К задаче стабилизации движений механических систем, стесненных геометрическими и кинематическими сервосвязями Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 531.31+62-50

М. Х. Тешаев

К ЗАДАЧЕ СТАБИЛИЗАЦИИ ДВИЖЕНИЙ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ, СТЕСНЕННЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ И КИНЕМАТИЧЕСКИМИ СЕРВОСВЯЗЯМИ

Аннотация. В работе выводятся уравнения движения механических систем, стесненных геометрическими и кинематическими связями первого и второго рода. Получен явный вид сил реакций сервосвязей, а также рассматриваются вопросы устойчивости системы в отношении многообразия, определяемого сервосвязями.

Ключевые слова: сервосвязь, (А)-перемещения, параметрическое освобождение, принуждения реакций, скоростные параметры, параметры освобождения, квазикоордината, квазискорость, устойчивость, невозмущенное движение.

Abstract. In work the equations of motion of the mechanical systems constrained by geometrical and kinematical constraints of the first and second sort are deduced. The obvious kind of forces of reactions of servo constraints is received, and also questions of stability of system under the relation of the variety defined by servo constraints are considered.

Keywords: servo constraint, (A)-moving, parametrical clearing, compulsions of reactions, high-speed parameters, clearing parameters, quasicoordinate, quasispeed, the stability, not indignant movement.

Впервые в аналитическую динамику понятие о сервосвязях было введено А. Бегеном [1]. Методы, используемые А. Бегеном, получили свое дальнейшее развитие в работах П. Аппеля [2], А. Пщеборского [3], В. С. Новоселова [4], М. Ф. Шульгина [5], В. В. Румянцева [6, 7], В. И. Киргетова [8], А. Г. Азизова [9, 10] и др. В этих исследованиях большое внимание было уделено обобщению основных принципов динамики на системы с сервосвязями, составлению уравнений движения, определению реакций сервосвязей. Распространение методов аналитической механики на системы с сервосвязями основывалось главным образом на учете особенностей, связанных с не-идеальностью сервосвязей, которое проявляется в том, что для таких систем элементарная работа сил реакций сервосвязей на возможных перемещениях, допускаемых связями, не равна нулю [1, 2, 9, 10].

Несмотря на важность исследования указанной особенности сервосвязей, приложения методов аналитической динамики к широкому кругу конкретных задач требуют учета и других особенностей, связанных с устойчивой реализацией сервосвязей. На это обстоятельство впервые было обращено внимание Ш. С. Нугмановой [11]. Опираясь на теорию параметрического освобождения [12] и теорию вынужденных движений [13], А. Г. Азизовым была построена теория, позволяющая расширить область практической применимости методов аналитической механики систем с сервосвязями, включая вопросы их устойчивой реализации [9, 10]. К системам с сервосвязями близка теория построения систем программного движения [14], созданная в основном работами А. С. Галиулина и его учеников.

А. Г. Азизовым разработан алгоритм отыскания структуры сил реакций сервосвязей [9, 10]. Однако в этих работах не уточняется явный вид сил реак-

ций сервосвязей, что важно для формирования реакций сервосвязей и их реализации.

В данной работе выводятся уравнения движения систем, стесненных геометрическими и кинематическими связями первого и второго рода, а также определен явный вид сил реакций сервосвязей.

Пусть на механическую систему, положение которой определяется обобщенными координатами дь ..., qn, наложены ограничения в виде обычных неголономных идеальных связей

П

2 +ьр =0 1 ., Ь) (1)

/=1

а также сервосвязей [1] вида

Ф«(^ ql,..., qп ) =0 (а = 1, ., о);

Уу(^, ql,..., qп, <71,..., (Зп ) = 0 (У = 1, •••, с), (а + с = к). (2)

Предполагается, что среди возможных перемещений, допускаемых связями (1), имеются такие, определяемые независимыми уравнениями

п

2°е2/ (t,З^...-Зп))/ = 0 (02 = 1 ., к), (3)

/ =1

на которых реакции связей второго рода работы не производят [6].

Имея в виду параметрическое освобождение системы от сервосвязей, введем независимые дополнительные параметры [9, 10], соответствующие преобразованию систем с сервосвязями к виду

Ф« {t, Зъ..., Зп, Ль Л2,..., Ла) = 0, V* (', 71,..., Зп, 71,..., Зп, ^1,..., ) = 0 (4)

(а = 1, ..., а; у = 1, ..., с; а + с = к),

где лр, - параметры, характеризующие освобождение системы соот-

ветственно от первой и второй групп уравнений (2). Нулевые значения параметров лр, ^8 и их производных Лр, Е,§ соответствуют связям (2) и их продифференцированным формам. За эти величины могут быть взяты, например, левые части уравнений (2), вычисляемые на действительном движении системы [14].

