CC BY
60
КАЧЕСТВЕННЫЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ СЛЕДОВАНИЯ ЗА ЛИДЕРОМ
Пинянский Андрей Иосифович,
МТУСИ, Москва, Россия, dron007_93@mail.ru
Ключевые слова: дорожное движение, транспортный поток, физические модели транспортного потока, математическая модель, связанное движение.
Буслаев Александр Павлович,
МТУСИ, Москва, Россия, apal2006@yandex.ru
Данная работа посвящена качественному и численному исследованию поведения решений системы обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих связанное движение цепочки транспортных средств.
Цель исследования - это на основе четко поставленной задачи подтвердить или опровергнуть основные положения эмпирических теорий транспортных потоков, которые в большом количестве образовались в результате информационной революции, то есть с увеличением возможностей детектирования трафика. Речь идет о некоторых гипотезах и понятиях Б. Кернера, К. Даганзо и других (в том числе и разработчиков агентных моделей). Рассмотрена математическая модель Кернера, Клёнова, Шрекенберга, основанная на основных положениях теории трёх фаз Кернера. Так же рассмотрено некоторое программное обеспечение, использующееся при изучении различных явлений и структур транспортного потока в Калифорнийском университете Беркли. Разработано программное обеспечение, позволяющее провести качественный и численный анализ выдвинутых гипотез на основе математической модели Следования за Лидером. Рассматриваемое в данной статье ПО обладает формой ввода параметров, позволяющих изучать различные состояния транспортного потока, а так же вывод графиков скорости, плотности, величины потока и средней дистанции между транспортными средствами.
Помимо прочего имеется возможность визуализации движения потока на заданном участке в течение конечного интервала времени. Имеется возможность создавать поток различных величин и плотностей, однородный (состоящий из одинаковых транспортных единиц) и неоднородный потоки, создавать различное количество препятствий на пути следования. Качественный анализ модели заключается в обнаружении возможных пространственно-временных структур транспортного потока и определение численных характеристик этих структур. В свою очередь численный анализ заключается в определении конкретных характеристик всех составляющих транспортного движения, к которым относятся сам транспортный поток, отдельные транспортные средства и различного рода преграды препятствующие свободному движению потока, такие как сужения дороги, локальные ограничения скорости, съезды с/въезды на магистраль.
Информация об авторах:
Пинянский Андрей Иосифович, студент 2 курса магистратуры, МТУСИ, Москва, Россия Буслаев Александр Павлович, профессор, д.ф.-м.н., МТУСИ, Москва, Россия
Для цитирования:
Пинянский А.И., Буслаев А.П. Качественные и численные методы исследования математической модели следования за лидером // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. 2017. Том 11. №8. С. 27-31.
For citation:
Pinyanskiy A.I., Buslaev A.P. (2017). Qualitative and numerical methods of research of the follow-the-leader mathematical model. T-Comm, vol. 11, no.8, pp. 27-31. (in Russian)
T-Comm Vol.11. #8-2017
7TT
Модели транспортного потока и связанное движение.
В ходе описания динамического поведения транспортного потока (далее ТП) в целом и отдельных транспортных средств (далее ТС) были разработаны два основных подхода моделирования: макроскопический и микроскопический. Макроскопический подход характеризуется тем, что II! рассматривается как непрерывный поток специфической жидкости или газообразной среды. Таким образом, основными характеристиками макроскопической теории потока являются его плотность, средняя скорость ТС в потоке и величина потока согласно 11 ].
