К вопросу об оценке статистических характеристик снеговых нагрузок Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

К вопросу об оценке статистических характеристик снеговых нагрузок

К.Н. Сухина, В.А. Пшеничкина, Е.И. Журбина

Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет

Аннотация: В статье приведены результаты исследований фактической снеговой нагрузки и ее обеспеченности на основании статистических данных распределения годичных максимумов запаса воды в снеге, полученных на метеостанции Коломна. Проведен анализ реализаций ежегодных максимумов снеговой нагрузки по данным 13-ти метеостанций, расположенных в разных снеговых районах. Были определены все необходимые статистические характеристики снеговой нагрузки, а также параметры закона распределения Гумбеля для каждого снегового района.

Ключевые слова: снеговая нагрузка, распределение, годичные максимумы, снегосъемка, метеостанции, обеспеченность.

Вероятностные методы расчета, в отличие от детерминированных, требуют использования более обширной информации о случайных параметрах - законы распределения или статистические характеристики. Метод предельных состояний, регламентирует применение детерминированных методов расчета на нормативные, расчетные или средние значения учитываемых случайных параметров. При этом их нормативные значения обосновываются статистическими методами и имеют определенную степень обеспеченности. Основываясь на нормативных данных и исследованиях, посвященных нормированию параметров строительных конструкций [1-5], можно достаточно просто получить все необходимые вероятностные характеристики прочности материалов и действующих на конструкции нагрузок [6].

Рассмотрим снеговые нагрузки. Согласно СП 20.13330.2011 «Нагрузки и воздействия» нормативное значение снеговой нагрузки на горизонтальную проекцию покрытия определяется по формуле [7, (10.1)]:

£0 = 07сес1 ¿Sg , (1)

где Sg - вес снегового покрова на 1 м горизонтальной поверхности земли для площадок, расположенных на высоте не более 1500 м над уровнем моря,

принимается в зависимости от снегового района РФ по таблице [7, табл. 10.1]:

Таблица № 1

Вес снегового покрова для снеговых районов РФ

Снеговые I II III IV V VI VII VIII

районы

кПа 0,8 1,2 1,8 2,4 3,2 4,0 4,8 5,6

Я к гс/м2 80 120 180 240 320 400 480 560

Значение Sg принимается как превышаемый в среднем один раз в 25 лет ежегодный максимум веса снегового покрова, определяемый на основе данных маршрутных снегосъемок о запасах воды, на защищенных от прямого воздействия ветра участках за период не менее 20 лет.

Множитель 0,7 - величина, обратная коэффициенту надежности по нагрузке у/ = 1,4, который является базовым в системе частных

коэффициентов метода предельных состояний.

Схематично формирование снеговой нагрузки во времени представлено на рис. 1. В течение зимнего периода /-го года происходит постепенное накопление снега до максимального значения и последующее его таяние.

Рис.1. - Схема формирования снеговой нагрузки на протяжении ? лет

Вероятностная модель снеговой нагрузки может быть представлена в виде последовательности независимых прямоугольных импульсов годичных максимумов со случайной интенсивностью ~ и постоянной длительностью ^=1год (рис.2). Срок службы сооружения обозначим как Т=М, измеряя время числом I (¿=1, 2, ..., к).

Рис.2. - Модель снеговой нагрузки в виде последовательности прямоугольных независимых импульсов Обозначим на рис. 2 уровень нагрузки который может быть превышен в среднем 1 раз в 25 лет. Для каждой рассматриваемой последовательности интервалы времени между пересечениями являются реализациями случайной величины ~ - периода повторяемости нагрузки, превышающий уровень

Плотность распределения рт5 (/) периода повторяемости Т8 для

уровня равна вероятности того, что в последовательности 5 первые (¿-1) величин подряд меньше Бё, а затем появляется величина, большая Бё. В силу независимости последовательности значений 5 искомая вероятность

вычисляется по закону умножения вероятностей с учетом вероятности

Ф > Sg У

P(Ts _ i) _ \ < Sg y -1 p(S > Sg ) _ \Fisg )]i-1 \ - Fisg )]. (2)

Функция распределения Fts (i) находится суммированием плотности PTS (i) отJ=1 до J=i:

P(TS < i) = 1 -[F(Sg)]. (3)

Математическое ожидание периода повторяемости m^ равно

S

_ 1

mTS _ 1 - F (Sg ),

(4)

или обратное соотношение

р ^ )= 1 - — ■ (5)

Таким образом, среднее значение периода повторяемости экстремальных значений нагрузки как последовательности независимых случайных импульсов может быть выражено через функцию распределения ординат нагрузки.

