К вопросу об обобщенной выпуклости оператора Грина Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.929 © Г. Г. Исламов

К ВОПРОСУ ОБ ОБОБЩЁННОЙ ВЫПУКЛОСТИ ОПЕРАТОРА ГРИНА

Доказана теорема о наследовании свойства обобщённой выпуклости оператора Грина при линейных возмущениях.

Ключевые слова: оператор Грина, обобщённая выпуклость.

Введение

В линейной теории функционально-дифференциальных уравнений особую роль занимают краевые задачи. Поиск эффективных условий однозначной разрешимости краевой задачи и конструктивная проверка выполнения этих условий представляет собой одно из направлений исследований [1]. Оператор Грина О краевой задачи Ьх = /, 1г(х) = 0, г = 1,... ,п даёт зависимость х = О/ решения этой задачи от правой части уравнения. Изучение свойств этого оператора составляет другое направление исследований [2-5]. Отметим свойства, представляющие практический интерес: скорость аппроксимации оператора Грина конечномерными операторами; полнота системы корневых векторов оператора Грина; положительность оператора Грина относительно выбранной пары конусов полуупорядоченных пространств. Исходная краевая задача может быть записана в виде одного операторного уравнения Ах = д. Многие свойства оператора Грина наследуются при специальных видах возмущений оператора А. В основе исследования этой проблемы, как правило, лежит левая, либо правая регуляризация. Форма левой регуляризации А ^ В -1А приводит к новому уравнению относительно исходной переменной х, тогда как правая регуляризация А ^ АВ-1 даёт уравнение относительно новой переменной г (х = Шг = В-1z). В ряде работ, где изучаются вопросы устойчивости решений и положительности оператора Грина, правая регуляризация называется ««Ш-методом» Н.В. Аз-белева. Следующий результат работы [6] является примером применения левой регуляризации. В терминах монографии [7] имеет место

Теорема 1. Пусть А и В — линейные операторы, переводящие КВ-линеал X в себя и удовлетворяющие условиям В ^ А, В обратим, и ||(1 — В-1А)к|| < 1 при некотором к. Тогда из положительности оператора В-1 следует положительность оператора А-1.

Этот факт содержится в следующем утверждении работы [8], которое получается в результате применения правой регуляризации.

Теорема 2. Пусть аддитивный и однородный оператор А, заданный на линейном подмножестве Е КВ-линеала X, отображает Е в X. Пусть, далее, существует аддитивный и однородный оператор В, отображающий Е на X, такой, что оператор I — АВ-1 ограничен и положителен и ||(1 — АВ-1)к|| < 1 при некотором к. Тогда из положительности оператора В-1 следует положительность оператора А-1.

Такие свойства оператора Грина Ш : Ь[а,Ь] ^ Шп[а, Ь], как положительность относительно конуса неотрицательных функций, монотонность, выпуклость и др., могут быть описаны

$ х(С)

в терминах произведения С} = -От-2 • ... • -Ось 2 ^ т ^ п операторов (Djx)(t) = —---,

(с)

] = 0,1,... ,т — 2. Здесь (С), ] = 0,1,... ,т — 2 есть положительные функции класса С т-2-з [а, Ь]. Известно, что семейство Uj (С), ^ = 0,1,... ,т — 2 решений начальных задач Коши и0 = ш0, Dj-1 ■ ... ■ D0Uj = Wj, (а) =0, к = 0,1,...,] — 1 образует ЕСТ-систему [9].

Мы изучаем наследование следующего свойства оператора Грина при линейных возмущениях: для некоторого линейного гомеоморфизма Р лебегова пространства Ь[а, Ь] расширенное семейство ио, и1,..., ит-2, ОР/ образует WT-систему на открытом интервале (а,Ь) [9] при любой

неотрицательной функции / € Ь[а,Ь] . Это свойство эквивалентно положительности оператора QОP : Ь[а,Ь] ^ С[а,Ь] относительно конуса неотрицательных функций (свойству обобщённой выпуклости [9]). Приводимая ниже теорема 3 доказывается по схеме работы [10] в предположении, что Q : Шп[а,Ь] ^ С[а,Ь] есть линейный слабо компактный инъективный на пересечении ядер функционалов исходной краевой задачи оператор и для любой конечной системы различных точек ф, г = 1,... ,и интерполяционная задача ^х)(Ьф = аг, г = 1,... ,и разрешима в Шп[а,Ь] при любых скалярах аг, г = 1,...,и. В нашем случае инъективность эквивалентна тому, что ранг матрицы li(uj), г = 1,... ,п, ] = 0,1,... ,т — 2, равен т — 1. При выполнении этого предположения имеет место

