CC BY
39
Вычислительные технологии
Том 12, № 6, 2007
КАКИМ МЕТОДОМ ГЕОФИЗИКИ ДОЛЖНЫ ЗАМЕНИТЬ МЕТОД ЛАВРЕНТЬЕВА НАХОЖДЕНИЯ УСТОЙЧИВЫХ ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С СИММЕТРИЧНЫМИ ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫМИ МАТРИЦАМИ И ПРИБЛИЖЕННО ЗАДАННЫМИ ВЕКТОРАМИ
ПРАВЫХ ЧАСТЕЙ
В. Н. Страхов
Институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН, Москва, Россия
e-mail: osa26@yandex.ru
It is shown that the classical M.M. Lavrentiev method for solving linear algebraic equations with the symmetric positively definite matrices can not be considered as the optimal method. A new method for regularization of the linear algebraic systems mentioned above is proposed.
В геофизике (и прежде всего — в гравиметрии и магнитометрии) достаточно много задач сводится к задачам нахождения устойчивых приближенных решений X систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида
т. е. с точно заданной матрицей А и приближенно заданным вектором правой части (вектор 8/ — вектор помехи).
© Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук, 2007.
Каждый век с сожалением смотрел на ошибки предыдущего.
Франсуа Сарсэ, французский философ Над прошлым, настоящим и будущим имеет власть человек.
Александр Грин. Жизнь Гнора
Введение
Ax = fs = f + 8f,
(1)
При этом вектор X (устойчивое приближенное решение СЛАУ (1)) должен обеспечивать выполнение соотношений
АХ « /, / - АХ « 6/. (2)
Иначе говоря, вектор X в основном определяется вектором полезного сигнала /, а вектор помехи 6/ уходит в невязку.
Сразу же необходимо подчеркнуть тот момент, что в геофизике (и прежде всего — в гравиметрии и магнитометрии), а также в геодезии и геоинформатике чаще всего возникают СЛАУ (1) с квадратными (Ж х N)-матрицами А со свойством
А = Ат > 0. (3)
Ниже описывается (естественно, в очень краткой форме) два основных метода редукции задач гравиметрии и геоинформатики к СЛАУ (1) со свойством (3).
1. Первый метод редукции к СЛАУ (1) со свойством (3) — это предложенный автором в первой половине 90-х годов XX века метод линейных интегральных представлений, (см. [1-3]).
Суть этого метода такова. Пусть задано аналитическое соотношение
й г.
/(х) = V / РгШг(£,х)ф,г(0, X е (4)
r=1
Mr
в котором все множества Mr, r G Rn, n > 2, а также меры ßr (С) на этих множествах являются заданными. Заданными также являются все функции:
Qr (Ç,x),
С G Mr, x G S, 1 < r < R. (5)
Функции
Pr(С), 1 < r < R, (6)
подлежат определению по функции f (x).
(A propos — ясно, что эта задача — обобщение классической задачи решения линейного интегрального уравнения первого рода.)
В задачах гравиметрии и геоинформатики имеют место ситуации, когда функция f (x) задана лишь на конечном множестве точек, т.е. задано лишь конечное число значений:
fi = f (x(i)), i =1, 2,...,N, (7)
— и по этим значениям требуется найти все функции pr(С), 1 < r < R.
Ясно, что указанная здесь задача — типичная линейная некорректная задача. Ее решение рационально находить так. Ставится условная вариационная задача
У [ 4Ш dßr (С) = min ^ 1 р2(С) Pr (€),
r-tJ Р2(С)
r=1 Mr
R р
fi - Е / Pr (С)Qri)(C(С) = 0, 1 < i < n, (8)
r=1 Mr
в которой все
р2(£), 1 < г < я, (9)
суть заданные функции, а
Q(r)(0 = Qr (£; х(г)). (10)
Условная вариационная задача (8) решается так. Сначала классическим методом множителей Лагранжа (см. [4, 5]) задаче (8) ставится в соответствие семейство безусловных вариационных задач
¿/рЦ Фг (о + 2 £ лЛ и рг (ш(г)(е ж (е)) = ж, (п)
Г=1Ыг ( (=1 V Мг
при этом в (11) все
Лг, 1 < г < М, (12)
суть те множители Лагранжа, которыми учтены условия-равенства в исходной задаче (8).