Уровень обеспеченности значения снеговой нагрузки для данного района формируется на основании представления статистических данных маршрутной снегосъемки о запасе воды в снежном покрове в виде последовательности ежегодных максимумов, которые рассматриваются как выборка независимых случайных величин, распределенных по закону Гумбеля [8].

Рассмотрим, как определяется нагрузка Sg и чему равна ее обеспеченность на примере статистических данных годичных максимумов запаса воды в снеге, полученных на метеостанции 27625 Коломна, имеющей следующие координаты: широта 55,13е, долгота 38,73е, высота 112 м.

В таблице 2 приведены максимальные за каждый год значения запаса воды (веса снегового покрова) с 1968 по 2011 гг. Прочерки в таблице означают отсутствие данных. Таким образом, рассматривается ряд из 41 значения (¿=1,2,., к=41). Длительность интервала между значениями й=1 год. Вес снежного покрова на поверхности земли в кг/м2 численно равен величине запаса воды в снежном покрове в мм.

Таблица № 2

Годичные максимумы запаса воды в снеге по данным маршрутных снегосъемок метеостанции 27625 Коломна

Год Запас Год Запас Год Запас

наблюдения воды в наблюдения воды в наблюдения воды в

снеге, снеге, снеге,

мм мм мм

1968 148 1983 78 1998 106

1969 46 1984 39 1999 158

1970 154 1985 160 2000 81

1971 37 1986 184 2001 138

1972 - 1987 58 2002 92

1973 46 1988 97 2003 81

1974 50 1989 109 2004 73

1975 63 1990 73 2005 128

1976 - 1991 57 2006 166

1977 126 1992 78 2007 79

1878 - 1993 81 2008 60

1979 75 1994 150 2009 82

1980 65 1995 54 2010 116

1981 113 1996 79 2011 124

1982 70 1997 105

Используя представленные в таблице 2 значения, найдем математическое ожидание и дисперсию веса снежного покрова для рассматриваемого района:

- математическое ожидание годичных максимумов тЯ=96,44 кг/м2;

- дисперсия БЯ=1618 (кг/м2)2.

Вычисляем стандарт ст я = л10я = 40,22 кг/м2 и коэффициент

с Я

вариации /я = —^ = 0,42.

тЯ

Находим параметры закона Гумбеля:

1,28255 0,577216 „„„„ аЯ = --= 0,032; иЯ = тЯ - —-= 78,34.

стЯ аЯ

Плотность распределения максимумов (рис. 3):

Р(я) = аЯ exp{- аЯ (Я - иЯ ) - exP[- аЯ (Я - иЯ )]} = = 0,032exp{- 0,032(Я - 78,34)- exp[- 0,032(Я - 78,34)]}

Функция распределения максимумов (рис.4):

^(Я)= exp{- exp[- аЯ (Я - иЯ)]} = exp{- exp[- 0,032(Я - 78,34)]}

(6)

(7)

Рис. 3. - Плотность распределения случайной величины ежегодных максимумов веса снежного покрова. Коломна, 1968 - 2011 гг.

Рис. 4. - Функция распределения случайной величины ежегодных максимумов веса снежного покрова. Коломна, 1968 - 2011 гг.

Учитывая, что среднее значение периода повторяемости снеговой нагрузки составляет 25 лет, найдем значение Sq. Из формулы (5) получаем соответствующее mT = 25 значение функции распределения

S

F ((q )= 1 - — = 1 - — = 0,96, v qJ mT„ 25

то есть обеспеченность снеговой нагрузки Sq составляет 0,96. Для нахождения значения Sq нужно решить уравнение: F(Sq)= exp{- exp[- 0,032(Sq - 78,34)]}= 0,96

относительно Sq:

Sq = US - ln[(Sq)]}= 78,34 - 0^ln[- ln(0,96)] = 178,66кг/м2

Таким образом, вес снегового покрова на поверхности земли, превышаемый в среднем 1 раз в 25 лет, вычисленный для района метеостанции «Коломна», составляет Sq=178,66 кг/м2. На основании карты снеговых районов находим, что Коломна относится к III снеговому району, для которого, согласно таблице 1, Sq=180 кг/м2.

При проведении вероятностных расчетов сооружений на действие различных нагрузок необходимо знать их законы распределения или, как минимум, статистические моменты. Покажем на примере снеговой нагрузки как определять все необходимые статистические характеристики, используя только их расчетные значения, приведенные в нормативных документах [7]. Для этого проведен анализ реализаций ежегодных максимумов снеговой нагрузки за аналогичный период наблюдений с 1968 по 2011 гг., полученных еще на 13 метеостанциях, расположенных в разных снеговых районах. Полученные значения их статистических характеристик снеговых нагрузок представлены в таблице 3.

