CC BY
31
УДК 338.2
К ВОПРОСУ ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ
А.В. Синчуков
Российский экономический университет им. Г. В. Плеханова
Аннотация
В рамках данной статьи рассмотрены основные направления и особенности использования дифференциальных моделей в экономических исследованиях, позволяющих по-новому подойти к оценке динамики развития экономических ситуаций. Представленные опорные типы обыкновенных дифференциальных уравнений, находящие наиболее широкое применение в экономических исследованиях снабжены содержательными комментариями
Ключевые слова:
дифференциальное уравнение, дифференциальная модель, математическая подготовка, закон спроса, равновесная цена
История статьи:
Дата поступления в редакцию 18.02.18 Дата принятия к печати 20.02.18
Исследуя различные экономические проблемы и ситуации, мы сталкиваемся с необходимостью создания и исследования математической модели. Часто математической моделью являются дифференциальное уравнение или система дифференциальных уравнений. Дифференциальная модель предоставляет возможность исследователю рассматривать экономическую ситуацию в целом, а также количественно прогнозировать её дальнейшее развитие при тех или иных начальных условиях.
Важно отметить, что теория дифференциальных уравнений, тесно связанная с другими разделами математики, играет важную роль в развитии представлений о количественных методах и математическом моделировании, позволяет акцентировать внимание на взаимосвязи экономических проблем и ситуаций, учитывать цикличный характер изменения количественных характеристик. К настоящему времени дифференциальные уравнения лежат в основе непрерывных моделей экономики, характеризуются высокой эффективностью при исследовании социально-экономических систем, позволяют учитывать экономическую динамику.
Пример 1. Решить дифференциальное уравнение с учетом заданных начальных условий У' + 4 y = 0, y (п) = -1, y '(п) = 3.
k2 + 4 = 0 о k12 = ±2z, y = C1 cos 2 x + C2 sin 2 x
C = -1 Ci = -1
y' = -2C1sin2x + 2C2cos2x, < о< y = -cos2x + 1,5sin2x
[ 2 C2 = 3 [C2 = 1,5,
Частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям y (n) = -1, y '(n) = 3 имеет следующий вид: y = - cos 2 x +1,5 sin 2 x.
t y 2
Пример 2. Решить дифференциальное уравнение y - ^ = x + 7x +1.
uv 2 ( v I 2
y = uv, y = u' v + uv', u' v + uv'--= x + 7x +1, u' v + u I v'—1 = x + 7x +1,
x ^ x)
. v dv v dv dx 2 n 1 i 2-7i
v — = 0 ^ — = — ^ — = — ^ v = x; u v = x + 7 x +1 ^ u x = x + 7 x +1 ^ x dx x v x
1 r( 11 x2 (x2
u' = x + 7 +—, u = П x + 7 +— dx =--+ 7x + lnl x| + C; y = I--+ 7x + lnl x| + C
x Ji x) 2 [ 2
К вопросу об использовании дифференциальных моделей в экономических исследованиях
Общее решение заданного дифференциального уравнения имеет вид: y = (о,5х2 + 7х+1п|х\+С)х. Пример 3. Решить дифференциальное уравнение y" - у' - 6y = 0 с учетом заданных начальных условий у ( 0 ) = 1, у'( 0 ) = 8.
к2 - к- 6 = 0 о k = 3, к2 = -2, у = С1е3х + C2e~2 х, у' = 3Се3х - 2C2e~2 х,
С + С2 = 1 С = 2 [3Q - 2С2 = 8 [С2 = -1
Частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям у (0) = 1, у'(0) = 8 имеет вид у = 2e3х - e~2х.
2
Пример 4. Решить дифференциальное уравнение у = у2+5у+4.
Данное уравнение — однородное дифференциальное уравнение первого порядка.
Для решения этого дифференциального уравнения воспользуемся заменой переменной, полагая,
У = гх, у' = г' х+г, г' х+г = г1 + 5г+4 í' х = (г+2)2
dt dx 1 м х .и,, -о--= 1п х + С,--= ln х + С
(t + 2)2 х " t + 2 ' ' у + 2х
х
Общее решение заданного дифференциального уравнения имеет вид
у+2х
- = 1п х + С
Пример 5. Найти закон спроса у, если он обладает эластичностью ц = —р—, 0 < р < 20 , и известно, что при
р - 20
цене (р) в 18 у.е. приобретают 1 ед. товара.
Составим соответствующее дифференциальное уравнение.
