К вопросу о совпадении гильбертовых пространств, интегрируемых с квадратом по мере функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.444

В. В. Напалков (мл.)1, А. А. Нуятов2

1 Институт математики с ВЦ УФИЦ РАН 2НГТУ имени Р. Е. Алексеева

К вопросу о совпадении гильбертовых пространств, интегрируемых с квадратом по мере функций

Рассматривается задача об условиях совпадения (или эквивалентности) двух гильбертовых пространств с воспроизводящим ядром. В некотором гильбертовом простран^ стве Н две полные в Н системы [е^(•, , 3 = 1, 2 порождают прострапства Н и Н

соответственно; требуется найти условия при которых пространства Н и Н состоят из одних и тех же функций, и при этом нормы функций по этим пространствам равны (эквивалентны), т.е. Н и Н совпадают (эквивалентны). В работе доказывается следующий результат: пусть полные в Н системы [е^ (•,С)|?еп1, 3 = 1, 2 являются ортоподобнымп в пространстве Н с неравными мерами (определение дается в статье), тогда пространства Н и Н не совпадают. Также рассмотрена задача о совпадении (эквивалентности) пространств сужений функций из гильбертовых пространств с воспроизводящим ядром.

Ключевые слова: системы разложения, подобные ортогональным, гильбертово пространство с воспроизводящим ядром, задача описания сопряженного пространства

V. V. Napalkov1, A. A. Nuyatov1'2

""institute of Mathematics with Computing Centre - Subdivision of the Ufa Federal Research Centre

of Russian Academy of Science 1,2Nizhny Novgorod State Technical University n.a. R. E. Alekseev

On the question of the coincidence of Hilbert spaces square-integrable with respect to the measure of functions

The problem of coincidence (equivalence) of two Hilbert spaces with a reproducing core. In some Hilbert space H, two complete systems in H are space generation of i^rnd H it is required to find conditions under which the spaces i^Mid H consist of the same functions, and at the same time the norms of functions in these spaces are equal (eqvivalent), i.e. H and H coincide (equivalent). In addition, in the work it is proved that when the complete the systems are orthosimilar in the space H with different measures, then the spaces H and H do not coincide. The problem of the coincidence (equivalence) of the spaces of restrictions of functions from Hilbert spaces with the reproducing kernel is also considered.

Key words: orthosimilar decomposition systems, reproducing kernel Hilbert space, problem of describing the dual space

1. Введение. Постановка задачи

Многие задачи комплексного анализа, такие как интерполяция аналитических функций, вопросы уравнений свёртки, вопросы базисности, полноты определенных систем функций сводятся к изучению свойств конкретных гильбертовых пространств с воспроизводящим ядром. Данная работа посвящена изучению вопроса: какие условия гарантируют

© Напалков В. В. (мл.), Нуятов A.A., 2023

(с) Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», 2023

совпадение гильбертовых пространств с воспроизводящим ядром? Пусть Н - некоторое гильбертово пространство с воспроизводящим ядром, состоящее из функций, заданных на множестве О С Сп, п ^ 1, т.е. функционал ставящий в соответствие любой функции / € Н значение функции / в точке £ € О, является линейным и непрерывным функционалом над Н для произвольной точки £ € О. Предположим, что {е\(-, 1е2(', £)}?еП1 -некоторые полные системы функций в Н, О1 С Ст, т ^ 1. Обозначим

¡(г) (е1(-, г), /)н Уг € О1, Н = {I / € Н}, (/1,/2)я ^ (/2,/1 )н, ||/1 Ин = Шн ЧК,12 € Н, Т(г) Л= Ы; г), / )н у г € Оь Н = {¡,/ € Н}, (К,Т2)Й=/ (/2,/1 )н, ИЛ Инн = ИЛИн У/1,/2 € Н. (1)

Необходимо найти условие, при выполнении которого пространства Н и Н совпадают, т.е. Н и Н состоят из одних и тех же функций, и

И/Инн = И/Инн V/ € Н = н.

