CC BY
11
Разработанные состав и структура нормативно-методического комплекса позволяют выявить набор требований, регламентирующих различные аспекты деятельности по процессу создания ПАС, что обеспечивает полную проработку всех составляющих этих процессов, уменьшает количество ошибок, сокращает сроки их выполнения за счет четкого распределения работ на каждой фазе ЖЦ АС.
(Данная статья подготовлена в рамках выполнения инициативного проекта №12-07-00185 «Исследование и обоснование научно-методического обеспечения процессов создания, функционирования и развития прикладных автоматизированных систем на основе методологии автоматизации интеллектуального труда» по гранту РФФИ).
Список литературы:
1. Волкова Г.Д. Развитие методологии автоматизации интеллектуального труда как теоретической основы создания прикладных автоматизированных систем // Информационные технологии и вычислительные системы. 2006. № 1. С. 105-117;
2. Волкова Г.Д., Григорьев О.Г., Новоселова О.В., Григорьева Л.В., Тюрбеева Т.Б. Проблематика нормативного обеспечения процессов создания и развития прикладных автоматизированных систем // Materialy IX mezinarodni vedecko - prakticka conference «Veda a vznik - 2012/2013». - Dil 33. Moderni informacni technologie: Praha. Publishing House «Education and Science» s.r.o , 2013. С.12-16;
3. Тюрбеева Т.Б., Волкова Г.Д., Григорьев О.Г. Анализ и моделирование процесса создания прикладных автоматизированных систем на основе применяемых решений // Вестник МГТУ «СТАНКИН». Научный рецензируемый журнал. М.: МГТУ «СТАНКИН» - июнь 2013, № 2 (25), С. 91-95;
4. Тюрбеева Т.Б., Волкова Г.Д., Григорьев О.Г. Формальное описание интегрального представления процессов создания, функционирования и развития прикладных автоматизированных систем на основе применяемых решений // Вестник МГТУ «СТАНКИН». Научный рецензируемый журнал. М.: МГТУ «СТАНКИН». 2014. №1(28). С.98-101.
К ВОПРОСУ ОЦЕНКИ ПОВЕДЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Перед нами стоит задача выяснить свойства решений дифференциального уравнения, не решая его. В этом случае обобщением системы дифференциальных уравнений становится динамическая система. Несмотря на отсутствие интегрирующихся уравнений, можно изучать поведение динамической системы по её выходным данным, т.е. временному ряду. Наибольший интерес представляют диссипативные динамические системы, у которых фазовый объем со временем не остается постоянным. Изменение фазового объема приводит к тому, что все решения диссипативной системы будут стягиваться к некоторому подмножеству фазового пространства (аттрактору). Динамика диссипативных систем весьма разнообразна. В системе может реализовываться либо регулярный режим движения - стационарный, периодический или квазипериодический, что соответствует простым аттракторам - стационарной точке, предельному циклу, инвариантному тору, либо хаотический режим, который характеризуется странным аттрактором. Осуществить прогнозирование следующего члена временного ряда возможно только при регулярном движении системы. Определить состояние системы можно путем вычисления различных критериев. Все характеристики можно разделить на две группы. Первая группа носит динамический характер, т.е. временную зависимость. К ней относятся корреляционная энтропия и показатели Ляпунова. Вторая группа носит геометрический характер траекторий - фрактальная, информационная и корреляционная размерности, отображение Пуанкаре.
Остапчук Александр Константинович
Канд. техн. наук, доцент, г. Курган Тютнев Александр Евгеньевич аспирант, г. Курган Кузнецова Елена Михайловна
аспирант, г. Курган
Размерность определяет количество информации, необходимое для задания координат точки, принадлежащей аттрактору, в рамках указанной точности. Существует два типа размерности: зависящий только от метрических свойств аттрактора и зависящий от статистических свойств потока, обусловленных динамикой. К первому типу относится фрактальная размерность, которая для хаотического режима является дробной величиной. Информационная и корреляционная размерности определяются с учетом вероятности посещения траекторией различных областей аттрактора. Множество значений размерностей аттрактора может рассматриваться как характеристика степени пространственной неоднородности аттракторов. Это в дальнейшем дает возможность оценки временного интервала в процессе построения функциональной зависимости. Поскольку хаос является следствием неустойчивости фазовых траекторий, то имеет смысл выяснить меру разбегания фазовых кривых, т.е. корреляционную энтропию. Её увеличение свидетельствует об увеличении беспорядка. Для систем большой размерности энтропия равна сумме положительных показателей Ляпунова. Величина корреляционной энтропии обратно пропорциональна интервалу времени, на котором можно предсказать состояние хаотической системы. Если энтропия достигает нуля, то система становится полностью предсказуемой, что характерно для регулярных процессов. Для истинно случайных процессов энтропия неограниченно велика.