= - ^ = - У = С (20 - р), у (18)= 1 - 1 = С (20 - 18)- С = 0,5 у ар р - 20 У р - 20
Искомый закон спроса имеет вид у = 10 - 0,5 р.
а ар
Пример 6. Функции спроса и предложения имеют соответственно следующий вид: У = 50 -2р -4 —т,
ар аг
х = 70+2 р - 5—. Найти зависимость равновесной цены от времени, если в начальный момент р =10. Является ли равновесная цена устойчивой?
Составим и решим соответствующее дифференциальное уравнение.
50 - 2р - 4 Лр = 70 + 2р - 5 Лр о Лр = 20 + 4р о & = Л о 11п|р + 5| = (+ С о Л & Л 20 + 4 р 4
о р = Се4 - 5
Учтем заданные начальные условия: р(0) = 10 — 10 = С-5 — С = 15 — р = 15е4' -5.
Выясним, является ли равновесная цена устойчивой: Ит р (г) = 1ип (15е4' - 5) = , следовательно, равновесная цена не является устойчивой.
ЛИТЕРАТУРА:
1. Ахмадеев Р. Г., Быканова О. А. Изменение структуры внешней задолженности по странам БРИКС // Азимут научных исследований: экономика и управление. — 2017. — Т. 6. — № 1 (18). — С. 22—26.
2. Бритвина В. В., Муханов С. А., Муханова А. А. Вероятностный анализ наступления страхового случая на страховом рынке // Системные технологии. — 2017. — № 3 (24). — С. 55—58.
3. Власов Д. А. Возможности профессиональных математических пакетов в системе прикладной математической подготовки будущих специалистов // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Информатизация образования. — 2009. — № 4. — С. 52—59.
4. Власов Д. А., Синчуков А. В. Новые технологии Wolframalpha при изучении количественных методов студентами бакалавриата //Вестник Российского университета дружбы народов. — Серия: Информатизация образования. — 2013. — № 4. — С. 43—53.
5. Власов Д. А., Синчуков А. В. Стратегия развития методической системы математической подготовки бакалавров // Наука и школа. — 2012. — № 5. — С. 61—65.
6. Власов Д. А., Синчуков А. В., Качалова Г. А. Использование Wolframalpha при обучении решению задач с параметрами // Вестник Российского университета дружбы народов. — Серия: Информатизация образования. — 2014. — № 1. — С. 64—72.
7. Геворкян Э. А., Синчуков А. В., Татарников О. В. Анализ динамики изменения национального дохода в макроэкономической модели Калецкого с учетом инвестиционного временного лага // Фундаментальные исследования. — 2017. — № 6. — С. 121—126.
8. Муханов С. А., Конюхова Г. П., Муханова А. А. Изучения демографии населения используя математические модели // Системные технологии. — 2017. — № 3 (24). — С. 27—30.
9. Пантина И. В., Синчуков А. В. Вычислительная математика — Московский финансово-промышленный университет «Синергия». — 2012. — 176 с.
10. Синчуков А. В. Исследование устойчивости решений системы двух линейных дифференциальных уравнений первого порядка с периодическими коэффициентами // Ярославский педагогический вестник. — 2011. — Т. 3. — № 4. — С. 55—58.
11. Сугак В. П., Калинина Е. С. Разработка математической модели выбора маршрутов передвижения при ликвидации чрезвычайных ситуаций // Проблемы управления рисками в техносфере. — 2010. — № 1 (13). — С. 59—67.
12. Щукина Н. А., Горемыкина Г. И., Тарасова И. А. Дискретно-событийное моделирование деятельности отделения банка в среде Simevents системы Matlab+Simulink // Фундаментальные исследования. — 2016. — № 10—2. — С. 452—456.
Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:
Синчуков А. В. К вопросу об использовании дифференциальных моделей в экономических исследованиях. — Системные технологии. — 2018. — № 26. — С. 78—80.
ON THE USE OF DIFFERENTIAL MODELS IN ECONOMIC RESEARCH Sinchukov A.V.
Plekhanov Russian University of Economic
Abstract
Within the framework of this article, the main directions and peculiarities of the use of differential models in economic research are examined, which allow us to take a new approach to assessing the dynamics of the development of economic situations. The presented support types of ordinary differential equations, which are most widely used in economic research, are provided with meaningful comments
Keywords:
differential equation, differential model, mathematical preparation, law of demand, equilibrium price
Date of receipt in edition: 18.02.18 Date of acceptance for printing: 20.02.18
