CC BY
2УДК 531.01
качественный анализ динамики твердого тела
с вязким наполнителем
а. в. Карапетян
Обсуждается задача о движении по инерции твердого тела с эллипсоидальной полостью, заполненной жидкостью, при наличии внутреннего трения. Дан глобальный качественный анализ динамики системы и указаны ее предельные движения.
Ключевые слова: перманентные вращения, устойчивость, предельные движения.
The problem of motion by inertia of a rigid body with an ellipsoidal cavity filled with liquid in the presence of internal friction is discussed. The global qualitative analysis of system dynamics and the limiting motions are given.
Key words: permanent rotations, stability, limiting motions.
1. Постановка задачи. Рассмотрим задачу о движении по инерции твердого тела с полостью, целиком заполненной однородной жидкостью. При этом центр масс O тела с жидкостью без уменьшения общности можно считать неподвижным. Пусть Ox 1X2Х3 — главные оси инерции тела, a j = diag (Ji, J2, J3) — его тензор инерции для точки O. Предположим, что полость представляет собой трехосный эллипсоид с полуосями ai, 0,2, 03 и центром в точке O. При этом центральный эллипсоид инерции жидкости имеет вид i = diag (Ii, I2, /3), где
h = j(a22 + ai) (123),
m — масса жидкости. Здесь и далее символ (123) означает, что два невыписанных соотношения получаются из выписанного циклической перестановкой индексов 1, 2, 3.
Введем тензор инерции эквивалентного твердого тела [1] j* = diag(J*, J*, J|), где
т {al - ар2 5 а\ + al
Jt = ^ 2 (123)>
и тензоры а = diag (Л\, А2, А3), в = diag (В1, В2, Б3), с = diag (С1, С2, С3) то формулам а = 3+3*, в = i — 3*, с = а + в = 3 + i. Кроме того, введем вспомогательный тензор в* = diag(B*, В*, Б**),
где
д* од 0-1(0-2 + аз) /10о\
В'-2В1 (о? + о1)(о?+о1) (Ш)-
Предположим, что жидкость совершает простое [1] движение, причем взаимодействие жидкости со стенками полости описывается вязким трением, линейным по разности угловой скорости и тела и половины вектора вихря о жидкости. При этом уравнения движения системы можно представить в виде (ср. с [1^4])
аи + во + [и, аи + в0]=0, (1)
во + [и — о, в*о] = —б(о — и), (2)
где тензор ю = diag (^1, ^2, ^э) характеризует интенсивность вязкого трения (^1,2,3 > 0). Уравнение (1) выражает закон изменения кинетического момента системы к = аи+во, а уравнение (2) — закон изменения половины вектора вихря жидкости. При отсутствии трения (ю = 0) это уравнение
Карапет,ян Александр Владиленович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теоретической механики и мехатро-ники мех.-мат. ф-та МГУ.
Karapetyan Alexander Vladilenovieh — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Theoretical Mechanics and Mechatronics.
совпадает с уравнением Гельмгольца [1]. Очевидно, уравнения движения системы (1), (2) допускают невозрастающую функцию (кинетическую энергию системы)
Я = ^(Аи;,и;) + ^(ВП,П) О, (3)
где h — начальное значение кинетической энергии (H = —(D(0 — ш), (О — ш)) ^ 0), и первый интеграл (квадрат модуля кинетического момента)
K2 = (Аш + ВО, Аш + ВО) = k2. (4)
2. Перманентные вращения и их устойчивость. Согласно модифицированной теории Рауса [5, 6], критические точки функции (3) при условии (4) соответствуют стационарным движениям системы. Для отыскания этих точек введем функцию V = Н — ^Х(К2 — k2) = V(uj,Q,X) (А — неопределенный множитель Лагранжа) и выпишем условия ее стационарности по входящим в нее переменным. Уравнение = 0 совпадает с соотношением (4), а уравнения f^j = 0 и ^ = 0 принимают вид
dV
— = AUl - ХА^шг - ХАгВгПг = 0 (123),
dV (5)
= -\AiBiUi-Bi(l-\Bi)Qi = 0 (123)
д
(^1,2,3 и 01,2,3 — компоненты векторов ш и О в главных осях инерции тела).
Система уравнений (5) имеет ненулевое решение, если и только если Л = 1/С (123). При этом из системы (5) и уравнения (4) следует, что = 01 = Л/С (123) Полагая С1 = С2 = С3 = С1, заключаем, что функция (3) при условии (4) имеет три однопараметрических семейства критических точек вида
= 01 = Л/Сь ^2 = 02 = ^з = ^з = 0 (123). (6)
Эти точки соответствуют перманентным движениям системы как твердого тела вокруг главных осей инерции.
Исследуем характер этих критических точек. Для этого найдем вторую вариацию функции V на линейном многообразии ¿(К2) = 0. Для решений (6) эти многообразия имеют вид
+ £1^1 =0 (123). (7)
Вычисляя вторые производные функции V по ш и О на решении (6.1) (с учетом соотношения Л = 1 /С1
д2У _ сРУ _ АгВг д2У _ АХВХ дй% ~ дЩ ~ Сг ' дилд^г ~ СГ'
д^ _ А,(С1 - А,) д^ _ Б,(С1 - Б,) д2V А,Б,
dw2 Ci ' dQ2 Ci ' dwj д Qj Ci
(j =2,3).
Таким образом, 2£2V
= Vi + V2 + V3, где
(7)
Vl = ^(бсог - 6Пг)2 Ci
= Ai(5wi)2 > 0,
(7)
У, = [А,(С1 - А,)(8щ)2 + 2А3Б,-)(ЙП,-) + Б,-(С - Б,-)(ЙП,-)2]С1"1 = 2,3).