Необходимую классификацию аттракторов можно произвести при помощи спектра показателей Ляпунова, характеризующих скорость разбегания фазовых траекторий. Хаотическому режиму соответствует наличие в спектре положительных показателей. Сумма показателей Ляпунова для диссипативных систем отрицательна. Если эта сумма равна нулю, то фазовый объем системы во времени не изменяется - система консервативна и аттракторов не содержит. В случае положительной суммы фазовый объем во времени нарастает. Для оценки горизонта прогноза необходимо вычислить наибольший показатель Ляпунова. Время предсказуемости системы обратно пропорционально величине наибольшего показателя.
Следует обратить внимание на дополнительные критерии, широко применяющиеся в анализе временных рядов: показатель Херста и автокорреляционную функцию. Автокорреляционная функция является достаточно эффективной характеристикой рассматриваемой системы. Если с течением времени она стремится к нулю и система не имеет устойчивых стационарных точек, то следует ожидать, что будет наблюдаться хаотический режим движения. Показатель Херста, вычисляемый с помощью фрактальной размерности, содержит минимальные предположения об изучаемой системе и может классифицировать временные ряды. Согласно диапазону показателя можно определить эргодичность ряда. Если система возрастает в предыдущем периоде, то, скорее всего, в следующем периоде начнется спад. И наоборот, если шло снижение, то вероятен близкий подъем. Такой ряд более изменчив, чем случайный ряд. Эргодичность свидетельствует о плотном покрытии поверхности ат-
трактора фазовыми траекториями. Условие эргодичности является необходимым для наступления хаоса, но не достаточным. Характерной особенностью эргодического движения является неизменность объема и формы. Иногда, перемещаясь в пространстве, объем сильно деформируется, создавая тем самым странный аттрактор (рисунок 1). Происходит своего рода перемешивание. Фазовые траектории динамической системы с перемешиванием неустойчивы по отношению к изменению начальных условий и разбегаются с течением времени, что означает непредсказуемость поведения системы. Перемешивание приводит к необратимости, но влечет за собой эргодичность.
Еще один критерий динамического хаоса основан на построении отображения Пуанкаре, которое представляет собой сечение фазовых кривых некоторой секущей поверхностью без касания. Фазовая траектория какой-либо точки поверхности сечения неоднократно пересекает поверхность в одном и том же направлении, следовательно, возникает отображение поверхности в себя. Если в сечении имеем точку, то в фазовом пространстве этому соответствует периодическое движение по предельному циклу. Множеству точек отображения Пуанкаре, плотно заполняющих определенную замкнутую кривую, соответствует движение по тору. Множество точек, нерегулярным образом заполняющие некоторые области, указывает на наличие в фазовом пространстве странного аттрактора. Минус данного критерия - это отсутствие информации о продолжительности промежутков времени пересечения и топологических свойствах фазовых траекторий.
Рисунок 1. Аттрактор
Допустим, что, применяя различные методы определения состояния системы, нам удалось определить наличие регулярного режима. Возникает необходимость, как можно дольше удерживать её в этом состоянии, т.е. изменять настройку начальных параметров системы, чтобы избежать
последовательности бифуркаций - событий, состоящих в качественном изменении характера наблюдаемого процесса. Может возникнуть обратная ситуация, когда нам потребуется вывести систему из хаоса в состояние равновесия. Совокупность таких событий, подразумевает сценарий перехода к хаосу.
Подробнее остановимся на сценарии перехода «тор-хаос», т.к. соответствующее тору квазипериодическое движение встречается крайне редко. Под действием постоянных возмущений такое движение, скорее всего, с течением времени разрушается и даёт начало хаотическому движению. Ещё Д. Рюэль и Ф. Такенс показали, что при изменении управляющего параметра после трех бифуркаций начиная со стандартного состояния, возникает квазипериодическое движение, но оно, как правило, неустойчиво, на месте разрушенного трехмерного тора появляется странный аттрактор. Каждая динамическая система задается соответствующим векторным полем. Совокупность всех возможных векторных полей образует функциональное пространство. Каждая точка этого функционального пространства отвечает одной из динамических систем, и наоборот. Если слегка возмутить векторное поле, то мы получим новую динамическую систему, векторное поле которой будет похоже на исходное, т.е. достаточно слабо пошевелить векторное поле системы, чтобы квазипериодическое движение стало хаотическим.
