К ВОПРОСУ ОБ АППРОКСИМАЦИИ КЛАССА С(0) КОМПОНЕНТ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН В КРИВОЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Научный отдел

МАТЕМАТИКА

Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2022. Т. 22, вып. 2. С. 142-151 Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics, 2022, vol. 22, iss. 2, pp. 142-151 https://mmi.sgu.ru

https://doi.org/10.18500/1816-9791-2022-22-2-142-151

Научная статья УДК 539.3

К вопросу об аппроксимации класса С(0) компонент физических величин в криволинейных системах координат

Н. А. Гуреева1, Р. З. Киселева20, Ю. В. Клочков2, А. П. Николаев2

1 Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации, Россия, 125993, ГСП-3, г. Москва, Ленинградский проспект, д. 49 2Волгоградский государственный аграрный университет, Россия, 400002, г. Волгоград, Университетский проспект, д. 26

Гуреева Наталья Анатольевна, доктор физико-математических наук, доцент, доцент департамента анализа данных, принятия решений и финансовых технологий, Natalya-gureeva@yandex.ru, https: //orcid.org/0000-0003-3496-2008, AuthorlD: 306195 Киселева Румия Зайдуллаевна, кандидат технических наук, доцент кафедры прикладной геодезии, природообустройства и водопользования, rumia1970@yandex.ru, https://orcid.org/0000-0002-3047-5256, AuthorlD: 573150

Клочков Юрий Васильевич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики, Klotchkov@bk.ru, https://orcid.org/0000-0002-1027-1811, AuthorlD: 161677 Николаев Анатолий Петрович, доктор технических наук, профессор, профессор кафедры прикладной геодезии, природообу-стройства и водопользования, anpetr40@yandex.ru, https://orcid.org/ 0000-0002-7098-5998, AuthorlD: 161676

Аннотация. В численных методах расчета прочности техно-сферных объектов широко используются аппроксимирующие выражения искомых величин через их узловые значения. Теория аппроксимирующих функций скалярных величин в настоящее время развита достаточно полно, но ее непосредственное использование в криволинейных системах координат для аппроксимации компонент векторов перемещений и для компонент тензоров напряжений может приводить к значительной некорректности при существенных градиентах кривизны и смещениях рассчитываемого объекта как жесткого целого из-за

отсутствия в аппроксимирующих выражениях параметров используемой в расчете криволинейной системы координат. В настоящей работе с целью получения аппроксимирующих выражений для отдельных компонент вектора перемещения внутренней точки конечного элемента в форме шестигранника использованы известные аппроксимирующие функции непосредственно для вектора перемещения через векторы перемещений узловых точек. В результате координатных преобразований, а именно в использовании матричных выражений базисных векторов узловых точек конечного элемента через базисные векторы его внутренней точки, получаются аппроксимирующие выражения каждой компоненты вектора перемещения внутренней точки конечного элемента через все компоненты векторов перемещений узловых точек конечного элемента. С целью получения аппроксимирующих выражений для компонент тензора напряжений внутренней точки конечного элемента используется известная аппроксимирующая функция непосредственно для выражения тензора напряжений внутренней точки конечного элемента через тензоры напряжений в его узловых точках. Координатные преобразования заключаются в использовании матричных выражений диадных произведений базисных векторов узловых точек через диадные произведения базисного вектора внутренней точки конечного элемента. В результате координатного преобразования определяется аппроксимирующее выражение каждой компоненты тензора напряжения в окрестности внутренней точки конечного элемента через все компоненты тензоров напряжений в узловых точках. Полученные аппроксимирующие выражения для компонент вектора перемещения и компонент тензора напряжения с использованием матричных выражений базисных векторов узловых точек через базисные векторы внутренней точки конечного элемента, а также через матричные выражения их диадных произведений позволяют учитывать параметры используемой криволинейной системы координат, что приводит к решению общеизвестной в МКЭ проблемы учета смещения конечного элемента как твердого тела.