Использование необходимого (а в данном случае и достаточного) признака экстремума приводит к представлениям
N
Рг(£) = р2(0^2ЛгQ()(C), 1 < г < я. (13)
г=1
Используя далее условия-равенства в исходной задаче (8), находим, что вектор Лагранжа Л (с компонентами Лг, 1 < г < N) удовлетворяет СЛАУ вида
АЛ = /, (14)
в которой (М х N)-матрица А обладает свойством
А = АТ > 0 (15)
и имеет элементы
к „
<Ы = £/ р2(Ш(г)(^(СЖ(е), 1 < г, 3 < N. (16)
(=1Мг
Понятно далее, что в СЛАУ, возникающих при решении задач гравиметрии, магнитометрии, геодезии и геоинформатики, фактически является заданным не вектор /, а вектор
/ = / + 8/, (17)
где 8/ — это вектор помехи (или по-другому — вектор погрешности).
Следовательно, надо находить не точные, а устойчивые приближенные решения
СЛАУ
Ах = /д = / + 8/, (18) А = АТ > 0. (18)
2. Далее о втором основном методе редукции задач гравиметрии, геодезии и геоинформатики к СЛАУ вида (18). Этот метод, именуемый методом точечных источников (см. [6, 7]), имеет три варианта:
а) локальный;
б) региональный;
в) глобальный.
В первом варианте сферичностью Земли можно пренебрегать, трактуя Землю как нижнее полупространство с криволинейной границей раздела Б Земля-воздух.
Во втором и третьем вариантах учитывается сферичность (или даже эллипсоидаль-ность) Земли.
В настоящей работе дается лишь краткое описание метода точечных источников в самом важном — локальном — варианте.
В этом варианте принимается, что в определенном (конечном, с числом точек N) количестве точек на границе раздела Б Земля—воздух измерены значения некоторой функции и(х), х = (х1, х2, х3),которая является непрерывной в области О £ Б, содержащей все точки х(г) = ^ х1г), х2г), х3^, где заданы значения функции и(х). Пусть система координат (х1, х2, х3) введена так, что
х? > 0, 1 < г < N (19)
у3
причем величина
min > 0 (20)
i
небольшая. В этом случае в нижнем полупространстве задаются N точек, располага-
д (i) ( (i) (i) (i)\
ющихся поо точками 44 = 1x1 , x2 , xg I, причем у них третья координата равна
x(i)^, т.е. равна по величине, но противоположна по знаку, когда функция u(x) не представляет собой какой-либо элемент некоторого физического поля
N
u(x) = Е
c
j
R(x - x(j)) =
R (x - x(j))' /01ч
2 / 2 л21 1/2 (21)
^ ) + ( 43 - 4
(xi - ¡j + (x2 - + (xg - 4(j)y
При этом ясно, что через х7) = ^х^, х27), хЗ"7^ , 1 < ] < N, обозначены координаты точек, симметричных (относительно плоскости х3 = 0) точкам задания значений функции и(х), при этом
х37) < о, 1 < ] < N. (22)
Из (22) получаем СЛАУ для нахождения ^вектора с компонентами с7-, 1 < ] < N: Ас = и, где N-вектор и имеет компоненты
щ = и(хМ), 1 < г < N, (23)
а (N х N)-матрица А обладает свойством
А = Ат > 0 (24)
и имеет элементы
aij = ^гТл-ГЪ, 1 < i, j < N. (25)
j R(x(i) - x(j)) _ _ v 7
Из (25) следует, что
аГ > 0, 1 < i, j < N, (26)
что очень важно с вычислительных позиций.
