CC BY
6УДК 621.867.4-492.2
А.Б. Капранова, А.И. Зайцев, А.Е. Лебедев, О.И. Кузьмин
К ВОПРОСУ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ ЛОПАТКИ В ЦЕНТРОБЕЖНОМ УПЛОТНИТЕЛЕ ТОНКОДИСПЕРСНОГО МАТЕРИАЛА
(Ярославский государственный технический университет) E-mail: kap@yars.free.net
На основе методов механики гетерогенных сред предложен способ определения оптимальных параметров криволинейной лопатки, представляющей собой часть окружности, как одного из основных элементов центробежного уплотнителя тонкодисперсных материалов. К данным параметрам относятся радиус окружности лопатки, расстояние между центрами описанной окружности и диска, на котором закреплены криволинейные лопасти, число лопаток и т.д.
Различные задачи по переработке тонкодисперсных материалов во многих отраслях промышленности требуют соблюдения строгой последовательности технологических операций (например, приготовление дисперсий с определенными характеристиками, их смешение, деаэрация и т.д.), что вызывает необходимость создания новых аппаратов для механического уплотнения порошков. Успешное применение таких уплотнителей зависит от расчета оптимальных конструктивных и режимных параметров, в том числе для центробежных деаэраторов этот вопрос связан с определением формы криволинейных лопаток и их числа.
Основным элементом центробежного аппарата для уплотнения порошков является помещенный в конический корпус вращающийся диск вместе с криволинейными лопатками, которые закреплены радиально на цилиндрической поверхности вблизи центра диска. При вращении диска после вертикальной подачи материала в каждой ячейке уплотненный порошок собирается у криволинейной лопатки и движется к стенке конического корпуса. Перемещаясь в зазор между диском и стенкой корпуса, уплотненный порошок сползает по внутренней поверхности корпуса и затаривается.
В качестве критериев оптимизационной задачи могут быть выбраны различные условия, например, принцип «максимума и минимума» [1], соответствующий фактору максимальной производительности и мощности уплотнителя, а также условие минимального влияния эффекта проскальзывания порошкообразного материала у стенки лопатки и т.д.
Однако любой из перечисленных факторов, так или иначе, связан с задачей выполнения условия максимальной порозности порошковой среды, которое может быть получено из матема-
тической модели движения порошка в процессе его уплотнения (деаэрации). Данная математическая модель основана на методах механики гетерогенных сред с введением соответствующих характеристик движения фаз дисперсной смеси, удовлетворяющих условиям регулярности функций [2].
Применяя цилиндрическую систему координат с началом в центре O вращающегося с угловой скоростью ш диска уплотнителя, на котором закреплены криволинейные лопатки, можно описать плоско-деформационное движение тонкодисперсного материала в ячейке между лопастями. Расстояние между центрами диска и окружностью лопасти равно OOi, т. е. roi. При этом центр окружности второй лопатки рассматриваемой ячейки обозначим ()2. причем foi — Го2, а горизонтальная ось для отсчета угловой координаты #выбрана таким образом, что проходит через него.
Согласно работе [3] ячейка уплотнителя ограничена концентрическими окружностями с
радиусами ro и R0 с центром в точке O для внутреннего цилиндра и диска соответственно, а также поверхностями MiM2 и МзМ4, которые определяются выражениями
Ге = Г01 COs(0e — 0oi) + yjroi2sin2(0e - 0oi)-p2 , (1)
rk= roi cos & + Vr0i2sin2& - p2, (2)
где r0<re<Ro, вм2<ве<вми r0<ek<Rk, Ou a — Ok < 0\ i 3. причем угловая координата точки Oi , соответствующей центру окружности, задающей форму криволинейной лопатки радиусом
, вычисляется с помощью числа лопастей уплотнителя N
6>о1 = 2ж / N. (3)
Координаты точек M6м, ) пересечения окружностей радиусов ro и R с центром в точке O и окружности радиуса Г с центром в
точке ()\ ( 02 ) равны
Ум 1 — Умз — Уо, 9мi = 9q\ + 9Мъ, (4)
Ум2 = Ума = Д), 9м2 = + $М4, (5)
i i I
@мъ - arccos ———-—? Ома — arccos
я
2roroi
о +Г01 -р . (6)
IRoVoi
Тензор эффективных напряжений в процессе деаэрации, т. е. при условии линейной связи между напряжениями, вычисляется следующим образом
к1 / л пп с-к1 к! \ ,„ч
CTf =а2(Л£2 о -2]иБ2 ), (7)
где а2 - порозность порошка; X и ц - модули упругости; £к21 - тензор деформаций твердого скелета;
ды - символ Кронекера.
По закону Кулона [4] определяется коэффициент пропорциональности между силой сопротивления движению твердой фазы по диску и ее скоростью
кс = /её /(еаВо), (8)
где - коэффициент внешнего трения движения
сыпучей среды о поверхность диска.
