К вопросу о рациональном расчете крюка Текст научной статьи по специальности «Философия, этика, религиоведение»

С. П. Гомелля.

Инженеръ-технологъ, П[»сіюдаватель Томскаго Технологическаго ИМПЕРАТОРА НИКОЛАЯ II.

(э 'I4 еХэ

иститута

е)

къ ВОПРОСУ

о

Теоретическое изслѣдованіе простѣйшихъ раціональныхъ формъ крюка и данныя для его расчета и

конструированія.

Съ 9 чертежами въ текстѣ.

ТОМСКЪ.

ПАГ. ТМИ. Н. И. ОРЛОВОЙ. 1913.

Къ вопросу о раціональномъ расчетѣ крюка.

Инженеръ-технолога С. П- Гомелли.

1. Крюкъ относится къ числу наиболѣе отвѣтственныхъ деталей, употребляемыхъ въ машиностроеніи. Онъ имѣетъ широкое примѣненіе какъ въ подъемныхъ машинахъ, такъ п въ подвижномъ составѣ желѣзныхъ дорогъ.

Нт» той н другой областяхъ поломка згой сравнительно простои детали всегда угрожаетъ тяжелыми послѣдствіями. Нт. подъемныхъ машинахъ крюкъ, являясь частью, наиболѣе подверженной случайной поломкѣ, болѣе, чѣмъ какая-либо другая деталь, <уничтожилъ человѣческихъ жизней и, вообще, причинилъ поврежденій я убытковъ» ((Jlvnn «Cranes ami Machinery»). Роль крюка въ подвижномъ составѣ желѣзныхъ дорогъ не менѣе значительна, при чемъ поврежденія тягового крюка то;ке не разъ служили причиною весьма ееріозныхъ, желѣзнодорожныхъ катастрофъ.

Очевидно, что яти обстоятельства, а также сравнительно высокая стоимость матеріала и изготовленія крюка, заставляютъ относиться къ расчету и построенію зтон детали съ особеннымъ вниманіемъ, и позтому болѣе подробное освѣщеніе вопроса- о проектированіи крюка не будетъ

ІШІІШШІМ'Ь.

Необходимо отмѣтить, что въ обычно примѣняемыхъ способахъ расчета и проектированія крюка допускаются нѣкоторыя неправильности. Такъ, при расчетѣ крюка для подъемныхъ машинъ принимаютъ расположеніе силъ, дѣйствующихъ па него, болѣе выгодное въ отношеніи возникающихъ въ немъ напряженій, чѣмъ то, когорос можетъ быть въ дѣйствительности. Затѣмъ, обыкновенію при расчетѣ /діаметровъ отверстія крюка н подвѣсныхъ канатовъ не учитываютъ вліянія ихъ наклона, а нижнее сѣченіе крюка плоскостью, проходящей черезъ ось его, провѣряютъ только на срѣзъ: вслѣдствіе зтого при нормальныхъ величинахъ допускаемыхъ напряженій, зп» сѣченіе можетъ получиться

недостаточно прочнымъ. Точно также обычно принимаемыя при расчетѣ-крюка по формулѣ Грасгофа величины отношенія параллельныхъ сторонъ трапеціи, получаемой въ опасномъ сѣченіи его, являются довольно произвольными н не удовлетворительны въ смыслѣ наиболѣе выгоднаго использованія матеріала крюка. Наконецъ, слѣдуетъ указать, что при расчетѣ крюка по формулѣ Грасгофа обыкновенно придаютъ ему форму, не вполнѣ соотвѣтствующую самому расчету: -дімнтп всегда расчетъ производится въ предположеніи, что центръ кривизны расчетнаго сѣченія крюка совпадаетъ съ центромъ его отверстія:' при вычерчиваніи же крюка ото обстоятельство обыкновенно не учитываютъ, вслѣдствіе чего въ опредѣленіи напряженій получается ошибка, пренебрегать которой никоимъ образомъ не елѣдуогь.

Такъ какъ при опредѣленіи прочныхъ размѣровъ крюка весьма часто пользуются формулами для иксцентрнчнаго растяженія короткихъ-брусьевъ, то ниже разсмотрѣны расчеты крюка н на эксцентричное растяженіе и но формулѣ Грасгофа,—конечно, въ томъ и другомъ случаѣ но возможности приняты во вниманіе всѣ только что отмѣченныя обстоятельства.

■»

2. Размѣры крюка зависятъ не только отъ. максимальной нагрузки

на которую онъ долженъ быть расчптанъ,, ію^ отъ его формы, въ которой существенное значеніе имѣетъ радіусъ отверстія крюка а : чѣмъ больше ототъ радіусъ, тѣмъ болѣе долита .быть н величина момента, изгибающаго крюкъ, вмѣстѣ съ которой одновременно возрастаетъ также вѣсъ самого крюка. Поэтому діаметру отверстія крюка должны быть приданы минимальные размѣры, достаточные лишь для подвѣшиванія па крюкѣ максимальнаго груза при іюмоіцп канатовъ или цѣпей.