Ясно далее, что фактически надо находить не точное решение СЛАУ (22), а устойчивое приближенное решение СЛАУ
Ac = щ = u + Su, (27)
где Su есть вектор помехи.
Далее рассмотрим тот случай, когда в совокупности точек на поверхности Земли S заданы значения функции
4 , ч dva(x) , ,
Дд(х) = , (28)
где Va(x) — потенциал аномального гравитационного поля. В этом случае аппроксимацию функции Дд(х) необходимо брать иной, нежели в (21), а именно
Ag(x) = £ WTT• (29)
j—1 R3(x — x(j))
Понятно, что и в данном случае для нахождения вектора c получаем СЛАУ
Ac = Дд + SДg, (30)
в которой векторы Дд и SДg суть векторы полезного сигнала и помехи, с компонентами
Ддг = Дд(х«), SДgг, (31)
1 < г < N. (31)
Матрица A имеет элементы
x(i) — x(j) х3 х3
= Я3(Х(.) - X»)) • 1 < < М (32)
Ясно, что и в данном случае
а.з > 0, 1 < г, 3 < N. (33)
Нетрудно также найти, что в данном случае матрица А имеет сильное диагональное преобладание, что облегчает нахождение устойчивого приближенного решения СЛАУ (30).
3. Итак, выше было показано, что для гравиметрии и геоинформатики большое
значение имеет задача нахождения устойчивых приближенных решений X СЛАУ вида
Ах = /& = / + 8/ (34)
А = АТ > 0. (34)
М.М. Лаврентьевым в 1959 году (см. [8]) впервые был предложен метод нахождения векторов
X = х . (35)
В методе Лаврентьева принималось, что априорно известна величина
82 = ||8/||Е . (36)
Суть метода в том, что СЛАУ (34) заменяется на регуляризованную СЛАУ
(«En + A)x„ = f, (37)
в которой En суть единичная (N х N)-матрица, а
а > 0, (38)
есть параметр регуляризации, малый по величине.
Вектор ж<5 определяется как вектор жа5, который удовлетворяет равенству
f - Ax«, ||E = (39)
Доказывается ряд важных положений. Во-первых, что если
""V < 1, (40)
1Е
то значение а = а, при котором имеет место соотношение (39), существует и единственно.
Во-вторых, имеет место соотношение
IIх - х НЕ ^0, (41)
в котором х есть точное решение СЛАУ
Ах = /, (42)
т. е. при / = 0.
Внимание! Оба приведенных положения установлены в духе "чистой математики". Это означает, что:
а) все числа (элементы а^ матрицы А и компоненты /¿^ вектора /) заданы с бесконечным числом значащих цифр;
б) все арифметические действия над числами выполняются идеально точно, т. е. без каких-либо ошибок округления.
Внимание! Уже в то время, когда М.М. Лаврентьев создавал свой метод, было известно, что если матрица А имеет достаточно большую размерность (условно: N > 100) и является очень плохо обусловленной (например, это известная матрица Гильберта,
с элементами а^ = --:-), то даже в том случае, когда = 0, система может не
г + ] — 1
решаться — из-за того, что разложение Холецкого матрицы А,
А = , (43)
не находится — в силу ошибок округления, а потому при некотором г под знаком квадратного корня возникает отрицательное число. Таким образом, переход от СЛАУ
Ах = /г = / + ¿Л (44)
А = Ат > 0 (44)
к регуляризованной СЛАУ
+ A)x„ = f (45)
фактически имеет две цели:
а) подавить влияние вектора помехи if ;
б) обеспечить нахождение разложения Холецкого матрицы СЛАУ (44). Итак, при заданном значении а сначала матрица
A„ = A + aEN (46)
разлагается (классическим методом Холецкого, см. [9, 10]) в произведение треугольных матриц
Aa = LaLTa (47)
(здесь LT суть нижняя треугольная матрица размера (N х N), а LT — верхняя треугольная матрица, получаемая транспонированием матрицы LT).