Также изучается вопрос: при каких условиях пространства Н и Н эквивалентны, т.е. Н и Н состоят из одних и тех же функций, и нормы Ц ■ И_н, И ' Ин эквивалентны- Ранее в работе [1] было введено определение согласованности двух систем функций с некоторым оператором Т: Н ^ Н.

Определение 1. Системы функций {ej(■,£)}2еп1, .] = 1, 2, принадлежащие гильбертову пространству Н, называются согласованными с оператором Т: Н ^ Н, если выполнено соотношение:

(е1(-,г1),в2(-,г2))н = (е^, 22),Тв2(-,г{)) н ^,22 € О1. (2)

В [1] доказано, что если пространства Н, Н совпадают (эквивалентны), то системы функций {ej(■,£)}?еп1, 3 = 1, 2, являются согласованными с некоторым линейным непрерывным взаимно однозначным унитарным (неунитарным) оператором Т: Н ^ Н. Также если системы функций {ej(■,£)}?еп1,3 = 1, 2, являются ортоподобными системами разложения (определение см. [2]) в пространстве Н с одной и той же мерой у, заданной на О1

мым оператором Т: Н ^ Н, то пространства Н, Н совпадают или эквивалентны. Также построены примеры, в которых условие согласованности выполнено, однако пространства не совпадают (не эквивалентны). В этой работе мы доказываем, что если системы функций {ej(■, £)}{;еп1, ] = 1, 2, являются ортоподобными системами разложения в пространстве Н с разными в определенном смысле мерами ^1, ^2, то и пространства Н, Н не равны. Таким образом, в этом случае из условия согласования ортоподобных систем не следует совпадение (или эквивалентность) пространств Н и Н.

Также в этой работе доказано утверждение о том, что из условия согласования двух полных в Н систем функций {ej(■, , ] = 1, 2, вытекает, что оператор В, определенный

из условия

В: е!(-,Он> в2Ы) € О1,

с областью определения врап{е1(■, еп15 допускает расширение до замкнутого оператора.

Далее в статье рассмотрен вопрос о совпадении пространств сужений функций из гильбертовых пространств с воспроизводящим ядром. Полученные результаты проиллюстрированы на примере конечномерного пространства С2.

2. Основные результаты

Заметим, что задачу о совпадении гильбертовых пространств с воспроизводящим ядром можно было бы сформулировать следующим образом. Рассмотрим два гильбертовых пространства с воспроизводящим ядром Н\ и Н2, состоящие из функций, заданных на некотором множестве точек О С Ст, т ^ 1. При каких условиях эти пространства совпадают (эквивалентны), т.е. состоят из одних и тех же функций и нормы этих пространств равны (эквивалентны) ||/||Я1 = УЦщ V/ е Н = Н2, (УЦщ - ЦДщ V/ е Н = Н2)?

Приведенная в введении формулировка задачи по сути эквивалентна последней формулировке, поскольку, например, в случае сепарабельности пространств Н1, Н2 в качестве Н Н1

и Н2 по ортонормированным базисам в Н1 и Н2 соответственно. Пространство Н в этом случае есть пространство 12 и состоит из последовательностей комплексных чисел, сумма квадратов модулей которых конечна. Последовательности функций от переменной х е О {ву(к, г)}™=0, г е П1, ] = 1, 2, являются ортонормированными базисами в пространстве Н., ^ = 1, 2^ соответственно. Таким образом, справедливы представления функций из про-Н1 Н2

е1(к, •))Н1 е1 (к, г) Vzе П1 V/е Ни

к=0 те

д(^) = ^(д, е2(к, •))н2е2(к, г) V г е О Vg е Н2. (3)

к=0

Семейства последовательностей {е^(•, ,] = 1, 2, принадлежат пространству 12-

Положим Н = ¡2- Для этого случая рассмотрим пространства Н и Н (см. (1)). Из теоремы 1 работы [3] вытекает, что Н — Н1, Н — Н2 •

Для формулировки основного результата необходимо дать следующее

Н

состоящее из функций, заданных на, £}. О - пространство с мерами ц1 и ц2. Меры ц1 и ц2 назовем Н - равными, если для любых функций / е Н выполнено соотношение

| ¡(z^d^z)^ | f(z)\2 d^z) < ж. (4)

