CC BY
34
УДК 621.3.019.3
В.Н. ЯРОШЕНКО*, Н.В. СЕСПЕДЕС ГАРСИЯ*, Ар.А. МУХА*
К ВОПРОСУ ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ВЕСОВ МЕТРИК НЕКОТОРОГО АТРИБУТА ГАРАНТОСПОСОБНОСТИ СИСТЕМЫ
Институт проблем математических машин и систем НАН Украины, Киев, Украина_
Анотація. Розглянуто питання аналітичної оцінки вагів метрик гарантоздатності систем. Розвивається базовий підхід до комплексної кількісної оцінки рівня гарантоздатності комп ’ютерних систем.
Ключові слова: атрибутивна модель гарантоздатності, атрибути, метрики, нормовані оцінки, ваги.
Аннотация. Рассмотрены вопросы аналитической оценки весов метрик атрибутов гарантоспособности систем. Развивается базовый подход к комплексной количественной оценке уровня гарантоспособности компьютерных систем.
Ключевые слова: атрибутивная модель гарантоспособности, атрибуты, метрики, нормированные оценки, веса.
Abstract. The questions of analytical estimation of metric weights of systems dependability were considered. A basic approach to complex numerical estimation of the degree of systems of computer dependability was developed.
Keywords: attributive model of dependability, attributes, metrics, normalized estimations, weights.
1. Введение
В [1] в качестве обобщенного показателя предлагается представить линейный функционал, составляющими которого были бы нормированные значения атрибутов и метрик с соответствующими весовыми коэффициентами. Выбор величин весовых коэффициентов при этом зависел бы от особенностей применения каждой конкретной системы. В тех случаях, когда метрики не имеют аналитических оценок, их измерение предлагается осуществлять экспертными методами.
В этой же статье [1] на основе количественных оценок метрик предлагается вычислять количественные оценки атрибутов и далее через них вычислять оценки достигнутого уровня гарантоспособности исследуемой системы для различных вариантов ее исполнения. В качестве иллюстрации, представленной ниже, подход посвящен анализу линейного функционала, рассматривающего атрибут как функцию составляющих его трех метрик. Считаем, что с целью минимизации аналитических выкладок общность предлагаемого подхода никак не пострадает, если ограничиться рассмотрением только трех метрик. В рассматриваемом подходе фигурируют метрики, оцениваемые как аналитическими выражениями, так и на основе метода экспертных оценок [2].
2. Установление взаимосвязи метрик и их весов
Пусть имеется система с конечным числом атрибутов, и пусть некоторый ее атрибут описывается тремя метриками с оценками A1, A2, A3.
Предполагается, что, аналогично предложению в [1], система может быть представлена некоторым показателем в виде линейного функционала
Д A, +b A2 +Ьз A3, (1)
где Ai (i = 1,2,3) - оценки метрик с соответствующими неизвестными весами Д .
© Ярошенко В.Н., Сеспедес Гарсия Н.В., Муха Ар.А., 2014 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 4
189
Утверждение 1. Веса Д являются некоторыми функциями от Л1, Л2, A3. Утверждение 2. Метрики л, (i = 1,2,3) представляются своими нормированными значениями относительно значений, установленных в спецификации (или в соответствующих нормативных документах).
2.1. Предварительные рассуждения и изложение предлагаемого подхода
Очевидно, что выражение
ДЛ /(Д Л +Д2 Л2 +Дз Лз) (І = 1,2, з) (2)
можно рассматривать как долю (вес) слагаемого fiAi в сумме ДЛ1 + Д2Л2 + Д3Л3.
Утверждение 3. Веса Д являются численным отражением результата взаимодействия процессов функционирования системы, описываемых метриками ЛІ (i = 1,2,3) .
Утверждение 4. Каждая из метрик ЛІ подвергается влиянию остальных метрик, а степень этого взаимовлияния зависит от количественных оценок, представляющих метрики.
В этой связи в качестве примера рассмотрим отношение Л1 /(Л2 + Л3). При уменьшении суммы Л2 + Л3 (суммы оставшихся по отношению к Л1 метрик) можно априори предполагать, что влияние величины Л1 на вклад в сумму (1) величины fiiAi будет возрастать, а при увеличении суммы Л2 + Л3 убывать. Аналогичное рассуждение применимо к отношениям Л2 /(Л1 + Л3) и Л3 /(Л1 + Л2) .
