Качественный анализ картины явления при его математическом моделировании Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 53.072 Кондратьев Александр Сергеевич,

Ляпцев Александр Викторович, Никольский Александр Сергеевич

КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ КАРТИНЫ ЯВЛЕНИЯ ПРИ ЕГО МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ

Аннотация

Обсуждаются различные формы соотношения между аналитическими и численными методами при математическом моделировании реальных явлений. В качестве примера рассматривается построение, качественное исследование и численный расчёт математической модели простой консервативной механической системы.

Ключевые слова: математическая модель, методологический принцип, инерциаль-ная система отсчёта, законы сохранения в механике.

Проблема соотношения аналитических и численных методов при математическом моделировании реальных явлений, возникшая на заре возникновения этой новой методологии научного исследования, в последнее время приобретает всё новые и новые черты в результате выявления ряда тонких моментов, связанных как с характерными чертами физической теории, так и с особенно стями используемых вычислительных методов [1]. Естественное желание получения аналитических решений, возникающих при моделировании уравнений, связано, прежде всего, с возможностью реализации предсказательной функции физической теории. Непосредственное численное интегрирование уравнений модели без предварительного исследования, как правило, приводит к полной утрате предсказательной функции, а в некоторых случаях - даже к невозможности адекватной интерпретации результатов расчёта. Поэтому качественное

© Кондратьев А.С., Ляпцев А.В., Никольский А.С., 2014

исследование уравнений математической модели должно представлять собой необходимый этап её разработки. К сожалению, в общем случае дело здесь обстоит весьма сложно. Нетривиальные математические модели достаточно сложных явлений приводят к уравнениям, не допускающим не только точного аналитического решения, но в ряде случаев даже возможности каких-либо определённых качественных выводов. Как писал Р. Фейнман, «Грядущая эра пробуждения человеческого разума приведёт к пониманию качественного аспекта уравнений. Сейчас мы ещё не способны на это» [2]. И дальше приводит такой пример: глядя на уравнения Навье-Стокса, мы не видим возможности возникновения турбулентности, которая заложена в этом уравнении.

В современных научных исследованиях на основе методов математического моделирования наметились две характерные тенденции преодоления указанных трудностей. Первая из них связана с определённым упрощением полученных уравнений на первоначальном этапе, позволяющем провести

качественное исследование их решении. Такое упрощение связано с выделением основных факторов (взаимодействий), определяющих картину явления, и с пренебрежением в первом приближении факторами, вносящими поправки в общую картину. Вторая тенденция связана с поиском приближённых решений исходных сложных уравнений. Слабость влияния второстепенных факторов на картину явления при таком подходе проявляется в малости соответствующих слагаемых при подстановке приближённого решения в исходное уравнение. В настоящее время не существует общих универсальных критериев предпочтения при выборе конкретного подхода. В то же время описанные тенденции, по существу, характеризуют только последовательность действий, а принципиальная разница в подходах отсутствует: точное решение упрощённого уравнения при первом подходе может соответствовать приближённому решению исходного сложного уравнения. В каждом случае вопрос решается, исходя из особенностей рассматриваемой задачи. Целый ряд моментов в проблеме соотношения между аналитическими и численными подходами при математическом моделировании связан с особенностями самих используемых вычислительных методов.

Эти характерные для научных исследований моменты должны чётко и последовательно отслеживаться при обучении математическому моделированию на всех ступенях образования. Отметим, что многие характерные черты нашли отражение в учебном пособии [3], а отмеченные выше тенденции были представлены и подробно проанализированы в работах [4, 5]. В первой из этих работ качественная картина рассматриваемого явления устанавливалась на основе упрощения полных уравнений математической модели, а во второй работе, кроме того, рассматривался вопрос о возможных причинах предпочтения численного решения уравнений в случае, когда возможно и аналитическое решение. Такая ситуация возникает, в частности, в тех случаях, когда подстановка начальных условий в аналитическое решение приводит к необходимости решать более

сложные и громоздкие в вычислительном плане уравнения, чем исходные динамические уравнения модели.