п Jn

В связи с данным определением приведем следующий пример. Рассмотрим пространство Пэли - Винера, состоящее из целых функций F(z), z £ С типа те выше а > 0 таких, что для сужения на вещественную ось этих функций выполняется оценка

/+те р

\F(x)\2dx = / |F(х + iy)\2dx <g> ó(y)dy< ж, (5)

-те J С

( [4], с. 25-26). Пространство PWa - гильбертово пространство с воспроизводящим ядром

т-^ / sin a(z — О . ^

KPWa(Z,0= а ( ъ), £ С

(см, например, [4], с. 3-7).

Система воспроизводящих ядер {Kpwa(z, ^)}++=°_0o буДет ортонормированным базисом в пространстве PWa. По сути этот факт составляет содержание известной теоремы Котельникова. Согласно равенству Парсеваля

+те

iif nva=а z

к=—оо

F (Т)

(6)

Равенства (5),(6) означают, что меры dx®5(y)dy и ^ •б ^являют ся P^Va ~ равными.

a

Нам понадобится следующая

Лемма 1. Пусть пространство Н состоит из функций, заданных на, множестве Qi. Пусть на Qi заданы, две счетно-конечные меры ц,^ ■ Система функций {ei(-,£)}gen1 является ортоподобной системой разложения с мерой в прост,ране mee Н. Тогда следующие условия равносильны:

1) Меры ^i, ¡j,2 являют ся Н-равными мерами;

2) Система функций {ei(-,£)}¿еп1 является ортоподобной системой разложения с мерой 1л2 в пространстве Н.

Доказательство. Докажем необходимость. Так как меры ^i, ^2 являются Н-равными, то для любой f £ Н справедливо равенство

II/IIH = WfW2S =í Ш12 dvn(z)=[ Ш12 d^ (z) < ж.

JÜ1 JÜ1

Отсюда, учитывая, что f(z) = (ei(^,z),f) н Vz G Qi Vf £ H, следует равенство

IH =[ l(f,ei(;z))H|2 d^2(z) Vf G H.

Применяя результат из работы [2, теорема 11], мы получим, что система функций eQi является ортоподобной системой разложения с мерой в пространстве Н. Необходимость доказана.

Докажем достаточность. Предположим, что система функций |ei(^,£)}gеп1 является ортоподобной системой разложения с мерой в пространстве Н. По условию леммы эта же система функций {ei(-, £)}gen1 является ортоподобной системой разложения с мерой ßi в пространстве Н. Тогда, согласно аналогу равенства Парсеваля для ортоподобных систем разложения [2, теорема 1], выполняется равенство

И/llH =[ \(f,ei(;z))H \2 dßi(z) = f \(f,ei(;z))H |2 dß2(z) Vf е Н. (7)

Отсюда, учитывая, что для любой h е Н найдет ся Д, е Н такая, что

h(z) = (eit,z),fh)я Vz е Qi, из равенства (7) следует, что для любой функции h е Н справедливо равенство

22

1Ъ,(г)1 d^l(z) = / d^2(z) <

пх Jn1

Таким образом, меры и являются //"-равными. Лемма 2 доказана.

Сформулируем и докажем необходимое условие совпадения пространств Н и Н.

Теорема 1. Пусть {в1(-, {е2О,^}¿еп1 ~ две ортоподобные системы разло-

жения в гильбертовом пространстве Н с мерами ц,2 соответственно. Пространства Ни Н совпадают тогда и только тогда, когда меры /л2 будут Н -равны, или Н-равны, и найдет,ся, линейный непрерывный обратимый оператор Т, осуществляющий изомет-рию пространства Н такой, что системы функций {ej, ] = 1, 2, согласованы с оператором Т, т.е. выполняется соотношение (1).