Обозначив через Ыр и Р§ принуждения реакций, относящиеся соответственно к параметрам лр, ^§, будем предполагать, что последние вынужденно изменяются согласно дифференциальным уравнениям

Лр = Хр (р = 1, ..., о);

4§= Р§ (§ = 1, ..., с). (5)

Определяя работу принуждений на перемещениях §лр, 8^§ выражением

2,НР §Л р + ]2р§8^§ , р=1 8=1

для параметрически освобожденной системы будем иметь

8А = £ + £ Ыр8Л р + £№

(6)

і=1 р=1 8=1

8=1

Пусть из способа действия реакций связей второго рода следует, что на (А)-перемещениях [6] работа реакций связей второго рода равна нулю как для неосвобожденной, так и параметрически освобожденной систем. Тогда при произвольных принуждениях реакций работа (6) обратится в нуль при условиях

С учетом первой группы уравнений (2), (4) вместо обобщенных координат сь ..., са введем параметры %, ..., ца. Соотношениями, тождественно удовлетворяющими уравнениям (1) и второй группе уравнений (4), введем скоростные параметры [15] ву:

стных параметров ву выберем Ї]а, ^5. Тогда уравнения (3) в неголономных координатах [15] будут иметь вид

где ку - квазикоордината, соответствующая скоростному параметру еу. Тогда из преобразованного общего уравнения динамики [15]

на (А)-перемещениях (7) получим уравнения движения с множителями сервосвязей

8^р = 0; 8^5 = 0 (р = 1, ..., а; 8 = 1, ..., с).

П

яІ = £ іїіуєу + (і = 1, ..., п),

v=Ъ+1

где 2І = т]і (і = 1, ., а), гїі = С (і = а + 1, ., п), и за первые а + с = к скоро-

П

П

£ ае2і £ div8nv = £ ае2у8^ =0 (02 = 1, ., к)

(7)

і =1

v=Ъ+1

2

где - энергия ускорений системы; Ад2 - множители связей. При обозначениях

Л р хр , ^8 ха + 8, Лр хк + р,

(8)

Ыр = ир, р8= Ос+8

уравнения (5) будут иметь вид

х = Ах + Ви ,

(9)

где

г о ! О ! о^ г Е ^а ! о >

-1 1- - Л

1 о ! 1 О 1 ! о - , В = О 1 1 77 1 Ес 1 , х = ' х1 ^ , и = г Ц '

1 Еа ! | О - ! о 1 О 1 ! о 1 хс V с1 Vйк у

V V V

здесь Еа - единичная субматрица, с = 2а + с.

Система (9) вполне управляема [16, 17], и для нее могут быть поставлены различные задачи теории управления. Имея в виду стабилизацию движения по отношению к многообразию, определяемому сервосвязями, можно искать принуждения вида [9, 10]

и = К3 х,

где К3 - ненулевая матрица размерности (^хс1), обеспечивающая стабилизацию тривиального решения х = 0 системы

X = ( А + ВК3 )х .

Пусть связи (1), (2) стационарны. Тогда кинетическая энергия системы будет иметь вид

т=1 2 2А]Ш], (10)

21=1 ] =1

или в скоростных параметрах еу выражение кинетической энергии (10) преобразуется к виду

т=2 2 еА,

V=6+1 ^=6+1

п п

где Avv1 = 22 А •сV • с^,

г=1 } =1

и энергия ускорений S системы будет иметь вид [15]

1 п п п п п

5=2 2 2 ^ ^ + 2 2 2 [V1, v2, v]• ^ ^2 ^.

v=b+1vl =6+1 V=6+1Vl =6+1V2 =6+1

Уравнения (8) в явном виде будут иметь следующий вид [16]:

а с п—к—6 а а

1) 2 Аир ЛР + 2 Аи,а+8^8+ 2 АИ ,к+рек+р + 22 [ИЪ Р, «! Л р +

р =1 8=1 р=1 И] =1 р=1

ас а п—к—6

+22^а+8,р^8 + 2 2 [р, к+р1, рек+р1 +

р =18=1 р=1 Р1 =1

с с с н-к-Ъ

+££[ + у,а + 5,а].^ ^ ^ [а + 5, к + р, а]к+р +

5=1 у=1 5=1 р=1

н-к-Ън-к-Ъ к

+ £ £ [к+р1,к + р,а]к+р1 ек+р = ба + £ ^02а02а (а _ 1, •••, а);