Удержать систему в режиме тора крайне сложно, при этом можно отыскать критическое значение параметров, которое позволит избежать наступления бифуркаций перехода к хаосу. Рассмотрим сечение Пуанкаре, построенного для тора в трехмерном фазовом пространстве. Границей области различного динамического поведения в этом случае будет замкнутая линия, в пределах которой реализуется критическая
ситуация. Если выпустить траекторию из точки хп то, оставаясь на торе, она обойдет вокруг него и пересечет поверхность в точке хп+1. Если начальное значение хп через некоторое число шагов воспроизводится с целым числом периодов, то режим считается периодическим, и ему соответствует рациональное число вращения. Квазипериодическим режимам отвечает иррациональное число вращения, определяемее как:
^ - Ш -Хп+1 Хп
2лп
(1).
Число вращения может быть представлено единственным образом в виде разложения в цепную дробь:
1
™ =-:- (2),
а0 +
1
а1 +-
1
а2 +...
где а0, а1, а2...- натуральные числа.
Самая простая бесконечная цепная дробь получается, если все элементы равны единице, т.е. имеем дело с так называемым золотым средним. Это число вращения аппроксимируется рациональным числом (подходящей дробью). Подходящие дроби для этого числа получаются как отношения последовательных чисел Фибоначчи:
w =
(3).
Теперь нужно построить модель, которая будет правильно передавать поведение системы на больших промежутках времени, т.е. построить уравнение ренормгруппы для критической точки, отвечающей иррациональному числу вращения. Идея данного метода состоит в том, чтобы рассмотреть последовательность операторов для интервалов времени, заданных последовательными знаменателями подходящих дробей. Для начала нужно построить зависящий от критического значения оператор. Далее строятся операторы, зависящие от параметров немного меньших и немного больших критического. Затем, заменяя переменные, добиваемся того, чтобы новый оператор совпадал со старым. Получаем последовательность операторов для возрастающих интервалов времени, тем самым переходим от старого к новому оператору. В критической точке получаемые операторы одинаковые, следовательно, система будет вести себя одинаково на различных промежутках времени. При выходе параметров из критической точки оператор будет перестраиваться, что позволит контролировать тот или иной режим динамической системы.
Итак, перед нами появляется принципиальная возможность предсказания поведения динамической системы в регулярном режиме. Аналитически вычислить функцию, зависящую от членов исходного временного ряда, невозможно. Но эта функция существует и можно попытаться определить её свойства по данному ряду с помощью нейросети. Это позволит вычислять следующие компоненты ряда по предыдущим. Согласно теореме Такенса, можно найти зависимость каждого члена выборки от предыдущего, т.е. построить некую функцию. Обучение этой функции производится на временном интервале, продолжительность которого определяется величиной информационной размерности фазового аттрактора данного временного ряда. На оставшемся промежутке времени проводится проверка способности нейросети качественно вычислять функцию. Значения, получаемые в качестве прогноза нужно сравнить с заранее известными значениями временного ряда. Только после этого можно поставить задачу о более долгосрочном прогнозировании.
Список литературы:
1. Остапчук А.К., Овсянников В.Е., Кучеренко Е.С. Синергетический подход к анализу точности деталей // Вестник Курганского государственного университета. Серия: Физиология, психофизиология, психология и медицина. 2006. №5-1. С. 130-131.
2. Курдюков В.И., Остапчук А.К., Маслов Д.А., Овсянников В.Е., Рогов Е.Ю. Оценка состояния технологической системы при помощи размерности фазового пространства // Вестник Кузбасского государственного технического университета. 2009. №1.С. 57-59.
3. Остапчук А.К., Хрипунов С.В. Применение теории детерминированного хаоса к прогнозированию точности обработки // Известия Челябинского научного центра УрО РАН. 2005. №2. С. 37-41.
4. Харин В.В., Остапчук А.К. Обеспечение качества поверхностей деталей транспортных машин на основе теории детерминированного хаоса // Инновационный транспорт. 2011. №1. С. 55-58.
п—г'Х)