Уравнения плоско-деформационного движения порошка в описанной ячейке с учетом переносного, кориолисова ускорений и внешнего трения о поверхность диска в пренебрежении окружными и касательными компонентами тензора напряжений имеют вид
дстг <тг
--1--= а^рт
дг г
dvr v0 2 , ~ , ч
Vr----{со Г + 2(DVg - kcvr)
дг г
0 = а2рт
dve vrve
уr--1---(ксув -2a>vr)
ôr г
, (9)
(10)
где <тг - радиальная компонента тензора напряжений; уг, ув - радиальная и окружная скорости, соответствующие движению твердой фазы.
Число Фруда Рг = (со2 Ни /(2%)) «1 для
рассматриваемого предела изменения угловой скорости вращения диска, так как в данной плоско-деформационной модели движения тонкодисперсного материала действием сил тяжести его частиц можно пренебречь, а соответствующие напряжения под действием этих сил незначительны по сравнению с напряжениями, обусловленными упругими свойствами порошка. В цилиндрической системе координат установлена следующая связь между порозностью с начальным значением а2д и деформациями тонкодисперсного
материала ег и Вд с помощью уравнения изменения пористости материала [4]
а2 = а2в1(\-8е-8к). (11)
Следствие уравнения непрерывности для твердой фазы имеет вид
vr = vr0a20 / а2, (12)
где vro - начальная радиальная скорость твердой фазы на границе M2M3, соответствующей поверхности внутреннего цилиндра.
Кроме того, используются следующие приближения для производных как следствия связей компонент осредненного тензора деформаций и соответствующих смещений
dvr Idr - -vr /г, dv0/дг = v0/г. (13) Согласно (7), (11), (13), (14) выполняется следующее равенство
(7, = а2 [Л(8в +БГ) + 2 jU£r ] (14) Таким образом, с учетом (11) - (14) из системы уравнений (9) - (10) можно получить выражение для величины % — 0С2о / ОС2 относительно переменной ^ — г / Rq
f - Y
Т +
1
Т
X 2 + ТоХ
, (15)
где введенные коэффициенты определяются формулами
^=rJRo, (16)
То = Tl=l + Bo-^2' 2 + ^Щ'
Д Вз { 2 + То J
(17)
2
Т3 = 2 + -(4В0-\)-ЗВ2, Т4 =щ2/В1, (18) 3
Т5 =В7
со2 (2То + 9Т0 + 6)
(19)
В4 (2 +То) Во = ¡л!X, Д = Х1{ртУго), в2 = (ргУ^У/Я, (20) В3 = [уго 1(2 Яо )]2 ,В4=кЯо/уг о, (21)
у£>/ ■ плотность порошка в твердом состоянии.
Условием максимальной порозности порошкообразного материала является с1%/с1<?; = 0,
что соответствует следующему значению параметра £ —
£
+ 4 ПТА-ТЪ
(22)
как решения алгебраического уравнения
Т4&+Т5&-Т3=0.
(23)
2
Модель уплотнения порошков позволяет определить уравнение свободной границы дисперсной смеси в предельном случае, когда достигнута максимальная степень уплотнения материала (а2 - а2„) [4].
Согласно (13) при а2 — ОС2„ имеем
Бг„ = <Ут / «20 - Я(1 - а2о / а2п) /(2//), (24)
тогда условием экстремума функции ег(г) в предельном случае является
дбг/дг\ =0. (25)
Следовательно, уравнение для величины = ¿¡п (0), соответствующее предельной свободной границе дисперсной смеси внутри ячейки, можно получить в следующем приближении
(соп/кс+ В4хт 4(а>п/кс)-(вМ1-0) -2хт(вм,-в) = 0'(26) где
_4С5+Б4{[(С5+С6)Б4-С7]Й-4С4#„1}'41 =(>ъ+Яо)/2, (27)
4С6 —4С5В^л -3C4¿,2I
с4 =1 =\и-ъв0 + \в2АЛ ,
4 (OkBÍ
(28)
(fí
'Ml
=1 + -(4Д-1)--Я2, (30) 3 2
д„
где С7ОТ соответствует ос2 — СС2п и равен = 001 + arceos I
[ йб ], а6 = -(ai + а2гт), (31)
2 1 ! а
я7 = гт(аъ + a4rm + a5rm2), = — 52 + 9—
Ro{ В2
аг -
1
Ro
а4
: :
i^- xl а3 = Al 5В/ -4— |Дл
(32) , (33)
6 СО„ 2
~ Хт >
дг д
1
1 С0п-В4ъхт5. (34)
Ro Д
После разложения в ряд функции ЗГССОЗ 0т до первой степени аргумента имеем
Р =
2
1
2г01Г0
Дб 2г01а7
1
2
Хт
" 1 3 11 .(35)
1 + -(4Д,-1)--Я2
Значение другого параметра лопатки - roi (расстояния между центрами диска и окружности лопатки) можно определить, используя приближение о достижении максимальной порозности
материала при условии 0т — , тогда
roi = <Jpz - Ro - Ro a / a .