После того, как разложение (47) найдено, последовательно решаются две СЛАУ с треугольными матрицами:
LtZt = fs, (48)
LT xa za •
4. Итак, способ решения регуляризованной СЛАУ (45) при заданном значении а описан. Остается указать на то, что для нахождения вектора
XS xa,5, (49)
при котором выполняется (приближенно, но с достаточно высокой точностью) соотношение (39), необходимо находить решения регуляризованных СЛАУ (45) при достаточно большом числе значений параметра регуляризации а. Вычислительный опыт показывает, что число n различных значений а, при которых решаются регуляризованные СЛАУ (45), обычно заключено в пределах
10 < n < 20, (50)
т. е. в среднем имеем
n =15. (51)
Иначе говоря, метод Лаврентьева очень трудоемок.
Но это не самый главный недостаток этого метода. Главный его недостаток в том, что в нем не выполняются определяющие соотношения (2).
В самом деле, при любом а > 0 в методе Лаврентьева имеют место соотношения
Xa = Рт, (52)
а
где положено
Pa = fs - Axa. (53)
Равенство (52) в развернутой форме таково:
f — Axa if
Xa = --T + — • (54)
аа
Из (54) следует
A(f - Ax«) Af
Ax« = -^ + —J-. (55)
a a
Но известно, что
ай = O(i), i = ||i/||e . (56)
Таким образом, имеем, что вектор Ax$ — Ax«^ достаточно сильно зависит от вектора помехи ¿f, а еще сильнее от вектора помехи ¿f зависит вектор хаг — X.
И эти два факта имеют место потому, что при всех a > 0 выполняется соотношение (52), т.е. векторы xa однозначно выражаются через векторы невязок ра и a.
5. В заключение укажу, что не только метод Лаврентьева, но вся классическая теория регуляризации СЛАУ вида
Ax — f — f + ¿f, (57)
созданная в 50-80-е годы XX века в основополагающих трудах А.Н. Тихонова, В.К. Иванова, М.М. Лаврентьева и их многочисленных учеников и последователей (см. [11, 12]), имеет ряд важных (принципиально важных!) недостатков. Основных недостатков этой теории три.
Первый недостаток состоит в том, что в этой теории используется точное знание величины
¿2 — ||f ||E , (58)
тогда как в геофизике (а также в геодезии и геоинформатике) точного знания этой величины никогда нет, известны лишь величины ¿min и ^ах в неравенствах
¿m^ < ||f He < Сх, (59)
причем величина
¿2
2 "max im\
Y — (60)
¿min
может быть и заметно больше единицы.
Второй недостаток классической теории регуляризации СЛАУ (57) состоит в том, что в ней не учитывается возможность (и необходимость!) использования и другой, априорной, информации о векторах ¿f и f.
Третий недостаток классической теории регуляризации СЛАУ (57) (по мнению автора - принципиально важный) состоит в том, что в ней не формулируются и не обсуждаются соотношения
AX « f, f - AX « ¿f, (61)
являющиеся характеристиками для вектора X.
6. Имея в виду решение задач гравиметрии, магнитометрии, геодезии и геоинформатики, следует указать на четыре принципиально важных момента, определяющих предлагаемый новый метод нахождения устойчивых приближенных решений СЛАУ:
Ax — f — f + ¿f,
(62)
A — AT > 0. ( )
Первый момент. Известными являются величины i^in и ^ах в неравенствах
^in < llf llE < <£ах, (63)
при этом имеем
i2
1 < Y2 = iP < 2. (64)
umin
Ясно, что наивероятное значение величины ||if ||E таково:
i2 + i2
Д2 = "mm 1 max (65)
2 ' 1 ;
Второй момент состоит в том, что априорно известно равенство
(f, if) = 0. (66)
Третий момент состоит в том, что вектор X, в силу первого и второго моментов, должен удовлетворять равенствам
2
- AXllE = Д'
(AX, f - AX) = 0,
или по-другому — равенствам
(67)
llAxllE = llf llE - A2, (ATf,x) = lfllE - A2
E ii^IIe ~ , (68)
Четвертый момент состоит в том, что вектор X, удовлетворяющий соотношениям (7), проще всего найти (как именно, описывается ниже), если предварительно определить вектор X, для которого выполняется неравенство
2
0 < / - АХ||е (69)
В приводимом ниже описании нового метода нахождения устойчивых приближенных решений X СЛАУ (62) все приведенные четыре момента учитываются. При этом, естественно, учитывается и различие в свойствах векторов / и /.
