CC BY
16
28
Трулы БГТУ, 2016, № 6, с. 28-30
УДК 517.982.45
Т. Г. Шагова
Белорусский государственный технологический университет
К ВОПРОСУ ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РАЗЛОЖЕНИЯХ РАЦИОНАЛЬНЫХ МНЕМОФУНКЦИЙ
Рассмотрена задача аппроксимации обобщенных функций новыми обобщенными функциями (мнемофункциями, порожденными рациональными функциями), которые образуют подалгебру в алгебре новых обобщенных функций, и асимптотические разложения которых имеют специальный вид. Построены асимптотические разложения некоторых классов рациональных мнемофункций, в частности, ассоциированных с обобщенными функциями 8 и Р(1 / x), а также исследовано их поведение на бесконечности. Ввиду того, что произведение обобщенных функций не может быть корректно определено в пространстве обобщенных функций, для 82 и --Х)
построены асимптотические разложения, главным членом которых является 8-функция с бесконечно большим коэффициентом. В работе показано, что равенство, представленное в монографии [1], имеет место только для аппроксимаций определенного вида.
Ключевые слова: аппроксимация, мнемофункция, рациональная мнемофункция, асимптотическое разложение.
T. G. Shagova
Belarusian State Technological University
ON THE ASYMPTOTIC EXPANSIONS OF RATIONAL MNEMOFUNCTIONS
The problem of generalized functions approximation by new generalized functions (mnemofunc-tions generated by rational functions) is considered in the article. They form a subalgebra in the algebra of new generalized functions and their asymptotic expansions have a special type. The approximations of distributions 8 and P(1 / x) by mnemofunctions generated by rational functions are considered. Asymptotic expansions were built for such mnemofunctions and their behavior was investigated.
Asymptotic expansions for 82 and ) which are not defined as generalized functions, were obtained.
The major term of these expansions is 8-function with infinitely large coefficient. It was shown that the equality given in the monograph [1] holds only for approximations of special type.
Key words: approximation, mnemofunction, rational mnemofunction, asymptotic expansion.
Введение. В связи с невозможностью введения ассоциативного всюду определенного произведения обобщенных функций стала развиваться теория новых обобщенных функций. В рамках данной теории рассматриваются новые объекты, которые обладают основными свойствами обобщенных функций, но в то же время допускают корректно определенную операцию умножения, т. е. образуют алгебру. Практически все эти конструкции основаны на некоторой аппроксимации обобщенных функций семейством гладких функций /Е(х), зависящих от малого параметра е. Поскольку по своему построению новые обобщенные функции сохраняют информацию о способе их получения из гладких, то для таких объектов начали использовать название мнемофункции (от слова «тпето» - память) [2].
Связь мнемофункций с классическими обобщенными функциями устанавливается с помощью понятия ассоциированности. Будем гово-
рить, что обобщенная функция u е ß'(R) ассоциирована с мнемофункцией f(x) и что f есть регуляризация функции u, если
lim | f (х)ф( x)dx = (u, ф)
для любой функции фе ß(R). Будем обозначать (/1) ~ u.
С позиции ассоциированности понятие произведения обобщенных функций возникает достаточно естественно. Произведением функций u, v е D'(R), ассоциированных с мнемофункциями (fl) и (gl) соответственно, будем считать обобщенную функцию w, ассоциированную с произведением мнемофункций (f g1). Однако для семейства (f1 g1) может не существовать ассоциированной обобщенной функции, что частично преодолевается за счет того, что для мнемофункций часто существуют асимптотические разложения в пространстве D'(R) вида
Т. Г. Шагова
29
(/ )■
Е£ки
к>
я'(К).
к=-»
С точки зрения асимптотических разложений произведением обычных обобщенных функций можно считать асимптотическое разложение произведения ассоциированных мнемофункций.
Особый интерес вызывают мнемофункции, порожденные рациональными функциями, т. е.
Р (х / е)
мнемофункции вида /е (х) = —---, которые
д (х / е)
будем в дальнейшем называть рациональными. Такие мнемофункции образуют подалгебру в алгебре обобщенных функций, и их асимптотические разложения имеют специальный вид. Поэтому в данной работе рассматриваются рациональные мнемофункции и их асимптотические разложения.
Основная часть. Академиками А. Н. Тихоновым и А. А. Самарским была получена общая формула нахождения асимптотических разложений интегралов, зависящих от параметра, основанная на методе последовательных разложений [3]. С точки зрения теории мнемофункций эта формула дает асимптотическое разложение мнемофункций вида /е (х) = /(х / е), так называемых самоподобных мнемофункций. С помощью этой формулы были построены асимптотические разложения ряда рациональных мненофункций. Рассмотрим некоторые из них.
Пусть /(х) = —;—1——. Тогда семейство
п(1 + х2)
функций / (х) = 1 /I х I = 1
е' V е } п е2 + х2
задает ап-
проксимацию 5-функции. И асимптотическое разложение имеет вид
( е ( 1 Л §(2к)
п(е2 +х2)
Е (-1)к е2к
к=0
1Р
1
2 к +2
+
(2к)!