Ключевые слова: вектор перемещения, тензор второго ранга, криволинейная система координат, базисные векторы, аппроксимирующие функции

Для цитирования: Гуреева Н. А., Киселева Р. З., Клочков Ю. В., Николаев А. П. К вопросу об аппроксимации класса С(0) компонент физических величин в криволинейных системах координат // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2022. Т. 22, вып. 2. С. 142-151. https://doi.org/10.18500/1816-9791-2022-22-2-142-151

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0)

Article

On the approximation of class С(0) components of physical quantities in curved coordinate systems

N. A. Gureeva1, R. Z. Kiseleva20, Yu. V. Klochkov2, A. P. Nikolaev2

financial University under the Government of the Russian Federation, 49 Leningradsky Prospekt, GSP-3 Moscow 125993, Russia

2Volgograd State Agrarian University, 26 Universitetskiy Prospekt, Volgograd 400002, Russia

Natalia A. Gureeva, Natalya-gureeva@yandex.ru, https://orcid.org/0000-0003-3496-2008, AuthorID:

306195

Rumiya Z. Kiseleva, rumia1970@yandex.ru, https://orcid.org/0000-0002-3047-5256, AuthorID: 573150 Yuri V. Klochkov, Klotchkov@bk.ru, https://orcid.org/0000-0002-1027-1811, AuthorID: 161677 Anatoly P. Nikolaev, anpetr40@yandex.ru, https://orcid.org/0000-0002-7098-5998, AuthorID: 161676

Abstract. In numerical methods for calculating the strength of technospheric objects approximating expressions of the desired values in terms of their nodal values are widely used. The theory of approximating functions of scalar quantities is currently developed quite fully, but its direct use in curvilinear coordinate systems for approximating the components of displacement vectors and for the components of stress tensors can lead to significant inaccuracies with significant gradients of curvature and displacements of the calculated object as a rigid whole due to the lack of parameters in the approximating expressions of the curvilinear coordinate system used in the calculation. In this paper, in order to obtain approximating expressions for the individual components of the displacement vector of a finite element internal point in the form of a hexagon, the known approximating functions directly for the displacement vector through the displacement vectors of the nodal points are used. As a result of coordinate transformations, namely, using matrix expressions of the basis vectors of a finite element nodal points through the basis vectors of its internal point approximating expressions of each component of the displacement vector of the finite element internal point through all components of the displacement vectors of the finite element nodal points are obtained. In order to obtain approximating expressions for the components of the stress tensor of a finite element inner point a well-known approximating function is used directly to express the stress tensor of a finite element inner point through the stress tensors at its nodal points. Coordinate transformations consist in using matrix expressions of the dyad products of the node points basis vectors through the dyad products of the basis vector of the finite element inner point. As a result of the coordinate transformation, the approximating expression of each component of the stress tensor in the vicinity of the inner point of the finite element is determined through all the components of the stress tensors at the nodal points. The obtained approximating expressions for the components of the displacement vector and the components of the stress tensor using matrix expressions of the nodal points basis vectors through the basis vectors of the finite element internal point as well as through the matrix expressions of their dyad products allow taking into account the parameters of the curved coordinate system used. That leads to the solution of the well-known problem in the FEM which takes into account the displacement of the finite element as a solid.

Keywords: displacement vector, tensor of the second rank, curvilinear coordinate system, basis vectors, approximating functions

For citation: Gureeva N. A., Kiseleva R. Z., Klochkov Yu. V., Nikolaev A. P. On the approximation of class С(0) components of physical quantities in curved coordinate systems. Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics, 2022, vol. 22, iss. 2, pp. 142-151 (in Russian). https://doi.org/10.18500/1816-9791-2022-22-2-142-151 This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY 4.0)

Введение

Криволинейные системы координат широко используются в теории механики деформируемого твердого тела [1-3]. Криволинейные системы координат используются и в численных методах определения напряженно-деформированного состояния тонкостенных конструкций инженерных сооружений различного назначения. Среди численных методов расчета таких конструкций особенно широкое распространение получил метод конечных элементов (МКЭ) как в формулировке метода перемещений [4-7], так и в смешанной формулировке [6-9].

Основными операциями использования МКЭ при определении напряженно-деформированного состояния нагруженного твердого тела являются получение матрицы жесткости конечного элемента и вектора его узловых нагрузок, что выполняется на

основе использования аппроксимирующих функций, позволяющих выразить искомые величины внутренней точки конечного элемента через соответствующие им узловые неизвестные.

При расчете прочности тонкостенных конструкций на основе смешанного МКЭ в качестве узловых неизвестных конечных элементов принимаются перемещения и напряжения. Появляется необходимость аппроксимации искомых величин МКЭ в смешанной формулировке (перемещений и напряжений в окрестности внутренней точки конечного элемента) через их узловые значения при учете параметров используемой криволинейной системы координат.