р =1 р=1 02 =1

а с н-к-Ъ

2) Да+5,рЛр + Аа+5,а+5| ^5] + Аа+5,к+рек+р +

р=1 5! =1 р=1

а а ас

+££ [а, р, а + 5] аті р + ££ [а, а + 51, а + 5]і а^ + а=1 р=1 а=1 51=1

а н-к-Ъ

!_ ■ J 1клЄк+р +

у=1 51=1 а=1 р=1

+£ £ [а + у, а + 51, а + 5]^^ + £ £ [а,к + р,а + 5]- 1і а^к+р

с н-к-Ъ

+£ £ [+у, к+р, а+5]^уек+р + У=1 р=1 н-к-Ъ н-к-Ъ

£ £

р=1 р=1

к

= ба+5 + £ ^02а02,а+5 (5 = 1, •••, с);

+ £ £ [к+рък+р,а+5]ек+рек+р1

02 =1

а с н-к-Ъ а а

3) £ Ак+р,р Ър + £ Ак+р,а+5^5 + £ Ак+р,к+р1 ек+р1 + ££ [р, а, к+р]іі ріі с р=1 5=1 р1=1 а=1 р1

ас а н-к-Ъ

+£ £[+5, к + р]і р ^5 + £ £ [ к+Pl, к + р]і рЄк+р1 +

р =1 5=1 р =1 р1 =1

с с с н-к-Ъ

+££ [а + 5, а + у, к + р]-^у + ££ [а + 5, к + р1, к+ р]^5 ек+р1 +

5=1 у=1 5=1 р1=1

н-к-Ъ н-к-Ъ

+ £ £ [^р2,к+рl,к+р]ек+р1 ек+р2 =

р1 =1 р2 =1

к

бк+р + £ ^02а02,к+р (р 1, •••, н к Ъ)- (11)

02 =1

Движение, выполняемое на многообразии, определяемом сервосвязями (1), примем за невозмущенное, а все другие движения, выполняемые на многообразии, определяемом уравнениями (3) - возмущенными.

Если в (11) реакции связей второго рода В^, ^1+8, ^к+р формировать

по законам

н-к-Ън-к-Ъ

Ва) £ £ [к+р,к+р1,а] ек+рек+р1 ба

р=1 р1 =1

/ " \

-£ (арЛр + карлр ) _£ка,а+5^5 (а = 1, ■■■, а); р=1

5=1

н-к-Ън-к-Ъ

^5 = £ £ [к + P,к + рьа + 5]°-б°+5-

р=1 р1=1

а и

-£ (а+5,р 'лр + ка+5,р 'лр ) - £ ка+5,а+у '5у (у = 1, ■, с); р=1 У=1

н-к-Ън-к-Ъ

в02+р = £ £ [к + р1, к + р+, к + р]°

' ек+р, ек+р+ бк+р

(р = 1, ..., н - к - Ъ),

р1=1 р+ =1

то система уравнений (11) приводится к виду:

Л с (

1) £ Лр + £ АСрЛа, Iір + £ ЛС,а+5 + £ А<а1«+5і'

р=іу а1=1 ) 5=1 у

5 5 +

(

+£

р=1

н-к-Ъ

1° а| е

к+р1

р1 =1

(

л р +£

5=1

н-к-Ъ

£ [а + 5,к + р,а] х р1 =1

(

хек+р,- «Г5 1&+ £

р=1

н-к-Ъ

£ Лр

/—! а,

р1 =1

н-к-Ън-к-Ъ

£ £

р1=1 р+ =1

к+р1 Єк+рі + £ £ [к + рь к + р+,

а] х

хек+р,ек+р+-ОН. ІЛр + ха (ір,Л+,5І) = 0 (а = 1, ■, а);

с ( а Л а ( а Л

2) £ Ла+5,а+у + £ Ла+5,а+уЛр 5р + £ Ла+5,р + £ Ла+5,р Ла

у=1 у р=1 ) р =1у а=1

Л р +

+£ £ [а+5l,к+рl,а+5]°ек+р1 -ба+1551+£ £ [р,к+рl,а+5г 51 =!у рі =1 ) р=!У рі =1

(н

а н-к-Ъ н-к-Ъ н-к-Ъ

к+р, ]''р 1 £ £ Ла+5,а+у 'ек+у+ £ £ [к + р1,к + р+,а + 5]

