Научная статья на тему 'К задаче обнаружения протяженных объектов на зашумленных изображениях при отсутствии вероятностных распределений'

К задаче обнаружения протяженных объектов на зашумленных изображениях при отсутствии вероятностных распределений Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
78
17
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук
Ключевые слова
НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ СТАТИСТИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ / ЗАШУМЛЕННЫЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ / ОБНАРУЖЕНИЕ ПРОТЯЖЕННЫХ ОБЪЕКТОВ / NONPARAMETRIC STATISTICAL TEST / NOISY IMAGES / DETECTION OF EXTENDED OBJECTS

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Пяткин Валерий Павлович, Салов Геннадий Иосифович

Предлагается непараметрический статистический тест для обнаружения протяженных объектов на зашумленных изображениях

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Пяткин Валерий Павлович, Салов Геннадий Иосифович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

TO THE PROBLEM OF EXTENDED OBJECTS DETECTION ON NOISY IMAGES WITHOUT AVAILABILITY OF PROBABILISTIC DISTRIBUTIONS

A nonparametric statistical test is proposed for the detection of extended objects on noisy images.

Текст научной работы на тему «К задаче обнаружения протяженных объектов на зашумленных изображениях при отсутствии вероятностных распределений»

УДК 519.24 + 621.391

К ЗАДАЧЕ ОБНАРУЖЕНИЯ ПРОТЯЖЕННЫХ ОБЪЕКТОВ НА ЗАШУМЛЕННЫХ ИЗОБРАЖЕНИЯХ ПРИ ОТСУТСТВИИ ВЕРОЯТНОСТНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

Валерий Павлович Пяткин

Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, 630090, Россия, г. Новосибирск, пр. Академика Лаврентьева, 6, зав. лабораторией обработки изображений, тел. (383)333-73-32, e-mail: pvp@ooi.sscc.ru

Геннадий Иосифович Салов

Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, 630090, Россия, г. Новосибирск, пр. Академика Лаврентьева, 6, старший научный сотрудник лаборатории обработки изображений, тел. (383)333-73-32, e-mail: sgi@ooi.sscc.ru

Предлагается непараметрический статистический тест для обнаружения протяженных объектов на зашумленных изображениях

Ключевые слова: непараметрический статистический критерий, зашумленные изображения, обнаружение протяженных объектов.

TO THE PROBLEM OF EXTENDED OBJECTS DETECTION ON NOISY IMAGES WITHOUT AVAILABILITY OF PROBABILISTIC DISTRIBUTIONS

Valeriy P. Pyatkin

Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB RAS, 630090, Russia, Novosibirsk, 6 Аkademik Lavrentiev Prospect, lab of the images processing head, tel. (383)333-73-32, e-mail: pvp@ooi.sscc.ru

Gennadiy I. Salov

Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB RAS, 630090, Russia, Novosibirsk, 6 Аkademik Lavrentiev Prospect, lab of the images processing senior researcher, tel. (383)333-73-32, e-mail: sgi@ooi.sscc.ru

A nonparametric statistical test is proposed for the detection of extended objects on noisy images.

Key words: nonparametric statistical test, noisy images, detection of extended objects.

Проблема обнаружения важного для наблюдателя протяженного объекта заданной формы на зашумленном изображении со сложным (случайным) фоном при отсутствии знания законов, по которым распределены наблюдаемые (измеряемые) случайные величины, представляет собой весьма актуальную задачу теории и практики обнаружения. Эта задача возникает, в частности, при создании разного рода информационных систем научного, гражданского и военного назначения. Задачу обнаружения протяженного объекта заданной формы на зашумленном изображении для большей ясности рассмотрим на примере обнаружения полосы. Полоса может быть замкнутой, образующей, например, кольцо. Допускается неоднородность объекта по длине. Допускается также

