CC BY
2
РАДИОФИЗИКА, ЭЛЕКТРОНИКА, АКУСТИКА
К вопросу о выборе числа элементов параллельной цепочки джозефсоновских
переходов
Н. В. Колотинский,1'2, а В. К. Корнев1
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, 1 кафедра атомной физики, физики плазмы и микроэлектроники; 2 Центр квантовых технологий. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.
Поступила в редакцию 03.02.2021, после доработки 07.04.2021, принята к публикации 12.04.2021.
В работе рассматривается аналитический подход к описанию электродинамического взаимодействия джозефсоновских переходов в параллельной цепочке. Такой анализ необходим для проектирования дифференциальных ячеек сверхпроводящих квантовых решеток и активных электрически малых антенн на их основе. Представлены оценки необходимого числа элементов в параллельной цепочке джозефсоновских переходов.
Ключевые слова: эффект Джозефсона, цепочки джозефсоновских переходов, активные электрически малые антенны, сверхпроводимость, сверхпроводящие квантовые решетки, распределение токов.
УДК: 32.855. РАСБ: 74.81.Fa
ВВЕДЕНИЕ
Ключевым элементом всех приемных и передающих систем, осуществляющих беспроводную связь и вещание, является антенна, определяющая в значительной степени дальность коммуникационной связи и ее качественные характеристики. Среди многих типов используемых антенн особую роль играют электрически малые антенны (ЭМА) [1].
Один из относительно новых подходов к созданию электрически малых антенн — использование сверхпроводниковых антенн активного типа [2-5], основанных в том числе на современной концепции сверхпроводящих квантовых решеток (СКР) [5-7]. СКР представляет собой равномерную периодическую структуру, состоящую из одинаковых сквид-подобных ячеек. Такие ячейки могут быть соединены последовательно или последовательно-параллельно, формируя одно-, двух- и трехмерные структуры. Высокая линейность характеристик активных устройств на основе квантовых решеток обеспечивается высокой линейностью функций преобразования магнитного сигнала в напряжения квантовых ячеек, а динамический диапазон решетки растет пропорционально с ростом числа К квантовых ячеек в решетке. Наиболее хорошо зарекомендовала себя в качестве базового элемента так называемая дифференциальная квантовая ячейка [6-9].
Дифференциальная квантовая ячейка состоит из двух дифференциально включенных плеч, представляющих собой параллельные цепочки из N джозефсоновских переходов с достаточно малыми индук-тивностями связи между ними (рис. 1). Каждое из плеч ячейки должно быть переведено в резистивное состояние током смещения 1ь — NIc, где 1С — критический ток джозефсоновского элемента, а также смещено взаимно-противоположно некоторым магнитным потоком 1±5Ф| ^ Ф0/2. Входной сигнал Ф^
а Е-шаП: kolotinskij@physics.msu.ru
-1 V-1-1-1-1--1--1-1-
-1 0 1 Магнитный поток, Ф/Ф0
б
Рис. 1. а — Дифференциальная квантовая ячейка, б — отклик напряжения данной ячейки V на внешний магнитный сигнал Ф. 5Ф — смещение плеч ячейки, VR, Уь — отклики плеч ячейки. Из работы [18]
(поток вектора магнитной индукции электромагнитного поля) прикладывается синфазно к обоим плечам ячейки. Форма боковых сторон основного пика отклика напряжения параллельных цепочек У1,2 (Фт) близка к параболе, поэтому в силу того, что разность двух взаимносдвинутых парабол дает линейную зависимость, центральная часть отклика напряжения
т
+
О 1 2 N-2 N-1 к
Рис. 2. Модельная схема длинной линии для оценки влияния одного перехода цепочки на другие
дифференциальной ячейки V(Фш) = УЦФщ) -М>(Фщ) дает линейную зависимость выходного напряжения от принимаемого сигнала [6, 9].
В случае пренебрежимо малой величины индук-тивностей связи Ь между джозефсоновскими переходами отклик напряжения параллельной цепочки из п переходов (и, следовательно, (М — 1) замкнутых контуров) подобен интерференционной картине, даваемой дифракционной решеткой из (М — 1) щелей. В реальных цепях присутствие индуктивностей ослабляет взаимодействие между удаленными друг от друга контурами, и поэтому только ограниченное число контуров (и джозефсоновских переходов) может взаимодействовать достаточно сильно и через это влиять на форму пика отклика напряжения. Это число переходов и характеризует «радиус взаимодействия».