р=!У рі =! рі =! р+ =!

x eK+pj eK+p2 Qa+S j Л p + Xa+s(p,Л p, 5S ) 0 (S 1, •••, c);

3) I

P=1

c ( a

o

AK+p, p + I AK+p,p Л» Лp +1

a=1

AK+p,a+S + I AK+p,a+S ■ Лс P=1

5s +

a n-K-b c

+I I p, K + Pl, K + p] ’^K+Pj 'Л p+I

P=1 Pl =j S=1

n-K-b

I [a + S, K + Pl,K + p^0 I Pl =1

x

x eK+p^ Q^ 5s + I AKP

n-K-b

K+P,K+Pj K+p1 ' 4—t [‘*K+P,K+Pj

P1=1 P=1

eK+P +£ І A'P+ + eK+p - QK+p +

i—t K+P,K+Pi K+p1 ^K+p

n-K-bn-K-b

I I Р + Pl, K+P2, K + p]

■eK+PleK+P2

Л„ +

p1=l p2=1

+Xa (p,Tp,Qg) = 0 (p = 1,..., n - к - b), (12)

где Xa (, Xp, ), )+S (Tp, Tp, ), XK+p - члены второго и более высоко-

2 - 2 s2

го порядка относительно xp, Xp, QS •

Из последних n - к - b уравнений системы (12), определив ек+р , затем

подставляя эти выражения в первую группу а уравнений и во вторую группу с уравнений системы (12), получим

a с a с

£ AapXp + £ Ba,a+SQS + £ Cap X p + £ Da,a+SQS + p=1 S=1 p=1 S=1

a / \

+ Eapxp + ^a (p,Xp, Q2 ) = 0 (a _ 1, ., a); p=1

a с a с

£ Дх+S,pXp + £ Ba+S,a+yQy + £ Ca+S,pXp + £ Da+S,a+yQy + p=1 S=1 p =1 y=1

+ Ea+S,pЛp + Xa+S 0 (S 1, •••, c),

P=1

(13)

где

a l

Acp = Aap + I Aap л»,

n-K-bn-K-b

A0

K+P,K+Pj

I I AC,K+p

P=1 P1=1

+

(

х ^К+Р,К+Р2

а

АО, + V Аа+ л

■ /—I К+Р2, Р 11

о

К+Р2’Р ' ^ "К+Р2,Р' 'а1 а: =1

Ва,а+8 Аа,а+8 + V Аа,а+8ЛР

1

Р=1

х АК+Р,К+Р2

Ао

к+р,к+р1

п—К—Ъп—К—Ъ

V V Аа,к+р;

Р2 =1 Р=1

Л

\о АР

к+Р2,а+8 к+р,а+8

Р =1

л р;

п—к—Ъ

Сар = Сар = V [р’ К + р1,а] *ек+р Р1=1

1

Ао

К+Р,К+Р]

п—к—Ъп—к—Ъ

I V <

р2=1 р=1

к+р'

х ак+Р,к+Р2

п—к—Ъ

V К’ К + Р1, К + Р2 ]<

К+Р1

Р1=1

п—к—Ъ

Ах,а+8 = V К + 8’ К + р1’а] " ек+р: — °

Р1 =1

а+8

а

(АО Г

К+Р’К+Р1

х

п—к—Ъп—к—Ъ

х V V Аа,К+Р-АК+Р’К+Р2

Р=1 Р1=1

(

п—к—Ъ

V К + 8’К+Рз,К+Р2]О*ек+рз —о Рз =1

а+8

К+Р2

Еар = V <к+рек+Р1 + V V [К + Р1’К+Р2’а]Р х

п—к—Ъ

V

Р1=1

х ек+р1 ек+р2 — 0а —

п—к—Ъп—к—Ъ

Р1=1 Р2 =1

п—к—Ъп—к—Ъ

( Ак+р,к+р1

V V Аа,к+р

р=1 Р1=1

х

х АК+Р,К+Р2

п—к—Ъ

V

Рз =1

V Ак+рьк+р3 <^К+рз Ок+р2 +

п—к—Ъп—к—Ъ

[К + Рз, К + Р4, К + р]