Такие интуитивные рассуждения основываются на том, что сумма относительных
3 3
вкладов ДІЛІ / £ДД величин ДІЛІ в их сумму ^ДД. равна 1, то есть
i=1 i=1
3
(ДЛ1+Д2 Л2 +Д A3)/^ ДЛ, = 1,
i=1
(3)
и по прагматическим соображениям левую часть равенства (3) можно приравнять некоторому выражению, также равному 1, но так, чтобы по возможности соблюдалась логическая справедливость рассуждений.
В связи со сказанным упомянутое выражение можно получить следующим образом.
Л1 Л2 Л3
Сумму отношений-----1—, ----2—, 3— можно считать суммарной численной ха-
J Л2 +Л3 Л1+Л3 Л1+Л2 у F
рактеристикой взаимовлияния метрик друг на друга, а отношение
___________A /(A+A3)____________= Л /(Л2+A3)
Л1 /(Л2+Л3 )+Л2 /(Л1+Л3 )+Л3 /(Л1+Л2) M
где M - обозначение знаменателя левой части равенства, можно называть весом влияния метрики Л1 .
Аналогично [A2/(AX + Л3)]/M - это вес влияния метрики Л2, а [A3/(AX + Л2)]/M - вес влияния метрики Л3. Непосредственно видно, что сумма определяемых таким образом весов влияния этих трех метрик равна 1. Ниже веса влияния представляются в другом виде для их дальнейшего использования.
190
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 4
Итак, после очевидных алгебраических преобразований, приводящих к отсутствию в числителях и знаменателях выражений операций деления, получаем новые выражения упомянутых весов, обозначаемых как Bj (i = 1,2,3):
В =
А1(A1 + A2 )(A1 + A3)
A1(A1 + A2)(A1 + A3) + A2(A2 + A1)(A2 + A3) + A3(A3 + A1)(A3 + A2) = A1( A1 + A2)( A1 + A3)
SA ’
где SA - обозначение знаменателя первого члена цепочки равенства (4).
A2 (A2 + A1 )(А2 + Аз)
В2 = -------------------,
2 S „ ’
(4)
(5)
Вз
A3 (A3 + A1 )(A3 + A2 )
S
A
3
Из формул (4-6) видно, что сумма весов влияния метрик L В =1.
i=1
(6)
3
2.2. Гипотеза о зависимости соотношений вкладов ДІАІ в их сумму Lb А и соответ-
i=1
ствующих В. весов влияния метрик A. (i = 1,2,3)
3
Исходя из предположения, что соотношение вкладов величин РІАІ в сумму L ДІАІ про-
i=1
порционально соотношению весов влияния соответствующих метрик A., считаем, что, с учетом формул (4-6), справедливы равенства:
3
Д A' LbA
_______i=1
3
Д-A' 'Lb,a.
=1
В2 = А2( A2+Д )( A2 +A3 )/Sa В = Д(Д+ A2)(A1+ A3)/Sa ’
3
Д Д ' 1=ГДД' =В =A3(A3+Д )( A3+A2 )/Sa ДД/£ДД B1 A] (A^+ A2) ( A, + A3 )/Sa ’
i =1
3
Д A3' lpa
______i=1___
3
Д A' LbA
i =1
B3 = A3(A3 +A1)( A3 +A2 )/Sa B2 A2(A2+A1)(A +A3 )/Sa '
(7)
(8)
(9)
После очевидных сокращений в числителях и знаменателях выражений в левых и правых частях цепочек равенств (7-9) получаем зависимости между искомыми весами Д (i = 1,2,3) в следующем виде:
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 4
191
b _ A2 + A3 b . b _ A3 + A2 b
b 4+A3 b; b A1+A2 b'
(10)
Зависимость Д_——~b2 является очевидным следствием зависимостей из (10).