Увеличение числа джозефсоновских переходов п в параллельной цепочке (начиная от N = 2, т. е. от двухконтактного сквида) улучшает форму основного пика отклика напряжения (параболичность его сторон) и, следовательно, улучшает линейность выходного напряжения дифференциальной ячейки, однако только при условии, что число переходов не превышает существенно радиус их взаимодействия на частоте джозефсоновской генерации И = 2п^Фо, где напряжение отклика V может приближаться к характерной величине напряжения Ус = 1сК^ джозефсоновских переходов с нормальным сопротивлением К^ и критическим током 1с.
Таким образом, характеристики устройств на основе цепочек джозефсоновских переходов зависят не только от числа джозефсоновских переходов, но и от их радиуса взаимодействия, зависящего от индук-тивностей связи как на частоте джозефсоновских процессов, так и на частоте принимаемого сигнала. В ряде работ проводилась попытка оценить данное влияние, в том числе экспериментальными методами [1о, 11]. Тем не менее четкой аналитической модели предложено не было.
Аналитические результаты, полученные в данной работе, могут быть применимы не только к случаю дифференциальных квантовых ячеек, но и к любому случаю использования цепочек переходов, включая активно используемые СКИФ-системы [12-14], цепочки сквидов [14, 15] и би-сквидов [16, 17].
1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТОКОВ ВЫСОКОЧАСТОТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Оценить влияние перехода (распределение токов) можно следующим образом: представим рассматриваемый переход в качестве генератора напряжения, подключенного к длинной линии (составленной из остальных переходов) длиной (М — 1) элементов с указанными ниже погонными характеристиками (см. рис. 2):
• Ь (Гн/эл.) — индуктивность связи между двумя соседними переходами;
• К (Ом/эл.) — сопротивление связи между двумя соседними переходами;
• С (1/Ом-эл.) — нормальная проводимость перехода (величина обратная нормальному сопротивлению перехода Кп);
• С (Ф/эл.) — емкость перехода.
Для такой системы можно записать следующие уравнения (з — мнимая единица):
и (к) = Л1вак е^к + Л2в-ак е-'вк, 1(к) = А еаке^к — Л
Ш
Ш
е-ак е—вк
(1) (2)
где и и I — комплексные напряжение и ток; к — пространственная координата, имеющая физический смысл номера перехода; Ш — волновое сопротивление,
Ш
IК + ЗПЬ С + ЗПС,
И — частота генерации напряжения; а, зв — компоненты коэффициента распространения волны,
7 = а + зв = у/(К + №Ь)( С + зПС).
Для системы (1)-(2) также необходимо записать следующие краевые условия:
и 11
к=0
к=Ы
ио, 0,
(3)
(4)
первое из которых описывает первый переход (рассматриваемый как генератор напряжения), второе — ограничение длины цепочки N переходами.
Решая систему (1)-(2) с краевыми условиями (3)-(4) и убирая из рассмотрения сопротивление связи между соседними переходами К (так как в рассматриваемом случае К ^ |ЗиЬ|) и емкость перехода С (емкостью технологически применяемых переходов можно пренебречь, что было показано в предыдущих работах [18]), получаем значения констант Л1 и Л2:
Л, =
ио
ио
1 + е2^ 1 + ехр [2МуЗЬСП]
Л 2 = ио —
ио
ио ехр [2М/ЬСЛ]
1+е2^ =— ттехр|2м7зъспу
Выражение для тока I(к) через к-й переход, нормированный на ток через «переход-генератор» (нулевой) I(о), принимает вид:
1(к) I (о)
= ехр
-Ке
{к^зЬС^}] х
ехр [2к/ЬСЛ] + [2М/ЬСЛ]
1 + 2М /гЬСО
= ехр
— /^^ЬСй /2 .
ехр [2к/ЗШП] + [2М/ГОЛ]
1 + рМуЗЬСП]
Для удобства дальнейшего анализа будем считать все переходы одинаковыми и перейдем к нормированным величинам индуктивности 1 = Ь • 2п!с/Фо, сопротивления г = К/КN (тогда гп = 1) и частоты и = ОФо/2^К^ и тока г = ^^, где IC — критический ток перехода. Окончательно приходим к выражению:
г(к)
г(о)
= ехр
—/=
. /2 .
ехр
1 + ехр ^МуЗ7^]
(5)
2. АНАЛИЗ ФОРМИРОВАНИЯ ОТКЛИКА
НАПРЯЖЕНИЯ ЦЕПОЧКИ НА ОСНОВЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
Отклик напряжения плеча дифференциальной
квантовой ячейки (рис. 1) в различных точках формируется за счет генерации на различной частоте. Так, вблизи нуля частота джозефсоновской генерации так же стремится к нулю, а вблизи максимума частота равна = ус = 1 в относительных
единицах.
Тогда, применяя формулу (5), можно получить зависимость влияния перехода-генератора на остальные переходы в зависимости от номера перехода к для различных значений суммарного числа переходов М, индуктивности между переходами 1, а также для различных участков отклика, определяемых частотой джозефсоновской генерации и. Результаты расчета приведены на рис. 3.