В настоящей работе мы рассмотрим новый момент в проблеме соотношения аналитических и численных методов при математическом моделировании. Использование общих методологических принципов физики позволяет в большей степени, чем обычно, сделать независимыми установление качественной картины явления и построение численного решения. Остановимся на анализе примера, когда принцип относительности позволяет «развести» качественное исследование модели и численное решение уравнений в том смысле, что качественная картина явления устанавливается на анализе других уравнений, чем те, для которых ищется численное решение. Использование принципа относительности делает возможным переход в другую инерциальную систему отсчёта, где физическая картина явления становится очевидной с самого начала и даже возможно получение точных количественных результатов для некоторых частных случаев, как это показано в [6]. В то же время исчерпывающее исследование полной количественной картины явления на основе численного решения уравнений иногда целесообразнее проводить в исходной лабораторной системе отсчёта, поскольку при этом сокращается число необходимых операций. Рассмотрим следующую задачу.

На идеально гладкой горизонтальной поверхности стоит гантель, представляющая собой два одинаковых шарика, соединённых тонким невесомым стержнем длины /. Нижнему шарику мгновенно сообщается скорость и0 в горизонтальном направлении (рис. 1).

Исследуйте картину движения гантели. Выясните, при каких значениях скорости и0

Рис. 1

Рис. 2

нижний шарик будет скользить, не отрываясь от поверхности. Определите скорость верхнего шарика в момент его удара о горизонтальную поверхность. Определите эту скорость в случае, когда нижний шарик отрывается от горизонтальной поверхности.

Качественное исследование этой задачи удобно начать с перехода в новую инерци-альную систему отсчёта, движущуюся относительно исходной лабораторной системы со скоростью и0/2 в направлении, совпадающем с начальной скоростью нижнего шарика. В этой системе отсчёта скорости шариков в начальный момент времени равны и0/2 и направлены горизонтально в противоположные стороны (рис. 2), то есть в начальный момент шарики движутся по окружности радиусом //2 вокруг центра масс системы. Легко найти условие, при котором нижний шарик отрывается от поверхности. В этом случае сила реакции поверхности равна нулю, и, следовательно, вся гантель как целое падает с ускорением свободного падения. Так как гантель ещё и вращается вокруг центра масс, то нижний шарик в начальный момент имеет связанное с этим вращением центростремительное ускорение, направленное вертикально вверх:

а = -

(У2)2 //2

и

о 2/

(1)

Шарик оторвётся от поверхности, если а > g. В противоположном случае нижний шарик будет скользить по горизонтальной поверхности. Для этого его начальная скорость должна удовлетворять неравенству

и о2 < 2 g/. (2)

В этом случае не составляет труда найти скорость верхнего шарика в момент его удара о поверхность. В движущейся системе отсчёта центр масс системы движется вертикально вниз, импульс системы равен

нулю, и в соответствии с законом сохранения импульса горизонтальные составляющие скоростей обоих шариков в момент удара верхнего шарика о поверхность обращаются в нуль. Это означает, что нижний шарик в этот момент останавливается, а скорость верхнего шарика направлена вертикально вниз (рис. 3).

Закон сохранения механической энергии в движущейся системе отсчёта записывается в виде:

2 т (и о/2)2

ти ~2

— = mg/ + 2 -

2

(3)

откуда

и12 = 2g/ + и02 / 2 .

