CC BY
17
К вопросу о разработке модели нелинейного двухполюсника с управляемой вольт-амперной характеристикой
В.В. Пивнев , С.Н. Басан
1 Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону Российский государственный гидрометеорологический университет,
филиал в г. Туапсе
1
2
2
Аннотация: В данной работе рассматриваются вопросы разработки схемы замещения нелинейного двухполюсника с вольт-амперной характеристикой, управляемой напряжением, либо током, которую можно формировать, не изменяя схемы, в соответствии с требованиями проектирования. Для решения задачи используется аналого-цифро-аналоговый элемент. Вольт-амперная характеристика данного элемента определяется программой работы цифрового устройства. Для аппроксимации характеристик нелинейных элементов применяются полиномы различной степени -отрезки рядов Тейлора, Маклорена, Лагранжа и др. По нашему мнению решение подобной задачи является актуальным.
Ключевые слова: Синтез схемы, нелинейные цепи, эквивалентные преобразования, аналого-цифро-аналоговый элемент, нелинейное сопротивление, управляемый источник напряжения, ряд Тейлора.
Успехи современной микроэлектроники позволяют на более высоком уровне синтезировать устройства для решения задач моделирования, автоматического управления, связи и т.п.
Подавляющее большинство физических процессов являются нелинейными. В данной работе рассматриваются только такие процессы, которые могут быть описаны соответствующими нелинейными алгебраическими или нелинейными интегрально - дифференциальными уравнениями. Будем полагать так же, что существуют электрические цепи, токи и напряжения которых с точностью до обозначений совпадают с соответствующими физическими величинами. Полученная таким образом модель представляет собой некоторую нелинейную электрическую цепь, которая, в общем случае, состоит из линейной части, в которой могут процессы преобразования, накопления электрической энергии, а также
процессы обратимости [1] и нелинейной части. В работах [2 - 5] показано, что существуют классы схем замещения электрических цепей, которые путём эквивалентных и квазиэквивалентных преобразований могут быть сведены к нелинейным схемам замещения с нелинейными резисторами. Подобные схемы замещения можно представить так, как показано на рис. 1.
Рис. 1. - Нелинейная электрическая цепь
Будем полагать так же, что нелинейная часть состоит только из двухполюсных элементов, и что вольт-амперная (ампер-вольтная) характеристики каждого элемента известны. Основная проблема реализации двухполюсников с заданными вольт-амперными характеристиками состоит в большом многообразии характеристик и в технической сложности достижения, например [6, 7] их точности и стабильности. Эти недостатки присущи многим известным методам [2 - 5, 8 - 10]. В результате, как правило, при реализации устройств, содержащих нелинейные элементы, требуется выполнение этапа настройки.
Целью данного исследования является разработка схемы замещения нелинейного двухполюсника с управляемой либо напряжением, либо током вольт-амперной характеристикой, которую можно формировать, не изменяя схемы, в соответствии с требованиями проектирования. По нашему мнению
решение подобной задачи является актуальным.
В основе решения поставленной задачи лежит использование аналого -цифро-аналогово элемента [8]. Этот элемент представляет собой управляемый источник напряжения (рис.2).
Вольт амперная характеристика данного элемента определяется программой работы цифрового устройства. Таким образом, не меняя конструкции устройства на рис.2, используя только программные средства, можно получать элементы с различными вольт-амперными характеристиками. В настоящее время для аппроксимации характеристик нелинейных элементов широко применяются полиномы различной степени (отрезки рядов Тейлора, Маклорена, полиномы Лагранжа и др.) [2, 3, 10]. Схема замещения нелинейного элемента, полюсное уравнение которого имеет вид полинома, может быть представлена так, как показано на рис. 3.
Рис. 2. - Аналого-цифро-аналоговый элемент
и(0
"1(0 аэ(0 1(3
Рис. 3. - Схема замещения нелинейного элемента
1
При выбранном способе аппроксимации полюсное уравнение к-го элемента на рис. 3 имеет вид:
щ (/) = 4Л , (1)
где Ак, Вк - вещественные числа; к = 1 ^ N - номер по порядку.
Будем синтезировать схему каждого элемента на рис.3 схемой, приведенной на рис.2. Выражение (1) можно рассматривать как решение некоторого дифференциального уравнения. В таком случае числа Ак, Вк можно рассматривать как постоянные интегрирования. Так как в выражении (1) два постоянных числа (две постоянных интегрирования), то искомое дифференциальное уравнение является дифференциальным уравнением второго порядка. Продифференцируем уравнение (1) дважды.
и к = АкВк1(Вк-1). (2)
и"к= АкВк (Вк -1)/(Вк-2). (3)
Рассматривая уравнения (1), (2) и (3) как систему уравнений, исключим постоянные интегрирования из уравнения (3). и' /
Вк = —. (4)
ик
Если разделить (3) на (2), то с учётом (4) получим:
,,п (ик) . ик п /п
и'--= (5)
ик 1
Полученное уравнение и есть полюсное уравнение к-го элемента в схеме на рис. 3, записанное в дифференциальной форме.
