CC BY
45
УДК 004.42
€>Г. В. Попков
К ВОПРОСУ СТРУКТУРНОЙ НАДЕЖНОСТИ В МОБИЛЬНЫХ СЕТЯХ В УСЛОВИЯХ РАЗРУШАЮЩИХ ИНФОРМАЦИОННЫХ
ВОЗДЕЙСТВИЙ
В статье рассматриваются некоторые вопросы исследования и проектирования структур сетей мобильной связи в случае возникновения чрезвычайных ситуаций. Предлагается исследовать задачи, возникающие при анализе и синтезе сетей связи, связанные с применением методов теории графов, теории гиперсетей и других теорий описывающих взаимодействие различных структур. В статье рассматривается задача поиска максимального s-t потока в нестационарной гиперсети, задача поиска кратчайших по задержке простых v-цепей в нестационарной гиперсети.
Ключевые слова: Сети электросвязи, сети мобильной связи, теория графов, надёжность и живучесть сетей связи.
О G.V. Popkov
THE QUESTION OF STRUCTURAL RELIABILITY IN MOBILE NETWORKS UNDER DESTROYS INFORMATIONAL INFLUENCE
This article discusses some of the issues of research and design structures of mobile networks in case of emergency. It is proposed to investigate the problems arising in the analysis and synthesis of communications networks, related to the use of methods of graph theory, theory and other theories hypernetwork describing the interaction of different structures. The article deals with the task of finding the maximum st flow in the non-stationary hypernetwork, the task of finding the shortest delay of simple v-chains in the non-stationary hypernetwork.
Keywords: Telecommunication network, mobile network, graph theory, reliability and survivability of communication networks.
Введение
Хорошо известно, что структурная надежность сетей связи связана прежде всего с заданными критериями живучести и соответствующими структурными и временными показателями этих сетей [1]. Во-вторых, те и другие (критерии и показатели) существенно зависят от типа сетей связи и их назначения. Отсюда следует, что само понятие живучесть и ее составляющая часть, структурная надежность для каждого типа сети связи, должно определяться согласно виду и назначению данной сети. Кроме того, классификация атак на сеть [2], также накладывает свой отпечаток на задачи анализа структурной надежности сетей связи. В данной статье
рассматриваются две задачи анализа структурной надежности мобильных сетей передачи данных в которых анализируется состояние двух мобильных корреспондирующих пар х и у при условии вывода из строя базовых станций сети радиосвязи.
1. Постановка задачи
Предположим, что базовая сеть мобильной связи представляет собой граф С(Х.Я). в котором вершинам соответствуют базовые станции сети, а ребрам линии связи. Пусть, также существует пара абонентов, которые потенциально могут быть связанными с любой базовой станцией по соответствующему радио-каналу. Другими словами сеть мобильной связи можно представить в виде нестационарной гиперсети [3] в которой первичная сеть состоит из графа базовой сети и гиперребер добавляемых ко всем вершинам графа. Вершине ъ инцидентно п{т) различных гиперребер, если и только если, соответствующая базовая станция может работать на п(г) радио-каналах. Таким образом, первичная сеть гиперсети задается гиперграфом. Здесь мы будем предполагать, что станции работающие с нашими абонентами не «мешают» друг другу. Очевидно, что вершины х и у будут инцидентны всем добавляемым гиперребрам. Таким образом, абонент потенциально может работать с любой станцией и по любому каналу. Если, это не так, то в модели легко предусмотреть любую конфигурацию. Очевидно, что вторичная сеть гиперсети задается мультигра-фом в котором из каждой вершин х и у выходит п{т) ребер в вершину ъ проходящих по соответствующим гиперребрам гиперсети. На рис. 1 приведен пример такой гиперсети.
Здесь нестационарность определяется уже тем, что абоненты вторичной сети передвигаясь по местности переходят в зону действия очередных базовых станций. Поэтому, зная маршрут абонента можно легко составить расписание работы линий связи вторичной сети. Кроме того, задержки в каналах и станциях первичной сети показывают временную зависимость прохождения информации по мобильной сети.
Проблема усложняется еще тем, что базовые станции могут быть выведены из строя различными способами. Например: физическое уничтожение, включение широкополосной помехи, вывод некоторых каналов из строя узкополосной радио-помехой. Кроме того, современные сети мобильной связи могут быть атакованы разрушающими информационными воздействиями (РИВ). С точки зрения физического уничтожения можно предположить, что противнику известна структура сети и поэтому он будет пытаться нанести удар по узкому месту, т.е. нанести мобильной сети связи максимальный урон при минимальных затратах. Следовательно, мы можем рассмотреть возможные варианты воздействия на сеть и при этом вычислять такие важные показатели, как пропускная способность, так и время задержки пакетов или сообщений в сети. Рассмотрим математическую модель такой сети и соответствующие задачи вычисления существенных параметров сети.
