CC BY
30
УДК 620.178.3
Е. П. БЛОХИН, М. Л. КОРОТЕНКО, С. В. МЯМЛИН, Р. Б. ГРАНОВСКИЙ, В. Л. ГОРОБЕЦ, Н. Я. ГАРКАВИ, Е. Ф. ФЕДОРОВ, В. В. КЛЮЕВСКИЙ (ДИИТ), Ю. М. ЧЕРКАШИН (ВНИИЖТ, Россия),
Л. А. МАНАШКИН (Mechanical Engineering Department, NJIT, США)
К ВОПРОСУ ОБ ОЦЕНКЕ УСТАЛОСТНОЙ ПРОЧНОСТИ ДЕТАЛЕЙ ИЗ МАЛОУГЛЕРОДИСТЫХ И НИЗКОЛЕГИРОВАННЫХ СТАЛЕЙ ПРИ ЦИКЛИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ
Запропоновано методику експериментально' оцшки втомлювально' мщносл конструкцй' за допомогою трьохелементно' розетки деформацш.
Предлагается методика экспериментальной оценки усталостной прочности конструкции при помощи трехэлементной розетки деформаций.
A method of experimental assessment of anti-fatigue strength of a structure with the use of three-element fork of deformations has been offered.
Для оценки усталостной прочности деталей из малоуглеродистых и низколегированных сталей достаточно часто [1-3] пользуются кривой Велера, которая строится в предположении, что
Nom (N) = const, (1)
где g (N)> о-i - амплитуда приведенных циклов колебаний напряжения [3; 4]; о—1 — предел усталости по нормальным напряжениям при изгибе; N — количество полных циклов изменения напряжения в диапазоне
-о(N)< о < + о(N) (2)
до полного разрушения образца; показатель степени m А. С. Гусев [2] называет параметром циклической трещиностойкости металла.
Для сварных и литых рам и балок в зависимости от материала Нормы [5] предлагают принимать: m ~ 4 для малоуглеродистых сталей, m ~ 4,5 для низколегированных сталей.
В условиях эксплуатации механических конструкций А. С. Гусев [2] предлагает плоское напряженное состояние на поверхности детали в каждый момент времени определять при помощи трехэлементной розетки деформаций, где деформации s1 (t) и s2 (t) измеряются датчиками, ориентированными во взаимно перпендикулярных направлениях, а S3 (t) — датчиком, ориентированным вдоль биссектрисы угла между направлениями измерения S1 (t) и S2 (t) .
Нормальные и касательные напряжения плоского напряженного состояния в плоскости розетки согласно [2] определяются зависимостями:
о х (X ) = А ( 8! ( X) + Ц82 (X)); (3)
С, (X) = А (82 (X) + Ц8! (X)); (4)
(X) = В (283 (X)- 81 (X)- 82 (X)) , (5)
x, y
где
A = E / (1 - ц2 ) ; B = 0,5E / (1 + ц);
E - модуль Юнга; ц - коэффициент Пуассона.
Очевидно, что при оz = тx z = т z = 0 нормальные и касательные напряжения (ov и tv ) в площадках, определяемых перпендикулярным к этим площадкам вектором
cos(v,x) cos(v,y) cos(v,z)
определятся зависимостями [2] ov (t) = v'• т xy о y 0 • v =
v =
0 x T x,y 0
Tx,y 0 y 0
0 0 0
2
= 0x (t)cos (v, x) + Oy (t)cos (v,y) +
+2тx,y (t)cos(v,x)cos(v,y), (6)
■(t )=
O X
T X, y 0
X, y
O y 0
V - Ov (t)V . (7)
Для определения циклограммы нагружения в каждой площадке А. С. Гусев [2] предлагает пользоваться условным напряжением
Здесь V' - матрица-строка (транспонированная матрица-столбец V); (v, х) и (v, y) -
углы между вектором V и положительными направлениями осей датчиков, фиксирующих процессы s1 (t) и s2 (t) ; (v, z) - угол между вектором V и перпендикуляром к плоскости розетки [6; 7]; нормальное напряжение ov -скаляр, касательное напряжение tv - вектор;
cos2 (v, х) + cos2 (v, y) + cos2 (v, z) = 1. (8)
,(t) = (2 - X) Ov (t) + (b -1)| Tv (t)|, (9)
где
1 < X = £-1 < 2; т-1
т_1 - предел усталости по касательным напряжениям. При этом А. С. Гусев [2] отмечает, что усталость металла обычно определяется только нормальными напряжениями (т. е. X = 1).