присутствие на изображении и других объектов, но не представляющих для наблюдателя никакого интереса (мешающих). В любом случае измерения (наблюдения) значений сигнала удобно выполнять на последовательности перпендикуляров к средней линии области возможного (проверяемого) положения полосы (объекта). Пусть (Ха,..., Хш) - величины сигналов, наблюдаемых на г -м перпендикуляре в точках, принадлежащих самой проверяемой области (тела) полосы, а 7,...,7И) и ,...,2Ы) - также в точках на г -м перпендикуляре, но расположенных уже по обе стороны симметрично относительно проверяемой области (в точках области фона), г = 1,..., N. Требуется по этим наблюдаемым величинам решить (угадать), присутствует на анализируемой проверяемой области объект (полоса) или нет. Подходящее правило принятия решения (тест или критерий) зависит от имеющей место общей ситуации. Предположим, что если в заданной области объект отсутствует, возможные результаты наблюдений можно рассматривать как стохастически независимые случайные величины на каждом перпендикуляре с одним тем же непрерывным вероятностным законом распределения значений, скажем, Ц = Кх = Кг = Кг, быть может, зависящим от г и неизвестным наблюдателю, т. е. допускается лишь локальная однородность в каждой тройке совокупностей наблюдений (выборок). Если же в течение всего периода наблюдений объект находился на проверяемой области, то случайные величины Х>, 7^ и , скорее всего, уже не будут одинаково распределенными. Часто в этом случае величины Х1г имеют тенденцию быть стохастически больше (или меньше), чем 7.^ и одновременно ^ • Пусть для определенности наблюдателю из физического смысла или прошлого опыта заранее известно, что в последнем случае Х имеют тенденцию быть стохастически

больше, чем 7^, и одновременно, чем ^. Иными словами, если обозначить через О{Х неизвестную наблюдателю непрерывную функцию распределения Х.г в этом случае, то будут справедливы неравенства Ох (х) < (х), Ох ф , и Ох (х) < ^ (х), Ох ф .

Таким образом, задача состоит в том, чтобы по выборкам (Хп,...,Х.т), (71 ,—,7ы) и (^1,..., ), г = 1,..., N, распознать (обнаружить) тот случай, где на изучаемом месте интересующий наблюдателя объект присутствует. Требуется указать правило (тест), приводящее к верному решению с максимально возможной (или близкой к ней) вероятностью. С точки зрения математической статистики, чтобы свести к минимуму риск принять неверное решение, следует проверить статистическую гипотезу И0 об однородности выборок (Хп,...,Х.т),

(7!,...,7Л) и ,...,) при каждом ¡, означающую отсутствие объекта, против альтернативной гипотезы И о том, что величины Х стохастически больше величин 7.5 и одновременно (объект присутствует). Поскольку в рассматриваемой ситуации непрерывные функции , ¥гТ, и Оа не предполагают-

ся известными наблюдателю (типичный на практике случай), то форма подходящего теста (критерия) для проверки указанных гипотез не должна зависеть от этих неизвестных функций распределения и их параметров, другими словами, критерий должен быть непараметрическим.

Цель настоящего сообщения - указать новый подходящий непараметрический статистический критерий для рассматриваемой задачи обнаружения. Еще в 1951 г. Уитни (Whitney) в работе [1] для проверки гипотезы однородности И0 трех выборок против альтернативы Их предложил простой непараметрический

статистический критерий, основанный на двух статистиках U и V пары критериев Манна - Уитни [2]. В нашем случае для наблюдений на i -м перпендикуляре имеем:

m n т n

и=XXix > Ys}, V=XXiX > ^}.

r=1 s=1 r=1 s =1

Здесь и далее I{A} - индикаторная функция события A, равная 1, если событие A произошло, и 0 в противном случае. Критерий Уитни предписывает отклонять гипотезу И в пользу И , когда

U > C и одновременно V > C, (1)

где критическое значение C подбирается по заранее заданному уровню значимости критерия, т. е. вероятности отклонить гипотезу И , когда она на самом деле верна. Как известно, критерий Манна - Уитни эквивалентен двухвыбороч-ному критерию Вилкоксона [2]. Лишь недавно выяснилось [3], что может быть построен новый непараметрический статистический критерий, более мощный, чем критерий Вилкоксона - Манна - Уитни (WMW-критерий), т. е. отклоняющий проверяемую гипотезу об однородности с большей вероятностью, чем WMW-критерий, когда верна альтернативная гипотеза. Отсюда может быть построен и новый непараметрический статистический критерий для задачи с тремя выборками, более мощный, чем критерий Уитни [5, 6].

