CC BY
38
Инструкция пользователя для решения задач на ПВМ
Вносить информацию следует поэтапно, выполняя следующие действия:
Шаг 1. Запустить программу Excel.
Шаг 2.. Заполнить ячейку «Издержки выполнения заказа (Со), y.e. за ед.», используя данные, согласно выбранному варианту.
Шаг 3. Заполнить ячейку «Количество реализованного товара за год (S), ед.», используя данные согласно выбранному варианту.
Шаг 4. Заполнить ячейку «Закупочная цена единицы товара (Cu), y.e.», используя данные согласно выбранному варианту.
Шаг 5. Заполнить ячейку «Издержки хранения (i)», используя данные согласно выбранному варианту. Шаг 6. Заполнить ячейку «Среднесуточное потребление (Sd), ед.», используя данные согласно выбранному варианту.
Шаг 7. Заполнить ячейку «Время доставки (L), сут.», используя данные согласно выбранному варианту. Шаг 8. Заполнить ячейку «Размер производимой партии (p), ед.», используя данные согласно выбранному варианту.
Шаг 9. Заполнить ячейку «Издержки, или штрафные потери, обусловленные дефицитом (h)», используя данные согласно выбранному варианту.
Шаг 10. Заполнить ячейку «Рабочие дни предприятия (Др)», используя данные согласно выбранному варианту.
Шаг 11. Заполнить ячейку «Страховой запас (В), ед.», используя данные согласно выбранному варианту. Шаг 12. Нажать кнопку «Enter».
Литература
1. Григорьев М.Н. Управление запасами в логистике: методы, модели, информационные технологии. -
М.: Бизнес-Пресса, 2006.
2. Минько А.А. Функции в Ехе1. Справочник пользователя. - М.: Эксмо, 2007. - 512 с.
3. Логистика: тренинг и практикум: учеб. пособие / Б.А. Аникин [и др.]; под ред. Б.А. Аникина, Т.А. Родки-
ной. - М.: Проспект, 2009. - 324 с.
УДК 519.237 С.В. Ушанов
К ВОПРОСУ ПОСТРОЕН ИЯ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ОБЛАСТ ЕЙ ИЗМ ЕНЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ЛИНЕЙНЫХ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ
В статье представлены результаты решения задачи расчета доверительных областей изменения коэффициентов линейных моделей, удовлетворяющих условиям Гаусса-Маркова. Приведен пример расчета доверительной области.
Ключевые слова: линейные регрессионные модели, доверительная область изменения коэффициентов, матричные методы.
S.V. Ushanov
TO THE ISSUE OF CONSTRUCTION OF THE CONFIDENCE REGIONS OF LINEAR REGRESSION MODEL INDEX CHANGE
The solution results for the problem of calculation of the confidence regions of linear model index change, meeting the Gauss-Markov conditions are given in the article. The example of confidence region calculation is given.
Key words: linear regression models, index change confidence region, matrix methods.
При решении многих практических задач возникает необходимость определения не только оптимальных в некотором смысле значений коэффициентов моделей, но и расчета доверительных областей их изменения. Так, если нулевые значения некоторых коэффициентов принадлежат доверительной области, то соответствующие коэффициенты могут быть исключены, а сама модель упрощена.
Одной из практически важных задач обработки данных является задача анализа моделей линейной множественной регрессии [1]:
У = У(х)+е, У(х) = х х а, (1)
где X - (х^1хК ; Х1 = 1; хj, j = 2,К, значения\А регрессора; У, У(х) - наблюдаемое и раст
считанное значение выходной величины; а =(а^,...,ак) - вектор коэффициентов уравнения регрессии; в - случайная величина (помеха); К - число коэффициентов модели. В дальнейшем предполагается, что для (1) выполняются условия Гаусса-Маркова [1].
Пусть объем выборочных данных равен п. Обозначим: 1 = 1,11 - номер эксперимента;
Х = (ху)пхК - значение переменных х в ¡-м эксперименте; Уфт = (¥ф1,...,¥фп), У(Х)Т - экспериментальные и расчетные значения выходной величины.
Оценка коэффициентов уравнения регрессии (1) определяется методом наименьших квадратов путем минимизации функции
Ф(а) = е хе—>тт, (2)
а
где е = Уф — У(Х) -ошибки уравнения регрессии.
Решение задачи (1) - (2) определяется матричным уравнением:
а = А"1хВ=^ТхХ> х х Уф , (3)
где
А = (ХТ х X), В = (ХТ х Уф). (4)
Доверительная область изменения коэффициентов модели определяется критерием Фишера [1]:
- 8ал(а)
Р (а) = -^----<Р(а,К,п-К), (5)
°ост
1 ~ 1 с2 /“ч ^ост^(а)хп-8 х(п-К) ^ -
где Ь&д(а) =----------------—---------------; 8^ст^(а) - остаточная дисперсия проверяе-
- о 2 _ Ф(а)
МЫХ коэффициентов а С ЧИСЛОМ степеней свободы п; йост — - остаточная дисперсия модели для
П - К
оптимальных значений коэффициентов а.