А именно, вектор полезного сигнала / является низкочастотным, т. е. его компоненты /¿, 1 < г < N при изменении номера г на единицу изменяется плавно (закономерно), а вектор / является высокочастотным, более того — случайным и однородным.
7. Итак, пусть задана СЛАУ
Ах = / = / + / (70)
с (Ж х N)-матрицей А со свойством
А = Ат > 0, (71)
которая является достаточно плохо обусловленной (что почти всегда имеет место, если N велико, условно: N > 1000).
Обозначим через
Da (72)
диагональ матрицы A, т. е. ее элементы di суть
di = au, 1 < i < N. (73)
Так вот, в новом (описываемом ниже) методе нахождение векторов X СЛАУ (70) заменяется на регуляризованную СЛАУ
A«x„ = [(Da + aDA1) + (1 - в)(А - Da)]X„ = A/, (74)
при этом в (74) в и A не являются независимыми, они однозначно определяются по заданному значению a (см. ниже).
Внимание! Прежде всего обратим внимание читателей на тот факт, что в новом методе улучшение обусловленности матрицы A путем ее замены на матрицу
Aa = [(Da + aD-1) + (1 - в)(A - Da)] (75)
достигается двумя способами:
во-первых, заменой матрицы Da на матрицу
Da + aDA1, (76)
где
a > 0 (77)
— небольшое число;
во-вторых, заменой матрицы A - Da на матрицу
(1 - в)(A - Da). (78)
(A propos — в методе Лаврентьева (см. [8, 11, 12]) используется существенно более простая конструкция, а именно — матрица Da заменяется на матрицу Da + aE, где a > 0, а матрица A - Da остается без изменения.)
Так вот, в (75) величина a > 0 является заданной, а величина в находится по величине a на основе соотношения
||Da + aDA11| E + (1 - в)2 II A - Da||e = ||Da IlE + l|A - Da||e , (79)
которое представляет собой развернутую запись соотношения
IIAJE = IIAIlE , (80)
выражающего собой принцип сохранения евклидовой нормы матрицы при ее регуляризации.
Ясно, что из (79) следует
2
HDa + aD- - ||DaI|p (1 - в)2 = —-A llE 2 " A"E (81)
|A-DA
2
Ie
и далее
1 'Д + аД;1 ц; -Рл||
в = 1 -
\
-1 п2 _
; ""л||; (82)
11А - Дл||Е
Ясно также, что при достаточной малости величины а имеем
0 < в < 1. (83)
При этом ясно, что условие достаточной малости а имеет вид
||Дл + аД—11||Е - ||Дл||| < IIА - Дл|||. (84)
8. Далее рассмотрим вопрос об определении величины Л, фигурирующей в СЛАУ (74). Для этого введем вектор Ха, являющийся решением СЛАУ:
А«Х„ = [(Д; + аД—1) + (1 - в)(А - Дл)] Ха = /. (85)
Иными словами, СЛАУ (85) есть СЛАУ (74) при Л =1. Допустим, что решение СЛАУ (85) при заданном значении а — и найденном по нему значении в — получено (как именно, описывается ниже, см. п. 9 статьи). Ясно, что тем самым найдена и величина
^ = II/- АХ«|||. (86)
Допустим теперь, что желательно найти несколько более точное приближенное решение
Ха, (87)
т. е. такое, что
II/- АХа||Е < / - АХа||; . (88)
Ясно, что можно принять
Ха = ЛХа (89)
(т. е. Ха есть уже решение СЛАУ (74)) и находить значение Л = Ла из условия
||/г - ЛАХа||; = шт. (90)
Л
Нетрудно понять, что из (90) находим такое значение Л = Ла:
(/, А Ха)
Н АХа II;
Л = Ла = . (91)
9. Опишем далее метод решения СЛАУ (85) — при заданном значении а и найденном по нему значении в. Матрицу СЛАУ (85) обозначим Аа.
