Качественная оценка некоторых методов спектрального анализа Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Ссылка на статью:

// Радиооптика. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2017. № 01. С. 34-46.

Б01: 10.24108/^ор1.0117.0000094

Представлена в редакцию: 03.01.2017 Исправлена: 17.01.2017

© МГТУ им. Н.Э. Баумана УДК 621.396.96

Качественная оценка некоторых методов спектрального анализа

Бычков Б.И.1, Кудряшов Н.И.1, Ч-дигепко^Ьташи

1 *

Гуренко В.В. '

:МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия

При решении задач моделирования радиолокационных систем широко используются методы спектрального анализа. Настоящая работа посвящена актуальным параметрическим методам, использующим белый шум в качестве возбуждающей последовательности. Рассмотрены их математические основы и отличия от классических методов. Выявлены достоинства и недостатки ряда параметрических алгоритмов. Проведено сравнение методов спектрального анализа по вычислительной сложности и разрешающей способности. Показано, что параметрические методы, а также методы, основанные на анализе собственных значений, обладают лучшим разрешением относительно классических методов, однако имеют большую вычислительную сложность. Результаты подтверждены экспериментальным моделированием в среде МАТЪАБ. Полученные выводы позволяют обоснованно и эффективно подходить к выбору методов анализа спектра.

Ключевые слова: радиолокация, параметрический метод, спектр, спектральная плотность мощности, автокорреляция, разрешающая способность, вычислительная сложность

Введение

Одной из главных проблем спектрального анализа в радиолокации является повышение разрешающей способности алгоритмов анализа спектра сигнала, получаемого приемником радиолокационной станции [1-3]. Существует ряд методов [4-6], позволяющих детально анализировать спектр, от применения которых напрямую зависит, будут ли различимы отметки от двух близко расположенных объектов. Среди этих методов особое место занимает семейство параметрических методов, актуальность применения которых обусловлена потенциальным превосходством их алгоритмов над алгоритмами классических методов спектрального анализа. Однако вопрос предпочтения тех или иных методов должен решаться в зависимости от того, насколько выигрыш в разрешающей способности оправдывает повышенную вычислительную сложность параметрических алгоритмов. В связи с этим необходимо, отталкиваясь от математической основы методов спектрального анализа, провести сравнительный анализ параметрических и классических методов по вы-

Радиооптика

Сетевое научное издание МГТУ * ш. Н. Э. Баум1 т н а

Кйр://гас1к>ор11С5.ш

числительной сложности и разрешающей способности. Решению данной задачи на примере нескольких алгоритмов и посвящена настоящая статья.

1. Классический подход в спектральном анализе

При классическом подходе вычисление спектральной плотности мощности (СПМ) сигнала, показывающей распределение его мощности по частоте, выполняется с помощью дискретного преобразования Фурье (ДПФ) автокорреляционной последовательности:

ад

Р» (/) = Т ^ ^ N ехр (-:2]ж/Гш) . (1)

где Г - период дискретизации, / - частота, г^ [ш] - автокорреляционная последовательность (АКП), вычисляемая по формуле:

Гхх [ш]= Е {Х [И + ш] Х [и]} . (2)

Здесь х [и] - последовательность значений дискретного сигнала, Е { } - операция

вычисления математического ожидания, а символом * обозначено комплексное сопряжение.

В зависимости от способа вычисления СПМ (прямого - через квадрат модуля ДПФ х [и] или косвенного - через вычисление по формуле (1) автокорреляционной последовательности) можно выполнить, соответственно, периодограммные и коррелограммные спектральные оценки. Периодограммный метод предусматривает разбиение исходных данных на перекрывающиеся сегменты с целью получения статистически устойчивой оценки: для каждого сегмента вычисляется его спектр, после чего спектры усредняются. С увеличением количества сегментов дисперсия оценок уменьшается, но снижается и разрешение. Коррелограммный метод подразумевает вычисление коррелограммы - оценки АКП. Связь статистической устойчивости и спектрального разрешения аналогична перио-дограммному методу.

На практике исходная последовательность конечна, поэтому значения сигнала (для периодограммного метода) или АКП (для коррелограммного) в остальных точках допускают равными нулю, что приводит к образованию ложных пиков в спектре - так называемых «боковых лепестков». Для уменьшения такого растекания спектра вводят взвешивающие функции (окна), применение которых, в свою очередь, снижает разрешение.