Доказательство. Докажем необходимость. По утверждению 1 статьи [1] из совпадения пространств Н, Н следует условие согласования, т.е найдется линейный непрерывный взаимно однозначный унитарный оператор Т: Н ^ Н такой, что

(ei(-, zi),e2(■, z2))н = (ei(-, ¿2), Те2(■, zi))H "izi, z2 e . (8)

и

i

Из равенства (8) вытекает равенство

т т

ске г(-, гк), е2(; О) н = ск Ге2(; гк), ег (■, 0)н Е П. (9)

к=1 к=1

Здесь {Хк}т=г — произвольный набор точек из а {Ск}т=1 — произвольный набор комплексных чисел. Пусть р(1) = ^т=г ске г(^, ), t Е П,- произвольная функция из линейной

оболочки системы функций {ег(-, и д(1) = ^т=г ск, Zк), t Е П, - функция из

линейной оболочки системы функций {Те2(-, г)}В этих обозначениях равенство (9) записывается следующим образом:

(р() е2(; 0)н = Ш, ег(; О) н Е Пъ

Заметим, что система функций {Те2(■, также ортоподобная система разложения с

мерой ^2 в пространстве Н, поскольку оператор Т: Н ^ Н унитарный и система функций {е2(^, £)}§еп1 _ ортоподобная система разложения с мерой 12 в пространстве Н.

Так как пространства Н, Н совпадают то, согласно [5], существует линейный непрерывный взаимно однозначный унитарный оператор А: Н ^ Н, обладающий свойством

А: ег(■, е2(■, г) У г Е Пг

и А: р ^ д. Но тогда в силу того, что {е^(■, г)}, ] = 1, 2, - ортоподобные системы разложения в пространстве Н, учитывая равенство (9), а также то, что меры 11,12 будут Н-равны, получим соотношение

1(р, О) н 12йц*(€) = \\р\\н = Ш\н = М\н =

п1

1(д, ег(; О) н I2 <1(ц(0 = [ 1(р, в2(; 0)н |2d|l(0. (Ю)

П1 3п1

Заметим, что пространство Н можно определить как пополнение семейства функций

{р(х) (е2^, г),р)нг Е Пь рЕ зрап{ег)}гет},

/

относительно нормы

\\Я1 н = \1 1п Р

Также мы можем определить пространство Н\ как пополнение семейства функций

{р)(г) = (е2(■, г),р)н, % Е Пг,р Е зрап{е^, г)}}, относительно нормы

\\Я1 нн1 = 1 Р(г)2 ^1(г).

В силу равенства (10) пространство Н\ определяется корректно. Более того, можно сказать, что пространства Н и Н\ совпадают, т.е. состоят из одних и тех же функций и нормы в пространствах Н и Н\ совпадают. В самом деле, докажем, что если последовательность функций {гп}п^о С 5 сходится по норме пространства \\ ■ \\н к некоторой функции / Е Н, то / Е Н\ и {гп}п^о сходится к / по норме \\ ■ \\д1- Действительно, согласно (10), справедливо равенство

22

|ГпШ2 d|1(z) = \\Гп\\

н•

п

1

Поскольку пространство Н - гильбертово пространство с воспроизводящим ядром, последовательность функций рп(г) сходится при любом фиксированном г € П1 к некоторому

значению /поэтому последовательность уп(г) ^ 1гп(г)12 сходится при любом г € П1 к | $ (г)12. Отсюда вытекает, что для любого е > 0 найдется М£ такое, что

Уп(г)й^1(г) ^

н

+ £, П ^ М£.

Согласно теореме Фату (см., например, [6], с. 305), функция |/(г)|, г € П1 интегрируема по Лебегу, и в силу того, что е произвольно, получаем оценку

Докажем, что

Пх

Ц(^)|2<1цц(г) <

Ц (^)|2 (1рц(г) =

н

н

У/ € Н.

У/ € Н.

Обозначим и(/) \\/\\ ~, / € Ни

у(Л = Ш12 йцц(г), / € Н. Зпх

В силу неравенства треугольника

у(1) < у(1 - д) + у(д) У/,д € н,

Отсюда

Ш) - у(д)1 < у(/ - д) У/,д € Н,

) < и(! - д)+ и(д) У/,д € Н. (11)

К/) - и(д)1 < и(} - д) У},д € Н. (12)

Поэтому отображения и,п : Н ^ М непрерывны. Равенство (10) означает, что непрерывные отображения и и V совпадают на всюду плотном в Н-множестве. Следовательно, и(/) = у(/) У/ € Н. Таким образом,

н

I

И(^)|2 ^2СЮ =

Пх

/

Ц(^)|2 й/Л1(г) У/ € Н.