(4)

В исходной лабораторной системе отсчёта, как видно из рис. 4, модуль скорости верхнего шарика даётся выражением

и 22 =и12 + (и0/2)2 = 2 g/ + 3и02/4, (5)

а её направление определяется соотношением

tg а =

«0/2

ир / 2

1

+и02/2

(6)

В случае, когда скорость нижнего шарика в начальный момент времени удовлетворяет неравенству, противоположному (2), он отрывается от горизонтальной поверхности. В движущейся инерциальной системе отсчёта качественная картина движения гантели устанавливается столь же просто. Центр масс системы падает вертикально вниз с ускорением свободного падения. По теореме Леру, движение шариков при этом сводится к свободному падению вместе с центром масс и к равномерному вращению вокруг центра масс с постоянными по модулю скоростями, равными и0/2 (рис. 5).

В этом нетрудно убедиться с помощью закона сохранения момента импульса без ссылки на общую теорему механики. Значе-

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

2

ния скоростей шариков в исходной лабораторной системе отсчёта определяются сложением вертикальных составляющих скоростей, приобретённых в результате свободного падения, показанных на рис. 5 скоростей вращения вокруг центра масс и горизонтальной скорости движущейся системы отсчёта. Ориентация гантели в вертикальной плоскости в момент удара верхнего шарика о поверхность зависит от величины начальной скорости. Более детальную картину движения можно получить, лишь используя численный расчет.

Рассмотрим вначале движение в случае, когда отрыва нижнего шарика от поверхности не происходит, то есть при выполнении неравенства (2). Для описания движения направим одну из осей вертикально вверх и обозначим координату центра масс по этой оси через у. Угол между этой осью и стержнем гантели обозначим через ф, полагая в начальный момент ф = 0. Действующие в системе внешние силы изображены на рис. 6.

Уравнения движения складываются из уравнения движения для центра масс:

2ту = N - 2mg (7)

и уравнения вращательного движения:

г (г \2

N Ф = 2т I 2 I Ф , (8)

к которым следует добавить уравнение связи:

г

y = 2 cos ф .

(9)

t = t / X , т = . —

Исключая переменную у, можно получить дифференциальное уравнение, определяющее функцию ф (0:

2 g 2 2

-у- sinф- cosф-ф = (1 + sin ф)ф . (10)

Единственный размерный коэффициент в этом уравнении определяет удобное для дальнейшего рассмотрения преобразование масштаба для времени. А именно, введем безразмерную временную переменную:

i <">

В новых обозначениях уравнение (10) принимает вид:

sinф - cosф -ф2 = (1 + sin2 ф)ф . (12)

К этому уравнению следует добавить начальные условия:

ф (0) = 0, ф (0) = ш0. (13)

После перехода к безразмерной временной переменной значение со0 = 0 соответствует начальной скорости и0 = у/ 2 gl, откуда следует, что при численном решении уравнения (12) следует полагать со0 <1. Отметим, что при введении безразмерной временной переменной значение ю0 соответствует начальной скорости, выраженной в единицах y¡2gl.

Обратим внимание на то, что при рассмотрении движения в исходной лабораторной системе отсчёта трудно на основе качественных соображений сделать такие детальные выводы об общем характере движения системы, какие были сделаны выше при переходе в другую инерциальную систему отсчёта. Однако и в лабораторной системе можно сделать ряд умозаключений на основе качественного анализа уравнений дви-

а)

N

б)

ШШ

ЩШ-

т

т g

N

шшшт

т g

I

If

Рис. 6

Рис. 7

в)

<Р

N

mg

жения. Так, добавив на рис. 6 внутреннюю силу, действующую при движении на нижний шарик со стороны стержня, можно предсказать характер изменения силы реакции опоры N по мере движения шарика по горизонтальной поверхности. При неподвижных шариках, очевидно, справедливо: N = 2mg. Так получается потому, что верхний шарик давит на поверхность через жёсткий стержень, и сила T направлена вниз (рис. 7а).

