К вопросу об описании эволюции двухуровневой системы, взаимодействующей со средой Текст научной статьи по специальности «Физика»

© Д.В. Додин, 2007-2008

ХИМИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

УДК 513.9.194

К ВОПРОСУ ОБ ОПИСАНИИ ЭВОЛЮЦИИ ДВУХУРОВНЕВОЙ СИСТЕМЫ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩЕЙ СО СРЕДОЙ *

Д.В. Додин

Исследуются возможности модификаций стохастических уравнений теории Зусмана с целью учета квантовых когерентных эффектов. На основе представлений теории нечетких квантовых измерений выведена система уравнений, описывающая переходы в двухуровневой системе, взаимодействующей со средой с учетом когерентной динамики.

Введение

Представление о двухуровневой системе, взаимодействующей с резервуаром гармонических осцилляторов в приближении линейной связи [1], является основой теоретического обоснования [2] так называемого стохастического подхода Зусмана [3]. При этом известно, что уравнения Зусмана, широко используемые в описании реакций переноса электрона в конденсированных средах, могут, в некоторых частных случаях, не сохранять нормировку вероятности. В работе [4] на простейшей модели было показано, что для решений уравнений Зусмана могут нарушаться условия Фон Неймана на элементы матрицы плотности, и был получен вывод о том, что они не пригодны для описания эволюции системы на временах t < туг; здесь

(1)

Хотя исторически уравнения Зусмана были предложены из эвристических соображений, в последующие годы был проведен ряд исследований, в которых они были выведены из «первых принципов». Так, в работе [2] авторы исходили из уравнений, полученных в работе [1]:

* Работа поддержана грантом ВолГУ №9 40-2008-а/ВолГУ и грантом РФФИ-АВО №9 07-03-9660.

Здесь На - гамильтониан системы;

D р - коэффициент диффузии в импульсном пространстве; у - коэффициент трения.

После преобразования Вигнера, в пределе сильного трения и больших температур, ими получены уравнения, совпадающие с уравнениями Зусмана.

Однако вышеизложенные факты заставляют усомниться в безукоризненности теоретических выкладок работы [2] и выступают побудительным мотивом для более тщательного рассмотрения данного вопроса.

По-видимому, неудовлетворительный результат (уравнения Зусмана) может проистекать из нижеследующих причин.

Уравнение Калдеры-Лаггетта (2), положенное в основу работы [2] и описывающее взаимодействие частицы с термостатом - не принадлежит к классу так называемых уравнений типа Линдблада [5; 6]

^ -Я.-. Х(/, у..., (3)

Здесь операторы L¡ - описывают влияние термостата на систему.

Уравнение Линдблада есть наиболее общий вид уравнения, сохраняющий положительную определенность матрицы плотности. Таким образом, для уравнения (2) положительная определенность матрицы плотности во все моменты времени гарантироваться не может.

Уравнения (2) приводятся к «линдбладовской» форме добавлением дополнительного слагаемого [6]:

Здесь х = У2/20р.

Полученные на основе этого модифицированные уравнения не нарушают неравенств Фон Неймана в пределе нулевых температур [7], в отличие от оригинальных уравнений Зусмана [4; 8].

Однако данная поправка не спасает положения вполне и для модифицированной системы уравнений, все еще возможны появления отрицательных вероятностей при произвольном значении температуры [7]

Система основных уравнений для двухуровневой системы, взаимодействующей со средой

В работе [2] сделано предположение о том, что среда оказывает воздействие только на «центр масс» рассматриваемой системы, не влияя на эволюцию двухуровневой подсистемы. Это приводит, на наш взгляд, к тому, что в полученных уравнениях нельзя брать произвольный вид термов, так как это ведет к «запутыванию» унитарной эволюции двухуровневой системы и динамики «центра масс», испытывающего диссипативные влияния со стороны термостата.

