К вопросу об описании трехсторонних участков поверхности колодки Текст научной статьи по специальности «Математика»

К вопросу об описании трехсторонних участков

поверхности колодки

Замарашкин К.Н. (pddi@yandex.ruH1), Просвирницын А.В.(1),

Замарашкин Н.В.(1) (1) Санкт-Петербургский государственный университет технологии и дизайна

Одним из основных результатов исследования поверхности колодки с 70-х г. г. стало разбиение ее поверхности на зоны в соответствии с количеством особых точек в каждой зоне [1]. Эти зоны естественным образом соответствуют параметрам расположения и на поверхности стопы. В тоже время на поверхности стопы имеется область, которая не в полной мере отражает идентичную поверхность колодки. Так, на поверхности колодки ряд особых точек формируют линию ребра следа, которая из-за наличия овальности в зоне сопряжения боковой и опорной части поверхности стопы отсутствует. Нет идентичного отражения поверхности в пальцевом участке и в области наружных и внутренних пучков. При создании пространства внутренней формы обуви детальное воспроизведение стопы ничем не обосновано, так как это лишь ухудшит условия эксплуатации обуви. Поэтому при формализации и аналитическом описании поверхности колодки особенности формы поверхности пальцевого участка стопы игнорируются, сглаживаются.

Независимо от вида параметризации существует способ деления поверхности колодки между особыми точками на ней. Различное количество особых точек в разных зонах поверхности колодки (стопы) означает, что число кривых линий, формирующих участки, будет нечетным и в области границы зоны, покрытой координатной сеткой, равным трем. Описание участка поверхности, ограниченного тремя кривыми, имеет отличительные особенности по сравнению с описанием стандартной четырехсторонней области.

Стандартный способ описания трехстороннего участка поверхности [2] основан на использовании предельного перехода в уравнении участка поверхности, представленной в виде г (и, V), что приводит к появлению дополнительных условий ориентации нормали к поверхности, в частности, возникают требования к компланарности точек, примыкающих к вырожденному углу участка поверхности. Это означает, что фактически речь идет о дроблении трехстороннего участка поверхности на стандартную четырехстороннюю область, которую можно вновь описать с помощью, например, бикубического интерполяционного сплайна, и на фрагмент плоскости - треугольник. Разделение производится по выбору шага разбиения поверхности. Однако ясно, что процедура дробления может носить интерактивный характер; размер плоского треугольника будет в итоге зависеть от

выбранного шага разбиения. Логика и последовательность действий отражены на схеме на рис.1.

Математагаеская модель поверхности колодки

Выбор метода разбиения и аппроксимадии

Выделение трехстороннего участка поверхности

Выбор геометрических параметров повсрхиости (щвблшши в зонах 1■ _

1 Оа исакие участк базе сфероддичес! а поверхности на сою треугольника

г

Описание участка поверхности па базе сферического треугольника

Ошгсаине участка поверхности на б аэе плоского треугольника

Рисунок 1

Существует большое количество возможных простых поверхностей, с помощью которых можно приблизить участок поверхности колодки. Исследования показали [3], что до 50% поверхности колодки при решении различных прикладных задач может быть описано фрагментом поверхности второго порядка - эллипсоида. Конфигурация области ребра следа показывает, что практически все треугольные участки на поверхности колодки. Образующиеся именно в области, примыкающей к ребру следа колодки, состоят из эллиптических точек и, соответственно, могут быть приближены участком поверхности эллипсоида. Приближения участков и поверхности колодки в целом, которые строились для колодок разных половозрастных групп, показали, что для большинства колодок параметры

приближающего поверхность эллипсоида не будут превышать величин полуосей в 150 и 50 мм. Таким образом, при получении оценок для фрагмента эллипсоида будем исходить из наихудшей оценки, приведенной выше. Воспользовавшись схемой на рис.1, определим для указанных параметров эллипсоида тот масштаб, при котором можно рассматривать упрощение аналитического описания трехстороннего участка поверхности колодки.

Остается определить размер треугольника на поверхности, при котором с учетом требований по допуску замена сфероидического треугольника на плоский будет допустимой. В свою очередь, допустимый размер в обратную сторону позволит определить предельный шаг разбиения поверхности колодки в смысле замены треугольника на плоский. Логика рассуждений вытекает из требования компланарности, что не соответствует реальной форме поверхности колодки на визуальных масштабах.

