К вопросу построения анализаторов «Спектра» Уолша Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ ТОМСКОГО ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА им. С. М. КИРОВА

Том 246 1974

К ВОПРОСУ ПОСТРОЕНИЯ АНАЛИЗАТОРОВ «СПЕКТРА» УОЛША

Б. Н. ЕПИФАНЦЕВ, Ю. П. ЗАБАШТА

(Представлена кафедрой вычислительной техники)

Идея представления сигнала любой формы суммой элементарных функций реализуется преобразованием Фурье. С помощью вычислительной машины и специальных устройств, согласующих параметры источника сигнала с машиной, процесс проведения указанного преобразования можно автоматизировать в большом диапазоне реальных условий, и весь вопрос состоит в том, чтобы оценить эффективность подобной процедуры.

Действительно, из условий

00

/(f) — cit -!- V (ак cos KH>xt -f bH sin агсо,/), (1)

л = 1

7V2

ак = у \ _/*(/")* с о s я* о> (t dt, (2)

Т 2

K^Y \ f(i)-s\nK,Htdt (3)

«

- Ti

для получения амплитудно-частотного спектра

ск 1 а:к — Ь'к

мы должны просинтезировать сигналы соэлоз,/, этячп,^ которые затем умножаются на /(О; полученные произведения усредняются на интервале [— Т 2\ Т 2].

Время вычисления стандартных функций, например,

$1П К&Л КыЛ--—1--Ь --—----1--Г ' * '

3! 5! 7!

зависит от количества членов ряда, так же, как от числа разбиений периода функции ш (1, 2,..., ... ,т).

Может оказаться, что при вычислении (2) и (3) при заданной точности | затраты времени превысят допустимые, определяемые условиями задачи. В то же время фактор стоимости машинного времени, как и фактор дополнительных затрат на согласование источника сигнала с машиной и машины с потребителем в значительной степени сужают область рационального применения ЭВМ для анализа

сигналов. Поэтому задача разработки специализированных устройств для автоматизации проведения преобразования Фурье для различных классов ортогональных полных систем функций по-прежнему остается актуальной.

К настоящему времени в определенной степени имеет законченный вид теория преобразователей, переводящих исходное пространство функций в пространство коэффициентов основной тригонометрической системы функций, основанная на идее использования явления резонанса.

Что же касается аппаратурной реализации преобразования Фурье в классе других ортогональных систем, здесь существует большое число нерешенных вопросов. Одним из них является отсутствие технических разработок анализаторов «спектра» Уолша, на что, кстати, указано в [ 1]. Цель данной работы — устранить этот пробел.

Функциями Уолша [2] называются произведения вида (рис. 1)

Ц-Щ-ГЬ

Wlit).*,*) WfUj-fytl

где

IVv<t)*X,(t) fi2it)

о¡—i п П Г' * lW>

~ | j И*$(t)

I - и(t)

L I I L 1 г9 /' г' г3

S 7 f

Р 71

Рис. 1. Графики функций Уолша

И"■ •«Лх» = (*) • Я«Д *) • - Я« Л *) *

(4)

(5)

О < п{ < п, < • •. <Х, Rn (х) — sign sin 2-х — функции Радемахера. Система (4) ортогональна, нормирована и полна на [0,1]. Функции Уолша определены на 0,1, однако нетрудно свести к рассматриваемому случай задания функции на произвольном интервале [а, Ь].

Примечательным свойством функций Уолша является то, что они принимают только значения ± 1 и легко определяются по двоичному разложению аргумента х.

Согласно теореме Дирихле практически все встречающиеся в^ радиотехнике сигналы могут быть представлены рядом

(6)

где

Поскольку (¿) — ± 1, и заменяя процесс интегрирования суммированием в первом случае (7), соотношение (6) можно представить в виде

^ =2/(0-^(0 (7)

¿г

или

1 гиг

где

—участки интервала [0,1], на которых произведение /(0 • УРк (¿) имеет знак «плюс», а г —то же, но знак «минус».

Выражения (7) и (8) могут быть положены в основу аппаратурной реализации получения коэффициентов спектра Уолша (соответственно дискретный и аналоговый варианты анализатора).

Для (7) процесс интегрирования сводится к суммированию (вычитанию) отдельных значений исследуемой функции /(¿). Выражение (7) удобно реализуется, если /(0 с помощью преобразователя аналог-код представить в цифровой форме в виде последовательности импульсов, число которых пропорционально значению функции / (¿), а в качестве интегратора использовать реверсивный счетчик, управляемый соответствующей функцией Уолша.

На рис. 2 а приведена функциональная схема дискретного варианта анализатора спектра Уолша последовательного действия.

Рис. 2а. Блок-схем'а анализатора. Дискретный вариант

Исследуемый сигнал /(() поступает на вход преобразователя аналог-код, с выхода которого последовательность импульсов подается на счетный вход реверсивного счетчика.

Реверсивный счетчик представляет собой устройство из цепочки триггеров (Тр\—Тр п ), соединенных между собой последовательно через вентильные схемы Вх—В п 9 В/—В'п и схемы сборки Сбх—Сб п. Счетчик имеет три входа: один счетный и два для указания арифметического действия суммирования или вычитания.

Знак действия соответствует знаку функции Уолша. Генерируемая к-я функция Уолша поступает на триггер знака действия, который управляет работой вентильных схем, обеспечивающих заданный режим счетчика.

Коэффициент разложения определяется как окончательный результат вычислений и может быть выведен на печать или индикатор.

Путем последовательного подключения соответствующих функций Уолша (№о—УРп) нетрудно определить все коэффициенты разложения (а0 — ал).

Анализатор может быть использован и как устройство параллельного действия, в этом случае необходимо иметь п реверсивных счетчиков по числу коэффициентов разложения. Функциональная схема аналогового варианта анализатора представлена на рис. 2 6.

Исследуемая функция ¡(1) и ее инверсия ](1) подаются на ключи Кл. 1—/Сл. 4, управляемые соответствующей прямой (0 и инверсной

Рис. 26. Аналоговый вариант

(О Функциями Уолша таким образом, что при положительном знаке произведения • (¿) через схему суммирования (2) подклю-

е

чается интегратор положительных значений (инт. «+») при отрицательном знаке произведения подключается интегратор отрицательных значений (инт. «—»).

Схема разности, подключенная к выходам интеграторов, определяет значение коэффициента ¿ь- разложения исследуемого сигнала ¡(() по системе ортогональных функций Уолша

Так же, как и в предыдущем варианте, анализатор может быть использован как устройство параллельного действия.

В статье не рассмотрены вопросы точности представления /(/)» быстродействия анализаторов, их сравнительные характеристики, поскольку они всецело определяются непосредственно конкретной задачей анализа.

ЛИТЕРАТУРА

1. К- Г. К и р ь я в о в. Новый алгоритм вычисления функции взаимной корреляции и построения простых коррелометров многомерных случайных процессов. Вопросы радиоэлектроники, серия РТ, вып. 4, стр. 57—71, 1967.

2. Б. Т. П о л я к, Ю. А. Ш рейдер. Применение полиномов Уолша в приближенных вычислениях. Вопросы теории математических машин, № 2, 1962.