Пх

Значит, меры и ^2 будут //-равны или, что то же самое, //-равны.

Для доказательства достаточности условий теоремы воспользуемся леммой 1. Согласно этой леммы, если меры и ^2, например, //-равны, то система функций {е1(-, ^пх является ортоподобной системой разложения не только с мерой ^1, но и с мерой ^2- По условию теоремы система функций {е2(•,£)}§епх является ортоподобной системой разложения с мерой ^2 в пространстве Н. Учитывая это замечание, далее доказательство достаточности условий теоремы 1 повторяет доказательство утверждений 3, 4 работы [1]; в пространстве Н системы функций{ву (•,£)}§епх, ] = 1, 2, - ортоподобные системы разложения с одной и той же мерой ц,2. Теорема 1 доказана.

Пусть {еу(•,£)}§епх,3 = 1, 2, - две полные системы функций в гильбертовом пространстве Н. Если системы функций {еу(-,£)}?епх,3 = 1, 2, согласованы с некоторым линейным непрерывным взаимно однозначным оператором Т, то оператор В, который переводит систему функций {е1(-,{)}^епх на {е2(',0}?епх) не обязан продолжаться до линейного непрерывного взаимно однозначного оператора. Однако условие согласования

2

П

х

П

х

гарантирует, что оператор В, определенный на линеале span{e\(-, £)}gen^ будет иметь замкнутое расширение. В связи с этим докажем следующее:

Утверждение 1. Пусть {ej(■, ,j = 1, 2, - две полные системы функций в

гильбертовом пространстве Н. Если системы функций {ej(■, ещ, j = 1, 2, согласованы с некоторым линейным, непрерывным, обратимым оператором Т, то линейный оператор

В: ei(; е2(; О, ^ Ъь

определенный на линейной оболочке системы функций {ei(■, допускает расширение

до замкнутого оператора,.

Доказательство. Пусть x'n,n £ N - последовательность из span{ ei(■, £)} geni х'п ^ х, х £ Н и Вх'п ^ у', у' £ Н, и х'П,n £ N - последовательность из span{ei(■, en1 х'П ^ х, х £ Н и Вх'П ^ у"у'' £ Н.

Из условия согласования, пользуясь непрерывностью скалярного произведения, получаем

(У\ 0)н = ( lim ВхП ei(■, 0)н =

п^-те

= lim (ВхП, ei(■, £)) н = lim (х'п, Т*е2(, 0)н =

п^те п^те

= ( lim х'п, Т*е2(■, 0)н = ( lim х'п, Т*е2(■, 0)н =

п^те п^те

J' ( t\\___l;™ (nj!

Тогда

= lim К, Г*е2(; 0)н = limBl ei(■, 0)н =

п^те п^те

= (lim Вх'п, ei(; О) н = (у", ei(; О)н Ч £ Ъ.

п

(У' -У'', ei(; 0)н = 0 У£,£ Ъ.

Из полноты системы функций {ег(-, ^п 1 в пространстве Н следует, что у' = у", значит, оператор х ^ Вх определяется однозначно, т.е. оператор В допускает замкнутое расширение. Утверждение 1 доказано.

Рассмотрим построенные в статье [1] примеры, когда выполнено условие согласования ортоподобных систем {е^(■, г)}, ] = 1, 2, но пространства Н, Н не совпадают. Мы фак-

В

В: ег(■, г) ^ е2(■, г) Ухе Пг,

который определен на линейной оболочке системы функций {ег(-, г)}¿еп1, не может быть продолжен как линейный непрерывный взаимно однозначный унитарный оператор, дей-

Н Н В

непрерывного взаимно однозначного оператора, осуществляющего автоморфизм пространства Н, то пространства Н и Н совпадали бы. Но в построенных в [1] примерах - это

В

Н Н

В

замкнутого оператора с некоторой плотной в Н областью определения, оператор В-1 также имеет замкнутое расширение, оператор В* определяется корректно. Поэтому