Таким образом, главный недостаток классических методов - в их невысокой разрешающей способности: частотное разрешение не может превышать значения, обратного длине исходной последовательности. В то же время, классические методы по-прежнему находят применение в современной практике цифровой обработки сигналов благодаря их достоинствам:

- применимость ко многим видам сигналов;

- высокая скорость обработки из-за относительно невысокой вычислительной сложности по сравнению с неклассическими методами.

2. Параметрические методы спектрального анализа

Параметрический подход подразумевает создание математической модели для аппроксимации порождающего процесса исследуемого сигнала. При этом СПМ становится функцией параметров такой модели. Применение параметрических методов не требует создания окон, подавляющих растекание спектра, и, следовательно, позволяет повысить разрешающую способность. Качество оценки определяется соответствием выбранной модели рассматриваемому процессу.

Модель временного ряда, пригодную для аппроксимации довольно большого числа реальных процессов, можно представить как выход фильтра с помощью линейного разностного уравнения:

х [п] = а [к] х [п - + ^ Ь [к] и [п -к] = ^к [к]и [п - к],

(3)

к=1

к=0

к=0

где и[п] - возбуждающая последовательность, х[п] - выходная последовательность, а[к] и Ь[к] - комплексные коэффициенты, к[к] - импульсная характеристика фильтра [5].

С практической точки зрения целесообразно рассмотреть класс моделей, для которых возбуждающая последовательность фильтра в формуле (3) является белым шумом с нулевым средним значением и дисперсией рк. Формула (3) определяет модель авторегрессии - скользящего среднего (АРСС) порядка (р, д), функциональная схема которой показана на рис. 1.

Рис. 1. Функциональная схема параметрической модели авторегресии - скользящего среднего порядка (р, q)

Соотношение между разрешением и дисперсией получаемой оценки определяется порядком модели, подобно параметрам окна в классических методах. Коэффициенты а[ к ] характеризуют авторегрессионную (АР) составляющую модели порядка р , а Ь[к] - ее составляющую, соответствующую скользящему среднему (СС), порядка д. АКП в АРСС-модели связана с параметрами модели формулой (4), что позволяет экстраполировать ее значения при известных параметрах.

[m]

r„ Im\ = <

r* [-m], m <0;

-¿* [k] r*x [m - k ] + Pw ¿b [k ]h* [k - m] ,0 < m < q; (4)

к=1 k= m

-Z a [к ] rxx [m - к ]' m > q-

k=1

Обнуление СС-параметров, кроме b [0] = 1, позволяет получить частный случай

АРСС-модели - модель авторегрессионного процесса (АР), в которой связь между параметрами и АКП линейна. Аналогично, отсечение авторегрессионной части АРСС-модели порождает модель скользящего среднего (СС), однако связь АКП с СС-параметрами имеет нелинейный характер. Благодаря линейной зависимости, а также тому, что АР-спектр имеет острые пики, авторегрессионная модель наиболее подходит для практической реализации из трех рассмотренных. Для АРСС-моделей разработано меньше алгоритмов ввиду высокой вычислительной сложности, их статистические характеристики плохо исследованы.

При известной АКП сигнала процесс спектрального оценивания на основе АР-модели состоит из трех этапов: оценивания параметров модели по известной АКП (например, с помощью системы нормальных уравнений Юла-Уолкера), экстраполяции АКП на основании формулы (4), вычисления СПМ по расширенной АКП согласно формуле (5).

ад

Pap (f) = T Z r« [к] exp (—IjnfTk) (5)

к=-ад

Поскольку параметрический подход подразумевает экстраполяцию АКП за пределы p, а не заполнение ее значений нулями (как в классических методах), алгоритмы на основе АР-модели обладают большим спектральным разрешением. На практике АКП неизвестна, поэтому ее оценивают на основе имеющейся записи данных. Степень увеличения разрешения зависит от отношения сигнал/шум в исследуемой последовательности.

Существует ряд АР-методов, которые отличаются способами оценки параметров модели [7]. Их основные достоинства и недостатки приведены в табл. 1.