При зацѣпленіи крюка за петли каната, либо цѣпи, усилія S, въ нихъ дѣйствующія, зависятъ оть угловъ наклона канатовъ а съ вертн-

, Ч 1

калыо и выражаются формулою S = ^ ^ ^ , изъ которой видно, что

когда а мѣняется оть <<° до 90°. S возрастаетъ отъ ^ ч Д° безконечности. Очевидно, что необходимо задаться для расчета канатовъ н крюка нѣкоторымъ предѣльнымъ значеніемъ S.

Принимаемъ предѣльное значеніе S ранным'і.

1

-.у»,*, что соотвѣтствуетъ при -ііара.ілр.іыіомъ положеніи пары канатовъ каждой петли (фнг. 1) угламъ иѵыіаклона къ вертикали я—(10°. или. вообще, наклону двухъ равнодѣйствующихъ натяженій каждой петли подъ тѣми же къ вертикали углами въ (И»0.

Обозначимъ діаметръ пеньковаго каната для подвѣшиваніи къ крюку груза черезъ •!, допускаемое въ немъ напряженіе примемъ 100 k7(.ln2: діаметръ цѣпного желѣза обозначимъ черезъ <!' и допускаемое напряженіе въ немъ, въ виду возможности перегибовъ звеньевъ на углахъ подымаемаго пред- Фш-. і.

мета, примемъ, какъ дія калиброванной цѣпи, равнымъ 320к!Ч„Д При ятихъ условіяхъ получаемъ: для каната

,1 = 0,079 /(д,,, и для лѣпи <1'=0,04Г> К <1»СІ11.

Но діаметръ отверстія крюка, согласію фнг. 2,

I іі <1 \

раненъ 2а =2 [-f- о ^~) • такъ что, подставляя въ ату формулу значенія <1 и округляя числа, получаемъ для каната:

2я = И,17/ѵ™.

и для лѣіі|[:

2а —0,1 P\»,J (1)

Послѣднюю ірормулу (1). какъ дающую для отверстія крюка минимальные размѣры, слѣдуеть принять для опредѣленія величины а. Другая формула можетъ быть примѣняема только при расчетѣ крюковъ небольшой подъемной силы, при которыхъ подвѣшиваніе максимальнаго груза производится на пеньковыхъ канатахъ.

3. Расчетъ крюка долженъ быть произведенъ при условіи наиболѣе невыгоднаго расположенія гиль, дѣйствующихъ на него. Допустивъ, какъ :->то обычно дѣлается, что максимальная нагрузка на крюкъ (t> совпадаетъ съ вертикалью, проходящей черезъ центръ его отверстія,—мы получили бы одно опасное сѣченіе I О (фнг. 2). Коли предположимъ, что петли каната направлены йодъ угломъ къ вертикали, такъ что равнодѣйствующія ихъ натяженій составляютъ съ ней углы въ (И)с,—

то ПОЛУЧИМЪ болѣе НСВЫГОДНОС для прочности крюка расположеніе силъ. при чемъ, помимо лежащаго пт» горизонтальной плоскости опаснаго сѣченія I 0, и второе сѣченіе III—О будетъ находиться ігг» условіяхъ тождественныхъ съ нер-нымт». Кромѣ того является возможность заодно расчитать на изгибъ и растяженіе также лежащее нт. вертикальной плоскости сѣченіе IV—О, которое въ случаѣ-перваго предположенія, т. е. когда дѣйствующая на крюкъ сила <) направлена но вертикали, получилось бы но щіечету на срѣзъ елшіікомъ слабымъ сравнительно съ размѣрами, обыкновенно въ этомъ мѣстѣ придаваемыми крюку на практикѣ.

Та кт» какъ крюкъ ію своей формѣ представляетъ криволинейный стержень сь довольно незначительнымъ по сравненію съ высотою опаснаго сѣченія радіусомъ еп> кривизны, опредѣляемой геометрическимъ мѣстомъ иеитровъ тяжести поперечныхъ сѣченій,—то расчетъ его но формуламъ для эксцентричнаго растяженія прямолинейнаго стержни Оудетъ тѣмъ менѣе точенъ, чѣмъ относительно меньше упомянутый радіусъ кривизны. Однако довольно часто примѣняемый на практикѣ расчетъ крюка ію простымъ формуламъ на эксцентричное растяженіе при соотвѣтственномъ выборѣ допускаемаго напряженія можетъ дать удовлетворительные въ смыслѣ прочности крюка размѣры.