(ег(^, гг), е2(■, г2))н = (В-ге2(■, гг), Вег(^, г2))н = = (В* оВ-ге2(■, гг), ег(; г2)) н = (ег(; В* о В-ге2(■, хг)) н У¿г, ^ Е Пг. (13)

С другой стороны, выполнено условие согласованности:

(еi(-, z\), t2(■, Z2)) н = (еi(-, Z2), Тв2(■, zi)) н ^zi, Z2 £ Ъ. (14)

Из соотношений (13), (14) вытекает, что оператор В* о В-1 в данном случае будет продолжаться до линейного непрерывного взаимно однозначного оператора Т, действующего из Н на Н.

Далее мы рассмотрим вопрос о совпадении гильбертовых пространств сужений. Пусть По С Пь Мы также предполагаем, что системы функций {е^(■,£)}хеп0, 3 = 1, 2, полные системы в пространстве Н. Пространство Н° состоит из всех сужений функций из пространства Н на подмножество По области определения пространство Н0 состоит из всех сужений функций из пространства Н на подмноже ство По области определ ения П1. При этом

V\\но = V\\й V е V, Мй° = Ми Уд е Н.

Следующее утверждение по сути есть частный случай утверждений 1, 2 статьи [1].

Утверждение 2. Если пространства Н0 и Н0 совпадают (эквивалентны), то найдется линейный непрерывный взаимно однозначный унитарный (неунитарный) оператор Т: Н ^ Н такой, что выполнено соотношение

(в1(-, г{), в2(-, н = (в1(-,г2), Те2(-,г{))й е ПоУг2 е По. (15)

Доказательство. Повторяется доказательство утверждения 1 и утверждения 2 работы [1]. Справедливо также следующее утверждение

Утверждение 3. Пусть меры ортоподобных систем е^(-,г),г е П1 будут, Н-равны или Н-равны. Если найдется линейный непрерывный взаимно однозначный унитарный (неунитарный) оператор Т: Н ^ Н такой, что выполнено соотношение

(в1(■, г1),е2(-, г2))н = (в1(■, г2), Те2(-, г{)) й Ух1 е ПоУх2 е П, (16)

то пространства Но и Но совпадают (эквивалентны).

Доказательство. Доказательство проводится по схеме из [1]. Равенство (16) влечет соотношение

т т

(^ ске1(;гк),е2^,0)н = скТв2(;гк ),в1 (■,£)) и УС е П1. (17)

к=1 к=1

Здесь {хк}т=1 — произвольный набор точек из По, а {ск}т=1 — произвольный набор комплексных чисел. Пусть р(1) = ^т=1 ск£1(1, Zк), t е П - произвольная функция из линейной

оболочки системы функций {е1(^,г)}г£п0, и д^) = ^т=1 скТе2(Ъ,гк), t е П - функция из линейной оболочки системы функций {Те2(^,г)}Пусть, согласно условию, меры у1 и ^2 являются л ибо //-равными, л ибо //-равными. Предположим, для определенности, что меры и ^2 будут //-равны. Тогда, согласно лемме 1, система функций {е1(^, г)} является ортоподобной системой разложения с мерой ц.2- Функции р,ц принадлежат пространству Н, системы функций {е^(■, г)}, ] = 1, 2, - ортоподобные системы разложения с мерой ^2 в пространстве Н, поэтому

РV) = [ (р, е2(;0)й£2(1,0 VI е П,

д(1) = (д,е1(;0)не1(1,0 <1^(0 У е П. ¿0,1

В силу аналога равенства Парсеваля [2, теорема 1] и соотношения (17) справедливо равенство

\\Р\\Й = \ \(р,е2(;0)\2 ¿^(0 =

= ( \(ч,е-1(;0)\2¿^(0 = Ы\И

1

или \\р\\н = \\ч\\н- Определим оператор А то следующему правилу: А: р ^ д. По теореме Банаха [7, с. 240, теорема 2] А продолжается до линейного непрерывного взаимно однозначного унитарного оператора, действующего из Н в Н. Тогда оператор А\ Т-1 о А — изометрия пространства Н и А1: е^, £) ^ О ^ Применяя [5, теорема 1], мы получаем, что Н0 = НУтверждение 3 доказано.