Метод Достоинства Недостатки

Юла-Уолкера Устойчивость формирующего фильтра Расщепление спектральных пиков; смещение спектральных пиков при анализе суммы синусоид с шумом

Берга Устойчивость формирующего фильтра Положение спектральных пиков зависит от начальных фаз синусоид; расщепление спектральных пиков; смещение спектральных пиков при анализе суммы синусоид с шумом

Ковариационный Возможность анализа сигнала, состоящего из синусоид Формирующий фильтр может быть нестабильным; смещение спектральных пиков при анализе суммы синусоид с шумом

Модифицированный ковариационный Возможность анализа сигнала из синусоид. Нет расщепления спектральных пиков Формирующий фильтр может быть нестабильным; смещение спектральных пиков при анализе суммы синусоид с шумом

Поскольку АР-методы основаны на представлении исследуемого сигнала в рамках АР-модели, они хорошо работают с сигналами, действительно являющимися АР-процессами и другими сигналами с выраженными спектральными пиками. Увеличение порядка модели повышает не только разрешение, но и вероятность появления в спектре ложных пиков. Следовательно, необходима многократная оценка при различных порядках модели.

Существует отдельный класс неклассических методов спектрального анализа, особенностью которых является разбиение информации, содержащейся в автокорреляционной матрице, на два векторных подпространства: сигнала и шума. Такие методы показывают более качественные результаты при низком отношении сигнал/шум, чем АР-методы. К данному классу относятся алгоритм классификации множественных сигналов (MUSIC) и собственного вектора (EV). Они имеют различные модификации, улучшающие обусловленность автокорреляционной матрицы и позволяющие получать оценки высокого разрешения при низких отношениях сигнал/шум. При этом отношение сигнал/шум и порядок модели влияют на результат в большей степени, чем длина исследуемой последовательности [8-9].

4. Сравнительный анализ методов спектрального анализа

Оценка вычислительной сложности рассмотренных алгоритмов представлена в табл. 2. Из данных в таблице видно, что вычислительная сложность параметрических алгоритмов заметно выше, чем классических. Алгоритмы, основанные на анализе собственных значений, имеют еще более высокую сложность, что обусловлено дополнительными операциями над собственными векторами.

Алгоритмы Вычислительная сложность

Классические:

- периодограммный, O (N log N)

- коррелограммный

Параметрические:

- Юла-Уолкера, O ( N2)

- Берга,

- ковариационный,

- модифицированный ковариационный

Непараметрические: O ( N3)

- MUSIC,

- EV

Для сравнения результатов работы различных методов на заданной входной последовательности использован программный пакет МЛТЬЛВ. В качестве анализируемого сигнала для оценки разрешения, как правило, выбирают сумму синусоид с белым шумом [10-11]. Проведен спектральный анализ сигнала, который является суммой трех гармоник частотой 100 Гц, 110 Гц и 300 Гц (рис. 2).

Врлич. с

Рис. 2. Исследуемый сигнал, состоящий из трех гармоник

Анализ проводился шестью методами: методом Уэлча как наиболее популярным из классических, MUSIC и четырьмя АР-методами. Полученные зависимости СПМ от частоты показаны на рис. 3. Для параметрических методов выбран порядок, в два раза превышающий число гармоник в сигнале: 6. Из приведенных графиков следует, что классический метод Уэлча не способен разрешить гармоники с частотами 100 и 110 Гц. Большинство параметрических методов разрешает пики при порядке 6, поэтому выбор порядка равным удвоенному числу синусоид в сигнале можно считать приемлемым. Результаты свидетельствуют о явном превосходстве параметрических методов над классическим по разрешающей способности. При этом метод Юла-Уолкера показывает наихудшее разрешение среди авторегрессионных (для разделения первых двух гармоник ему требуется порядок более 20).

tw ifwi* Опцу E nimh

PnudrnnClrjr» L^r.i'.Je .la VIJVIt

"Wf fl Щ

| *

I M 1

»

---

..... ft ......I

„.X ГГП......;

и......1.....

1' ;

л/: '.У,,-,. 7Ш v V U 'J

У Л lMJ Л Д: (Щ

'г 'у' Tj

а

&JJ fn** Sp* 1 • И Dwi lirr E №1*41

! F 1

...... ......Li...... 1 mm . mm .

.....1П....З......

.J.L.I.....|......

7[y I .....

....

' 'V

.-■ - V

___ ^- -—-1

1С

I

Я

Г

I

1 и

J

I [ [ !

1 \ 1 ! 1

j \ J / ; i \.i.....j.......