При атомъ, когда матеріалъ крюка достаточно вязокъ, постепенно увеличивающаяся на него нагрузка за предѣлами упругости уменьшаетъ его кривизну, благодаря чему крюкъ но своей формѣ все болѣе п болѣе приближается къ расчетной, пріобрѣтая вмѣстѣ съ тѣмъ и большую сопротивляемость "). *)

*) К. Бахъ: „Детали машинъ". стр -VJ7.

Опытный изслѣдованія падь разырвамн крюковъ указали, что дѣйствительное усиліе, разрушающее крюкъ, даже нѣсколько больше расчетнаго. Подобные результаты могутъ быть объяснены тѣмъ, что распредѣленіе нормальныхъ напряженій іп> какомъ-либо сѣченіи изгибаемаго бруска за предѣлами упругости матеріала уже не слѣдуютъ закону прямой линіи, при чемъ нормальныя напряженія но высотѣ сѣченія распредѣляются болѣе, благопріятнымъ образомъ иъ отношеніи прочности бруска, слѣдуя діаграммѣ напряженій, получаемой при разрывѣ бруска **).

Тѣмъ не менѣе до предѣловъ упругой деформаціи, каковыя всегда принимаются въ основу расчетовъ прочности деталей машинъ, расчетъ но формулѣ на зкецетрнчіюе растяженіе является только приближеннымъ.

4. Нъ основаніе расчета крюка должно быть принято условіе его наибольшей прочности при наименьшей затратѣ матеріала, при атомъ, конечно, Форма сѣченій крюка должна быть достаточно простою, чтобы не увеличить стоимости его изготовленія. Такимъ образомъ, поперечнымъ сѣченіямъ крюка можетъ быть придана или форма трапеціи (въ частности—треугольника, прямоугольника и квадрата), или зллипса (въ частномъ случаѣ круга). Послѣдняго рода сѣченія менѣе выгодны въ смыслѣ использованія сопротивленія матеріала крюка, работающаго главнымъ образомъ іщ изгибъ: іи «тому мы разсмотримъ только крюки съ трапецеидальнымъ сѣченіемъ.

Опасныя сѣченія крюка (фнг. 2) J— О и III—О при 2 = 60° подвергаются изгибу и растяженію отъ силы Обозначимъ параллельныя стороны граненіи, получаемой въ опасномъ сѣченіи I—О, черезъ bj н Ьо, высоту ея—черезъ 1і. разстояніе центра тяжести трапеціи С отъ параллельныхъ сторонъ ея Ь, и Ь_, соотвѣтственно обозначимъ черезъ с, и с2, а площадь самой трапеціи и ея моментъ инерціи -черезъ I* и Л.

.Максимальныя нормальныя напряженія выразятся формулами:

+

Ч (а 4" С]) с, Л

п —<>., ~

растяженія о, и сжатія

Ч Ч( а 4- сі) с,

Г Л

”) Перловъ „Детали подъемныхъ машинъ* стр. 5Ы).

На фнг. 2 величины лтнхъ напряженіи предгтанлепы графически, какъ отрѣзки I—и 2—4, при чемъ точка 7 соотвѣтствуетъ центру тяжести С опаснаго сѣченія: отрѣзокъ 8—5 соотвѣтствуетъ нормаль-

ному напряженно въ опасномъ сѣченіи отъ одного растяженія, а

отрѣзки 1—8 и 2—(і соотвѣтствуютъ максимальнымъ напряженіямъ отъ изгиба; при атомъ въ растянутыхъ волокнахъ отрѣзокъ 8-1 пред-Мс, ф (а -(- с,) с,

— — ---------—:— , а въ сжатыхъ волокнахъ отрѣзокъ

ставляетъ

Л

2—I) представляетъ

Me» _ Q (aj+jj) { -

■) = “ -J

„ ІО 1і

Подставляя ш вмѣсто г- п k вмѣсто 7-, а также принимая во вни-

и, а

маніе, что для трапеціи

Іі3 (!>[■’ -|—tl»i Ь, -|- І>,2) lft нг + 4ш -f- 1

' = зв (ь, ч- ь») ' ...............

