86)

Допустим теперь, что желательно найти несколько более точное приближенное решение

Ха, (87)

т. е. такое, что

II/- АХа||Е < / - АХа||; . (88)

Ясно, что можно принять

Ха = ЛХа (89)

(т. е. Ха есть уже решение СЛАУ (74)) и находить значение Л = Ла из условия

||/г - ЛАХа||; = шт. (90)

Л

Нетрудно понять, что из (90) находим такое значение Л = Ла:

(/, А Ха)

Н АХа II;

Л = Ла = . (91)

9. Опишем далее метод решения СЛАУ (85) — при заданном значении а и найденном по нему значении в. Матрицу СЛАУ (85) обозначим Аа.

Так вот, сначала матрица Аа классическим методом Холецкого (см. [8, 9]) разлагается в произведение двух треугольных матриц

Аа = ¿а^а, (92)

где Ьа — нижняя треугольная матрица размера (Ж х N), а — верхняя треугольная матрица, получаемая транспонированием матрицы Ьа, после чего последовательно решаются две СЛАУ с треугольными матрицами:

Ьа— /Л ,

(93)

Ьа ~а ^а •

Как известно (см. [8, 9]), нахождение разложения (92) требует выполнения

N 3

т (94)

арифметических операций, а нахождение решений двух СЛАУ с треугольными матрицами (93) — еще

4Ж2 (95)

арифметических операций. Сверх того, определение величины ва по заданному значению а (см. п. 7 статьи) требует выполнения еще 0(Ж2) арифметических операций, и такое же число арифметических операций требуется на нахождение величины Аа. Иначе говоря, вычислительная процедура нахождения вектора ~а (см. (37)) достаточно трудоемка, если значение N достаточно велико, условно

N > 1000. (96)

10. В связи с этим весьма важное значение имеет эффективный алгоритм нахождения такого значения а, при котором выполняется неравенство

2

II/г - А~а||е <^т. (97)

Дело в том, что если вектор ~а найден, то вектор X определяется достаточно эффективно.

В самом деле, по вектору ~а, для которого выполняется неравенство (97), сначала находятся векторы х[1] и х[2], для которых выполняются неравенства

/г - Ах[1] /г - Ах[2]

¿2

"та: ¿2-

(98)

Е

после чего по векторам х[1] и х[2] находится вектор X. Векторы х[1] и х[2] определяются в таком виде:

X ^ ] Т1 ~а ? Х ] т2~а,

(99)

где величины Т1 и т2:

0 < т1 < 1, 0 < т2 < 1, (100)

находятся как соответствующие корни квадратных уравнений

11 /г — Т1 А~а 11Е ^тах, 11/Л — Т2А~а|Е ^т1п.

2

После того, как векторы Х[1] и Х[2] найдены, вектор Х определяется как линейная комбинация этих векторов, а именно

Х = ах[1] + Ьх[2]. Причем величины а и Ь в (102) находятся из условий

||АХ|

;

аи +

;

— А2

(Ат / ,Х) = а(Ат /г ,х[1]) + Ь(АТ /г ,х[2])

;

— А2,

(102)

(103)

в которых положено

и = Ах[1], V = Ах[2]. (104)

Нетрудно установить, что из соотношений (103)-(104) величины а и Ь находятся однозначно.

Таким образом, определение вектора Х сводится к определению вектора Ха, удовлетворяющего неравенству (97). Нахождение же вектора Ха сводится к рациональному заданию множества величин а,

а = а1, а2, . где значение п достаточно мало, условно

п < 6.

аra,

(105)

(106)

Значения величины а (по которой, как описано выше, определяются величины в = ва и Л = Ла) следует задавать так:

а1,

= дк ак-1, к = 2, 3, ...,

(107)

где дк суть величины, которые должны находиться в процессе счета. По-видимому, целесообразно принимать

10-6...10-7

и

где положено

а1

¿2. "тт

^-1

- АХ

1/2

|2

ак-1 II Е .