При расчете доверительных областей можно учитывать дополнительные ограничения на изменения коэффициентов модели и прогнозируемой величины, обусловленные физическими и техникоэкономическими условиями. В этом случае доверительная область соответствует коэффициентам модели, которые удовлетворяют не только условиям точности модели, но и заданным физическим и техникоэкономическим ограничениям процесса [3-4].
Наиболее часто при практических расчетах встречается задача определения доверительной области для двух выбранных параметров а^ и ak2. В этом случае результат решения допускает наглядное графическое представление.
Для линейных Гаусс-Марковских моделей из (5) следует, что доверительная область изменения коэффициентов при доверительной вероятности (1-а) определяется условиями (6):
Т2 (а) < Т2 (1 - а, р, N - р), (6)
2_ - Т—1_ 1_ т -
где Т (а) = (а - а) Б (а — а) = ——(а —а)(Х Х)(а —а) - расчетное значение
А
критерия ■2
ост
проверяемых
Хотеллинга для вектора проверяемых коэффициентов модели а; (1 - а, К, п - К) = К хР(а,К,п —К) - критическое значение критерия Хотеллинга; ковариационная матрица векторной оценки а.
^ост^Г1
Доверительная область изменения коэффициентов модели а ограничена поверхностью Т2(а) = Т2(\-а,К,п- К), представляющей эллипсоид в К-мерном пространстве [1].
Расчет доверительной области изменения коэффициентов линейной модели. Достаточно часто возникает задача, когда некоторые из коэффициентов модели фиксированы на определенном уровне, и требуется построить доверительную область изменения остальных коэффициентов. Сгруппируем коэффициенты в двух блоках: A1 - блок изменяемых коэффициентов; A2 - блок фиксированных коэффициентов. После соответствующего упорядочения коэффициентов получим:
Мх л
а =
\Л2J
, х=^ х21,У(х) = х а=^
т
X
А
т т
= хх А1 + х2 А2, (7)
к2
тогда
Да =
АЛ!
ЧЛЛ2У
с= ^тх
Сц
Ст
ЧС12
С ^
С12
С
. Е =
22/
Е
0
11 •
0
Е
22
Предельные изменения коэффициентов первого блока линейной модели в доверительной области их изменения определяются решением следующей оптимизационной задачи:
АА/ х Е^
ДА
2)
С
11
уС,2Т С22;
ех!г,
1
ДА
2 У
- Ткр х 8
ОСТ'
(8)
(9)
где Е^15, -¡-й столбец единичной матрицы Ец. Решение задачи (8)-(9):
Ащах - А + АА, Атт - А - АА, ДА^ — С} } X ^ X + С\2 Х АД2 ,
где
и =±
О^ДЛ2>
Т7 <а>Т^-1^ <1> Е11 С11Е11
(10)
2
0(АА2) = 82осгТ - ЛА2т(С22 -С1т2Сп1С12)АА2
(11)
При доверительной вероятности (1 - П) изменение П 2 будет удовлетворять условию С(М2) ^ 0, откуда
^^2(^22 С12СПС12)ДА2 ^Ткр х80Ст.
(12)
Пример расчета доверительной области. Рассмотрим применение рассмотренных выше методик на примере расчета доверительной области линейной регрессионной модели, построенной по экспериментальным данным Т.Г. Токаревой [2] о результатах измерения веса хвои ели европейской в различных зонах дегрессии.
Анализируемая регрессионная модель имеет вид:
¥ = а0+а1хх1+а2хх2+8, (13)
где Y - сухая масса хвои ели европейской в различных зонах дигрессии насаждений;
т
х = (1, Я, 1;) - аргументы регрессионного уравнения; Р - расстояние до очага загрязнения; I - возраст
т
хвои; а = (а0,..., а2)-коэффициенты уравнения регрессии; в - случайная величина (помеха).