После начала движения при малой начальной скорости сила реакции опоры убывает, так как уменьшается вплоть до нуля сила давления на поверхность со стороны верхнего шарика (рис. 7 б). По мере увеличения скорости верхнего шарика сила T начинает действовать в противоположном направлении, иначе просто невозможно объяснить уже установленное выше уменьшение скорости движения нижнего шарика от значения и0 до значения и0/2 (рис. 7 в). Записав проекцию уравнения движения нижнего шарика на ось y

N + T cos ф - mg = 0, видим, что с того момента, когда сила T начинает действовать в указанном на рис. 7 в направлении, сила N сначала убывает от значения N = mg, а затем начинает возрастать и становится равной mg, когда верхний шарик касается горизонтальной поверхности и ео8ф обращается в нуль.

При большой начальной скорости, близкой к тому значению, когда нижний шарик отрывается от горизонтальной поверхности,

сила T самого начала движения направлена так, как показано на рис. 7в. В этом случае можно ожидать, что сила N будет убывать только в течение очень маленького промежутка времени с момента начала движения, а затем начнёт возрастать за счёт быстрого уменьшения cosф и станет равной mg при cosф = 0. Этот факт подтверждается численным расчётом.

Численные решения уравнения (12) при начальных условиях ю0 = 0.1 и ю0 = 0.9 приведены на рис. 8 и 9. Верхние графики соответствуют функциям ф (0 и ф (¿) . Нижние графики представляют собой функцию N(0 в единицах 2mg, выражение для которой, исходя из уравнений (7)-(9), может быть приведено к виду:

N = 2mg

1 - cos ф-ф 2

1 + sin2 ф

Отметим, что эта формула содержит в себе все описанные выше случаи, хотя она получена на основе рассмотрения движения центра масс, при котором не фигурируют действующие на шарики внутренние силы. Действительно, при очень маленькой начальной скорости и ф = 0 слагаемое cos ф -ф2 пренебрежимо мало и N = 2mg. Затем сила N начинает убывать, достигает минимума, меньшего mg, затем возрастает и достигает значения, равного mg при ф = л /2. При достаточно большой начальной скорости сила реакции опоры N практически с момента начала движения может увеличиваться от некоторого небольшого значения до значения,

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.1

Рис. 8

Рис. 9

равного mg. Но строго все эти детали с помощью обсуждаемой формулы можно увидеть только в результате численного расчёта.

Рассмотрим теперь случай, когда начальная скорость такова, что происходит отрыв нижнего шарика от поверхности, то есть выполнено условие и 02 > 2 gl. Как уже говорилось, движение системы представляет собой движение центра масс с ускорением g и вращение вокруг центра масс с угловой скоростью и 0 /1. Обозначим координаты шариков через уи и уа, где индексы и и й соответствуют шарикам, которые в начальный момент занимали верхнее и нижнее положение соответственно. Зависимость этих координат от времени дается выражениями:

1 _

2 2 _

2 (14)

I & I , Уй= 2 —2— 2 ио? /1 )•

Переходя к безразмерной временной переменной, получаем следующие выражения для этих координат:

Уи =

л l - + ^ cos(u0t / l),

Уи =■

yd = -

l ( t2

1 -

2 2

l ( t2

1 -

2 v 2

+ (

Юг

(15)

Эти выражения, используя формулы для синуса и косинуса половинного угла, можно привести к виду:

(

У = l

У и

cos

V (

yd =l

Sin

( tЛ (t

Ю0 v V 2

( t Л (t

Ю0 v 2J- V 2

Г )■

Л

(16)

Полученные формулы справедливы только в случае, когда правые части равенств (16) положительны. Достаточно очевидно, что при увеличении времени, по крайней мере, координата уи обратится в нуль. Однако возможен случай, когда в нуль обратится вначале координата yd. Действительно, условия обращения этих координат в нуль приводятся к виду:

cosy =y /ю0,

siny =y /ю0,

(17)

где у = ю0Г / 2 . Качественный анализ решений этих уравнений может быть проведен графически и представлен на рис. 10.