A2 + A1
При получении выражений для искомых весов b (i _ 1,2,3) воспользуемся предпо-
3
ложением, что выполняется условие Zb _1.
i-1
С учетом этого условия, а также выражений из (10), справедлива следующая цепочка равенств:
b+ A2 + A3b+ A3 + A2b=b( A1+A2 )( A1+A3 )+( A2 +A1)( A2 +A3 )+( A3+A1)( A3 +A2 ) _1
A1 +A3 A1 +A2
(A1+ A2 )(A1+ A3)
откуда
b-
(A+a2 )(4+ a3 )
( A1+ A2 )( A1+ A3 )+( A2 + A1 )( A2 + A3 )+( A3 + A1 )( A3 + A2 )
(A1+ A2 )(Ax+ A3 ) ' SH
(11)
где Sp - обозначение знаменателя выражения из левой части цепочки (11).
С учетом зависимостей, представленных в (10), и равенства (11), получаем формулы для b2 и b3:
b _(A2 +A1 )(A2 +A3 ) . b _(A3 +A1 )( A3 +A2 )
Sb
Sb
(12)
bb
3
Нетрудно видеть, что Zb_1, так как сумма числителей дробей, представляющих
i_1
выражения для b (/ _ 1,2,3), равна общему знаменателю этих дробей, то есть величине S^.
2.3. Проверка корректности рассмотренного подхода
Выше было показано, что гипотеза о пропорциональности отношений вкладов любых двух
3
метрик в сумму ZbA и отношений весов влияния этих метрик правомерна.
i_1
Используя полученные выше формулы, можно доказать, что имеет место более сильный факт, из которого вытекает упомянутая пропорциональность.
3
Факт состоит в том, что вклад biAi (i _ 1,2,3) в сумму Zb А равен весу влияния Д
i_1
соответствующей метрики Ai .
Докажем справедливость этого факта относительно метрики A1, то есть что имеет место равенство 3bA _Д . Из формулы (11) следует, что
ZbiAi
I _1
_ A1(A1+ A2 )(A1+ A3 )
b A1 ГУ ,
Sb
а используя формулы (10-12), получаем следующее равенство:
(13)
192
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 4
= A(A+A_)( A+A) , A(A+A)( A+a3 ) + a3( A+A)(A+A)
2-1
Sb
Sb
Sb
(14)
Теперь видно, что отношение правых частей равенств (13) и (14) равно выражению,
В A
представляющему в (4) величину В1. Итак, равенство А 1 =В, справедливо.
'AbA
2=1
Совершенно так же показывается, что имеют место равенства
b2A2 =
Ab.A
i =1
=В и
Вз a =
=В3, где В2 и Вз - соответственно веса влияния метрик А2 и Аз, выражаемые фор-
ZAA
=1
мулами (5, 6).
Получение формул (10-12) для весов b дает возможность представить этот функ-
ционал (сумму Ab А ) в явном виде, зависящем только от переменных - метрик
=1
A (2 = 1,2,3).
Это представление имеет следующий вид:
В A +В а +В A = A1(A1+ А )(A1+ А3 A A2(A2 + A1 )(A2 + A3 )+A3( A3 + A1 )(A3 + A2 ) (1 5)
b 1 b 2 b 3 (a1+a2 )(a1+a3)+(a +A )(a2+a3+(a3+a )(a3+a ) ' 1 ;
3. Учет влияния неблагоприятной метрики на сумму Ab, А,
2=1
Полезно отметить следующее. В изложенном подходе все три метрики подразумеваются благоприятными [2].
Определение 1. Благоприятной метрикой будем называть метрику, увеличение численного (нормированного) значения которой способствует повышению уровня гарантоспособности системы.
Примером такой метрики может быть, например, вероятность безотказной работы системы в течение некоторого заданного промежутка времени.
Определение 2. Неблагоприятной метрикой будем называть такую метрику, увеличение численного (нормированного) значения которой приводит к снижению уровня гарантоспособности системы.
В качестве примера такой метрики может послужить метрика - среднее время восстановления работоспособности системы.
В представленном выше подходе каждая из трех благоприятных метрик A (і = 1,2,3) атрибута вносила соответствующий положительный вклад р.А.(і = 1, 2, 3) в
3
сумму AbA . Как изменилась бы эта сумма, если бы некоторые метрики атрибута оказа-
i =1
лись неблагоприятными?
Пусть атрибут характеризуется двумя благоприятными метриками A1 , A2 и одной неблагоприятной метрикой А3. По формулам (11) и (12) определяются величины b. (і = 1,2,3), а значит, и р.А. (і = 1, 2,3). Правомерно полагать, что теперь в изначально
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 4
193
предлагаемом виде выражения УДА, слагаемые Д Д и Д2А2 будут положительными, а
i=1
слагаемое Д3 А3, соответствующее неблагоприятной метрике А3, должно сменить знак на противоположный, то есть превратиться в - Д3 А3.