Представленная работа относится к математической операции основного раздела МКЭ, где традиционно при расчетах в криволинейных системах координат для аппроксимации искомых величин через их узловые неизвестные используются зависимости как для скалярных величин, когда каждая искомая величина аппроксимируется через узловые значения только этой же величины, что приводит к некорректным результатам при значительных кривизнах границ конструкции и смещениях конечных элементов как твердого тела.

В настоящей работе представлены корректные алгоритмы получения в криволинейных системах координат аппроксимирующих выражений компонент вектора перемещения произвольной точки конечного элемента через компоненты векторов перемещении узловых точек конечного элемента. Разработаны также аппроксимирующие выражения для компонент тензора второго ранга через компоненты тензоров второго ранга узловых точек.

1. Базисные векторы точек конечного элемента

Радиус-вектор произвольной точки М оболочки определяется выражением

К = Н° + та°3 = хт(6п)гт, (1)

где Ё° = х°т(и,ь)гт — радиус-вектор соответствующей точки срединной поверхности; и,ь — криволинейные координаты срединной поверхности [10]; х0т — декартовы координаты срединной поверхности; а0 = , ^0", = а™(и,ь)гт — нормаль к срединной

| '11 Х 'V |

поверхности; — | ^ т ^ | — расстояние от срединной поверхности до рассматриваемой точки (Ъ — толщина оболочки); О1 = и; О2 = ь; 93 = т — криволинейные координаты произвольной точки рассматриваемого тела; хт(и,ь,т) = х0т(и,у) + ф(а™(и,ь),т) — декартовы координаты произвольной точки тела; гт — орты декартовой системы координат.

При прочностном расчете оболочки она представляется системой конечных элементов, соединенных между собой в узлах. В качестве конечного элемента полагается шестигранник с восемью узловыми точками т = г^,к,1,т,п,р,Ъ.

Для каждого шестигранного конечного элемента векторы локальных базисов внутренних и узловых точек определяются дифференцированием (1) по криволинейным координатам 9к

дк = й,к = хт(вп),к гт, = X™ (0™ )>к!т, к = 1, 2, 3, (2)

где и> = %,], к, 1,т, п,р,Ъ — узлы конечного элемента.

На основе (2) формируются матричные соотношения для внутренней и узловых точек конечного элемента

{д} = [m}{г}, {дш} = [тш ] , ы = i,j,k,l,m,n,p,Ъ, (3)

где {д}т = {д1 д2 д3} — строка векторов локального базиса точки М; {дш}т = {д- дЩШ д-} — строка векторов локального базиса узловой точки т шестигранника; { г}т = = { г 1 г2 гз} — строка ортов декартовой системы координат.

Используя соотношения (3), можно получить матричные выражения базисных векторов узловой точки т через базисные векторы произвольной точки М шестигранника

{дТ} = К ]Н-1Ш = [^ш ]{д}. (4)

3x1 3x3 3x3 3x1 3x3 3x1

2. Аппроксимация компонент вектора перемещения

Для выполнения численного интегрирования по объему конечного элемента шестигранной формы с узлами г,3,к,1,т,п,р и к он отображается на локальный куб, локальные координаты которого изменяются в пределах —1 ^ ^ 1. Скалярные величины, относящиеся к точке М шестигранника, аппроксимируются через значения в узловых точках т конечного элемента трилинейными соотношениями

Л = 1—11—11—С + 1±11—11-1 х + 1—^\к+

222 222 222 ±1_| 1 —( ^ ± 1-е 1—л 1±С дт ± 1±11—V 1±С дп ± 222 222 222

^^ ±1—1Ч1 А"=о )}т ^ }• (5)

2 2 2 2 2 2 1x8 8x1

где {Ау} = {X1 \з \к \ \т \п \р \н} — строка узловых значений скалярной величины Л

8x1

в узлах шестигранника.

К скалярным величинам точки М шестигранника относятся, например, значения криволинейных координат в1в2в3 и температура ¿.

Для вектора перемещения внутренней точки конечного элемента, представляемого выражением

V = ьгдг = {д}тМ, г = 1, 2, 3, (6)

1x3 3x1

аппроксимацию [5-7] компонент ьг через узловые неизвестные принимают выражением (5) (Л = ьг; {Ау}т = {Ьу}т). Недостатком этой аппроксимации является отсутствие в аппроксимирующих выражениях {/)}т параметров используемой криволинейной системы координат.