1 1 i

i !

f4 Ш» 1ЬЛ JM J» ft» мр i» ым

'nqtWlTi (ftif

б

SvdttDnli ErirA

« 1« 14

™ TV) wu

F iv^wn.-)

14 ОЯ Hi wa

-

i я

j J \ ZII, L

■ 1 ■ milY i J L

l

i \ : : :

L*.__i—_ _— ■ '

40 Ю0

.110 Z 1Л

* 150

c-^ U°

t 15<f £ 1Ы1

-in 1» no

Coinm r'nvjer '!fM- li fll I.KHiiry I kllnidl*

ТиК-Wa^Ti Din4y Eilrhdn

— i 1 Г' --

..»«•mL«

1 r

/ \ ......i......1......

7 \ i

ч t ...... A : ■yiV-i......

! \i ......¡.„..^.j,.,.

T f i ¡^N

1 [ 1 i r 1*--4

4 1(0 1»

-10

I

£

40

■ - T-- J -1-1- ! |

! ! \ j I

... .....Jj

/; 1 * \ \ i

\ H. p / i j

j j \ j

i ill

№ Off Hi J&0 JW Hi

Ni4u»ney [Hi)

f-D IDA lii

ИО 2M MO

ГГ»П1|РГ>Г'.' Itrl

эм юс J ю :,nn

Рис. 3. Результат спектрального анализа суммы синусоид различными методами (в скобках указан порядок): а - Уэлча; б - MUSIC (6); в - Берга (6); г - ковариационный (6); д - модифицированный ковариационный (6);

е - Юла-Уолкера (23)

в

г

д

е

Проведен спектральный анализ сигнала, который является суммой трех гармоник частотой 100 Гц, 110 Гц, 300 Гц с белым шумом (рис. 4). Отношение сигнал/шум - 10 дБ.

Рис. 4. Исследуемый сигнал, состоящий из трех гармоник и белого шума

Результаты моделирования представлены на рис. 5. Из приведенных графиков следует, что параметрические методы способны разрешить гармоники 100 и 110 Гц, в отличие от классического метода Уэлча. Зависимости на рис. 5 приведены для минимального порядка каждого метода, при котором пики различимы. Метод MUSIC показывает наилучшее разрешение, разделяя гармоники уже при порядке 13. АР-методам требуется порядок не менее 34, а методу Юла-Уолкера еще больший - 38. Кроме того, в случае АР-методов есть риск потерять гармонику частотой 300 Гц среди шума из-за относительно небольшой амплитуды спектрального пика.

Таким образом, метод MUSIC, основанный на анализе собственных значений, показывает наилучшее разрешение среди рассмотренных методов при наличии в сигнале шумовой составляющей.

те*

44-

f * i Л ■

I

° 1«

-К

я -я

1..... 1

j

I 1

j

_____1 !

I !

1 Т" г L1.....

! ; I j Г 'I \

: ' Л /| V \ \

Л \

И

1М ID № Ж1 М «О «К Ml

б

а

j.» Г"

1

i

Д ! 11 I ! / * f ^ л

J\1 А 1 V I ¡. ' \J \J

5 iD ign ISA Jin Hfl 35D <tSn 500

Рг>|р»п<гу (Mil

; »t-

■n

л

Lj......ц . | lj____ 1 1

j |

LIJ i.

¡A LI l Ш : 1 • J" Л .A. ../: [ \

KWi 1 XT*

M Ю) 14 ГЛ П W № « i» W

I ' Г ) 14)

Y<Pfw Bfnctui Of-IH ■ г I "M*

L

Я

L 1

J

-L*- j ......L......

л" Л f\ M V i .A. л. .....i J 1 iai Лгкя V.i,

"W'j ГТт Гт^r __ "S^ J i T \J

u iggifeMluHlHiwiliW t fvt

Рис. 5. Результат спектрального анализа суммы синусоид с белым шумом различными методами (в скобках указан порядок): а - Уэлча; б - MUSIC (13); в - Берга (34); г - ковариационный (34); д - модиф.

ковариационный (34); е - Юла-Уолкера (38)

в

г

е

д

Заключение

Результаты проведенного анализа показали, что параметрические методы показывают большую разрешающую способность, чем классические. Это обусловлено использованием математических моделей анализируемого сигнала с ненулевой экстраполяцией АКП. Авторегрессионные методы наиболее удобны для практической реализации среди параметрических за счет острых пиков в спектре и линейной зависимости между АКП и параметрами модели. Результаты, получаемые параметрическими методами, зависят от порядка модели и отношения сигнал/шум в исследуемой последовательности. В случае зашум-ленного сигнала наилучшее разрешение показывает метод MUSIC, основанный на анализе собственных значений.