3
При этом явный вид выражения УД. А. будет таким:
i=1
Д Ai+ Д2А2-Д3А3, (16)
где Д.А.(i = 1, 2, 3) - положительные числа.
Корректность изложенного подхода позволит получать явные выражения для ана-
3
логов суммы УДА в случаях атрибутов с числом метрик, большим трех.
i=1
Рассмотрим несколько примеров по определению численных значений величин bi (i = 1,2,3) и ДА + Р, А2 + Д А..
Пример 1. Исходные данные: А1 = 1,2; А2 = 1,0; А3 = 0,8 .
По формулам (11) и (12) вычисляем
(1,2+11,2+0,8 ) 4,4
Д=
(1,2+1 )(1,2+0,8 )+(1+1,2 )(1+0,8 )+( 0,8+1,2 )( 0,8+1) 11,96 Д=(1+1,2 )Г1+°.8) =396=0,3311,
=0,3679.
11,96
11,96
Д3 = ( °.8+1.2)/°.8+^) ^=0,3010.
1196
11 ,96
Проверка показывает, что УД =0,9999 »1. Расчет численного значения суммы
3
УДА дает результат
i=1
Д =
Д1А1+Д2 А2 +Д3 А3 =0,3679-1,2+0,3311 1+0,3010-0,8=1,01338.
Пример 2. Исходные данные: А1 =0,9;А2 =1,25;А3 =1,1.
Использование тех же формул (11) и (12) позволяет вычислить
(0,9 +1,25)(0,9 +1,1) 4,3
= 0,3060,
(0,9 +1,25)(0,9 +1,1) + (1,25 + 0,9)(1,25 +1,1) + (1,1 + 0,9)(1,1 +1,25) 14,0525
Д =( us+o,9)(и5+и )=50^=0 ,
14.0525 14,0525
Д =(U+0,9 )< U+1,25 ) =_4^=0,3345.
14.0525 14,0525
33
Проверочный расчет показывает, что УД =1. Сумма УДА дает следующий ре-
i=1 i=1
зультат:
Д1А1+Д2 А2 +Д3 А3=0,3060 0,9+0,3595 1,25+0,3345 1,1=1,09273.
г=1
194
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 4
Пример 3. Исходные данные: Л1 = 1,0; Л2 = 0,95; А3 = 1,15 .
Использование упомянутых формул (11, 12) приводит к следующим расчетам:
Д=
_________________(1+0,95)(1+1,15)____________________= 4,1925 _
(1+0,95)(1+1,15)+(0,95+1)(0,95+1,15)+(1,15+1)(1,15+0,95)_12,8025_
=0,32747.
А =(095^095+1^=J^=0 2 12,8025 12,8025
А =( Ш+1)(1,15+0,95 ) =j4M5_=0 27.
12,8025 12,8025
3
Проверка показывает, что ^Д =0,99999
i=1
приводит к следующему результату:
3
то есть близка к 1. Расчет суммы ~^Д.Д
i=1
Д Aj +Д2 Л2 +Д3 Л3=0,32747 1+0,31986 0,95+0,3527 1,15=1,036942.
Нетрудно видеть, что веса метрик Д отслеживают долевое участие каждой метрики в обобщенном показателе уровня исполнения атрибута в целом.
4. Выводы
Предлагаемый подход позволяет получать выражения, аналогичные (15), и в тех случаях, когда атрибуты описываются числом метрик, большим трех. Это дает возможность вычислять количественные оценки атрибутов и далее через них достигнутый уровень гарантоспособности анализируемой системы с произвольным набором атрибутов и метрик.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Федухин А.В. Атрибуты и метрики гарантоспособных компьютерных систем / А.В. Федухин, Н.В. Сеспедес Гарсия // Математичні машини і системи. - 2013. - № 2. - С. 195 - 201.
2. К вопросу о сравнительной оценке гарантоспособных систем / А.В. Федухин, В.Н. Ярошенко, А.И. Сухомлин [и др.] // Математичні машини і системи. - 2014. - № 1. - С. 185 - 194.
Стаття надійшла до редакції 04.08.2014
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 4
195