Так вот, сначала матрица Аа классическим методом Холецкого (см. [8, 9]) разлагается в произведение двух треугольных матриц
Аа = ¿а^а, (92)
где Ьа — нижняя треугольная матрица размера (Ж х N), а — верхняя треугольная матрица, получаемая транспонированием матрицы Ьа, после чего последовательно решаются две СЛАУ с треугольными матрицами:
Ьа— /Л ,
(93)
Ьа ~а ^а •
Как известно (см. [8, 9]), нахождение разложения (92) требует выполнения
N 3
т (94)
арифметических операций, а нахождение решений двух СЛАУ с треугольными матрицами (93) — еще
4Ж2 (95)
арифметических операций. Сверх того, определение величины ва по заданному значению а (см. п. 7 статьи) требует выполнения еще 0(Ж2) арифметических операций, и такое же число арифметических операций требуется на нахождение величины Аа. Иначе говоря, вычислительная процедура нахождения вектора ~а (см. (37)) достаточно трудоемка, если значение N достаточно велико, условно
N > 1000. (96)
10. В связи с этим весьма важное значение имеет эффективный алгоритм нахождения такого значения а, при котором выполняется неравенство
2
II/г - А~а||е <^т. (97)
Дело в том, что если вектор ~а найден, то вектор X определяется достаточно эффективно.
В самом деле, по вектору ~а, для которого выполняется неравенство (97), сначала находятся векторы х[1] и х[2], для которых выполняются неравенства
/г - Ах[1] /г - Ах[2]
¿2
"та: ¿2-
(98)
Е
после чего по векторам х[1] и х[2] находится вектор X. Векторы х[1] и х[2] определяются в таком виде:
X ^ ] Т1 ~а ? Х ] т2~а,
(99)
где величины Т1 и т2:
0 < т1 < 1, 0 < т2 < 1, (100)
находятся как соответствующие корни квадратных уравнений
11 /г — Т1 А~а 11Е ^тах, 11/Л — Т2А~а|Е ^т1п.
2
После того, как векторы Х[1] и Х[2] найдены, вектор Х определяется как линейная комбинация этих векторов, а именно
Х = ах[1] + Ьх[2]. Причем величины а и Ь в (102) находятся из условий
||АХ|
;
аи +
;
— А2
(Ат / ,Х) = а(Ат /г ,х[1]) + Ь(АТ /г ,х[2])
;
— А2,
(102)
(103)
в которых положено
и = Ах[1], V = Ах[2]. (104)
Нетрудно установить, что из соотношений (103)-(104) величины а и Ь находятся однозначно.
Таким образом, определение вектора Х сводится к определению вектора Ха, удовлетворяющего неравенству (97). Нахождение же вектора Ха сводится к рациональному заданию множества величин а,
а = а1, а2, . где значение п достаточно мало, условно
п < 6.
аra,
(105)
(106)
Значения величины а (по которой, как описано выше, определяются величины в = ва и Л = Ла) следует задавать так:
а1,
= дк ак-1, к = 2, 3, ...,
(107)
где дк суть величины, которые должны находиться в процессе счета. По-видимому, целесообразно принимать
10-6...10-7
и
где положено
а1
¿2. "тт
^-1
- АХ
1/2
|2
ак-1 II Е .
