К вопросу об использовании теоремы умножения вероятностей в расчетах безотказности систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 629.7/621.01

К ВОПРОСУ ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ТЕОРЕМЫ УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В РАСЧЕТАХ БЕЗОТКАЗНОСТИ СИСТЕМ

Е. А. Фурманова Научный руководитель - О. Г. Бойко

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева

Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

Е-mail: furmula@mail.ru

Выполнен анализ традиционной и новой модели надежности для систем с последовательным и параллельным соединением одинаковых элементов. Показано, что применение теоремы умножения вероятностей не обеспечивает получение результатов качественно соответствующих развитию отказов в системах. Для расчета безотказности систем предложен метод, основанный на использовании суммарной плотности вероятности отказа элементов, составляющих ее работоспособную часть.

Ключевые слова: теорема умножения вероятностей, вероятность безотказной работы, последовательное и параллельное соединение элементов, суммарная плотность потока отказов.

ON THE USE OF THE PROBABILITIES ADDITION THEOREM IN THE CALCULATION

OF OF SYSTEM RELIABILITY

E. A. Furmanova Scientific supervisor - O. G. Bouko

Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation Е-mail: bouko1962@yandex.ru

In this paper was presented the analysis of traditional and new models of reliability for systems with serial and parallel connection of the same elements It is shown that the application of the multiplication theorem of probability does not provide a qualitative result of failures in the development of appropriate systems. To calculate the reliability of systems is proposed a method based on the use of the total density of the probability offailure of elements that make up part of its working capacity

Keywords: multiplication theorem of probability, the probability of failure-free operation, sequential and parallel connection of elements, the total density offailure flow.

В классической теории надежности, при расчетах безотказности систем применяется теорема умножения вероятности отказов и безотказной работы элементов. При последовательном соединении перемножаются вероятности безотказной работы (ВБР) элементов, а при параллельном соединении -вероятности их отказов (ВО). В теории вероятности эта теорема доказаны только для событий, относящихся к схеме случаев и может применяться без доказательства к событиям, не относящимся к схеме случаев [1].

Целью предлагаемой работы является рассмотрение возможности использования теорем умножения или сложения вероятностей в расчетах безотказности различных систем. В статье рассмотрены традиционные и новые модели надежности для систем с последовательным и параллельным соединением одинаковых элементов.

Рассмотрим процедуру определения ВБР для системы из пяти последовательно соединенных элементов. В соответствии с традиционным подходом выражение для оценки вероятности безотказной работы такой системы имеет вид

P(t) = (p(t ))5, (1)

где p(t) - ВБР элемента системы.

Актуальные проблемы авиации и космонавтики - 2015. Том 1

Из (1) следует, что вероятность отказа системы P(t) = 1 достигается при p(t) = 1 для всех элементов, т. е. что система откажет вследствие одновременного отказа всех пяти элементов. Вместе с этим совершенно очевидно, что такие системы отказывают вследствие отказа только одного элемента.

Исследуем возможности традиционного метода подробнее. Поскольку в (1) вид функции распределения ВБР элементов не задан, то для примера в расчетах примем закон распределения ВО в виде распределения равномерной плотности вида

Г f (t) • t при 0 < t < 2T

q(t)=\ л t > 2T (2)

[ 1 при t > 2Tcp,

где Tcp - средняя наработка на отказ элемента; f (t) - плотность вероятности отказа вида

0 при t > 2Tcp,

f (t) =

2- при 0 <t < ZT^

2Tcp

Тогда ВБР системы в соответствии с (1) будет иметь вид

р(0 = [1 - до • 7]5, (3)

Анализ моделей (1) и (3), показывает, что система с последовательным соединением элементов, откажет только вследствие отказа всех элементов.

Для иллюстрации на рис. 1 приведена функция распределения ВО системы, рассчитанная при /7) = 0,01 ч-1 (сплошная линия). Из рис. 1 следует, что эта функция нелинейна. Нелинейность функции ВО не соответствует неизменности структуры системы и постоянству плотности ВО элементов.