Для устранения этого недостатка предлагается в аппроксимирующем выражении (5) под символом Л понимать вектор перемещения внутренней точки конечного элемента, а под символом Хш понимать вектор перемещения узловой точки т и записать аппроксимирующее выражение (5) в векторной форме

V = {/}т Л }, (7)

1x8 8x1

где {Уу}т = {Vг V3 Ук V1 Ут Уп Ур Ун} — строка векторов в узлах шестигранника;

1x8

у-ш = уг-ш— вектор перемещения узловой точки т.

Для выполнения координатного преобразования столбец узловых векторов шестигранника представляется матричным выражением

{9у} = [£] {ьу}, (8)

8x1 8x2424x1

где {Ъу}Т

{и1 V2 V3 V1 V3 • • • V12 V22 V22}

1x24

[ь ]

8x24

д[ 92 9з

->] ->] ->] 9\ 92 93

9\ 922 Ш

В матрице [Ь] точками обозначены ее нулевые элементы.

С учетом (8) аппроксимирующее выражение (7) запишется в матричном виде

V = {Пт [Ь] {%} = {

1x8 8x2424x1 I. 1

1ШТ. Ы^' }т. •••. ¡8{9Н}Т] {V у }.

1x3 )

у}

24x1

(9)

1x3 1x3

Принимая во внимание (4), из соотношения (9) получается матричное соотношение

V = {9}

13

т

т

т

т

{9}Т Н] {Vу }.

1x3 3x2424x1

(10)

/ф Г . /2[*' Г. •••. ¡8[г Ч

1x3 1x3 1x3

Представляя левую часть (10) выражением (6), можно найти аппроксимирующие выражения для компонент вектора внутренней точки конечного элемента

^ = {Ьг}Т {V у },

1 24 24 1

1, 2, 3,

(11)

где [Ьг}т определяется г-й строкой матрицы [Н].

1x24 3x24

Как видно, в аппроксимирующем выражении (11) компоненты ьг вектора перемещения через матрицу [г] учитываются параметры используемой криволинейной системы координат. Кроме того, каждая компонента ьг вектора перемещения определяется через все компоненты , ь2'ш, векторов перемещений узловых точек конечного элемента.

Если в аппроксимирующем выражении (10) положить матрицу [г'ш] единичной,

3x3

что означает равенство базисных векторов узловых точек базисным векторам внутренней точки конечного элемента при их единичной длине, то аппроксимирующие выражения для ьг примут вид зависимостей (5), где каждая компонента вектора перемещения аппроксимируется через узловые значения этой же компоненты. Так как в криволинейной системе координат матрица [г'ш] не является единичной, то

33

некорректность использования аппроксимации (5) величин уг очевидна.

3. Аппроксимация компонент тензора второго ранга

Если физическая величина в точке М шестигранника является тензором второго ранга, определяемым выражением

Т = Тг>дгд3, 1,3 = 1,2,3, (12)

.. т ■■ т

то аппроксимация компонент этой величины выражением (5) ( Л = Тч, {Ау} = {Ту3} )

18

1x8

[6,7] также будет некорректна в криволинейной системе координат.

Для получения корректных искомых соотношений следует в аппроксимирующих выражениях (5) под символом Л полагать тензор второго ранга в базисе внутренней

точки конечного элемента, а под символом ХШ — тензор второго ранга в базисе узловой точки конечного элемента и записать соотношение (5) в виде

Т = {/}т {Гу },

1x8 8x1

(13)

т

где {Ту} = {Тг Тк Т1 Тт Тп Тр Тн} — строка тензоров узловых точек конечного

81

элемента; ТШ = Тг^дШд^ — тензор узловой точки т конечного элемента.

Для координатного преобразования соотношения (13) тензор второго ранга в точке М можно представить матричным произведением

Т = {Т }т {д} = {д}{Т},

1x9 9x1 9x1 9x1

т

(14)

где {Т }т = {Т11Т12 Т13 Т21 Т22 Т23 ... Т31Т32 Т33} — строка компонент тензора второ-

1x9

т

го ранга; {д} = & д2 д3. ••• •.g391.9392.9393} — строка диадных произведений

1x9

базисных векторов точки М.