Ясно, что:
а) значение а1 следует задавать так, чтобы было
v2 = НУг - Ахах ¡Е ~ ^тах;
(108)
(109)
(110)
(111)
б) последующие значения должны обеспечить достаточно быстрое нахождение
вектора х, для которого
- т2Ах||Е < ¿т.-
(112)
Внимание! Ясно, что описанный метод целесообразнее всего использовать при расчетах на кластерах из персональных компьютеров или многопроцессорных вычислительных систем, когда хак, к = 1, 2, 3, ...,п, можно вычислить в режиме параллельных вычислений.
2
2
2
2
2
Заключение
Итак, остается лишь подвести основные итоги работы.
Первый (самый главный) итог работы состоит в том, что в ней предложен принципиально новый метод устойчивых приближенных решений X для СЛАУ вида
Ax = f = f + f, A _ AT > 0,
T^n (113)
имеющих матрицу А достаточно большого размера ^ х N),
N > 1000. (114)
Второй итог работы состоит в том, что в новом методе реализуется принципиально новая стратегия нахождения векторов X (устойчивых приближенных решений СЛАУ
(53)). А именно, сначала определяется вектор X, удовлетворяющий неравенству
2
цуг - АХ||Е < ¿т1п, (115)
а уже затем по вектору х находится вектор х, удовлетворяющий сразу двум условиям:
(116)
- AXIIE = Д2,
(AX, f - AX) = 0,
где положено
¿2 + А2
д 2 _ "min 1 "max (117)
= 2 ' ( )
Третий итог работы состоит в том, что вектор X, удовлетворяющий (115), определяется на основе параметровой регуляризации СЛАУ (113), принципиально отличной от той, которая используется в методе Лаврентьева.
А именно, регуляризация СЛАУ (53) по Лаврентьеву состоит в замене этой СЛАУ на СЛАУ
(aE + A)xa _ f, (118)
где a > 0 — параметр регуляризации, а E — единичная (N х N)-матрица (см. [8, 11]).
В новом же методе СЛАУ (113) заменяется на более сложную, но и обеспечивающую существенно лучшую обусловленность, СЛАУ
Ax« _ [(Da + aD-1) + (1 - в)(A - DA)]xa _ Af. (119)
При этом в (119) задается лишь значение a, а величины в и A находятся по заданному a. При этом в _ в« определяется по принципу сохранения евклидовой нормы матрицы при ее регуляризации.
Таковы три основных итога работы.
Список литературы
[1] Страхов В.Н. Линейные задачи гравиметрии и магнитометрии в постановках, адекватных геофизической практике // Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей. М.: ОИФЗ РАН, 1997. С. 89-105.
[2] Страхов В.Н. Современное состояние и перспективы развития теории интерпретации гравитационных и магнитных аномалий // Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей. Воронеж, 1998. С. 4-35.
[3] Страхов В.Н. О методе линейных интегральных представлений при решении задач гравиметрии и магнитометрии // Актуальные вопросы математической геофизики. М.: ОИФЗ РАН, 2001. Т. 1. С. 110-115.
[4] Коша А. Вариационное исчисление. М.: Высшая школа, 1983. 279 с.
[5] Лаврентьев М.А., ЛюстЕрник Л.А. Курс вариационного исчисления. М.; Л.: Госто-птехиздат, 1950.
[6] Страхов В.Н. Смена эпох в науках о Земле // Вторая Всероссийская школа-семинар по электромагнитным зондированиям Земли: Общая информационная, научная программа, лекции, тезисы, Москва, 28-30 ноября 2005. М.: Макспресс, 2005. С. 11-20.
[7] Страхов В.Н. Три парадигмы в теории и практике интерпретации потенциальных полей (анализ прошлого и прогноз будущего). М.: ОИФЗ РАН, 1999. 78 с.
[8] Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962. 92 с.
[9] ВоЕводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984. 318 с.
[10] Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.; Л.: Физматгиз, 1963. 734 с.
[11] Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. 226 с.
[12] Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. 287 с.
Поступила в редакцию 9 февраля 2007 г., в переработанном виде — 23 июня 2007 г.