Квадратичная форма V! всегда положительна, а квадратичные формы V} положительны только при С1 > С, (^ = 2, 3). Пусть для определенности С1 > С2 > С3. При этом функция (3) при условии (4) принимает строго минимальное значение на решении (6.1), а на решениях (6.2) и (6.3) не принимает даже нестрого минимальных значений.
Очевидно, множество всех стационарных движений (6) системы (1), (2) является полным в том смысле, что функция Н убывает на всех решениях системы (1), (2), отличных от (6). Это
Геометрическая интерпретация
означает, что если Ci > C2 > C3, то решения (6.1) устойчивы, причем любое возмущенное движение, достаточно близкое к невозмущенному, стремится при t — к одному из решений семейства (6.1), которое соответствует возмущенному значению постоянной k2, а решения (6.2) и (6.3) неустойчивы.
3. Геометрическая интерпретация и предельные движения системы. Дадим геометрическую интерпретацию полученных результатов и (на основе этой интерпретации) глобальный качественный анализ динамики рассматриваемой системы. Вычисляя значение кинетической энергии системы на стационарных движениях (6), имеем
h = hi = k2/2Ci (123).
Рассмотрим плоскость (k2; h) и построим па этой плоскости прямые h = hi,2,3 (см. рисунок). Прямая h = hi соответствует устойчивым равномерным вращениям системы вокруг оси наибольшего момента инерции, а прямые h = h2 и h = h3 — неустойчивым равномерным вращениям вокруг осей соответственно среднего и наименьшего моментов инерции. Все точки прямых h = hi,2,3 инвариантны относительно фазового потока системы (1), (2), а все остальные точки плоскости (k2; h) эволюционируют вдоль прямых k2 = const в сторону уменьшения h, асимптотически (при t — приближаясь к той или иной из прямых
h = hi,2,3-
Если начальное значение ho кинетической энергии меньше, чем hi, то движение невозможно. Если ho € (hi, h2), то движение системы стремится при t — к равномерному вращению вокруг оси наибольшего момента инерции. Если ho € (h2,h3) или ho > h-3, то движение системы с вероятностью 1 тоже стремится к вращению вокруг оси наибольших) момента инерции и с вероятностью О — к вращению вокруг оси среднего (при ho € (h2, h3)) или вокруг оси среднего либо наименьшего
ho > h3
Здесь вероятность понимается как отношение меры множества начальных значений фазовых переменных, для которого имеет место соответствующее предельное движение, к полной мере всех начальных значений.
4. Сравнение с консервативным случаем. Рассмотрим теперь случай, когда внутренних) трения нет (D = 0). При этом система (1), (2) допускает три первых интеграла: энергии H = h, квадрата модуля кинетического момента K2 = k2 и постоянства интенсивности вихря [1]:
G = (БО, Ю) = g2. (8)
Стационарные движения системы соответствуют критическим точкам функции (3) при условиях (4) и (8). Для отыскания этих точек рассмотрим функцию W = V — —д2) = W(w, ГI, А, ¡л) {¡л еще один множитель Лагранжа) и выпишем условия ее стационарности по входящим в нее переменным. Уравнения = 0 и = 0 совпадают с соотношениями (4) и (8) соответственно, а уравнения
ЖГ = О и жт = 0 принимают вид (ср. с уравнениями (5))
dW dV dW dV
Очевидно, система (9) по-прежнему допускает три однопараметричееких семейства вида (6), при этом Л = 1/Ci (123), ^ = 0.
Для исследования характера этих критических точек достаточно вычислить вторую вариацию ¿2W функции W на линейном многообразии ¿(K2) = 0 ¿G = 0. Для решений (6) эти многообразия имеют вид
¿wi =0, ¿Qi =0 (123). (10)
Следовательно, вторая вариация ¿2W на решении (6.1) имеет вид ¿2W = V2 + V3 и всегда
(io)
положительна при Ci > Cj (j = 2, 3) и отрицательна при Ci < Cj (j = 2, 3). В первом случае v функции (3) при условиях (4), (8) строгий минимум, а во втором строгий максимум на решении
(6.1). Согласно классической теории Рауса (H — первый интеграл) решение (6.1) устойчиво в обоих этих случаях. Если же (Ci — C2)(Ci — C3) < 0, то определитель квадратичной формы V2 + V3 отрицателен и решение (6.1) неустойчиво согласно обращению теоремы Рауса (см. [6]).
Таким образом, при отсутствии внутреннего трения устойчивы вращения вокруг оси и наибольшего, и наименьшего моментов инерции. Однако сколь угодно малое внутреннее трение разрушает устойчивость последних. Более того, как показано в п. 3, почти все возмущенные движения стремятся к вращениям вокруг оси наибольшего момента инерции.
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 19-01-00140.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Моисеев H.H., Румянцев В.В. Динамика тел с полостями, содержащими жидкость. М.: Наука, 1965.
2. Досаев М.З., Самсонов В.А. Об устойчивости вращения тяжелого тела с вязким наполнителем // Прикл. матем. и механ. 2002. 66, вып. 3. 427-433.
3. Карапетян A.B., Самсонов В.А., Сумин Т. С. Об устойчивости перманентных вращений твердого тела с жидким наполнителем // Прикл. матем. и механ. 2004. 68, вып. 6. 994-998.
4. Карапетян A.B. Обобщенные диаграммы Смейла для диссипативных систем с симметрией // Прикл. матем. и механ. 2021. 85, вып. 4. 461-468.
5. Karapetyan A.V. Invariant sets of mechanical systems // Modern Methods of Analytical Mechanics and their Applications. Wien; New York: Springer, 1998. 153-210.
6. Карапетян A.B. Устойчивость и бифуркация движений. М.: Изд-во МГУ, 2020.
Поступила в редакцию 13.04.2021