В свою очередь, микроскопические модели характеризуются тем. что поведение каждого ТС задается явно и является мотивированным, основными характеристиками являются значения координат, скорости и ускорения для каждого ТС. Базовой моделью микроскопического подхода является модель Следования за Лидером, которая заключается в следовании каждого ТС за впереднидущим согласно правилам, установленным в модели. Эта базовая модель приводит к понятию связанного движения, где каждое ТС ориентируется на поведение впередиидущего ТС, а именно на скоростной режим и расстояние до ближайшего ТС. ТС движутся друг за другом в одном направлении и без обгонов х(, (1) < х( (1) < ... < Хмн (1); ! > 0. Так как моделируемая система должна быть близка по своим характеристикам к реальной, на такие характеристики как скорость и ускорение накладываются определенные ограничения. В первую очередь, они должны быть адекватны физическим законам, по которым двигаются автомобили в целом, а во вторую, должны согласовываться с реальными возможностями автомобилей. Эти ограничения должны быть учтены при создании имитационной модели, при помощи задания ограничений на скорость и ускорение сверху и снизу, что приводит к системе дифференциальных уравнений с определенными фазовыми ограничениями.
Математическая модель Следования за Лидером и функция безопасного расстояния. Так как базовой микроскопической моделью теории транспортных потоков является модель Следования за лидером, известны многочисленные попытки подобрать функцию состояния потока по экспериментальным данным наблюдений, [2].
Для предотвращения столкновений ТС в модели предусмотрена функция безопасного расстояния, определяемая формулой Д\^)=Со+С1*У;-ьС2*а, , где С» - статический габарит, длина ТС. С,*\, — динамический габарит, определяющий расстояние, пройденное ТС, до начала торможения, где С/ время реакции водителя, а V, - текущая скорость ТС. С:*а,.- так же является динамическим габаритом и определяет расстояние, которое пройдет ТС при торможении, где С_> коэффициент обратный функции торможения, а а, является производной от скорости V/'. Математически точные постановки задач типа Следования за Лидером как движения пеночки автомобилей представлены в работе [3]. Модель сформулирована в виде системы нелинейных дифференциальных уравнений с начальными и граничными условиями. Полный вариант этого исследования опубликован В [4].
Физические модели транспортного потока.
Одним из подходов является эмпирическая теория трёх фаз В. Кернера, описанная в [5], и разработанная на её осно-
ве KKS-модель [6]. А так же концепция образования очередей и заторного движения согласно предлагаемым профессором Дагаизо (С. Daganzo) и его студентами из Калифорнийского университета Беркли (Berkeley, California) моделям.
Теория трех фаз Кернера является эмпирической теорией, Теории транспортных потоков изначально разделяли поток на свободный и затрудненный (плотный). Согласно Кернеру, в плотном потоке выделяются две фазы, синхронизованный поток и широкий движущийся кластер машин (локальный движущийся затор). Соответственно существуют три фазы транспортного потока:
1. Свободный поток (Free flow).
2. Синхронизованный поток (Synchronized flow).
3. Широкий движущийся кластер автомобилей (Jani),
Впервые микроскопическая трехфазная модель, которая
может воспроизводить эмпирические свойства перехода к плотному потоку (traffic breakdown) и результирующих пространственно-временных структур, была разработана B.C. Кернером в соавторстве с Г. Конхойзером в 1994 г., а затем дополнена Ь.С. Кернером и С.Л. Кленовым в 2002 г. Несколькими месяцами позже B.C. Кернер, С.Л. Кленов и Д. Вольф предложили трехфазную модель на основе клеточных автоматов (KKW-модель). Позднее на основе клеточного автомата была разработана модель Кернера-Кленова-Шрекенберга (далее KKS-модель [7]) рассматриваемая далее.
