К вопросу о решении алгебраических уравнений и неравенств с помощью классических числовых неравенств Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.13

К ВОПРОСУ О РЕШЕНИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ С ПОМОЩЬЮ КЛАССИЧЕСКИХ ЧИСЛОВЫХ НЕРАВЕНСТВ

Т. Ю. Рогачёва, О. Н. Коваленко

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

Е-тай:коуа1епко_о^а56@таП.ги

Рассматривается применение классических численных неравенств, что является нестандартным подходом при решении алгебраических уравнений и неравенств повышенной сложности.

Ключевые слова: алгебраические уравнения; неравенства Коши; Бернулли; Коши-Буняковского; оценка алгебраических неравенств.

TO THE QUESTION OF THE SOLUTION OF THE ALGEBRAIC EQUATIONS AND INEQUALITIES BY MEANS OF CLASSICAL NUMERICAL INEQUALITIES

T. Yu. Rogachyova, O. N. Kovalenko

Rehetnev Siberian State Aerospace Uneversity 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail:[email protected]

Application of classical numerical inequalities that is non-standard approach at the solution of the algebraic equations and inequalities of the increased complexity is considered.

Keywords: аlgebraic equations; Cauchy's inequalities; Bernoulli; Cauchy-Bunyakovsky; assessment of algebraic inequalities.

Первоначально приведем формулировки неравенства Коши, неравенства Бернулли и неравенства Коши-Буняковского, а затем проиллюстрируем их применение при решении алгебраических уравнений и неравенств повышенной сложности.

Неравенство Коши. Пусть a1 > 0,a2 > 0,...,an > 0, тогда

a1 + a2 +... + an

>

^a1a2...an , (1)

где п > 2. Причем неравенство превращается в равенство тогда и, только тогда, когда а1 = а2 =... = ап. В частности, если в (1) положить п = 2, то

a1 + a2 > 2 >

>/00". (2)

Это неравенство чаще всего встречается при решении стандартных задач по математике.

Если в (2) положить а1 = а и а2 = —, где а > 0, то

а

а +1 > 2 (3)

а

Здесь неравенство равносильно равенству лишь при а = 1. Следует отметить, что имеется аналог неравенства (3) для отрицательных значений а, а именно, если а < 0, то

n

Секция «Прикладная математика»

1

а2 + — < -2 .

(4)

Данное неравенство превращается в равенство при а = -1.

Наиболее распространенным является классическое неравенство Бернулли, которое формулируется в следующей форме: если х > -1, то для любого натурального п имеет место

(1 + х)п > 1 + пх.

(5)

Причем равенство в (5) достигается при п = 0 или х = 0.

Наряду с (5) существует обобщенное неравенство Бернулли, которое содержит в себе два неравенства: если р < 0 или р > 1, то

(1 + х)р > 1 + рх, если 0 < р < 1, то (1 + х)р < 1 + рх, где х > -1.

(6) (7)

Следует отметить, что равенство в (6) и (7) имеют место только при х = 0. Верно также и обратное утверждение.

Неравенство Коши-Буняковского.

Для произвольных х1, х2, ..., хп и у1, у2, ..., уп имеет место

(х1 У1 + х2У2 + ... + хпУп )2 < (( + х22 + ... + хп ) (У12 + У22 + ... + Уп ), где п > 2,

(8)

Причём равенство в (8) достигается в том и, только в том случае, когда числа хк и Ук пропорциональны, т. е. существует константа а(а Ф 0) такая, что для всех к = 1, 2, ..., п выполняется равенство хк = аУк.

На основе использования неравенства Коши-Буняковского (8) можно доказать неравен-

ство

(а + Ъ)п < 2п(ап + Ьп),

(9)

которое справедливо для произвольных а(а > 0), Ъ(Ъ > 0) и натурального числа п.

Рассмотрим наиболее интересные задачи, при решении которых, использование классических неравенств приводит к достаточно «красивым» результатам. Пример 1. Доказать неравенство

к/а - V(х) + к]а + V(х) < 2^а где 0 < V(х) < а.

Доказательство: преобразуем левую часть неравенства с использованием неравенства (7), т. е.

ф-Йх) + ¡Ю+щх) = Г1 - ^ ] 1 + Га ^+£00 ] 1 < г Г1 - £00 +1+£00 V 2к

Так как по условию V(х) Ф 0, то равенства в неравенстве Бернулли не будет, поэтому доказано строгое неравенство.

Пример 2. Доказать, если х1 > 1, ..., хп > 1, то

(

1

1

К2 У

1

1

Лх2 (

V хз У

1

1

л

хп-1 (

п У

1

1

N X п

> 2п.

V х1 У

Доказательство: для получения нижней оценки левой части требуемого неравенства первоначально воспользуемся неравенством Бернулли (6), а затем неравенством Коши (2), тогда

1

1

\хЧ

V х2 У

1

1

Лх2 (

гз У

1

1

\хп-1 (

У

1

1

\хп Г

>

г1 У

1+х

V

К2 У

1 х2 1 + —

Л (

гз У

1

п—1

п У

1

>

г1 У

> 2

1

^2 р.^/^.р- = 2п и т. д.

х2 \Х3 V Хп \Х1

Пример 3. Решить уравнение (16 х200 +1)( у200 +1) = 16( ху )100.

Решение. Используя неравенство Коши (2), можно записать каждое из сомножителей в виде

16х200 +1 > 2л/16х200 = 8х100;у200 +1 > 2^7°° = 2у100,

тогда имеем место неравенство (16 х200 +1)( у200 +1) = 16( ху )100.

Из данного уравнения следует, что приведённые выше неравенства Коши обращаются в

200 200 200 равенства. А это возможно лишь в том случае, когда 16х = 1 и у = 1 и у = 1.

Следовательно, имеем х = ± —^ и у = ±1 и у = ±1, тогда получаем следующие пары реше-

2

ний:

1 ;Г 1 Л ;Г 1

15-02' Л502' Д 502' Д 502

Пример 4. Решить уравнение

6

1 - х + ^х = |1 +(1 +Л

3 ^ 24 ^ ^ 36

Решение. Применим к левой части уравнения неравенство Бернулли (7), а к правой части неравенство (6), тогда

1 -- + 61+х = Г 1 -х12 +1 + х16 < 1 -х +1 + х = 2

3 ^ 3) 6 6

и

1 )4+(1 )6 > 1 - х+1+х=2.

24) ^ 36) 6 6

Отсюда следует, что неравенства Бернулли, примененные к обеим частям уравнения, обращаются в равенство, а это возможно лишь в том случае, когда х = 0.

Таким образом, для целого ряда задач, применение классических неравенств позволяют получить с помощью не сложных выкладок достаточно доступные и простые решения.

Библиографические ссылки

1. Назаров А. И. Задачи-ловушки. Минск : Аверсэв, 2006.

2. Барвенов С. А. Математика для старшеклассников. Минск : Аверсэв, 2004.

3. Барвенов А. Методы решения алгебраических уравнений. Минск : Аверсэв, 2006.

© Рогачева Т. Ю., Коваленко О. Н., 2017