1—т—I—т—I—т—Г Индуктивность I = 0.1
- ю = 0.1
о = 0
10 15 20 25 30 Номер перехода, к
35 40
т—|—I—|—I—|—|—|—г-
Индуктивность I = 1
- о = 0.1
- о = 0
10 15 20 25 30 Номер перехода, к б
35 40
Рис. 3. Влияние перехода (распределение тока) на соседние переходы при индуктивностях связи I = о.1 (а) и I = 1 (б) для различных частот джозефсоновской генерации ш и суммарного количества переходов в цепочке N
3. ОБОБЩЕННЫЙ АНАЛИЗ ХАРАКТЕРИСТИК
Учет распределения токов позволяет выработать требования к количеству джозефсоновских переходов в одной дифференциальной квантовой ячейке.
С одной стороны, количество переходов должно быть достаточным, чтобы не оказывать влияния на формируемый отклик за счет конечного числа переходов. С другой стороны, их избыточное число также не будет оказывать влияние на отклик, а только займет ограниченную площадь чипа и уменьшит число возможных ячеек на чипе. По приведенному на рис. 4 графику, рассчитанному для величины приведенной индуктивности 1 = о.5, можно определить оптимальное количество переходов в плече дифференциальной ячейки (обозначено закрашенной областью).
Для практической реализации дифференциальной ячейки (в отличие от СКИФа [12]) учет влияния перехода-генератора на конкретный последующий переход в ячейки не требуется. Для определения требований к количеству джозефсоновских переходов в цепочке, формирующей плечо ячейки, достаточно определить «радиус взаимодействия» — число переходов, влияние на которые перехода-генератора достаточно велико.
0
5
а
х
х
0
5
х
10 15
Номер перехода, к
20
25
Рис. 4. Оценка влияния перехода (растекания токов) в зависимости от числа переходов в ячейке и частоты генерации для I = 0.5
40
30
«
8 20
о
а
со «
£ 10
S
Si
Рн
1 1 1 1 1 1 1 1-œ = 0.10
- \ 2-œ = 0.25
3-œ = 0.50
4-œ = 0.75
- \ \ \7 -
3 —
- 4 1,1,1, 1
0.0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 Индуктивность между переходами, I
Рис. 5. Зависимость «радиуса взаимодействия» N от индуктивности между переходами для различных значений частоты ш
«Радиус взаимодействия» Nш на частоте и можно оценить из следующего уравнения, вытекающего из выражения (5):
2 exp
N гг
^ vtw
V2 .
= i
1 + exp
где £ — коэффициент ослабления влияния перехода-генератора.
На рис. 5 приведены зависимости «радиуса взаимодействия» для различных значений и. Коэффициент ослабления был выбран £ = 0.1.
Так как применение числа переходов, превышающего «радиус взаимодействия», не приводит к изменению поведения отклика, то в качестве окончательно числа переходов в цепочке следует выбрать «радиус взаимодействия» на минимальной частоте.
С учетом того, что в дифференциальных квантовых ячейках используется от 30 до 70% отклика [9], для оценки рассмотрим «радиус взаимодействия» на частоте и = 0.25. Для приведенной индуктивности 1 = 0.5 N0 = N0.25 = 12, что соответствует области, указанной на рис. 3.
В реальных устройствах число переходов в плече может быть изменено относительно полученной
оценки из-за влияния иных технологических параметров, в частности удобства расположения переходов на чипе, а также для увеличения динамического диапазона ячеек за счет снижения уровня флуктуа-ций. Несмотря на то что существенное увеличение числа переходов N не оказывает влияния на форму отклика напряжения, такое увеличение остается полезным вплоть до достижения радиуса взаимодействия на сигнальной частоте. Поскольку частота сигнала Signal должна быть намного ниже частоты джозефсоновской генерации, радиус связи на сигнальной частоте (Nsignal) оказывается в соответствующее число раз больше. Складывая дисперсии независимых токовых флуктуаций джозефсоновских переходов внутри радиуса связи на сигнальной частоте (т. е. спектральную плотность токовых флук-туаций Si (Œsignal)), получаем уменьшение среднеквадратичного значения шумового напряжения, пропорциональное квадратному корню из данного числа переходов Vf = ^SlNg^I/ (RnSignal) a 1/yNSgûî и соответствующее увеличение динамического диапазона устройства на основе такой цепочки
^Signal, max/signal, min = Vc/Vf a \/Nsignal.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Разработан аналитический подход к описанию дальнодействия электродинамического взаимодействия джозефсоновских переходов в параллельной цепочке в зависимости от величины импеданса связи джозефсоновских элементов. Такой анализ необходим для проектирования дифференциальных ячеек сверхпроводящих квантовых решеток и активных электрически малых антенн на их основе. Аналитическая модель позволяет получить оценку эффективного радиуса взаимодействия как на частоте джозефсоновской генерации, так и на более низкой, сигнальной частоте. В первом случае эффективный радиус показывает число джозефсоновских элементов, формирующих коллективно вид отклика напряжения цепочки на приложенный магнитный сигнал. Во втором случае, на сигнальной частоте, эффективный радиус связи отвечает за коллективный уровень флуктуаций и, следовательно, чувствительность и динамический диапазон как дифференциальной квантовой ячейки, так и других возможных устройств на основе параллельных цепочек джозефсоновских переходов.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект № 19-72-10016).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Hansen R., Collin R. // Small Antenna Handbook. NJ: Wiley, Hoboken, 2011.