Для того, чтобы постоянные интегрирования удовлетворяли заданным условиям (1), необходимо обеспечить начальные условия,
удовлетворяющие уравнениям (6) и (7):
и н = А1ВН . (6)
и н = В^. (7)
гн
1
В тех случаях, когда один из коэффициентов А или В не должны изменяться в зависимости от начальных условий, можно ограничиться при моделировании дифференциальным уравнением первого порядка. Например, пусть коэффициент В не должен изменяться в зависимости от начальных условий. Тогда в выражении (1) можно считать постоянной интегрирования только коэффициент А. Из (1) следует:
А = у. (8)
Дифференцируя (1) по току, получим:
и[ = АБ1(Б-1). (9)
С учётом выражения (8) соотношение (9) может быть преобразовано к
виду:
Б^ = 0. (10)
1
Постоянная интегрирования в решении уравнения (10) находится из начальных условий.
А = ^. (11)
гн
По данной работе можно сделать следующие выводы:
1. При моделировании нелинейных вольт-амперных характеристик полиномами схему замещения каждого нелинейного элемента можно представить как последовательное соединение соответствующих аналого-цифро-аналоговых двухполюсников.
2. Полюсное уравнение каждого двухполюсника может быть записано в дифференциальной форме (5) или (10).
3. Соотношения (5) или (10) являются основой для составления алгоритма работы цифрового устройства (рис.2).
4. В общем случае математическое уравнение, описывающее вольт-амперную характеристику нелинейного резистивного двухполюсника, может
содержать большее количество постоянных коэффициентов (например, n). Тогда полюсное уравнение такого элемента будет представлять собой дифференциальное уравнение n-го порядка.
5. Наличие цифровой части в аналого-цифро-аналоговом элементе позволяет отладку радиоэлектронной аппаратуры выполнять только программными средствами и отказаться от подбора параметров аналоговых элементов.
Благодарности.
Работа выполнена при поддержке гранта Южного федерального университета России: «Теория и методы энергосберегающего управления распределенными системами генерации, транспортировки и потребления электроэнергии».
Литература
1. Пивнев В.В., Басан С.Н. Некоторые аспекты обратимости процессов в линейных электрических цепях второго порядка // Инженерный вестник Дона, 2013, №4 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n4y2013/1969/.
2. Филиппов Е. Нелинейная электротехника. М.: Энергия, 1968. 503 с.
3. Данилов Л.В., Матханов П.Н., Филиппов Е.С. Теория нелинейных электрических цепей. Ленинград: Энергоатомиздат, 1990. 252 с.
4. Данилов Л.В. Электрические цепи с нелинейными R элементами. М.: Связь, 1974. 135 с.
5. Басан С.Н. Электрические цепи с нелинейными резисторами. Ростов-на-Дону: Издательство Ростовского университета, 1984. 200 с.
6. Пилипенко А.М., Бирюков В.Н. Моделирование параметров МОП-транзисторов в широком температурном диапазоне // Инженерный вестник Дона, 2013, №4 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n4y2013/1917/.
7. Богданов С.А. Влияние неоднородного распределения электрически
активных примесей на перенос носителей заряда в контактах металл-полупроводник с барьером Шотки // Инженерный вестник Дона, 2013, №3 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n3y2013/1822/.
8. Басан С.Н., Изотов М.В. Универсальный аналого - цифровой элемент электронной техники // Труды международной научной конференции. Таганрог- Дивноморск: 2009. С. 486-489.
9. Pivnev V.V., Basan S.N. Some questions about equivalent circuit synthesis and nonlinear electrical circuit implementation with the specified properties in the electronic simulation tasks // Applied Mechanics and Materials Vols. 670-671. 2014. pp. 1454-1457.
10. Pivnev V.V., Basan S.N. Some the application of the Taylor series for the analysis of processes in non-linear resistive circuits // Applied Mechanics and Materials Vols. 701-702. 2015. pp. 1173-1176.
References
1. Pivnev V.V., Basan S.N. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2013, №4 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n4y2013/1969/.
2. Filippov E. Nelineynaya elektrotekhnika [Nonlinear Electrical Engineering]. M.: Energiya, 1968. 503 p.
3. Danilov L.V., Matkhanov P.N., Filippov E.S. Teoriya nelineynykh elektricheskikh tsepey [The theory of non-linear electric circuits]. Leningrad: Energoatomizdat, 1990. 252 p.
4. Danilov L.V. Elektricheskie tsepi s nelineynymi R elementami [Electrical circuit with non-linear R-element]. M.: Svyaz', 1974. 135 p.
5. Basan S.N. Elektricheskie tsepi s nelineynymi rezistorami [Electrical circuits with nonlinear resistors]. Rostov-na-Donu: Izdatel'stvo Rostovskogo universiteta, 1984. 200 p.
6. Pilipenko A.M., Biryukov V.N. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2013, №4
URL: ivdon.ru/magazine/archive/n4y2013/1917/.
7. Bogdanov S.A. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2013, №3 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n3y2013/1822/.
8. Basan S.N., Izotov M.V. Universal'nyy analogo - tsifrovoy element elektronnoy tekhniki. Trudy mezhdunarodnoy nauchnoy konferentsii. Taganrog-Divnomorsk: 2009. pp. 486-489.
9. Pivnev V.V., Basan S.N. Some questions about equivalent circuit synthesis and nonlinear electrical circuit implementation with the specified properties in the electronic simulation tasks. Applied Mechanics and Materials Vols. 670-671. 2014. pp. 1454-1457.
10. Pivnev V.V., Basan S.N. Some the application of the Taylor series for the analysis of processes in non-linear resistive circuits. Applied Mechanics and Materials Vols. 701-702. 2015. pp. 1173-1176.