Определение коэффициентов модели. Расчет коэффициентов модели (13) проводим матричным методом наименьших квадратов по уравнениям (3)-(4):
п = 20, К = 3, £оот = п-к = 17,с=^
т
20 566 50'
566 24261 1415
у 50 1415 150у
9,2
296,6
24,05
, Сс = =
0,3972 - 0,0034 - 0,1000
-0,0034 0,0001 0,0000
ч-0,1000 0,0000 0,0400 ,
( 0,2283
= Ох XTYф^
0,0044
0,0427
ч 7 /
Расчет доверительной области проводим по (6) при уровне значимости а = 0,05 и числе степеней свободы дисперсии адекватности = К = 3:
Аа1
20 566
566 24261
50 1415
ад 50Л
Аа < £осиг2 х Т(а,/ад,/ост) = 0,0020 х 9,590 = 0,0192,
где Да = а — а; а, а - проверяемые и оптимальные значения коэффициентов, Т(1 — а, íгд, ^ст ) = íгд х Б(а, íгд, ^ст ) = 3 х 3,197 = 9,591 - критическое значение критерия Хотеллинга.
Определение доверительной области изменения коэффициентов э0 и э1 при заданном значении а2 = 0,05. Расчет доверительной области проводим по (10)—(11) при уровне значимости а = 0,05.
ЭОтах — ап + Дап , ЭОтт — ап - Дап , 3"!тах — 3. + Да. , 31 ^¡п — 3. - ДЭ. ,
0 Отах' ... О Отах ' 1 1тах' ....... 1 1тах '
Cii —
20 566
v566 24261у
' С12 =С21
т
50 ^ ^ -і ( 0,147 - 0,003 л
v1415
ч- 0,003 0,0001у
Eli =
1 0
v0 1,
, Е22 =1, С99 =150,
22
ЛЛ1 =
ra0- 0,22 83л
v
Va1 — 0,0044 тимой области (G > 0)), Uj =
, ДА2 = а2 — а2 = 0,0073 , G = 0,01809 (а2 = 0,05 принадлежит допус-
= 0,351
G
TZ’ <1>Т /^-ІТ7<1> Ьц Unbn
G
Р<2>1 1р<2
-^И ^-'11-С/11
=12,212,
Ґ дя N
aa0max
Aa
= Ç С!"! X х U + С12 х АЛ
1 y
0
0,0699
v-0,0012y
, Aa
Omax
= 0,0699,
До
V 1max /
(Сц X En XU2+C12XAA
-0,02358 v 0,00 1 48 1
■ Aalnmx = 0,00148
Предельные значения коэффициентов в 95% доверительной области при заданном значении коэффициента а = 0,05 представлены в таблице.
Предельные значения коэффициентов в 95% доверительной области их изменения при заданном значении коэффициента а2 = 0,05
2
2
Коэффициент модели (13) Да0тах Даїтах
Min Мах Min тах
A а0 0,1584 0,2982 0,2519 0,2047
а1 0,0056 0,0032 0,0029 0,0059
а2 0,050 0,050 0,050 0,050
Построим доверительную область изменения коэффициента а0 при заданных значениях а1 {ai G limjn^imax J и а2 = ^05 (табл.). Расчет доверительной области проводим по (11)—(12) при уровне значимости а = 0,05:
(24261 1415Л
Сп = 20, С12 =(566 50), Сп =0,05, Еп =1, С22 =
E22 -
1 0 0 1
, Даі = [-0,00147; 0,00147],
аа2 =
fax- 0,0044 0,0073
1 415 150
v " ■
Л Aa, Л
v0,0073
G = SàcxTK„ -ДА^(С22 -С?2СГ,‘С|2)АА2, U,
1
^»„¡„ХС-.'х^хи.+С^хДА
G
Т}<1>ТГ-1^<1> '
o^Xü'xÉn^U.-CnXAA, нижняя граница ДО: аПт.п = 0,2283 + Да, верхняя граница ДО:
0min
а = 0,2283 + Да
0max ’ 0max ■
Результаты расчетов 95%-й доверительной области изменения коэффициентов а0 и a при a = 0,05
представлены на рисунке.
0,0060 0.0055 0.0050 0,0045 0.0040 0.0035 0,0030 0,0025
0,15 0,17 0,19 0,21 0,23 0,25 0,27
а*
95%-я доверительная область изменения коэффициентов а0 и a при а2 = 0,05
Литература
1. Болч Б., Дж. Хуань К. Многомерные статистические методы для экономики. - М.: Статистика, 1979. -317 с.
2. Токарева Т.Г. Экологическая оценка техногенного воздействия на еловые леса Кольского полуострова: автореф. дис. ... канд. биол. наук. - М., 1992. - 20 с.
3. Ушанов С.В. Применение многомерных статистических методов при принятии решений. - Красноярск: СибГТУ, 2003. - 239 с.
4. Ушанов С.В. К вопросу построения и анализа доверительных областей изменения коэффициентов линейных регрессионных моделей // Лесоэксплуатация: межвуз. сб. науч. тр. - Красноярск: СибГТУ, 2004. - Вып. 5. - С. 142-150.
---------♦'----------