На рис. 1 приведен усталостный излом цилиндрического образца, испытывавшего циклический изгиб.
о
а
в
б
Рис. 1. Усталостное разрушение горизонтально расположенного вращающегося вала вертикальной силой (циклический изгиб, «6000 циклов до разрушения):
а - вал до разрушения; б - вал после разрушения; в - усталостный излом вала (плоский излом, перпендикулярный продольной оси вала)
На рис. 1, в заметна концентричная боковой поверхности вала окружность, являющаяся границей развивавшейся усталостной трещины.
На рис. 2 и 3 приведены усталостные изломы цилиндрических образцов, испытывавших циклические изгиб и кручение. На рис. 2 показано усталостное разрушение образца № 1 из низколегированной стали диаметром 8 мм циклическими изгибно-крутильными колебаниями (чередующиеся 82 цикла крутильных колебаний и 21 цикл изгибных колебаний; амплитудные нормальные напряжения превышали предел упругости по нормальным напряжениям, амплитудные касательные напряжения превышали предел упругости по касательным напряжениям).
На рис. 2 и рис. 3, а, б, хорошо заметны продольные и преимущественно продольные усталостные трещины. На рис. 3, в приведен вид сверху на один из обломков, изображенных на рис. 2. Зарождающиеся трещины - радиальные или близкие к радиальным. Развиваются трещины не только в радиальном направлении.
Рис. 2
Рис. 3. Усталостное разрушение образца циклическими изгибно-крутильными колебаниями (амплитудные нормальные напряжения превышали предел упругости по нормальным напряжениям, амплитудные касательные напряжения превышали предел упругости по касательным напряжениям):
а - усталостный излом образца № 2 из стали Ст3 диаметром 4 мм (чередующиеся 14 циклов крутильных колебаний и 3 цикла изгибных колебаний); б - усталостный излом образца № 3 из стали Ст0 диаметром 0,8 мм (чередующиеся 17 циклов крутильных колебаний и 3 цикла изгибных колебаний); в - усталостный излом образца № 1 (см. рис. 2)
Как видно из рис. 2, 3, усталостный излом не всегда приурочен к направлению, перпендикулярному наибольшим нормальным циклическим напряжениям (так при циклическом крутильном нагружении наибольшие нормальные напряжения соответствуют площадке, расположенной под углом 45° к продольной оси образца, а усталостные трещины при циклическом кручении - продольные).
Отметим, что нормативная для вагоностроения документация [1] предписывает определять усталостную прочность несущих конструкций железнодорожных вагонов из выражения
оэкв <[о],
где допустимое напряжение [с] = с^/п ; п -коэффициент запаса усталостной прочности. Согласно кривой Велера оэкв определяется [1]
т
I от*,
,=1
(10)
где N - базовое число циклов (количество полных циклов амплитудой с^ до разрушения образца); I - количество значений амплитуд (классов) в циклограмме; , - номер класса [4] (порядковый номер амплитуды о, в циклограмме); N - количество циклов, в которых амплитуда нормальных напряжений была о,. При этом согласно [1] в выражении (10) учитываются и те циклы, у которых о, < о-1.
В каждый момент времени 7 главные напряжения действуют в конкретной площадке с направляющим перпендикуляром V (7). В остальных площадках в этот момент времени имеют место как нормальные, так и касательные напряжения. В каждой площадке с направляющим перпендикуляром V по реализациям ор (7) достаточно просто построить циклограммы нормальных напряжений и определить критерий усталости
о (V )=1 от*.
,=1
По циклограммам несложно выявить площадку с направляющим перпендикуляром VА, в которой критерий усталости окажется наибольшим (так называемое «опасное сечение»). Таким образом, в опасном сечении имеет место отношение
О (vA) = тах О (V).
V
Оценка опасного сечения только по нормальным напряжениям (без учета касательных напряжений) несколько противоречит критерию, описанному в [2]. При этом предложенный в [2] способ построения ор (7) при помощи выражения (9) можно критиковать по двум причинам:
- (7)| не фиксирует направление вектора ^ (7), поэтому не может учитывать полные циклы касательных напряжений;
о экв =
- если в течение времени Т < X < Т2 в данной площадке действовали только нормальные напряжения, а касательные в это время отсутствовали, то при 1 < X < 2 оказывается, что
Ор (Ту < X < Тг )< оу (Ту < X < Тг )
и, таким образом, циклограммы при одноосном напряженном состоянии строятся по заниженным значениям напряжений.