Для узловой точки т тензоры второго ранга определяются матричными выражениями

(15)

т™ = {Тш }т {^ш } = {^ш у {Тш }, 1 9 9 1 1 9 9 1

т

где {Т'ш}т = {Т11ш Т12ш Т13ш Т21ш Т22ш Т23ш Т31ш Т32ш Т33ш} — строка компонент тензо-

1x9

ш т ш ш ш ш ш ш ш ш ш ш ш ш

ров второго ранга в узловой точке чи; {дш} = {дШдШ.дШ9ш .9ш 9з.''' .9з 9ш .9з 9шш .9з 9з } —

1x9

строка диадных произведений базисных векторов узловой точки.

На основании (15) столбец узловых тензоров второго ранга может быть представлен матричным выражением

{Ту} = [Ь] {Ту},

8x1 8x72 72x1

(16)

где

{тр }т_{^ 11 гг^ 12 гг^ 13 г^21 г^>22г^>23г^31 г^32г^>33г _ _ _ ^ин^ 12н^ 13н^>21н^>22н^>23н^>31н^>32н^>33н,}_

1x72

строка компонент тензоров второго ранга в узлах шестигранника;

}Т ......

[Ц

8 72

19

т

19

— матрица диадных произведений базисных векторов уз-

ловых точек (точками обозначены ее нулевые элементы).

Диадные произведения базисных векторов узловой точки на основе (4) можно

представить выражением

дШ дШ = («1 + « + «да + Ь + #).

Используя (17), можно сформировать матричное соотношение

т

т

{дШ} = [хШ]{д}, {9Ш} = {д} [хШ]

9x1 9x9 9x1 1x9 1x9 9x9

т

(17)

(18)

Аппроксимирующее выражение (13) для тензора произвольной точки шестигранника с учетом (16) и (18) примет вид

Т = [ПТ [Ц [Ту} = [дУ

1x8 8x72 72x1 1x9

Т

Мх3 ]Т. ¡2[хг]Т. ■■■. /9 [х"]Т

9 9 9 9 9 9

[д}Т [51 [Ту}. (19)

1x9 9x72 72x1

Представляя левую часть (19) выражением (14), можно получить матричное выражение

[Т} = [5] [Ту}. (20)

9x1 9x72 72x1

Каждая компонента тензора второго ранга (элемент столбца [Т}) определится

9x1

выражением

V = [Щ}Т [Ту}, 1 = 1, 2,..., 9, (21)

1x72 72x1

где [Н{}т — аппроксимирующее выражение, определяемое /-ой строкой матрицы [5].

9x72

На основе (21) каждая компонента тензора второго ранга произвольной точки шестигранника аппроксимируется через все компоненты тензоров узловых точек конечного элемента.

Если принять матрицу [] единичной, то матрица [ххш] в (19) также будет еди-

3x3 6x6

ничной, и компонента Т^ тензора второго ранга в окрестности внутренней точки конечного элемента будет представляться через узловые значения этой же компоненты аппроксимирующими выражениями (5). Некорректность такой аппроксимации в криволинейной системе координат очевидна.

Если компоненты тензора второго ранга обладают свойствами симметрии, то в аппроксимирующих соотношениях (20) размеры матриц уменьшаются.

Выражение тензора второго ранга в произвольной точке конечного элемента (14) принимает вид

Т = [Т }Т [д} = [д}т [Т}, (22)

1x6 6x1 1x6 6x1

где [Т}Т = [Т11Т12Т13Т22Т23Т33}, [д}т = Ш1 2д1д2 2^д2д2 2д2дздздз}.

1x6 1x6

Аналогично преобразуются тензоры второго ранга узловых точек. В итоге аппроксимирующее выражение (20) принимает вид

[Т} = [5] [Ту}. (23)

6x1 6x4848x1

Как видно, через матрицы [5] и [хш]Т в аппроксимирующих выражениях (20) и (23) учитываются параметры используемой криволинейной системы координат. Кроме того, каждая компонента тензора второго ранга внутренней точки конечного элемента выражается при аппроксимации через все компоненты тензоров узловых точек.

Заключение

Как видно из (11) и (23), некорректным является непосредственное использование аппроксимирующих соотношений (5) для выражения компонент тензоров 1-го, 2-го рангов через их узловые значения при переменных базисных векторах. Аппроксимирующие функции (5) следует применять к тензорам, а аппроксимирующие выражения

для компонент тензоров определять, выполняя координатные преобразования между базисными векторами узловых точек и базисными векторами внутренней точки конечного элемента.