Воспользовавшись терминологией квантовой теории измерений [6], можно сказать, что авторы работы [2] постулировали такой характер эволюции системы, которая характеризуется «измерением средой» лишь положения пробной частицы, то есть оператора координаты - q. При

этом был проигнорирован тот факт, что при произвольном виде термов динамика центра масс, вообще говоря, будет зависеть от переходов в двухуровневой подсистеме.

Таким образом, на вопрос «что измеряет среда?» мы должны дать ответ в том смысле, что в результате взаимодействия со средой квантовая система оказывается локализованной в окрестности некоторой точки q, на каком-то из уровней, то есть измеряемой величиной является q ® ст

Исходя из гамильтониана для двухуровневой системы вида

й*=£+ит+/й) ®а*+й°

(5)

и сделанных предположений, легко получить следующую систему уравнений для функции Вигнера №(д, р, t):

(6)

Обозначая далее производные по координате и импульсу нижними индексами, можно пред-

ставить матрицы М в следующем виде

Мьь =

-а2И7,1,1 - - И'-22} - ^{И% + Щ2р)\+

+У0 \ъц\^ + И'”12) + 2др(}¥21 - И*3) - 1{р§-р +д|)(И/21 + IV12} + £(№£ - И*1)]

4р2И/21 _ ^[2д2(И/21 + ИД2) + П^ЦП2 _ ^}] +

+У0 \2qpiИ''22 - И/Ч) + *-(р§-р + q£¡)(W™ + И’11} + £<И£ - И£)]

4^ТУ12 - ^[2<?2(1Г21 + и/12} + £{и£1 - И^)]+

_+Н [анкет11 - И/22) + *{р£ + ф{^2 + ж11) + - и£)]

-П2\У% - - И/11) - -е.{И£ + Иу*>-

+7о [2га(Ий1 + Ш2) + 2др(И/12 - IV21) - &(р^ + дв-)(\у21 + IV12) + ^(И^1 - И^2)]

Данная система уравнений находится в согласии с предельным случаем отсутствия взаимодействия. При условии равенства нулю матричного элемента связи данная система переходит в модифицированные уравнения Калдеры-Лаггетта для двух несвязанных уровней.

128 Д. В. Додин. К вопросу об описании эволюции двухуровневой системы, взаимодействующей со средой

Как видно из структуры уравнений, здесь влияние матричного элемента электронной связи более существенно, чем в оригинальной системе уравнений Зусмана. Так, например, в данной системе величина электронной связи непосредственно влияет на коэффициенты диффузии. Из этого могут следовать, на наш взгляд, дополнительные эффекты, приводящие к своевременному распаду недиагональных матричных элементов.

Автор выражает благодарность профессору А.И. Иванову за обсуждение настоящего вопроса.

Summary

ON THE EVOLUTION DESCRIPTION OF TWO-LEVEL SYSTEM INTERACTING

WITH THE ENVIRONMENT

D. V. Dodin

Possible modifications of the Zusman stochastic equations aimed to account for quantum coherent effect have been investigated. Found on the theory of unsharp measurements we obtain a set of equations that describe quantum transitions in the two-level system that interact with the environment. The suggested approach is taking into account coherent dynamics of a system.

Список литературы

1. Caldeira A.O., Leggett A.J. // Physica A 121. 587 (1983).

2. Garg A., Onuchic J.N., Ambegaokar V // J. Chem. Phys. 83. 4491 (1985).

3. Zusman L.D. // J. Chem. Phys. 49. 295 (1980).

4. Frantsuzov P.A. // Chem. Phys. Lett. 267. 427 (1997).

5. Lindblad G. // Commun. Math. Phys. 48. 119 (1976).

6. Менский М.Б. // УФН. 173. 1199 (2003).

7. Dodin D.V // Chem. Phys. 325. 257 (2006).

8. Ming-Lian Zhang, Shesheng Zhang and Eli Pollak // J. Chem. Phys. 119. 11864 (2003).