Поскольку сопротивляемость металла разрушениям нормальными и касательными напряжениями различна, представляет интерес оценка усталостной прочности с использованием условного напряжения, определенного по отличающейся от (9) эмпирической формуле
р,2
(X ) = V''
О х Хт х, у 0"
Хт X, у О У 0 • V
0 0 0
V . (11)
Оценим экспериментально погрешности определения оэкв по циклограммам, построенным для опасных сечений на основании «осциллограммы» Ор (X) при X = 1 и «осциллограммы» Ор 2 (X) .
Все эксперименты проводились с холоднотянутыми круглыми в поперечном сечении образцами из сталей Ст0-Ст3. Образцы испытывали одновременно циклические изгиб и кручение. Для экспериментов образец одним концом зажимался в поворотное устройство, а вторым концом - в грузило (рис. 4).
Рис. 4. Схема устройства для исследования усталости деталей, испытывающих совместные циклические изгиб и кручение
Расстояние Ь от стенок деталей 1 и 2 до продольной оси симметрии грузила 3, 4 является плечом изгибного момента. Расстояние Я от центра масс грузила с зажатой в него частью образца до продольной оси симметрии цилиндрической части образца является плечом крутящего момента. Масса грузила с зажатой в него частью образца - М . Диаметр образца - й . Напряжения, действующие в точке А образца (около поворотного устройства) в положении, соответствующем рис. 4, согласно [8]
Т х, у
32MgL 16MgЯ
й3
(12)
(13)
(на рис. 4 ось х расположена вдоль продольной оси образца, ось у - вдоль стенки поворотного устройства). При повороте поворотного устройства относительно горизонтальной оси ТТТТТТ на 180° знаки напряжений в точке А
О
х
поменяются на противоположные. Таким образом, при повороте поворотного устройства на 360° точка А испытает полный цикл напряжений (нормальных, обусловленных изгибающим моментом, и касательных, обусловленных крутящим моментом).
При определении условного напряжения по формуле (9) наибольшие нормальные напряжения в положении, соответствующем рис. 4, будут зафиксированы в площадках с направляющим перпендикуляром
(14)
cos(v,х) cos a
V = cos(v, y) = sin a
0 0
где
tg2a =
(15)
32Mg (L cos a + R sin a) cos a = WLnp.
d
(16)
где
W =
32Mg
Lnp =(L cos a + R sin a)cos a .
Выражения (14) и (15) получены из (6), (8) и (16) на основании следующих соображений [9].
(
V aV (t ) = max )л
a(cos2 (v, x ) + cos2 (v, y) + cos2 (v, z) = 1) =>
= (cos2 (v, z) = 0) = (cos2 (v, x)+cos2 (V, y) = 1) =
= ( cos (v, y ) = sin (v, x )) (17) и с точностью до обозначения (v, х) = a
£ = 0Иtg2a = Т I.
(18)
проволоки разных марок малоуглеродистой стали. Отличались образцы диаметром, маркой стали и условиями изготовления проволоки.
В табл. 1-3 проведено сравнение величин
(jN), полученных для различных значений M , L и R . Согласно выражению (16) величина (Цр jN) пропорциональна критерию усталости (aV N) . Здесь величина Lпр j определяется выражениями
Lur, , = Mk[L cos a + R sin a]cos a, (19)
прД M,L
M,
LnF,2 =—— (Lcosa2 + XRsina2)cosa2, (20) M
При этом согласно (6) амплитуды полуциклов нормальных напряжений в площадках
,, f32L 2 16R . „ . av = Mg I——cos a +——sin 2a | =
где М0 = 0,5 кг - масса одного из грузил; Ык -масса того грузила, с которым экспериментировали в опыте к ; а определяется из выражения (15); N - количество циклов (поворотов поворотного устройства на 360°) до разрушения образца, т = 4,
1в2а2 = —, (21)
согласно рекомендациям [2]
I = — = 1,67.
0,6
В табл. 2, 3 двойными линиями разделены опыты с различными образцами, изготовленными из проволоки одного типа, но, возможно, разных плавок.
В каждой из табл. 1-3 определим
Отах,} = т^(Щр,N) , °тт,} = ^П(р,) ,
L . = nJQ
экв,тах, j •у i
L
L ■ . = "
max,j ' экв,тт,J у min,j 0,5 (Lэкв, max, j + ^экв, min, j )
экв,ср,j ' у экв^ах,j
и относительную ошибку определения аэ
в
Lэкв,сp, j -As^min, j
экв, J
L
экв,ср, j
Эксперименты проводились с образцами трех типов, изготовленными из холоднотянутой
^экв, max j Аэкв^р.