В работе [2] показано, что ВБР является дополнением к ВО, и рекомендовано вместо умножения ВБР использовать сложение ВО элементов. Тогда для системы из пяти последовательно соединенных элементов ВО будет иметь вид

0(7) = 5 • д(7),

а с учетом (2)

0(7) = 5 • /(7) • 7 = / (7) • 7, (4)

Из (4) следует, что ВО системы определяется как суммарная плотность ВО элементов, умноженная на время. В работах [3; 4] авторами предложен подход к расчету безотказности систем, основанный на использовании суммарной плотности потока отказов. На рис. 1 приведена функция ВО, рассчитанная по (4) при/= 0,01 ч-1 (пунктирная линия). Линейность функции следует из структуры выражения (4). Время до отказа одного элемента, а, следовательно, и системы (при 0(7) = 1) определится из (4) как

, = = (5)

5 • / (I) Л 0)

Такой результат, полученный при использовании теоремы соложения вероятностей, адекватно отражает выход системы из строя вследствие отказа в ней одного элемента.

Рассмотрим расчет безотказности системы из пяти параллельно соединенных одинаковых элементов, имеющих плотность ВО Д0,01 ч-1. В соответствии с традиционным подходом, ВО такой системы определится в виде

0(7) = (д (7 ))5, (6)

и при распределении равномерной плотности для элементов вида (2)

0(7) = (/(7))5 • 75 (7)

График функции распределения для системы (7) приведен на рис. 2 (сплошная линия). В соответствии с (6), (7) и рисунком 2 система откажет при одновременном отказе всех пяти элементов, так как изменение 0(7) происходит плавно. Такая модель не соответствует действительности, так как отказ такой системы является следствием последовательных отказов элементов, сопровождающихся изменением структуры ее работоспособной части.

Для избавления от указанных недостатков, В работах [3; 4] предложены методы расчета систем, в которых используется только теорема сложения плотностей ВО. Функции распределения ВО системы в соответствие с предложенными методами приведены на рис. 1 и 2 (пунктирная линия). В точках излома функции ВО (рис. 2, пунктирная линия), изменяется структура работоспособной части системы.

Предлагаемый в [3; 4] метод позволяет оценивать ВБР и других видов систем.

Рис. 1. Функции распределения ВО системы с последовательным соединением элементов.

_- расчет с использованием теоремы

умножения ВО элементов;

___- расчет с использованием теоремы

сложения ВО элементов

Рис. 2. Функции распределения ВО системы с параллельным соединением элементов.

_- расчет с использованием теоремы

умножения ВО элементов;

____- расчет с использованием теоремы

сложения ВО элементов

Таким образом, показано, что применение теоремы умножения вероятности не обеспечивает получение результатов даже качественно соответствующих развитию отказов в системах. Для расчета безотказности систем может быть рекомендован метод, основанный на использовании суммарной плотности ВО элементов, составляющих ее работоспособную часть.

Библиографические ссылки

1. Венцель Е. С. Теория вероятностей. М. : Физматлит, 1962. 563 с.

2. Теория вероятностей : учеб. для вузов. 3-е изд., испр. / А. В. Печкин, О. И. Тескин, Г. М. Цветкова и др. / под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2004. 456 с.

3. Бойко О. Г., Фурманова Е. А., Шаймарданов Л. Г. Методологический подход и методы оценки вероятности катастроф вследствие отказов функциональных систем самолетов // Надежность и качество : тр. Междунар. симпозиума : в 2 т. Пенза : ПГУ, 2014. Т. 1. С. 84-87.

4. Бойко О. Г., Фурманова Е. А. Об одном из направлений оптимизации структуры функциональных систем самолетов // Проблемы и перспективы развития авиации, наземного транспорта и энергетики «АНТЭ-2013» : материалы Междунар. науч.-техн. конф. Казань, КНИТУ-КАИ. 2013. С. 73-79.

© Фурманова Е. А., 2015