Данная модель является соединением клеточного автомата (КА) Нагеля-Шрекенберга и трёхфазной теории Кернера-Кленова, КА определяется следующими законами движения:
• xn+i ~ Хц + vn+i Закон движения
• vn+i — min(vn + ], vrr«) Ускорение
• v„+i = min(v„.: ь g„) Торможение
• vn+i = тах(у„ - 1, 0} Уменьшение скорости с заданной вероятностью
• Следующие законы движения относятся к трёхфазной теории:
• v„+i = vn + sgn(vln - v„) Адаптация скорости при условии gn < G(vn), где gn - интервал между автомобилями gn = X],n - xn - d, где d - длина автомобиля xLn координата предшествующего автомобиля, a G(v„) - функция безопасного расстояния
• В случае gn > G(v„) происходит Ускорение, согласно правилам К А
• Переускорение при смене полосы, происходящее с заданной вероятностью рс , при условии соблюдения безопасного интервала
Следует отметить, что получение пространственно-временных структур, таких как широкие движущиеся кластеры, аналогичных найденным в ТП Кернером, стало возможным после введения в KKS-модель правила slow-to-start, при котором скорость реакции водителя менялась в зависимости от ситуации на дороге. При скоростях близких к нулю, скорость реакции задавалась меньшей, по отношению к скорости реакции при больших скоростях. Данное допущение является физически верным, учитывая, что водитель ТС в заторе может быть несколько отвлечен от процесса вождения, что и приводит к запоздалой реакции на перемещение впередиидущего автомобиля.
T-Comm Том 11. #8-2017
Карлос Ф. Даганзо (Carlos F. Daganzo), в работе [8], утверждает, что свободно текущий транспортный поток не может быть случайно разрушен, без очевидных причин, а затем оставаться в этом состоянии вследствие стремления TII поддерживать перегруженность сужений. Основной проблемой движения ТП являются образующиеся очереди, которые возникают в местах внешних воздействий. Детальный анализ математических моделей показывает, что ТП формирует так называемую очередь на участках, где движение не однородно, а имеются сужения различных типов.
При изучении ТП и механик образования очередей профессор Даганзо в соавторстве со своими студентами использует следующие имитационные модели: Netcell, 1-880 Data. Netcell моделирует ситуацию появления спонтанного возмущения в потоке по причине образования препятствия и последующее удаление препятствия, которое приводит не к мгновенному исчезновению уплотнения, а постепенному рассасыванию с перемещением навстречу потоку ТС. 1-880 Data задает модель двухполосной дороги, к которой примыкает второстепенная дорога с полосой для разгона длинной около 300 м. Данная модель позволяет изучить состояние потока именуемое «замерзающей жидкостью», когда замедляющаяся полоса, начинает оказывать влияние на соседние полосы, что приводит к общему росту очереди и распространению её навстречу потоку.
Анализ разработанной имитационной модели. Создана имитационная модель на основе математической модели Следования за Лидером и проведен сё качественный и численный анализ. Качественный анализ модели заключается в определении следующих характеристик системы нелинейных дифференциальных уравнений, определяющих поведение цепочки ТС: устойчивость, безопасность и эффективность.
В свою очередь численный анализ модели заключается в определении конкретных численных характеристик всех составляющих транспортного движения, к которым относят-
ся сам транспортный поток, отдельные ТС и различного рода препятствия, такие как сужения дороги, локальные ограничения скорости, съезды с/въезды на магистраль. К характеристикам ТП относятся величина, плотность, средняя скорость Т11 и средняя дистанция между ТС в потоке, к характеристикам препятствий относятся пропускная способность, величина притока и оттока ТС в местах пересечения дорог. Далее представлена форма ввода параметров (рис. 1) моделируемой системы, что позволяет анализировать систему на большом наборе различных характеристик и неоднородно-стей.
Рис. 1. Форма ввода параметров транспортного потока
Для начала необходимо определить пропускную способность однополосной дороги в рамках рассматриваемой модели, для чего из набора параметров выбирается движение без препятствий и каких либо неоднородностей и возмущений (рис. I). ТП представляет собой движущиеся легковые автомобили с ограничением по скорости в 90 км/ч. Черными точками обозначены отдельные ТС потока. Виртуальный детектор расположен на отметке в 1000 м (середина дороги).
Coordinates
I ■ Vthicl? ñov.