2. Luine J., Abelson L., Brundrett D. et al. // IEEE Trans. Appl. Supercond. 1999. 9, N 2. P. 4141.
3. Oppenländer J., Haussler C., Schopohl N. et al. Superconducting quantum antenna. 2008. May 6. US Patent 7,369,093.
4. De Andrade M, De Escobar A., Taylor B. et al. // IEEE Trans. Appl. Supercond. 2015. 25, N 5. 1603005.
5. Kornev V., Kolotinskiy N., Sharafiev A. et al. // Supercond. Sci. Technol. 2017. 30, N 10. 103001.
0
5
6. Kornev V., Sharafiev A., Soloviev I. et al. // IEEE Trans. Appl. Supercond. 2015. 24, N 4. 1800606.
7. Kornev V., Kolotinskiy N., Sharafiev A. et al. // Low Temp. Phys. 2017. 43, N 7. P. 829.
8. Kornev V., Sharafiev A., Soloviev I., Mukhanov O. // 14th International Superconductive Electronics Conference. 2013. P. 268.
9. Колотинский Н. В. Сверхпроводящие квантовые решетки как широкополосные активные устройства: Дисс.. . . канд. физ.-мат. наук. МГУ имени М.В. Ломоносова, Москва, 2015. 127 c.
10. Mitchell E., Muller K.-H., Purches W. et al. // Supercond. Sci. Technol. 2019. 32, N 12. 124002.
11. Crete D., Lemaitre Y., Lesueur J. et al // EUCAS-2019: Abstracts, 2019. 3-EP-SQ-S11.
12. Oppenlander J., Haussler C., Schopohl N. // Phys. Rev. B. 2000. 63, N 2. 024511.
13. Haussler C., Oppenlander J., Schopohl N. // J. Appl. Phys. 2001. 89, N 3. P. 1875.doi:.
14. Du J., Lazar J., Lam S. et al. // Supercond. Sci. Technol. 2014. 27, N 9. 095005.
15. Berggren S., Leese de Escobar A. // IEEE Trans. Appl. Supercond. 2015 25, N 3. 1600304.
16. Prokopenko G., Mukhanov O., Leese de Escobar A. et al. // IEEE Trans. Appl. Supercond. 2013 23, N 3. 1400607.
17. Berggren S., Prokopenko G., Longhini P. et al. // IEEE Trans. Appl. Supercond. 2013 23, N 3. 1400208.
18. Kornev V., Kolotinskiy N., Scripka V. et al. // IEEE Trans. Appl. Supercond. 2015. 25, N 4. 1601304.
On the Choice of the Number of Elements of a Parallel Array of Josephson Junctions N. V. Kolotinskiy12, V.K. Kornev1
1 Department of Atomic Physics, Plasma Physics and Microelectronics; 2Quantum Technology Centre, Faculty of Physics, Lomonosov Moscow State University. Moscow 119991, Russia. E-mail: kolotinskij@physics.msu.ru.
This article considers an analytical approach to the description of the electrodynamic interaction of Josephson junctions in a parallel array. Such an analysis is necessary for the design of differential cells of superconducting quantum arrays and active electrically small antennas based on them. Estimates of the required number of elements in a parallel array of Josephson junctions are presented.
Keywords: Josephson effect, Josephson junction arrays, active electrically small antennas, superconductivity,
superconducting quantum arrays, current distribution.
PACS: 74.81.Fa.
Received 03 February 2021.
English version: Moscow University Physics Bulletin. 2021. 76, No. 3. Pp. 151-156.
Сведения об авторах
1. Колотинский Николай Васильевич — канд. физ.-мат. наук, ассистент; тел.: (495) 939-4351, e-mail: kolotinskij@physics.msu.ru.
2. Корнев Виктор Константинович — доктор физ.-мат. наук, профессор, профессор; тел.: (495) 939-43-51, e-mail: kornev@phys.msu.ru.