L
экв,ср.
Таблица 1
Серия экспериментов с образцами из отожженой проволоки диаметром 1,7 мм
к Я, мм Ь, мм Мк, кг N 2а Ьпр,1 > мм 2а2 Ьпр,2 > мм Тт N Тт N Ьпр,2 "
1 0 60 0,50 29 0° 60 0° 60 37,6-107 37,6-107
2 0 37 0,50 108 0° 37 0° 37 20,2-107 20,2-107
3 0 24 0,50 854 0° 24 0° 24 28,3-107 28,3-107
4 0 52 0,50 67 0° 52 0° 52 49,0-107 49,0-107
5 3 30 0,50 384 5°45' «30 9°26' 30,0 31,1-107 31,1-107
6 54 53 0,50 30 45°30' 64,0 59°30' 79,0 50,3-107 116,9-107
7 38 25 0,50 96 56°40' 35,2 68°20' 46,8 14,7-107 46,0-107
8 34 33 0,50 170 46° 40,2 59°30' 49,1 44,4-107 98,8-107
9 30 15 0,50 408 63°30' 23,8 73°20' 34,0 13,1-107 54,5-107
10 10 30 1 0,50 452 «18° 31,0 29°30' 32,0 41,7-107 47,4-107
11 27 20 0,50 214 53°30' 26,9 66° 34,7 11,2-107 31,0-107
12 14 22 0,50 425 32°30' 24,0 46°20' 27,0 14,1 -107 22,6-107
Таблица 2 Серия экспериментов с образцами из холоднотянутой проволоки диаметром 1,2 мм
к Я, мм Ь, мм Мк, кг N 2а Ьпр,1 > мм 2а2 Ьпр,2 > мм Тт N Тт N Ьпр,2 "
13 0 38 0,50 46 0° 38 0° 38 95,9-106 95,9-106
14 0 30 0,50 151,5 0° 30 0° 30 122,7-106 122,7-106
15 22 17 0,50 109 52°25' 22,5 65°10' 28,7 27,9-106 74,0-106
16 3 28 0,50 47,5 6° 28,2 10°5' 28,2 30,0-106 30,0-106
17 28 15 0,50 119 61°50' 23,4 72° 32,1 35,7-106 126,3-106
18 17 25 0,50 172 56° 26,4 41°20' 31,2 83,5-106 163,0-106
19 47 2 13 0,50 22 74°30' 27,8 80°35' 46,0 13,1-106 98,5-106
20 0 12 0,50 1731 0° 12 0° 12 35,9-106 35,9-106
21 372 12 0,50 57 72° 25,6 79° 37,2 24,5-106 109,2-106
22 13 14 0,50 226 43° 16,6 57° 19,8 17,2-106 34,7-106
23 18 3 23 0,50 163 38° 26,2 52°30' 30,5 76,8-106 141,0-106
24 2 36 0,50 68 «0° 36 5°18' 35,9 114,2-106 113,0-106
25 11 17 0,50 277 32°50' 18,7 47°10' 21,1 33,9-106 54,9-106
26 0 18 0,50 696 0° 18 0° 18 105,0-106 105,0-106
27 20 18 0,35 1175 48° 15,8 61°40' 19,6 73,2-106 173,4-106
28 42 13 0,35 257 72°45' 20,1 79°30' 28,5 41,9-106 169,6-106
29 50 8 0,35 472 80°55' 22,2 84°30' 32,4 114,6-106 520,1-106
Таблица 3
Серия экспериментов с образцами из холоднотянутой проволоки диаметром 0,8 мм
к Я, мм Ь, мм Мк, кг N 2а Ьпр,1 > мм 2а2 Ьпр,2 > мм Тт N Тт N Ьпр,2 Л
30 0 20 0,50 73,5 0° 20 0° 20 11,8106 11,8-106
31 10 15 0,50 97 33°40' 16,4 48° 20 7,0-106 15,5-106
32 18 20 0,50 30 42° 23,6 56°20' 28,2 9,3-106 19,0-106
33 4 13 13 13 20 0,50 224 8 45° 33° 14,5 21,8 59°10' 42°30' 19,1 24,7 11,7106 4,9-106 32,8-106 14,7-106
34 25 3 17 0,50 15,5 «56° 23,7 66° 31,2 17,1-106 92,4-106
35 33 3 12 0,50 55 70° 23,6 77°45' 36 11,9106 11,9-106
36 0 18 0,50 26 0° 26 0° 26 1,4-106 2,2-106
37 10 16 0,50 15 32° 17,4 46°10' 19,6 1,0-106 2,5-106
38 12 12 0,50 32 45° 13,4 59° 16,8 10,1-106 10,1-106
39 0 12 0,50 485 0° 12 0° 12 2,1-106 8,0-106
40 20 10 0,35 131 63°30' 11,3 73°20' 15,7 1,4-106 6,7-106
41 14 14 0,35 152 45° 9,8 59° 14,5 7,4-106 7,4-106