Таблица № 3

Статистические характеристики снеговых нагрузок

п/ Метео- Но- Расч. Норм. Статистические Параметры

п станция мер снег. снег. характеристики закона

снего- наг- наг- годовых максимумов Гумбеля

вого района руз- ка, кг/м2 рузка, кг/м2

Ms, кг/м2 öS, кг/м2 fs кг/м 2 аs US

1 Калач III 180 126 58.49 22.25 0.38 0.058 46.94

2 Кострома IV 240 168 131.35 37.83 0.29 0.034 114.3 7

3 Павловский Посад III 180 126 104.46 37.49 0.36 0.034 87.48

4 Арзамас III 180 126 87.71 35.5 0.4 0.036 71.68

5 Анна III 180 126 104.77 39.1 0.37 0.032 86.73

6 Ростов Великий IV 240 168 97.02 30.88 0.32 0.042 83.28

7 Воркута V 320 224 176.42 74.42 0.42 0.017 142.4 7

8 Борисо-глебск III 180 126 97.41 41.22 0.42 0.031 78.79

9 Камышин III 180 126 72.2 25.9 0.35 0.049 60.43

10 Рудня III 180 126 60.64 34.36 0.57 0.037 45.04

11 Гагарин III 180 126 84.77 33.91 0.40 0.038 69.58

12 Клин III 180 126 93.38 38.64 0.41 0.033 75.88

13 Можайск III 180 126 81.98 30.43 0.37 0.042 68.24

Найдем соотношение между расчетной снеговой нагрузкой, приведенной в табл.10.1 СП 20.13330.2011 и вероятностными характеристиками случайной последовательности годовых максимумов. Для

этого запишем формулу индекса надежности для расчетного значения снеговой нагрузки:

в = . (8)

Выразим переменные в правой части формулы (8) через параметры закона Гумбеля:

- расчетная нагрузка

= и - 11п{- 1п(0.96)} = и + 3199 , (9)

4 а а

- математическое ожидание

0.577216

= и +--, (10)

а

стандарт

Откуда

1.28255

а =-

а

(11)

и • а + 3.199 и • а + 0.577216

в =_а_а_= 2 044 (12)

Р 1.28255 2 44 ( )

а

То есть, интервал [ш5, ] соответствует 2.044 стандартам:

ш о 5п ш о

Р = ^-- = -- = 2.044, (13)

а - ш- • Л

следовательно

Бд = ш-(1 + 2.044/-). (14)

Учитывая, что коэффициент вариации ежегодных максимумов снеговой нагрузки для всех районов приблизительно одинаков /-=0,4, выражение (14) можно записать в виде

= 1.818ш-. (15)

Следовательно, для вычисления всех необходимых статистических характеристик снеговой нагрузки - математического ожидания, дисперсии, стандарта, закона распределения и его параметров - достаточно знать только ее расчетное значение, приведенное в СП 20.13320.2011 «Нагрузки и воздействия».

В таблице 4 для различных снеговых районов приведены статистические характеристики снеговой нагрузки, которые можно использовать в задачах вероятностного расчета. При этом очевидно, что погрешность при описании параметров нагрузки будет соответствовать погрешности, заложенной в методе предельных состояний.

Таблица № 4

Статистические характеристики снеговой нагрузки в зависимости от снегового района

п/п Номер Расчет. Матем. Стан- Коэф. Параметры закона

снего- снег. ожида- дарт вариаци Гумбеля

вого нагрузка ние у* и щ

района Sg по СП, кг/м2 М, кг/м2 кг/м2

1 I 80 44.00 17.6 0.072 35.98

2 II 120 66.00 26.4 0.048 53.97

3 III 180 99.00 39.6 0.032 80.96

4 IV 240 132.01 52.80 0.4 0.024 107.96

5 V 320 176.02 70.41 0.018 143.95

6 VI 400 220.02 88.01 0,015 181.54

7 VII 480 264.03 105.61 0.012 215.93

8 VIII 560 308.03 123.21 0.010 250.31

Таким образом, показано, что по известным расчетным значениям снеговой нагрузки, приведенным в [7], можно достаточно просто получить статистические моменты случайной величины ее годичных максимумов, а также параметры закона распределения Гумбеля. Полученные характеристики являются исходными данными при проведении вероятностных расчетов конструкций и оценки их безопасности и долговечности [9,10,11].