* ек+р3 ек+р4

Рз =1 Р4 =1

Аа+8, р

Аа+8,р + Аа+8,рл8

а=1

Ао

К+Р’К+Р^

п—к—Ъп—к—Ъ

V V А°+8,к+р О

Р=1 Р2 =1

х ^к+р,к+р2

+ У Аа+ Лс

/-І к+р2, р 1с

к+Р2= Р ' ^ " ~к+Р2 ,Р V а=1 /

При обозначениях

Лр = хр, Лр = ха+р , ^8 = ха + 8 (р = 1, ..., а), (5 = 1, с)

уравнения (13) могут быть записаны в виде &х1 2

&

где

= Р

,1 (ґ) *1 + ... + РІ2„2 (ґ )х„2 +фг-2 ( Х1,..., Х„2 ) (/2= 1, ..., П2 = 2а + С), (14)

Р =

"ар

І

І

I

О

У А ра|<?а,

' а+8

У А

а1 =1

а+8,а

с,

ар

^ар Ва,а+8

Аа+8,р Ва+81 ,а+8

І

Т‘

І

І

І

І

І

І

І

І

І

І

а1 =1

^ар Ва,а+8

Аа+8,р Ва+81 ,а+8

О

У Ар,к+а ^а

а=1

Аар Ва,а+8

Аа+8,р Ва+81,а+8

У А

а1 =1

^а,а+у

Аар Ва,а+8

Аа+8,р Ва+81,а+8

Отсюда видно, что уравнения (14) представляют собой систему дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Устойчивость этой системы по отношению к многообразию, определяемому сервосвязями (2) будем исследовать, используя методы исследований устойчивости неустано-вившихся систем [17].

Выберем вспомогательную систему уравнений

$х/

^ = а/21х1 + ... + ё/2п2 хп2 (/2 = 1 ^, п2 = 2а + c),

(15)

где коэффициенты &121,..., &2П2 (/2 = 1, ..., п2 = 2а + с) выбираются постоянными числами [17]. При этом предполагается, что корни Х^2 характеристического уравнения

$11 — \ $12 .. ... $1, П2

$21 $22 —^ $ .. 2п = 0

йп21 $п2 2 .. п2 ,п2

системы (15) удовлетворяют неравенству

Яе^ <-81 (5! > 0; ц = 1, ..., 2а).

Когда вспомогательная система (15) выбрана, исследования проводим следующим образом. Задаем определенно отрицательную форму

2а+с 2а+с

(х)= II С

/2 =1 ]2 =1

, , х, х,

/2]2 2 ]2

и строим функцию

2 а+с 2 а+с

и(х )= I I

/2 =1 ]2 =1

а, , х, х, /2]2 /2 ]2

удовлетворяющую условиям

ё и

15

= w(х).

З Г ё и 1

Здесь I — I - полная производная по времени, вычисленная в силу

У ё /15

(15), и коэффициенты а,2, (/'2, ,2 = 1,. ., П2) квадратичной формы

2а+с 2а+с

и(х ) = I I а,2, х, х,2 определяются решением системы уравнений

/2 =1 ]2 =1

2а+с

относительно а,2, (, ,2 = 1,. ., П2). При этом предполагается, что послед-

няя система уравнений разрешима относительно а, , , т.е. дефект матрицы

-Н1 ы12

уп21 п22

Ч, п2

(п2 =2а + с)

равен нулю.

Вычислим I

14

ё и

2а+с2а+с2а+с

= w

14

(х)+ I I I (аН \_Pj2K7 ()-ёН2К7

/2 =1 ]2 =1 к7 =1

2а+с2а+с

+аК7,2 [Р,2/2 ( )-] ] ) х/2 хК7 + II Ъ2 ф,2 ( х ).

/2 =1 ]2 =1

к7 =1

Очевидно [17], что любую функцию ф/2 (ґ, х) можно представить в виде

Для асимптотической устойчивости решения х = 0 системы (16) достаточно, чтобы форма переменных в правой части равенства (16) была

определенно отрицательной [18].

Как известно, условия определенной положительности квадратичной формы

Так как /,2 ^ 7 являются переменными, то для определенной отрицательности (ёи/ё?), вообще говоря, недостаточно условий (17). Неравенства Сильвестра должны выполняться равномерно по всем х1,...,хп2 , т.е. следует потребовать выполнения неравенств

Условия (17) и (1S) выражают условия асимптотической устойчивости системы (14).