42 0 15 0,50 145,5 0° 15,0 0° 15,0 0,5-106 1,4-106
43 17 12 0,35 27 55° 11,6 67°10' 15 7,5-106 7,5-106
44 4 0 0 19 23 0,50 40 8 0° 0° 19 23 0° 0° 19 23 0,8-106 11,8-106 3,3-106 11,8-106
45 17 10 0,35 72 59°30' 10,3 70°35' 14,6 7,0-106 15,5-106
46 0 33 0,50 16 0° 33 0° 33 9,3-106 19,0-106
47 10 17 0,50 12 30°30' 18,5 44°30' 20,8 11,7-106 32,8-106
48 2 13 0,50 212 «0° «13 13° 13,3 4,9-106 14,7-106
49 12 11 0,50 94,5 57°30' 13,5 61°20' 16,9 17,1 -106 92,4-106
50 0 20 0,50 40 0° 20,0 0° 20,0 11,9-106 11,9-106
51 23 29 0,35 69 38°30' 23,1 53° 27,1 1,4-106 2,2-106
Примечание для табл. 1-3: 1. Величина Ь в конце опыта оказалась меньше, чем в начале опыта.
2. С первого же цикла отмечается пластическая деформация образца.
3. После некоторого количества циклов отмечается пластическая деформация образца.
4. Е - было осуществлено Л^) циклов с нагружением при Л^), Ь(1) и Л(2) циклов с нагружением при Л(2), Ь(2)
таким °бразом, =Ь^(1Л(1) + ^$N(2).
При ] = 1 и ] = 2 учтем только опыты на изгиб и кручение (чистый изгиб учитывать не будем). Кроме того, в каждой таблице определим величины Отах 0, Отт 0, Ь
'экв,шах,0 :
Ь
'экв, тт ,0 ;
Ьэкв ср о и еэкв о для опытов с усталостным
разрушением образцов чистым изгибом. Для каждой из табл. 1-3 сформируем соответст-
венно табл. 4-6 с величинами ,
Ьэкв,тах, / , Ьэкв,тт, /
Ьэкв,ср, / и ^экв, /
Анализируя табл. 2, можно сказать следующее. Учитывать при обработке опыт к = 19, по-видимому, нельзя, т. к. реально на образец действовали напряжения, меньшие расчетных. Опыты к = 21 и к = 23 придется учитывать,
т. к. на последней стадии перед разрушением неразрушенная часть металла не может сопротивляться изгибу и кручению так же, как и все сечение образца до приложения циклических напряжений. Естественно, 46 (опыт k = 13) или даже 696 (опыт k = 26) циклов до разрушения не соответствуют понятию многоцикловой усталости (что справедливо и для результатов, представленных в табл. 1 и 3).
Таблица 4
Отработка результатов, приведенных в табл. 1
J 0 1 2
Г ^тах,} 49,0-107 50,3-107 116,9-107
г тт, _/ 20,2-107 11,2-107 22,6-107
Тэкв, тах, ] 149 150 185
Тэкв, тт, ] 119 103 123
Тэкв, ср, ] 134 127 154
р экв, ] 0,112 0,186 0,201
Таблица 5
Отработка результатов, приведенных в табл. 2
} 0 1 2
Г ^тах,} 122,7-106 114,6-106 520,1-106
Г тт, ] 30,0-106 17,2-106 34,7-106
Тэкв, тах, ] 105 103 151
Тэкв, min, ] 74 64 77
Тэкв, ср, ] 90 84 114
р экв, ] 0,173 0,234 0,324
Таблица 6
Отработка результатов, приведенных в табл. 3
J 0 1 2
Г ^тах,} 19,0-106 19,6-106 92,4-106 (32,8-106)
г тт, _/ 6,4-106 0,5-106 1,4-106
Тэкв, тах, ] 66,0 66,5 98,0 (75,7)
Тэкв, min, ] 50,3 26,6 34,4
Тэкв, ср, ] 58,1 46,6 66,2 (55,1)
р экв, ] 0,135 0,430 0,480 (0,375)
При формировании табл. 6, как и при обработке табл. 2, результаты опытов k = 34 и k = 35 придется учитывать.