(36)
С/ _ В2со1 _ РтУгокЯ0 _ ЯД/' (29)
7 453 Я П
СО,, - предельное значение угловой скорости вращения ячейки уплотнителя, при котором достигается а2 = а2п . Предполагая равными значения
и при ос2 = ОС2„, можно приравнять свободные члены в алгебраических уравнениях (23) и (26), а полученное уравнение использовать для определения параметра лопатки уплотнителя, например, Г - радиуса окружности, которая задает форму лопатки
В качестве критерия оптимальности для задачи оптимизации параметров лопатки можно выбрать следующий
X,У) = <\\_Р(Х,У])~Р(х*,у!)]2/ ,У) 2 ,(37) где Ж = IV(х,) - целевая функция с параметрами оптимизации х,, уу', причем х*, у/ - оптимальные значения параметров; значения определяется формулой (35) в зависимости от множества конструктивных XI = ( /о, М,, А'' ) и режимных характеристик у1 = (¿у) . Необходимое условие для оптимального решения формулируется в виде соотношения \У(х1,у1)^\Утт- тогда Ж(х,,у^>Ж*. На первой стадии процесса оптимизации используется метод случайного поиска экстремума в пространстве геометрических и режимных параметров задачи. При этом для каждой случайно выбранной точки решается система уравнений математической модели и вычисляются значения краевых функций.
Поиск экстремума продолжается до тех пор, пока приращения параметров превышают элементарные
£ дЩх„у/)/дх, 2+Х дШ{х1,у])!ду1 2<гГ(38)
' }
Считается, что криволинейная лопатка представляет собой часть окружности, радиус которой является одним из параметров оптимизационной задачи. К другим оптимизационным параметрам относятся расстояние между центрами диска, на котором закреплены криволинейные лопатки, и окружности лопатки соответственно, число лопаток и т.д.
ЛИТЕРАТУРА
1. Капранова А. Б. Зайцев А.И., Никитина Т.П. Теор. основы хим. технологии. 2001. Т. 35. № 1. С. 94-98.
4
2. Нигматулин Ф.И. Основы механики гетерогенных сред. 4. Зайцев А.И., Сидоров В.Н., Бытев Д.О. Оборудование М.: Наука. 1978. 336 с. для нанесения оболочек на зернистый материал. М. 1997.
3. Капранова А.Б., Зайцев А.И., Бушмелев А.В. Изв. 272 с. вузов. Химия и хим. технология. 2006. Т. 49. Вып. 3.
С. 78 -81.
Кафедра теоретической механики
УДК 621.867.4-492.2
А.Б. Капранова, А.И. Зайцев, О.И. Кузьмин
УЧЕТ ЭФФЕКТА ПРОСКАЛЬЗЫВАНИЯ ПРИ ДВИЖЕНИИ ТОНКОДИСПЕРСНОГО МАТЕРИАЛА В ЛОПАСТНОМ АППАРАТЕ
(Ярославский государственный технический университет) e-mail: kap@yars.free.net
На основе модели Олройда, определяющей объемный расход неньютоновской жидкости, ламинарно истекающей из капилляра, исследуется эффект проскальзывания тонкодисперсного материала в рабочем объеме центробежного аппарата. Предложен метод учета коэффициента проскальзывания для движения сыпучей среды при математическом моделировании процесса деаэрации порошков в уплотнителе с криволинейными лопатками.
Процесс деаэрации тонкодисперсных порошков как двухфазных смесей «твердые частицы - газ» с высокой степенью уплотнения (более 20%) может осуществляться тремя известными способами - механическим, пневматическим и вибрационным [1]. При математическом моделировании процесса механического уплотнения необходимо учитывать эффект пристенного скольжения, например, в шнековых или лопастных аппаратах [2].
В настоящей работе предлагается метод определения коэффициента проскальзывания порошков при движении материала в ячейке аппарата с криволинейными лопатками как отношение эффективной скорости скольжения продукта к единице касательного напряжения. Данная ячейка ограничена двумя цилиндрическими поверхностями - стенки корпуса аппарата и внутреннего цилиндра с закрепленными на ней лопатками, и двумя криволинейными лопатками. Вращение диска аппарата вызывает прижатие порошка к од-
ной из стенок криволинейной лопатки в каждой ячейке и движение материала к стенке корпуса.
Например, пристенное скольжение наблюдается в случаях течения разреженных газов, течения жидкостей между пористыми проницаемыми поверхностями или неньютоновских жидкостей.
Предлагаемый метод определения коэффициента проскальзывания основан на модели Олройда для объемного расхода при истечении неньютоновской жидкости из капилляра в условиях ламинарного установившегося течения [3, 4]
/Т/Г к гЦ
где Т = ГТЯ/ Я, /(тк ) = ск>5 / йг,
Ул. — Р(Т]{ )11( - скорость скольжения порошка.
Коэффициент пропорциональности может быть постоянным в широком интервале изменений касательных напряжений [5].
Ячейка уплотнителя ограничена двумя ци-