Приняв крайние оценки параметров эллипсоида при приближении им всей поверхности колодки, а именно, размер полуосей двухосного эллипсоида от а = 10мм, Ь = 5мм до а = 150мм, Ь = 50мм, в результате покрытия поверхности колодки и эллипсоида координатной сеткой выделим на поверхности эллипсоида треугольник, размер сторон которого пока не определен. При использовании ортогональной координатной сетки, при которой одно из семейств координатных линий ортогонально оси вращения колодки (и, соответственно, эллипсоида), получающийся треугольник можно считать сфероидическим, т.е. образованным геодезическими линиями. Фактически треугольник будет образован нормальными сечениями, но ошибка в длине стороны будет составлять ничтожно малую величину. Для сфероидического треугольника существуют формулы [4], воспользовавшись которыми можно найти ошибку при замене его сферическим или обычным треугольником. В отличие от сферы, кривизна поверхности эллипсоида непрерывно меняется. Сопоставив дугу на эллипсоиде ее изображению на сфере, определим относительное искажение вдоль геодезической окружности по формуле (здесь и везде далее будем пользоваться сферической системой координат с применением соответствующих терминов - широты, долготы, азимута):

Приближение участка поверхности колодки участком эллипсоида; замена сфероидического треугольника на сферический треугольник

(1)

V - относительное линейное искажение вдоль дуги геодезической окружности;

8 р, 8 рс - дифференциалы дуг геодезических окружностей на эллипсоиде и на сфере; е - эксцентриситет эллипсоида приближения; В0 - широта точки вырождения участка поверхности; ^0 - азимут точки вырождения участка поверхности.

Из формулы (1) видно, что искажение будет максимальным, когда центр треугольника расположен на широте В0 = 45°, и выразится формулой

2 3

- е s (2)

Vmax 3 ()

6a

При ориентации эллипсоида большей осью вдоль оси вращения колодки, принятой в СПГУТД, треугольные участки в области ребра следа в основном будут находиться на меньших широтах, т.е. оценка вновь будет завышенной. Задавшись допустимой величиной V, например, v=10-7 , можно из (2) найти предельное расстояние S, то есть установить размеры участка эллипсоида, в пределах которого можно пренебречь линейными искажениями стороны треугольника при решении сферического треугольника как сферического. И наоборот, задавшись размером стороны треугольника, можно оценить относительную ошибку при замене сфероидического треугольника на сферический. При стандартной схеме измерений [5] шаг координатной сетки составит порядка 1-10мм; примем среднюю величину 5мм. Тогда, подставив значения параметров в правую часть уравнения,

получим, что относительная ошибка в определении стороны составит v — 9.6 -10-6, т.е. в пределах указанных параметров при решении любых задач и при использовании любых средств измерений можно не рассматривать эллиптическое происхождение трехстороннего участка поверхности при приближении участка колодки эллипсоидом.

Замена сферического треугольника на плоский треугольник

Если воспользоваться аксиомой о существующей возможности получения порции площади сферического треугольника весьма малой, то появляется возможность его замены плоским треугольником.

Теорема Лежандра: малый сферический треугольник можно решать как плоский, если каждый его угол уменьшить на одну треть сферического избытка.

Сферический избыток s для сферического треугольника ABC (см. рис.2) определяется как

£ = ^ + АВ + АС -180° (3)

и вычисляется по формуле

еп = РЧа^ПС (4)

2 Я2

где Я - радиус шара, равный среднему радиусу кривизны эллипсоида в центре треугольника, , - стороны сферического треугольника в линейной мере, АС -противолежащий угол сферического треугольника, р" = 206265'' - константа.

Рисунок 2

Определим радиус шара, входящий в формулу (4), из выражения

V _ b(1 + (e cosB)2) ...

/Я _ a2 (5)

• J*2-^ b " б В

где e _-и, как и прежде, a, b - размеры полуосе и эллипсоида приближения. В

b

данном случае следует выбирать наименьший из приближающих эллипсоидов, поскольку требуется оценить наихудшие условия по замене треугольника; очевидно, данное условие выполнится в случае, когда кривизна приближающего эллипсоида будет наибольшеи. Подставив параметры эллипсоида, получим Я _ 6мм. Теперь можно вычислить средний сферический избыток для средних параметров треугольника. Например для

sa _ 5мм,sb _ 3мм, AC _ 55° сферический избыток составит s_ 8°. Тогда по теореме

£

Лежандра в углы сферического треугольника надо внести поправку в размере —, что внесет

изменение в линейный размер стороны уже плоского треугольника не более ± 0.2мм. Таким образом, можно сделать вывод о том, что сферический треугольник на поверхности колодки можно рассматривать как плоский и в расчетах пользоваться формулами тригонометрии, только если порция поверхности имеет линейные размеры по большей стороне существенно

меньше 5 мм. В этом случае стрела прогиба (ошибка приближения) будет определяться из выражения

/ = ^2(1 - соя а)

и для указанных параметров сферического треугольника составит 5=0,5мм. Стрела прогиба служит оценкой разницы в приближении участка поверхности сферическим и плоским треугольниками. Сплайн займет промежуточное положение.

Литература.

1. Замарашкин Н.В. Исследование закономерностей формообразования, точности изготовления, создание способов и средств проектирования, обработки, контроля колодок и деталей обуви // Автореф. Дисс.д.т.н., Л., ЛИТЛП, 1977.

2. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. - М., Мир, 1982.

3. Замарашкин К.Н. Математические методы в проектировании обуви и конструировании технологической оснастки. - СПб, СПГУТД, 2004

4. Кениг Р. Математические основы высшей геодезии и картографии, М., 1954.

5. Замарашкин Н.В., Замарашкин К.Н. Обувь: проектирование, производство, эксплуатация. - СПб, СПбГУТД, 2002.