Как видно из табл. 4, Тэкв,тах,2 > Тэкв,тах,0 и
Т > Т ' Т > Т в то
экв,тах,1 экв,тах,0 ' экв,тт,2 экв,тт,0 "
Тэкв, тт, 1 < "^экв, тт ,0 .
> Т в то
'экв,тах,2 экв,тах,0 "
время, как Т
Как видно из табл. 5, Т
время, как Т3кв,тах,1 < Тэкв,тах,0 ' Тэкв,тп,2 > Ьэкв,min,0 в то время, как Тэкв,тш,1 < Тэкв,тт,0 .
Как Видно из табл. 6, Тэкв, тах ,2 > Тэкв,тах,0 и
и
Тэкв, тах, 1 > Тэкв, тах ,0 '
Тэкв, min,2 < Тэкв, min ,0
Примечание. В скобках приведены результаты для второго по величине значения Гтах 2 .
Тэкв, min, 1 < Тэкв, min ,0 ' но Тэкв, min ,2 > Тэкв, min, 1.
Судя по результатам, приведенным в табл. 4-6, относительная ошибка рэкв определения °экв при циклическом изгибе меньше, чем при совместных циклических изгибе и кручении. Возможно, это связано с неудачным выбором величины т .
Интересно (и это не противоречит [10]), что, если определять критерий усталости по нормальным напряжениям (согласно выражению (9) при X = 1), то иногда при циклическом из-гибно-крутильном нагружении образец ломается при величинах (Тр N), значительно меньших, чем при чистом циклическом изгибе (см., например, опыты k = 7, k = 9, k = 11, k = 15, k = 19, k = 37, k = 38 в табл. 1-3).
При определении критерия усталости согласно выражению (11) случаев, когда при циклическом изгибно-крутильном нагружении образец ломается при величинах (( 2N) , значительно меньших, чем при чистом циклическом изгибе, практически не бывает.
Выводы
1. Как следует из табл. 4-6, определение циклограмм нормальных напряжений и опасных сечений, используя зависимость (9) при X = 1, а затем определение по этим циклограммам величины оэкв может привести к ошибке, которая в запас усталостной прочности не идет.
2. Почти всегда «в запас» усталостную прочность детали можно определять, рассчитывая условное напряжение по формуле (11).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. РД 24.050.37-95. Вагоны грузовые и пассажирские. Методы испытаний на прочность и ходовые качества. - 101 с.
2. А. С. Гусев. Сопротивление усталости и живучесть конструкций при случайных нагрузках. -М.: Машиностроение, 1989. - 248 с.
3. Когаев В. П. Расчеты деталей машин и конструкций на прочность и долговечность / В. П. Когаев, Н. А. Махутов, А. П. Гусенков. - М.: Машиностроение, 1985. - 223 с.
4. ГОСТ 25.101-83. Расчеты и испытания на прочность. Методы схематизации случайных процессов нагружения элементов машин и конструкций и статистического представления результатов.
5. Нормы для расчета и проектирования новых и модернизируемых вагонов железных дорог МПС колеи 1520 мм (несамоходных). - М.: Гос-НИИВ-ВНИИЖТ, 1996. - 319 с.
6. Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. - М.: Наука, 1968. - 720 с.
7. Справочник машиностроителя. Т. 1. / Под ред. Е. А. Чудакова. - М.: Гос. науч. тех. издат. машиностроительной литературы, 1951. - 1036 с.
8. Справочник машиностроителя. Т. 3. / Под ред. Е. А. Чудакова. - М.: Гос. науч. тех. издат. машиностроительной литературы, 1951. - 1098 с.
9. Фор Р. Современная математика / Р. Фор, А. Кофман, М. Дени-Папен. - М.: Мир, 1966. - 272 с.
10. Романив О. Н. Механика разрушения и прочность материалов: Справочное пособие. Том 4. Усталостная и циклическая трещиностойкость конструкционных материалов / О. Н. Романив, С. Я. Ярема, Г. Н. Никифорчин, Н. А. Махутов, М. М. Стадник. - К.: Наук. думка, 1990. - 680 с.
Поступила в редколлегию 09.02.2006.