С другой стороны, параметрические методы обладают более высокой вычислительной сложностью по сравнению с классическими. При выборе метода для радиолокационной системы следует учитывать не только разрешающую способность, но и вычислительную сложность, которая тем выше, чем лучше разрешение.

Перспективными задачами являются исследование количественных характеристик параметрических методов при работе с высокочастотными сигналами, а также реализация параметрических алгоритмов на современных высокопроизводительных микропроцессорных платформах.

Список литературы

1. Шумов А.В. Анализ целевых направлений развития технических средств наблюдения глобальной аэронавигационной системы // Радиооптика. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. № 5. С. 16-36. DOI: 10.7463/rdopt.0515.0825966

2. Скосырев В.Н., Кочкин В.А., Шумов А.В., Ананенков А.Е., Слукин Г.П., Нефедов С.И., Федоров И.Б. Пути создания радиооптического комплекса контроля воздушного и наземного пространства для диспетчерских служб региональных аэропортов // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. № 11. С. 301-324.

DOI: 10.7463/1115.0825935

3. Сотников А.А., Якупов Ш.З., Романовский А.С. Применение имитационного моделирования для контроля вычислительных систем гидролокационных комплексов // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2013. № 6. С. 351-364.

DOI: 10.7463/0613.0570096

4. Жирнов В.В., Солонская С.В. Распознавание радиолокационных отметок по спектральному изображению с адаптивными весовыми коэффициентами // Радиоэлектроника и информатика. 2006. № 1. C. 121-123.

5. Марпл С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения: пер. с англ. М.: Мир, 1990. 584 с. [Marple S.L. Jr. Digital spectral analysis: with applications. Englewood Cliffs: Prentice-Hall Publ., 1987. 492 p.].

6. Сюзев В.В. Основы теории цифровой обработки сигналов: учеб. пособие. М.: РТСофт, 2014. 749 с.

7. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов: учеб. пособие. 3-е изд. СПб.: БХВ-Петербург, 2011. 756 с.

8. Григорян Д.С. Сверхразрешение по частоте при обработке радиолокационных сигналов когерентными методами линейного предсказания вперед-назад с прореживанием данных // Журнал радиоэлектроники. Электрон. журн. 2011. № 7. С. 2. Режим доступа: http://jre.cplire.m/jre/jul11/7/abstract.html (дата обращения 01.12.2016).

9. Dawood M., Quraishi N., Alejos A.V. Superresolution doppler estimation using UWB random noise signals and MUSIC // IEEE trans. on aerospace and electronic systems. 2013. Vol. 49. No. 1. Pp. 325-340. DOI: 10.1109/TAES.2013.6404106

10. Сюзев В.В., Гуренко В.В. Описание и имитация псевдослучайных сигналов в рамках обобщенной корреляционной теории в одноосновных системах счисления // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2016. № 10. С. 102-116.

DOI: 10.7463/1016.0848907

11. Овчарук В.Н. Спектральный анализ сигналов акустической эмиссии // Ученые заметки Тихоокеанского гос. ун-та. Электрон. журн. 2013. Т.4. № 4. С 974-986. Режим доступа: http://pnu.edu.ru/media/ejournal/articles-2013/TGU 4 187.pdf, дата обращения 18.04.2017.

Radiooptics of the Bauman MSTU, 2017, no. 01, pp. 34-46.

DOI: 10.24108/rdopt.0117.0000094

Received: 03.01.2017

Revised: 17.01.2017

© Bauman Moscow State Technical Unversity

Qualitative Assessment of Certain Spectral Analysis Methods

B.I. Bychkov1, N.I. Kudryashov1, ^^enko:gbm5tu-ru

V.V. Gurenko1 *

1Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia

Radiooptics

Keywords: radar; parametric method; spectrum; power spectral density; autocorrelation; resolution;

computational complexity

Parametric methods of spectral analysis play an important role when solving the problems of primary radar data processing. The paper mainly focuses on comparing methods to obtain a spectrum by means of two criteria, i.e. computational complexity and resolution. The latter represents the most important characteristic of the algorithms used to process a spectrum of the reflected radar signal.