Разработанные аппроксимирующие выражения векторных и тензорных величин следует использовать в численных методах определения напряженно-деформированного состояния оболочечных элементов инженерных сооружений при переменных кривизнах их срединных поверхностей, а также для учета смещений оболочечных конечных элементов как твердых тел при расчетах в криволинейных системах координат.

Список литературы

1. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. Ленинград : Судпромгиз, 1962. 432 с.

2. Галимов К. З, Паймушин В. Н. Теория оболочек сложной геометрии. Казань : Изд-во Казан. ун-та, 1985. 164 с.

3. Седов Л. И. Механика сплошной среды : в 2 т. Т. 1. Москва : Наука, 1976. 535 с.

4. Голованов А. И., Тюленева О. Н, Шигабутдинов А. Ф. Метод конечных элементов в статике и динамике тонкостенных конструкций. Москва : Физматлит, 2006. 392 с.

5. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. Москва : Мир, 1976. 464 с.

6. Рикардс Р. Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин. Рига : Зинатне, 1988. 284 с.

7. Бате К. Ю. Методы конечных элементов / под ред. Л. И. Турчака. Москва : Физматлит, 2010. 1024 с.

8. Гуреева Н. А., Клочков Ю. В., Николаев А. П. Расчет осесимметрично нагруженной оболочки вращения с учетом геометрической нелинейности на основе смешанного МКЭ // Известия высших учебных заведений. Авиационная техника. 2014. № 3. С. 14-19.

9. Гуреева Н. А., Клочков Ю. В., Николаев А. П. Расчет произвольно нагруженной оболочки вращения на основе МКЭ // Известия высших учебных заведений. Авиационная техника. 2010. № 3. С. 7-10.

10. Кривошапко С. Н. Энциклопедия аналитических поверхностей : более 500 поверхностей, 38 классов : математикам, инженерам, архитекторам. Москва : URSS, 2010. 556 с.

References

1. Novozhilov V. V. Teoriya tonkikh obolochek [Theory of Thin Shells]. Leningrad, Sudpromgiz, 1962. 432 p. (in Russian).

2. Galimov K. Z., Paimushin V. N. Teoriya obolochek slozhnoj geometrii [The Theory of Shells of Complex Geometry]. Kazan, Kazan University Publ., 1985. 164 p. (in Russian).

3. Sedov L. I. Mekhanika sploshnoi sredy [Continuum Mechanics]. Vol. 1. Moscow, Nauka, 1976. 535 p. (in Russian).

4. Golovanov A. I., Tyuleneva O. N., Shigabutdinov A. F. Metod konechnykh elementov v statike i dinamike tonkostennykh konstruktsiy [Finite Element Method in Statics and Dynamics of Thin-Walled Structures]. Moscow, Fizmatlit, 2006. 392 p. (in Russian).

5. Oden J. Konechnye elementy v nelineinoy mekhanike sploshnykh sred [Finite Elements in Nonlinear Continuum Mechanics]. Moscow, Mir, 1976. 464 p. (in Russian).

6. Rickards R. B. Metod konechnykh elementov v teorii obolochek i plastin [The Finite Element Method in the Theory of Shells and Plates]. Riga, Zinatne, 1988. 284 p. (in Russian).

7. Bate K. Yu. Metody konechnykh elementov [Finite Element Methods]. Moscow, Fizmatlit, 2010. 1024 p. (in Russian).

8. Gureeva N. A., Klochkov Y. V., Nikolaev A. P. Analysis of a shell of revolution subjected

to axisymmetric loading taking into account geometric nonlinearity on the basis of the mixed finite element method. Russian Aeronautics, 2014, vol. 57, no. 3, pp. 232-239. https://doi.org/10.3103/S1068799814030039 9. Gureeva N. A., Klochkov Y. V., Nikolaev A. P. Analysis of an arbitrarily loaded shell of revolution based on the finite element method in a mixed formulation. Russian Aeronautics, 2010, vol. 53, no. 3, pp. 250-256. https://doi.org/10.3103/S1068799810030025 10. Krivoshapko S. N. Entsiklopediya analiticheskikh poverkhnostei: bolee 500 poverkhnostei, 38 klassov: matematikam, inzheneram, arkhitektoram [Encyclopedia of Analytical Surfaces: More than 500 Surfaces, 38 Classes: Mathematicians, Engineers, Architects]. Moscow, URSS, 2010. 556 p. (in Russian).

Поступила в редакцию / Received 20.04.2021 Принята к публикации / Accepted 18.01.2022 Опубликована / Published 31.05.2022