Ясно, что:

а) значение а1 следует задавать так, чтобы было

v2 = НУг - Ахах ¡Е ~ ^тах;

(108)

(109)

(110)

(111)

б) последующие значения должны обеспечить достаточно быстрое нахождение

вектора х, для которого

- т2Ах||Е < ¿т.-

(112)

Внимание! Ясно, что описанный метод целесообразнее всего использовать при расчетах на кластерах из персональных компьютеров или многопроцессорных вычислительных систем, когда хак, к = 1, 2, 3, ...,п, можно вычислить в режиме параллельных вычислений.

2

2

2

2

2

Заключение

Итак, остается лишь подвести основные итоги работы.

Первый (самый главный) итог работы состоит в том, что в ней предложен принципиально новый метод устойчивых приближенных решений X для СЛАУ вида

Ax = f = f + f, A _ AT > 0,

T^n (113)

имеющих матрицу А достаточно большого размера ^ х N),

N > 1000. (114)

Второй итог работы состоит в том, что в новом методе реализуется принципиально новая стратегия нахождения векторов X (устойчивых приближенных решений СЛАУ

(53)). А именно, сначала определяется вектор X, удовлетворяющий неравенству

2

цуг - АХ||Е < ¿т1п, (115)

а уже затем по вектору х находится вектор х, удовлетворяющий сразу двум условиям:

(116)

- AXIIE = Д2,

(AX, f - AX) = 0,

где положено

¿2 + А2

д 2 _ "min 1 "max (117)

= 2 ' ( )

Третий итог работы состоит в том, что вектор X, удовлетворяющий (115), определяется на основе параметровой регуляризации СЛАУ (113), принципиально отличной от той, которая используется в методе Лаврентьева.

А именно, регуляризация СЛАУ (53) по Лаврентьеву состоит в замене этой СЛАУ на СЛАУ

(aE + A)xa _ f, (118)

где a > 0 — параметр регуляризации, а E — единичная (N х N)-матрица (см. [8, 11]).

В новом же методе СЛАУ (113) заменяется на более сложную, но и обеспечивающую существенно лучшую обусловленность, СЛАУ

Ax« _ [(Da + aD-1) + (1 - в)(A - DA)]xa _ Af. (119)

При этом в (119) задается лишь значение a, а величины в и A находятся по заданному a. При этом в _ в« определяется по принципу сохранения евклидовой нормы матрицы при ее регуляризации.

Таковы три основных итога работы.

Список литературы

[1] Страхов В.Н. Линейные задачи гравиметрии и магнитометрии в постановках, адекватных геофизической практике // Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей. М.: ОИФЗ РАН, 1997. С. 89-105.

[2] Страхов В.Н. Современное состояние и перспективы развития теории интерпретации гравитационных и магнитных аномалий // Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей. Воронеж, 1998. С. 4-35.

[3] Страхов В.Н. О методе линейных интегральных представлений при решении задач гравиметрии и магнитометрии // Актуальные вопросы математической геофизики. М.: ОИФЗ РАН, 2001. Т. 1. С. 110-115.

[4] Коша А. Вариационное исчисление. М.: Высшая школа, 1983. 279 с.

[5] Лаврентьев М.А., ЛюстЕрник Л.А. Курс вариационного исчисления. М.; Л.: Госто-птехиздат, 1950.

[6] Страхов В.Н. Смена эпох в науках о Земле // Вторая Всероссийская школа-семинар по электромагнитным зондированиям Земли: Общая информационная, научная программа, лекции, тезисы, Москва, 28-30 ноября 2005. М.: Макспресс, 2005. С. 11-20.

[7] Страхов В.Н. Три парадигмы в теории и практике интерпретации потенциальных полей (анализ прошлого и прогноз будущего). М.: ОИФЗ РАН, 1999. 78 с.

[8] Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962. 92 с.

[9] ВоЕводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984. 318 с.

[10] Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.; Л.: Физматгиз, 1963. 734 с.

[11] Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. 226 с.

[12] Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. 287 с.

Поступила в редакцию 9 февраля 2007 г., в переработанном виде — 23 июня 2007 г.