Кривые на рисунке соответствуют графикам синуса и косинуса, а прямые - графикам функции у / ю0. Меньшие значения величины у соответствуют более раннему моменту времени. При большом значении ю0 (прямая 1) в нуль вначале обращается значение координаты уи. Прямая 2 проходит через точку пересечения графиков синуса и косинуса, она соответствует случаю, когда шарики коснутся поверхности одновременно. При еще меньшем значении начальной скорости вначале коснется поверхности нижний шарик. Наконец, при значениях величины начальной скорости, близкой к минимальному значению ю0 = 1, нижний шарик коснется поверхности сразу после отрыва от нее. Отметим, что случай, когда шарики касаются поверхности одновременно, как следует из закона сохранения энергии, соответствует максимальному значению полной кинетической энергии шариков, вычисленной на интервале времени от их отрыва от поверхности до первого касания с ней.

Несложно вычислить критическое значение величины начальной скорости, когда шарики коснутся поверхности одновременно:

у = — ^ ю 0 = -« 1,11 .

4 0 4

Таким образом, рассмотренный пример иллюстрирует необходимость и возможность органичного сочетания качественных и количественных методов при анализе реальных явлений. При этом видно, что полный количественный анализ возможен только в результате численного расчёта, в то время как качественный анализ позволяет глубже понять физические причины и характер изучаемого явления. Кроме того, наглядно

Рис. 10

проиллюстрированы различные возможности проведения качественного анализа поведения системы, выходящего за рамки какой-то одной определённой математической модели, выбранной для наиболее компактного численного расчёта изучаемого явления. При этом опора на общие методологические принципы физики позволяет варьировать подход, то есть используемые системы отсчёта, физические законы и матема-

Литература

тический аппарат. В ряде случаев не менее эффективным методологическим принципом, наряду с использованным в данной работе, при качественном анализе может являться принцип симметрии. Отметим, что, помимо простого установления качественной картины явления, такой подход может использоваться и для проверки результатов численного расчёта, проводимого в рамках другой математической модели.

1. БордовскийГ.А., КондратьевА.С., ЧоудериА.Д.Р. Физические основы математического моделирования. М.: ACADEMIA, 2005.

2. Feinmann R.P. The Pleasure of Finding Things Out. Perseus Publishing, Cambridge: Massachusetts, 1999.

3. Кондратьев А.С., Ляпцев А.В. Физика. Задачи на компьютере. М.: Физматлит, 2007.

4. Кондратьев А.С., Ляпцев А.В., Ситнова Е.В. Компьютерное моделирование при изучении физики. Проверка корректности вычислений // Компьютерные инструменты в образовании, 2006. N° 2. С. 52 - 57.

5. Кондратьев А.С., Ляпцев А.В. Математическое моделирование: аналитические и вычислительные методы // Компьютерные инструменты в образовании, 2007. № 5. С. 20-24.

6. Бутиков Е.И., Быков А.А., Кондратьев А.С. Физика в примерах и задачах. М.: Физматлит, 1989; СПб.: Лань, 1999; М.: МЦНМО, 2008.

QUALITATIVE ANALYSIS OF PHENOMENON'S APPEARENCE IN ITS MATHEMATICAL MODELING

Abstract

Different aspects of relations between analytical and numerical methods in mathematical modeling of real phenomena are discussed. The creation, the qualitative investigation, and the numerical calculation of a simple conservative mechanical system's mathematical model are presented.

Keywords: mathematical model, methodological principle, inertial reference frame, conservation laws in mechanics.

Кондратьев Александр Сергеевич, академик РАО, доктор физико-математических наук, профессор кафедры методики обучения физике РГПУ им. А.И. Герцена,

kondrat6125@mail. ru,

Ляпцев Александр Викторович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой методики обучения физике РГПУ им. А.И. Герцена, Upm_eno@mail. ru,

Никольский Александр Сергеевич, преподаватель физики Академической гимназии СПбГУ alexandre_nikolsk@gmail com

(с) Наши авторы, 2014. Our authors, 2014.