The paper considers mathematical foundations of parametric methods, which use white noise as an excitation sequence, including the models: an autoregressive, moving average model and an autoregressive-moving average one. Reveals their differences from the classical approach to the spectral analysis represented by periodogram and correlogram methods. Emphasizes the greatest popularity of the autoregressive model due to linearity of dependencies used in it. Shows the main advantages and disadvantages of a number of autoregressive methods. Considers non-classical methods based on the analysis of eigenvalues.

An experimental study of the spectral analysis methods in the MATLAB environment has been carried out for to compare them in terms of computational complexity and resolution. The simulation results with the input signal, represented by the superposition of harmonics on white noise, are shown. The character of the spectra peaks obtained and the order of each model, desirable for their resolution, are estimated.

An analysis of the results obtained has shown that among the methods considered, those of based on the analysis of eigenvalues possess the best resolution and the greatest computational complexity. The autoregressive parametric methods have revealed similar properties. Classical methods are characterized by the least computational complexity and the least accuracy. A conclusion has been that the spectrum quality depends on the order of the model used and on the input signal noisiness.

The results obtained can be used when solving the problems of primary radar data processing to provide a reasonable choice of spectral analysis methods based on resolution and computational complexity.

References

1. Shumov A.V. Analysing the target surveillance technology development trends of the global air navigation system. Radiooptika [Radiooptics Scientific J.], 2015, no. 5, pp. 16-36. DOI: 10.7463/rdopt.0515.0825966 (in Russian)

2. Skosyrev V.N., Kochkin V.A., Shumov A.V., Ananenkov A.E., Slukin G.P., Nefedov S.I., Fedorov I.B. Ways to create the radio-optical airspace and surface control system for dispatch services of regional airports. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana [Science and Education of the Bauman MSTU], 2015, no. 11, pp.301-324.

DOI: 10.7463/1115.0825935 (in Russian)

3. Sotnikov A.A., Yakupov Sh.Z., Romanovsky A.S. Controlling computing systems of sonar complexes with the use of simulation modeling. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana [Science and Education of the Bauman MSTU], 2013, no. 6, pp. 351-364. DOI: 10.7463/0613.0570096 (in Russian)

4. Zhirnov V.V., Solonskaia S.V. Recognition of radar spectrum image with adaptive weight ratios. Radioelektronika i informatika [Radioelectronics and Informatics], 2006, no. 1, pp. 121-123 (in Russian).

5. Marple S.L. Jr. Digital spectral analysis: with applications. Englewood Cliffs: Prentice-Hall Publ., 1987. 492 p. (Russ. ed.: Marple S.L.Jr. Tsifrovoj spektral'nyj analiz i egoprilozheniia. Moscow: Mir Publ., 1990. 584 p.).

6. Syuzev V.V. Osnovy teorii tsifrovoj obrabotki signalov [Basics of digital signal processing theory]: a textbook. Moscow: RTSoft Publ., 2014. 749 p. (in Russian).

rd

7. Sergienko A.B. Tsifrovaia obrabotka signalov [Digital signal processing]: a textbook. 3 ed. S.-Petersburg: BHV-Petersburg Publ., 2011. 756 p. (in Russian).

8. Grigorian D.S. Superresolution in frequency in the processing of coherent radar signals with methods of the linear prediction forward and backward with data decimation. Zhurnal radioelektroniki [Radioelectronics], 2011, no. 7, p. 2. Available at:

http://jre.cplire.ru/jre/jul11/7/abstract.html, accessed 01.12.2016 (in Russian).

9. Dawood M., Quraishi N., Alejos A.V. Superresolution doppler estimation using UWB random noise signals and MUSIC. IEEE Trans. on Aerospace and Electronic Systems, 2013, vol. 49, no. 1, pp. 325-340. DOI: 10.1109/TAES.2013.6404106

10. Syuzev V.V., Gurenko V.V. Description and simulation of pseudo-random signals in the framework of the generalized correlation theory in single-base numeral systems. Nauka i obrazovanie MGTU im N.E. Baumana [Science and Education of the Bauman MSTU], 2016, no. 10, pp. 102-116. DOI: 10.7463/1016.0848907 (in Russian)

11. Ovcharuk V.N. Spectral analysis of signals acoustic emission. Uchenye zamеtki Tikhookeanskogo gosudarstvennogo universiteta [Scientists Notes of the Pacific National Univ.], 2013, vol.4, no. 4, pp.974-986. Available at: http://pnu.edu.ru/media/ejournal/articles-2013/TGU 4 187.pdf, accessed 18.05.2017 (in Russian).