1. Беген, А. Теория гигроскопических компасов I А. Беген. - М. : Наука, 19б7. -

2. Appel, P. Sur les une forme generale des equations de la dynamique (memorial des Sciences Mathematique, fasccule 1) I P. Appel. - Paris, 1925. - С. 1-5О.

3. Przeborsri, A. Die allgemeinsten Gleichunden der Klassischen Dunamik I A. Prze-borsri II Math., teitschift. - T. Зб. - № 2. - С. 1Б4-194.

4. Новоселов, В. С. Применение нелинейных неголономных координат в аналитической механике I В. С. Новоселов II Уч. записки ЛГУ. - 19б7. - № 217. -С. 5О-БЗ.

5. Шульгин, М. Ф. О некоторых дифференциальных уравнениях аналитической динамики и их интегрировании I М. Ф. Шульгин II Научные труды Среднеазиатского государственного университета. - Вып. 4. - Ташкент, 195S. - 1БЗ с.

2a+c

Фі2 (x)= Т hi2K7 (t,x)■ XK7 .

k7 =1

Тогда

2a+c2a+c2a+c

2 a+c 2 a+c

Т Т li2k7 ■ xi2xк7 = —(WIdt)

i2 =1 к7 =1

даются неравенствами Сильвестра [1S]:

An1 > О, A=—і > О,..., Al > О (=l = 2a).

(17)

A=2 > Y2, An2 —l >Y2,-,Ai >Y2 (Y2 > О; =2 = 2a + c). (1S)

Список литературы

192 с.

6. Румянцев, В. В. О движении некоторых систем с неидеальными связями /

B. В. Румянцев // Вестник МГУ. - 1961. - С. 61-66. - (Сер. Матем. Механ.).

7. Румянцев, В. В. О движении управляемых механических систем / В. В. Румянцев // Прикладная математика и механика. - 1976. - Т. 40. - Вып. 5. -

C. 771-781.

8. Киргетов, В. И. О движении управляемых механических систем с условными связями (сервосвязями) / В. И. Киргетов // Прикладная математика и механика. -1967. - Т. 31. - Вып. 3. - С. 433-446.

9. Азизов, А. Г. Об уравнениях динамики систем с сервосвязями / А. Г. Азизов // Научные труды ТашГУ. - Вып. 476. - Ташкент, 1975. - С. 67-75.

10. Азизов, А. Г. Прикладные задачи динамики управляемых систем : учебное пособие / А. Г. Азизов. - Ташкент, 1980. - С. 23.

11. Нугманова, Ш. С. Об уравнениях движения регулируемых систем / Ш. С. Нуг-манова // Труды Казанского авиационного института. - 1953. - Т. 27. - С. 26-35.

12. Четаев, Н. Г. О принципе Гаусса / Н. Г. Четаев // Четаев Н. Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. - М. : АН СССР, 1962. - С. 311316.

13. Четаев, Н. Г. О вынужденных движениях / Н. Г. Четаев // Четаев Н. Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. - М. : АН СССР, 1962. -С. 329-334.

14. Галиулин, А. С. Построение систем программного движения / А. С. Галиу-лин, Р. Г. Мухарлямов, И. А. Мухаметзянов, В. Д. Фурасов. - М. : Наука, 1971. -352 с.

15. Лурье, А. И. Аналитическая механика / А. И. Лурье. - М. : Физматгиз, 1961. -824 с.

16. Тешаев, М. Х. О конструировании реакций сервосвязей систем, стесненных кинематическими связями / М. Х. Тешаев // Проблемы механики. - 2005. - № 1. -С. 3-7.

17. Красовский, Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения / Н. Н. Красовский. - М. : Физматгиз, 1959. - 211 с.

18. Меркин, Г. Д. Введение в теорию устойчивости / Г. Д. Меркин. - М. : Наука, 1987. - 304 с.

Тешаев Мухсин Худайбердиевич

доцент, кафедра высшей математики, Бухарский технологический институт пищевой и легкой промышленности (Республика Узбекистан, г. Бухара)

E-mail: Teshayev_Muhsin@rambler.ru

Teshaev Mukhsin Khudayberdievich Associate professor, sub-department of higher mathematics, Bukhara Technological University of Food and Light Industry (Republic of Uzbekistan, Bukhara)

УДК 531.31+62-50 Тешаев, М. Х.

К задаче стабилизации движений механических систем, стесненных геометрическими и кинематическими сервосвязями / М. Х. Тешаев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2009. - № 4 (12). - С. 27-38.