Литература

1. Болотин В.В. Прогнозирование ресурса машин и конструкций. М.: Машиностроение, 1984. С. 31-34

2. Raizer V.D. Theory of Reliability in Structural Desing. - Journal of Applied Mechanics Reviews, USA, 2004. - Vol.57. - Nol. - pp. 1-21.

3. Райзер В. Д. Теория надежности сооружений. Научное издание. - М.: Издательство АСВ, 2010. С.384

4. Ржаницын А.Р. Теория расчета строительных конструкций на надежность. - М.: Стройиздат, 1978. С.285

5. Шлете Г. Надежность несущих строительных конструкций. М.: Стройиздат, 1994. С. 288 - перевод изд.: Gerhard Spaethe. - Die Sicherheit tragende Bankonstruktionen. - ISBN.5-274-01208-6.

6. Дородов П.В., Кулагин А.В. О запасе прочности и оценке надежности узлов металлоконструкций. // Инженерный Вестник Дона. №2. 2012. URL: ivdon.ru/uploads/article/doc/articles.810.big_image.doc

7. Свод правил: СП 20.13330.2011 «Нагрузки и воздействия» (Текст): нормативно-технический материал. М.: Минрегион России, 2011. С.98

8. Касьянов В.Е., Котесов А.А., Котесова А.А. Аналитическое определение параметров закона Вейбулла для генеральной совокупности конечного объема по выборочным данным прочности стали. // Инженерный

Вестник

Дона.

№2.

2012.

URL:

ivdon.ru/uploads/article/doc/articles.804.big_image.doc

9. Болотин В.В. Применение методов теории вероятностей и теории надежности в расчетах сооружений. М.: Стройиздат, 1971. C.158-161

10. Половко А.М. Основы теории надежности. М.: Издательство «Наука», 1964. С. 187-191, 269-274

11. Raizer V.D. Reliability of Structures. Analysis and Applications, Backbone Publishing Company. - New York, USA, 2009. - 146 p

1. Bolotin V.V. Prognozirovanie resursa mashin i konstrukcij. [Predicting resource of machines and structures]. M.: Mashinostroenie, 1984. pp 31-34

2. Raizer V.D. Journal of Applied Mechanics Reviews, USA, 2004. Vol.57. Nol. pp 1-21

3. Rajzer V.D. Teorija nadezhnosti sooruzhenij. Nauchnoe izdanie. [Reliability theory structures. Scientific publication]. M.: Izdatel'stvo ASV, 2010. 384 p

4. Rzhanicyn A.R. Teorija rascheta stroitel'nyh konstrukcij na nadezhnost'. [Theory of design of structures for reliability]. M.: Strojizdat, 1978. 285 p

5. Shpete G. Nadezhnost' nesushhih stroitel'nyh konstrukcij. [Reliability bearing structures]. M.: Strojizdat, 1994. 288 p. perevod izd.: Gerhard Spaethe. Die Sicherheit tragende Bankonstruktionen. ISBN.5-274-01208-6

6. Dorodov P.V., Kulagin A.V. Inzenernyj vestnik Dona (Rus). №2. 2012. URL: ivdon.ru/uploads/article/doc/articles.810.big_image.doc

7. Svod pravil: SP 20.13330.2011 «Nagruzki i vozdejstvija» (Tekst): normativno-tehnicheskij material. [«Loads and effects» (Text): legal and technical material]. M.: Minregion Rossii, 2011. 98 p

References

8. Kas'janov V.E., Kotesov A.A., Kotesova A.A. Inzenernyj vestnik

ivdon.ru/uploads/article/doc/articles.804.big_image.doc

9. Bolotin V.V. Primenenie metodov teorii verojatnostej i teorii nadezhnosti v raschetah sooruzhenij. [Application of probability theory and the theory of reliability analysis of structures]. M.: Strojizdat, 1971. pp 158-161

10. Polovko A.M. Osnovy teorii nadezhnosti. [Basic theory of reliability]. M.: Izdatel'stvo «Nauka», 1964. pp 187-191, 269-274

11. Raizer V.D. Reliability of Structures. Analysis and Applications, Backbone Publishing Company. New York, USA, 2009. 146 p

12. Losida Z. et al. Physical studies on deposited snow. Thermal properties Contrib. Inst of Low Temp. Sci. Hokkaido Univ., Sapporo, 1955.Ser.A. vol.27. pp

Dona (Rus).

№2.

2012.

URL:

19-74