Для этого предположим, что число n = 2v четное. Введем в рассмотрение следующие события (i = 1,..., N, r = 1,..., m, s = 1,..., v, q = 1,2):

EL = {Xir > max(Ys, W}, = X < min(F„,Yt(v+s))},

EL = {Xir > max(ZS, Zi(v+s))} , E2rs = {Xir < min(Zis, Zi(v+s))}

E0 = E + n E ~

qirs qirs qirs'

а также считающие их количества статистики

m v m v m v

SEqi = SS^^rs I > SEqi = SS1 {EWS } SEqi = SS1 {Eqirs }

r=1 s=1 r=1 s=1 r=1 s=1

принимающие значения от 0 до mv с суммой S+ . + S~qi + . = mv. Подходящим непараметрическим критерием для проверки на отдельном i -м перпендикуляре гипотезы однородности H0j. против альтернативы H, основанным на этих статистиках является критерий, отклоняющий гипотезу H0j., когда

S+EU > h(SEli) и одновременно S+2i > h(SE2i). (2)

Этот критерий может быть представлен также в виде (см. [4])

SEi - Sq > 2h(S°Eqi) + SEqi - mv, q = 1,2. (2*)

Критерий (1) эквивалентен частному случаю критерия (2), когда h(t) - линейная убывающая функция вида 2h(t) = C-1, t = 0,1,...,mv, а значит, эквивалентен и критерию

S+Egi - Sq > C - mv, q = 1,2,

где C - число, входящее в критерий (1). Таким образом, критерий (1) эквивалентен критерию, основанному лишь на разности двух статистик без учета дополнительной статистики S°qi, q = 1,2. Следовательно, мощность его может

быть меньше мощности критерия (2)-(2*).

Для проверки общей гипотезы H0 против альтернативы H образуем ста-

N N

тистики вида S+=SHS+Eqi > h(S°Eqi),q = 1,2}, S" = £ 1 {Sq > h(S°Eqi),q = 1,2},

i=1 i-1

S0 = N - S+ -S-.

Среди всех критериев, основанных на последних статистиках, существует равномерно наиболее мощный. Он отклоняет гипотезу H0 в пользу H (объект

присутствует) S +> g(S0), здесь g = g(z) - наименьшее целое положительное число g такое, что

N-z f N - z Л

S N Z 2-(N-z) <a, (3)

i=g+1

v i у

где а - приемлемый уровень значимости критерия. Если левая часть (3) окажется слишком малой, то, возможно, следует заменить уровень значимости а на большее значение.

Работа выполнена частично при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 16-07-00066) и Программы Ь33П фундаментальных исследований Президиума РАН (проект № 0315-2015-0012).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Whitney D. R. A bivariate extension of the statistic // Ann. Math. Stat. - 1951. - 22. N 2. -P. 274-282.

2. Кендалл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. - М. : Наука, 1973. - 899 с.

3. Салов Г. И. О мощности одного нового статистического критерия и двухвыборочно-го критерия Вилкоксона // Автометрия. - 2014. - 50. N 1. - С. 44-59.

4. Салов Г. И. Новый непараметрический статистический критерий для задач с тремя выборками, частный случай которого эквивалентен критерию Уитни // Сибирский журнал вычислительной математики. - 2014. - 17. N 4. - С. 389-397.

5. Салов Г. И. Новый непараметрический статистический критерий для задач с тремя выборками, более эффективный, чем критерий Уитни // Автометрия. - 2015. - 51. N 2. - С. 11-22.

© В. П. Пяткин, Г. И. Салов, 2017

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.