Существует много других аппроксимаций 5-функции. Асимптотические разложения таких семейств имеют главный член, равный 5, и отличаются младшими членами. Например,
функция /1(х) = ■ ^
разложение:
3л/2
п(е4 + х4)
п(1 + х4)
•Е (-1)к е4к
к=0
+ е3 Р
Ее асимптотическое
5(4к ) е2 5(4к+2)
(4к)! + (4к + 2)! +
4 к+4
Функцию 1/ х аппроксимирует семейство
функций, порожденное g (х) =--
1 + х 2
асимптотический ряд:
. Тогда ее
ех
е2 + х2
Е (-1)к е2к
к=0
Р
„2 к+1
+ еп5(2к+1}
Следует отметить, что асимптотические разложения рациональных мнемофункций имеют специальный вид: коэффициентами таких разложений могут быть только 5-функция и ее производные или степенные функции.
В монографии П. Антосика, Я. Микусин-ского и Р. Сикорского «Теория обобщенных функций: секвенциальный подход» [1] для квадратов функций 5 и Р (1/ х) приведено следующее равенство:
1 ( 1
п
1 1
2 2 п х
Поскольку выражения 52 и I —
как
обобщенные функции не определены, левая часть формулы, очевидно, не имеет смысла. В то время, когда правая часть равенства определена в пространстве обобщенных функций. Формальное доказательство этого выражения дано в [1]. Рассмотрим это равенство с позиции мнемофункций. В качестве аппроксимаций 5 и Р (1/ х) возьмем рациональные функции
1х / ( х) =—,-^ и g (х) =-
„ „ соответствен-
п(1 + х2)
но. Асимптотические разложения мнемофунк-ций, порожденных данными, были приведены ранее. Найдем асимптотические разложения, соответствующие квадратам мнемофункций. Для наглядности выпишем только несколько первых членов разложений:
(/ )2=е V е /(х
е V е
+1- р
п
л
+
5(2)
1
е-2п 2п 2! 2п 4!
+
- +...;
Ы2=1 (1 g V х
е V е V е Зпе 5(2)
л
р ^ I -
2е2 Р
1
+...
2 2! V х-
Подставив эти разложения в равенство, видим, что главный член разности будет следующим:
30
К вопросу об асимптотических разложениях рациональных мнемофункний
т. е. 5-функция с бесконечно большим коэффициентом. Отсюда следует, что с точки зрения теории мнемофункции выполнимость данного равенства зависит от способа аппроксимации. Для того, чтобы это равенство выполнялось, следует аппроксимировать 5 и Р (1/ x) рациональными функциями, удовлетворяющими равенству: j f2(x)dx = П- j g 2(x)dx.
Заключение. В ходе работы были получены асимптотические разложения некоторых рациональных мнемофункций. Коэффициентами таких разложений могут быть только функция 5 и ее производные, а также степенные функции. Рассмотрены некоторые аппроксимации обобщенных функций 5 иР (1/ x) и построены их асимптотические разложения, а также построены разложения мнемофункций, соответствующих квадратам функций 5 и Р(1/x). Главным членом таких разложений является 5-функция с бесконечно большим коэффициентом.
Литература
1. Антосик П., Микусинский Я., Сикорский Р. Теория обобщенных функций: секвенциальный подход. М.: Мир, 1976. 312 с.
2. Антоневич А. Б., Пыжкова О. Н., Третьякова Л. Г. Асимптотические разложения для произведений базовых обобщенных функций // Труды Института математики НАН Беларуси. 2000. Т. 5. С.18-31.
3. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Асимптотическое разложение интегралов с медленно убывающим ядром // Доклады Академии наук СССР. 1959. Т. 126, № 1. С. 26-29.
References
1. Antosik P., Mikusinskiy Ya., Sikorskiy R. Teoriya obobshchennykh funktsiy: sekventsial'nyy podkhod [The theory of generalized functions: sequential approach]. Moscow, Mir Publ., 1976. 312 p.
2. Antonevich A. B., Pyzhkova O. N., Tret'yakova L. G. Asymptotic expansions for products of basic distributions. Trudy Instituía maíemaíiki NAN Belarusi [Proceedings of mathematical institution of NASB], 2000, vol. 5, pp. 18-31 (In Russian).
3. Tikhonov A. N., Samarskiy A. A. Asymptotic expansions of integrals with slowly decreasing kernel. Doklady Akademii nauk SSSR [Reports of the USSR Academy of Sciences], 1959, vol. 126, no. 1, pp. 2629 (In Russian).
Информация об авторе
Шагова Татьяна Григорьевна - магистр физико-математических наук, ассистент кафедры высшей математики. Белорусский государственный технологический университет (220006, г. Минск, ул. Свердлова, 13 а, Республика Беларусь). E-mail: tanya.shagova@gmail.com
Information about the author
Shagova Tat'yana Grigor'evna - Master of Physical and Mathematical Sciences, assistant lecturer, the Department of Higher Mathematics. Belarusian State Technological University (13a, Sverdlova str., 220006, Minsk, Republic of Belarus). E-mail: tanya.shagova@gmail.com
Поступила 11.03.2016
(Г.)2Ы2 '(4-)■
П П (X )
Что и требовалось показать. Однако если в качестве аппроксимации
42
5-функции взять функцию f (x) =
п(1 + x4)
, то
первые члены асимптотического разложения, соответствующего квадрату мнемофунции:
1
1 „2 I x
\
-5 + -
5(2)
+
2V2ne 2V2n 2!
e3 5(4)
+
2л/2л 4!
■ +...
И если P (1/ x) будем аппроксимировать функцией g (x), то
/ г \2 1 / \2 - 2 5
^-f1e)--J (ge) ~-2
п
2пе п2
-Л р í-11+...,