2. Основные определения
Определение: Нестационарная гиперсетъ S(t)=(X, V, R) включает следующие объекты [3]:
X = (хь ... ,х„) - множество вершин; V = (vj,... ,Vg) - множество ветвей; R = (гь... ,гт1) - множество ребер; Vxi еХ сопоставлена /й>0 емкость вершины (буфер) и fl, если вершина i работает в момент t
^1 [О, иначе
VvjeV сопоставлена a/t)>0 функция пропускной способности ветви;
Vi'i,. eR сопоставлена <5//1)>0 функция пропускной способности ребра.
Определение: [3] Поток по ребру /'¿(из xi в xj) есть функция Л : [О, Г] —» R+
J k L J со следующими ограничениями:
V t>0, V rk <eR fk (t) < 8k (t) uVv} eF X /*(0W>
Пусть поток идет из вершины xi в хп, тогда на поток налагается условие:
Vi>0 Vx^XH^xJ ^ т- Е /,(!)<> Д
Vrt=(--.0 Vrp=(i,...) ф
3. Задача поиска максимального (s-t) потока в нестационарной
гиперсети
В данном разделе будут показаны две модели сведения нестационарной гиперсети к гиперсети, позволяющие решать различные задачи теории нестационарных гиперсетей.
В частности, такой задачей является поиск максимального потока, который в свою очередь является интегральным показателем структурной надежности мобильных сетей электросвязи.
Постановка задачи: Найти максимальный поток из вершины xi в
хп
(р = шах £/(/■*)
в нестационарной гиперсети S(t) за интервал времени [0,Т].
Упрощение: Разобьем интервал времени на m частей. В каждый отрезок времени [tp, tp+1] будем считать, что гиперсеть S(t) в каждом таком интервале является стационарной с параметрами:
VVj е V := j a}.(t)df, Mrk е R ôk := j ôk(t)dt.
Модель 4.1:
В каждый момент времени поток есть сумма трех потоков:
1)Максимальный поток из вершины Х1В хп,
2)Максимальный поток из всех вершин (кроме Х1) в хп (открытие буферов);
3)Максимальный поток из Х1 во все вершины (кроме хп) (заполнение буферов).
Очевидно, описанный выше поток меньше или равен максимального (х!-хп)потока в гиперсети 8(0.
Модель 4.2:
Определим гиперсеть С=(У, II, Р) с множеством вершин У ХхТ. (х,. Ь)еУ (рис.1)
4
О
3
О
2
Рис 1. на рисунке показаны только вершины и ребра гиперсетей S(t) и G соответственно
Из вершины fc, IfJ в (x:r i/J идет ветвь nceU тогда и только тогда, когда:
a) i=j и 1=к+1;
b) и к=1.
Для дуг типа а) определим вес
с 2 /Ч 2 j ■ Л
у 4 у , если 1=1
или 1=п,то ас=со.
Для остальных ветвей веса задаются выражением: ¿с=(Ч+1 - )«
Множество ребер Р задается аналогично ветвям, только вместо функции ас(() участвует 8,.(!).
Утверждение:
Если функции а(0, [50), 8(0 кусочно-постоянные, то поток (хгхп) в гиперсети за интервал времени Т=@¡,..., !„,) равен потоку в гиперсети С из вершины (хь ^ в (хп, ^ [3].
4. Задача поиска кратчайших по задержке простых у-цепей в нестационарной гиперсети
Определим функции задержки:
УгкеК сопоставлена тк(0>О задержка в ребра (зависит от задержки в каждой внутренней вершине ребра, плюс задержка в каждой ветви через которое проходит ребро).
Определение: Маршрут (х0,гьхь... ,гк,х^ в гиперсети 8 называется V-цепъю, если каждая ветвь используется не более одного раза [3].
Постановка задачи: Для заданной пары вершин х и у, найти кратчайшую по задержке у-цепь в нестационарной гиперсети С.
Модель 5.1:
В случае, если задержки целочисленные, построим гиперсеть (/ (У. и, Р) со множеством вершин У ХхТ. (х„ !к) еУ. Множество ребер Р строится по схеме из [4]. Множество ветвей 11 состоит из множества V, через каждую ветвь которого проходят не только соответствующие ребра из Я, но и их копии во все моменты времени. Для ребер, соответствующих ожиданию в вершине, сопоставлены идентичные им ветви из и. Данное сведение объектов позволяет решать практически все задачи на гиперсетях связанных с потоковыми и метрическими характеристиками, которые в свою очередь зависят от времени.