Теорема 3. Пусть V : С [а,Ь] ^ Ь[а,Ь] есть линейный положительный оператор относительно конуса неотрицательных функций и найдётся такая функция и € Шп[а,Ь], что 1г(и) = 0, г = 1,...,п, образ Qu неотрицателен на [а,Ь], а невязка ф = Р-1Ьи — VQu положительна почти всюду на [а,Ь]. Тогда возмущённая краевая задача Ьх = PVQx + /, 1г(х) =0, г = 1,...,п также однозначно разрешима в соболевском пространстве Шп[а,Ь] при любом / € Ь[а, Ь] и её оператор Грина О наследует свойство О, а именно: QGP > 0.

Для линейного положительного относительно конуса неотрицательных функций оператора

Ь — в

Т : С [а, 61 —>■ Ь[а, 61 и такой функции ф € Ь^а, 61, что фСв) ^-почти всюду на [а, 61, имеем

Ь— а

Следствие 1. Линейная краевая задача х" (Ь) + (Тх)(Ь) = / (Ь), Ь € [а,Ь], х(а) = 0,

х'(а) + /а ф(в)х"(в) йв = 0 однозначно разрешима в Ш2[а,Ь] при любом / € Ь[а,Ь] и функция Грина О(Ь, в) этой задачи неположительна в квадрате [а, Ь] х [а, Ь] в том и только том случае, когда найдётся удовлетворяющая краевым условиям неотрицательная функция V € Ш2[а,Ь] с неположительной почти всюду на [а,Ь] невязкой ф(Ь) = и'^Ь) + (Ти)(Ь).

Список литературы

1. Азбелев Н.В., Рахматуллина Л.Ф., Максимов В.П. Методы современной теории линейных функционально-диффренециальных уравнений. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. 300 с.

2. Исламов Г.Г. Оценки минимального ранга конечномерных возмущений операторов Грина // Дифференциальные уравнения. 1989. Т. 25. № 9. С. 1496-1503.

3. Исламов Г.Г. О некоторых приложениях теории абстрактного функционально-дифференциального уравнения. I // Дифференциальные уравнения. 1989. Т. 25. № 11. С. 1872-1881.

4. Исламов Г.Г. О некоторых приложениях теории абстрактного функционально-дифференциального уравнения. II // Дифференциальные уравнения. 1990. Т. 26. № 2. С. 224-232.

5. Исламов Г.Г. Критерий разрешимости уравнений с краевыми неравенствами // Известия института математики и информатики УдГУ. Ижевск, 1994. Вып. 2. С. 3-24.

6. Азбелев Н.В., Рахматуллина Л.Ф., Цалюк З.Б. Заметка о положительности обратных операторов // Учёные записки Удмуртского госпединститута. 1958. Вып. 12. С. 47-49.

7. Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. М.: Физматгиз, 1961. 408 с.

8. Исламов Г.Г. О существовании положительных решений уравнений с запаздывающим аргументом // Материалы третьей Всесоюз. межвуз. конф. по теории и приложениям диффер. уравн. с отклоняющимся аргументом. Черновцы, 1972. С. 95-97.

9. Карлин С., Стадден В. Чебышевские системы и их применение в анализе и статистике. М.: Наука, 1976. 568 с.

10. Исламов Г.Г. К вопросу об оценке сверху спектрального радиуса // Вестник Удмуртского университета. 1992. Вып. 1. С. 82-86.

Поступила в редакцию 01.02.2012

G. G. Islamov

On the question of extended convexity of Green operator

We prove a theorem on inheritance of extended convexity by Green operator under linear perturbations.

Keywords: Green operator, extended convexity.

Mathematical Subject Classifications: 34K10, 34K06

Исламов Галимзян Газизович, д.ф.-м.н., профессор, кафедра высокопроизводительных вычислений и параллельного программирования, Удмуртский государственный университет, 426034, Россия, г. Ижевск, ул. Университетская, 1. E-mail: ggislamov@gmail.com

Islamov Galimzyan Gazizovich, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Udmurt State University, ul. Universitetskaya, 1, Izhevsk, 426034, Russia