3. Пример

Н

мем пространство С2. Рассмотрим следующий набор векторов в пространстве С2:

е1 = (1, 0) е2 = (0,1) е3 = (^, ^), е4 = (^, -^). Далее определим наборы векторов {е1(^,к)}к=1ж {е2(■, к)}\=1 в пространстве С2:

еЛ(■, 1) := -1 ■ е1, е1(■, 2):= -1 ■ е2,

е1(■, 3) := е3, е^, 4):= -г ■ е4; е2(■, 1) := е1, е2(■, 2):= е2,

е2(■, 3):= е3, в2^, 4):= е4.

Зная наборы векторов {е 1(^, к)}\=1ъ {е2(■, к)}\=1, мы определим пространства Н, Н. В данном случае Н = С2, и пространства Н и Н будут состоять го 4-мерных векторов {¡(к)}\=1 и {' ¡(к)}\=1 соответственно. Здесь

¡(к) (е 1(■, к), /(^))н, / еН,к = 1, 2, 3, 4; /(к) Ы; к), ¡(■))н, /еН,к = 1, 2, 3, 4.

При этом, согласно определению векторов {е 1(^,к)}к=^ {,к)}\=1, учитывая равенство

Парсеваля, можно вычислить

„ ~ 1 4 „ -

({Мк)П=1, {/2(к)}\=1)н = 2 £ Мк) ■ /2(к), (18)

к=1

1 4 -

({ик)}4=1, {Ш}к=1)н = 2 Е ^(к) ■ ?2(к). (19)

к=1

Следует отметить, что нормы векторов {/(к)}к=1 и {/(к)}к=1 совпадают. Однако эти векторы разные, поэтому пространства Н, Н не обязаны совпадать. Рассмотрим теперь пространства Н0 и Н0, которые состоят го 2-мерных векторов {/(к)}к=1 и {/(к)}к=1 соответственно. Здесь

1(к)Л= (е 1(;к),/ (■))н, /еН,к = 1, 2; Кк)^ (е 2(;к), Ю)н, /еН,к = 1, 2.

При этом, согласно определению векторов {е 1(^,к)}к=^ {е2^, к)}к=1, учитывая равенство Парсеваля, можно вычислить

({Ь(к)}к=1, {¡2(к)Я=1)н0 = 52Ь(к) ■ ¡2(к),

к=1 2

({¡1(к)}1=1, {Як)}\=1)но = £ Ш ■ ¡2(к).

к=1

Ниже приведены выражения для скалярных произведений векторов {&1(^,к)}к=1 1

Ы; 1),в2(; 1))й = Ы; 1), -1й[в2(; 1)])н,

(в1(; 1), в2(; 2))й = Ы:Ж-ЩМ:Ж)й,

Ы; 2), в2(; 1))й = Ы; 1), -гйЫ; 2)]) и, (в1(; 2), в2(; 2))й = Ы; 2), —гйЫ; 2)]) и.

(20)

И далее

(в1(; 1),в2(; 3)) й = Ы; 3)Ме2(■, 1)])

н>

Ы; 1),в2(; 4))й = Ы; 4)Ме2(; 1)])й, (в1(; 2),в2(; 3))й = й,

Ы; 2),е2(; 4))й = Ы; 4)МЫ; 2)]) и.

(21)

Однако

(е^, 3), в2(; 3))и = Ы; 3), -гйЫ; 3)])и,

Ы; 3),в2(; 4)) и = Ы; 4), ^Ы; 3)])и, Ы; 4), в2(; 3)) и = Ы; 3), ^Ы; 4)]) и,

Ы; 4), в2(; 4)) и = Ы; 4), —гйЫ; 4)]) и. (22)

-1

ный оператор. Но не существует линейного непрерывного взаимно однозначного унитарного оператора Т, действующего из Н в Н такого, что системы векторов {ej(■, к)}4=1, ] = 1,2, были бы согласованы с оператором Т, т.е. было бы справедливо соотношение (2)

Ы;к),е2(;1)) и = Ы;1), Тв2(;к)) и Ук,1 е {1, 2, 3, 4}.