Oi-tcofflircgyeNcre ИоП
500
Сщя
В Платность Í7 Сретим скорость -Vj
El 8er»*wí № Средняя acanita
мое
Distance, m
140
1500
Рис. 2. Движение однородного ТП без препятствий на скорости в 90 км/ч
7ТТ
Т-Сотт Том 11. #8-2017
QUALITATIVE AND NUMERICAL METHODS OF RESEARCH OF THE FOLLOW-THE-LEADER MATHEMATICAL MODEL
Andrei I. Pinyanskiy, MTUCI, Moscow, Russia, dron007_93@mail.ru Alexander P. Buslaev, MTUCI, Moscow, Russia, apal2006@yandex.ru
Abstract
This paper is devoted to a qualitative and numerical investigation of the behavior of solutions of a system of ordinary nonlinear differential equations describing the associated motion of a chain of vehicles. The aim of the research is to confirm or refute the main provisions of the empirical theories of transport flows based on a clearly stated task, which were formed in large numbers as a result of the information revolution, that is, with the increase of the detection capabilities of traffic. We are talking about some hypotheses and concepts of B. Kerner, K. Daganzo and others (including developers of agent models). A mathematical model of Kerner, Klenov, and Schreckenberg is considered, based on the basic propositions of the theory of the three Kerner phases. Some software used in the study of various phenomena and structures of the traffic flow at the University of California, Berkeley, is also considered. A software has been developed that allows a qualitative and numerical analysis of the hypotheses put forward on the basis of the mathematical model of following the Leader. The software considered in this article has a form of input of parameters that allow studying various conditions of the transport stream, as well as output of velocity, density, flow and average distance between vehicles. Among other things, it is possible to visualize the flow of the flow in a given area during a finite time interval. It is possible to create a flow of different values and densities, homogeneous (consisting of identical transport units) and heterogeneous flows, create a different number of obstacles along the route. Qualitative analysis of the model consists in detecting possible space-time structures of the transport stream and determining the numerical characteristics of these structures. In turn, the numerical analysis consists in determining the specific characteristics of all the components of the traffic movement, which include the transport flow itself, individual vehicles and various obstacles preventing the free flow of the flow, such as narrowing the road, local speed limits, congresses from / entrances to the highway.
Keywords: road traffic, traffic flow, physical transport stream models, mathematical model, related motion.
References
1. Lighthill M.J., Whitham G.B. (1955). On kinematic waves: II. Theory of traffic flow on long crowded roads. London.
2. Gorodnichev M.G. (2015). Information and mathematical aspects of the follow-the-leader model. Thesis for the degree of Candidate of Technical Sciences.
3. Buslaev A.P., Gasnikov A.V., Yashina, M.V. (2012). Selected mathematical problems of traffic flow theory. International journal of computer mathematics, 89(3), 409-432. DOI: 10.1080/00207160.2011.611241
4. Buslaev A.P., Kozlov V.V. (2014). On a system of nonlinear differential equations for the model of totally connected traffic. Journal of concrete and applicable mathematics, vol. 12, ISSN:l548-5390 Print, I559-I76X Online.
5. Kerner B.S. (2009). Introduction to Modern Traffic Flow Theory and Control: The Long Road to Three-Phase Traffic Theory Springer. 278 p. ISBN:3642026044.
6. Kerner B.S., Klenov S.L., Schreckenberg M. (2011). Simple cellular automaton model for traffic breakdown, highway capacity, and synchronized flow. Phys. Rev. E., vol. 84. 046110.
7. Nagel K., Schreckenberg M. (1992). A cellular automation model for freeway traffic. J. Phys. (France) I, vol. 2, pp. 2221-2229.
8. Daganzo C.F. (1999). Remarks on traffic flow modeling and its applications in Traffic and Mobility, Proc. Traffic and Mobility, Simulation, Economics and Environment Conference (Brilon, Huber, Schreckenberg and Wallentowitz, eds.), pp. 105-115, Aachen, Germany, Springer-Verlag, New York, N.Y.
Information about authors:
Andrei I. Pinyanskiy, 2-nd year master student, MTUCI, Moscow, Russia
Alexander P. Buslaev, professor, Doctor of Physico-Mathematical Sciences, MTUCI, Moscow, Russia
r I л