Утверждение: Кратчайшая по задержке у-цепь из х; в х„ в нестационарной гиперсети 8(0 совпадает с кратчайшей у-цепью в гиперсети С из (хь (0) в слой хп.
Модель 5.2:
Пусть задержки в гиперсети нецелочисленные. Для простоты будем считать, что в задаче поиска у-цепей накладывается еще одно условие: запрет на прохождение цепи одной вершины более одного раза, т.е. требуется найти простую цепь [3], кратчайшую по задержке.
Построим гиперсеть (/ (У. II,Р).
Множества ребер Р и вершин Г представляют собой дерево: вершина У/ соответствует Х/1 количество потомков у корня У/ равно количеству исходящих дуг Хг в момент времени 1=0, веса дуг исходящих из _У/ равны т¡/О) для соответствующих к. Пусть в 8(0) вершина X/ соединена с вершиной Х2 ребром Г/ с задержкой т^О), а момент времени Тг(0) вершина х2 с х3 ребром г2 .Тогда из вершины дерева у2 исходит дуга весом т2(?1(0)), и т.д. Дерево строится с учетом, чтобы по любой цепочке из корня в соответствующем 8 не было повторяющихся вершин. На рисунке 2 показан пример построения дерева в. Безусловно, такое построение трудоемко и для ограничений дерева можно применить метод ветвей и границ, который не будет образовывать потомков, если суммарная задержка уже превосходит некоторую величину.
Что касается построения множества ветвей и, то оно аналогично построению в предыдущей модели.
Утверждение: Кратчайшая простая цепь (по величине задержки) в гиперсети в больше или равна задержке кратчайшей простой цепи в 8(1).
Аналогичную модель можно построить и для у-цепей.
Рис. 2. Построение дерева О Заключение
Для ряда задач на нестационарных гиперсетях применимы методы сведения их к стационарным, что позволяет получить решения. Причем эти решения отражают временную динамику изменения пропускных способностей, задержек (т.е. свойства, присущие реальным информационным сетям).
Таким образом, очевидно, что с помощью нестационарных гиперсетей можно исследовать различные структурные характеристики мобильных сетей передачи данных. Очевидно, что с помощью предло-
женных моделей можно не только анализировать показатели сети, но всевозможные варианты атак на сеть мобильной связи. В самом деле, функции параметров элементов гиперсети могут быть любыми (с одним лишь условием, эти функции должны быть кусочно-постоянными). Но тогда, модели разрушений могут вполне моделироваться этими функциями.
Литература
1. Попков В. К. Математические модели живучести сетей связи - Новосибирск: ВЦ СОРАН, 1990. - 233 с.
2. Дудник Б.Я., Овчаренко В.Ф., Орлов В.К. и др. Надёжность и живучесть системы связи - М.: Радио и связь, 1984.
3. Попков В.К. «Математические модели связности. Часть 2-я» Новосибирск: ИВМ и МГ СО РАН, 2001.- 180 с.
4. Lisa Fleischer, Martin Skutella "Quickest Flows Over Time" http://www.andrew.cmu.edu/user/lkf/papers/FS-journal.pdf
5. Величко В. В., Попков Г. В., Попков В. К. Модели и методы повышения живучести современных систем связи. - М.: Горячая линия -Телеком, 2014.-270 с.
References
1. Popkov V. К. Matematicheskie modeli zhivuchesti setej svjazi - Novosibirsk: VC SORAN, 1990. - 233 p.
2. Dudnik B.Ja., Ovcharenko V.F., Orlov V.K. i dr. Nadjozhnost' i zhivu-chest' sistemy svjazi - M.: Radio i svjaz', 1984.
3. Popkov V.K. «Matematicheskie modeli svjaznosti. Chast' 2-ja» Novosibirsk: IVM i MG SO RAN, 2001.- 180 p.
4. Lisa Fleischer, Martin Skutella "Quickest Flows Over Time" http://www.andrew.cmu.edu/user/lkf/papers/FS-journal.pdf
5. Velichko V. V., Popkov G. V., Popkov V. K. Modeli i metody po-vyshenija zhivuchesti sovremennyh sistem svjazi. - M.: Goijachaja linija -Telekom, 2014. -270 p.
Попков Глеб Владимирович, кандидат технических наук, старший научный сотрудник Института вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, e-mail: [email protected]
Popkov Gleb Vladimirovich, PhD, Senior Researcher, Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics, SB RAS, e-mail: [email protected]