Легко видеть, что пространства Но и Но совпадают. Это можно увидеть также из соотношений (20), которые означают, что системы векторов е1^,к) и е2^,к), к = 1, 2, согласованы с оператором умножения на число — 1. Однако пространства Ни Н не совпадают. Действительно, согласно результату из [5], если бы пространства Н и Н совпадали, то нашелся бы линейный непрерывный взаимно однозначный унитарный оператор Л: Н ^ Н, такой что

Л: е^,к) ^ е2^,к), к = 1, 2, 3, 4.

Однако такого оператора не существует. Действительно, заметим, что наборы векторов {е1(^,к)}к=1 и {е2(^,к)}^=1 и {е1(^, к)}\=33 и {е2(^,к)}\=33 являются ортонормированными базисами в пространстве С2. Оператор Л (если он существует) полностью определяется своим действием на базисе. Из условия

Л: е^,к) ^ е2 (■,к), к = 1, 2

следует, что оператор Л есть оператор умножения векторов из С2 на число —г. Условие

Л: е^,к) ^ е2 (■,к), к = 3, 4

влечет, что оператор Л есть оператор умножения век торов из С2 на число г. Но не может существовать линейного непрерывного взаимно однозначного унитарного оператора Л: Н ^ Н, который одновременно был бы и оператором умножения векторов из С2 на число —г и оператором умножения векторов из

С2

на число %. Получаем противоречие. Значит, не существует линейного непрерывного взаимно однозначного унитарного оператора Л: Н ^ Н такого, что

Л: е^,к) ^ в2(^,к), к = 1, 2, 3, 4.

Поэтому пространства Ни Н в данном примере не совпадают.

и

Список литературы

1. Напалков(мл.) В.В., Нуятов А.А. Об одном условии совпадения пространств преобразований функционалов гильбертова пространства // Тр. ИММ УрО РАН. 2022. Т. 28,№ 3. С. 142-154.

2. Лукашенко Т.П. О коэффициентах систем разложения, подобных ортогональным // Матем. сб. 1997. Т. 188, № 12. С. 57-72.

3. Напалков (мл.) В.В. Ортоподобные системы разложения в пространствах с воспроизводящим ядром // Уфимск. матем. журн. 2013. V 5, N 4. С. 91-104.

4. Saitoh S., Sawano Y. Theory of Reproducing Kernel and Application // Springer — Developments in Mathematics. 2016. V 44. 464 p. DOI 10.1007/978-981-10-0530-5.

5. Напалков (мл.) В.В., Напалков В.В. Об изоморфизме гильбертовых пространств с воспроизводящим ядром // Доклады Академии наук. 2017. 474:6. С. 665-667

6. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. Москва : Наука, 1976.

7. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. Москва : Наука, 1984. 752 с. References

1. Napalkov (Jr.) V. V., Nuyatov A.A. On a condition for the coincidence of transform spaces for functional in a Hilbert space. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN. 2022. V. 28, N 3. P. 142-154. (in Russian).

2. Lukashenko T.P. Coefficients with respect to orthogonal-like decomposition systems. Sb. Math. 1997. V. 188, N 12. P. 57-72. (in Russian).

3. Napalkov (Jr.) V. V. Orthosimilar expansion systems in space with reproducing kernel. Ufa Math. Journal. 2013. V5, N. 4 P. 91-104. (in Russian).

4. Saitoh S., Sawano Y. Theory of Reproducing Kernel and Application. Springer — Developments in Mathematics. 2016. V. 44. 464 p. DOI 10.1007/978-981-10-0530-5.

5. Napalkov V. V., Napalkov (Jr.) V. V. On isomorphism of reproducing kernel Hilbert spaces. Dokl. Math. 2017. V. 95, N 3, P. 270-272.

6. Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis. Moscow : Nauka, 1976. (in Russian).

7. Kantorovich L.V., Akilov G.P. Functional analysis. Moscow : Nauka, 1984. (in Russian).

Поступим в редакцию 12.05.2023