с,

h

2 + m

18 (ni —(— 1 2m + 1)

с,

8 (m + 1) И li .3 (іи + I) 5

. получимъ:

и [

; = ;|x +

1 2+Jli

k 3 (m + 1)

2 -f- in nr + 4m + 1

3(iii + l) 18 (iu + 1), И

откуда затѣмъ моя,-но опредѣлить

л 1} \ 2 (3 (ш + 1) + k (2 + ш)| (2 + .ш) , I

°l = f I (нг' + 4 ш + 1) k ...... I

(nr + 4..I + 1)

и аналогичнымъ образомъ

A _ Ц [ 2 |3 (in + 1)+ k (2 + iii)| (2hi + 1) |

— f 1 (nr + 4m + 1) k )

Кслн максимальное допускаемое напряженіе въ опасномъ сѣченіи крюка обозначимъ черезъ о, то для расчета опаснаго сѣченія его нолучимъ слѣду юіція вырая,-снія:

__Q I 2 |3 (іи + 1) + k (2 + m)J (2 +jn) . л I

1 ~ о I (nr + 4m + 1) k i

_ <4> | 213(m+ 1) + k (2 + m)| (2m + 1) I

~ ~ и 1 (nr + 3m + 1) k ^

(2)

я

Г). Изъ двухъ приведенныхъ значеній д.ія площади опаснаго сѣченія крюка f, и L должно быть выбрано. конечно, больше, для того чтобы напряженіе матеріала противоположнаго знака было не выше дону-

скаемаго. Что касается величины к, которая равна , то, какъ не трудно

замѣтить, съ увеличеніемъ ея площадь опаснаго сѣченія крюка убываетъ. Такимъ образом ъ, съ зтой точки зрѣнія было бы выгоднѣе братъ для k значенія возможно больше, если бы не существовало для него нѣкотораго предѣла, обусловливаемаго практическими соображеніями (удобство продѣванія крюка, устойчивость противъ деформацій въ плоскости легчайшаго изгиба н др.). Обыкновенію практическій предѣлъ величины k принимается равнымъ 2,6.

Что касается значеній ш, которыми обусловливается форма опаснаго сѣченія (при іи равномъ нулю п безконечности получаемъ въ сѣченіи'треугольникъ, при ш равномъ единицѣ—прямоугольникъ и при промежуточныхъ значеніяхъ ш—трапецію), то его обыкновенію такъ выбираютъ, чтобы площадь f опаснаго сѣченія при заданномъ допускаемомъ напряженіи матеріала была по возможности меньше.

Такимъ образомъ, для опредѣленія папвыгоднѣйшаго значенія ш, и [іи которо’мъ площадь расчетнаго сѣченія получается наименьшей, необходимо опредѣлить минимумы обоихъ выраженій (2) и (И) для f, и 1'2, для чего беремъ отъ нихъ производныя но ш и, приравнивая ихъ нулю, получаемъ два независимыя уравненія:

(&)

г..,, ))Г—2 (k + 1) III — (Г) -f 4 k)

- (nr -j- Tin + 1)-

/■,. ч i _ + Ю »>' + — U_+_k) _ n

^ + i )2 - _____________

Изъ перваго уравненія (4) получаемъ m = (k-|— 1) __r |/lr-t- <>k + 6. Вторая производная отъ f, ію ш, нредставляюіцаясн въ видѣ выраженія

• у _ Ч J>_~' (1< + 1)|(иі- + 4ііі + I )

<liJ ... — (ш- + 4ш Н-1 )*

2 |нг 2 (k —(— 1) in - (.> —і—t) | (in2 —(— 4in —J— 1) (2in —(— -4-)

“ (n? + 4in + l)4 5 ,n‘ ДаИ'

номъ случаѣ имѣетъ одинаковый знакъ съ выраженіемъ 2ш—2 (к—1-1), такъ что но подстановкѣ корней уравненія (4) получаемъ:

2ш — 2 (k + 1) = zn 2 Y к2 + бк + б ,

и, слѣдовательно. при ш = к -f- 1 -+- V к2 (>к -f- (> оудотъ имѣть

мѣсто I, минимумъ. а при ш = к +■ J — V к2 -(- (>к + (і получимъ 1‘, максимумъ.

ІІ.ть второго уравненія (Г>) ана.іогпчнымъ оГіразомъ получаемъ:

ш = —— при чемъ вторая производная отъ f2

.) k

но іи имѣетъ одинаковый знакъ съ выраженіемъ: 2 (к + Г>) ш -f- 2,

которое при ш = ~ ^ ~І~ I-' к~ + -Ь ■> 5 оудучн оолыіш нуля, онре-

:> + к

дѣлясгь минимумъ 12; а при другомъ корнѣ—максимумь U.

Такимъ ооразомъ, минимумъ для площадей опасныхъ сѣченій крюка . соотвѣтствуетъ корнямъ уравненій (4) и(Г>) съ положительнымъ радикаломъ, а ихъ максимумъ- корнямъ тѣхъ же уравненій съ отрицательнымъ радикаломъ.

Для примѣра разсмотримъ измѣненія 1', и Г, при k — 2. Подставляя ото значеніе k въ уравненія (4) и (Г>) и рѣшая ихъ, находимъ: для площадей f, минимумъ имѣетъ мѣсто при ш = 7,7, максимумъ Г, при ш = —1,7; для площадей Г2 минимумъ имѣетъ мѣсто при ш, = 0,Г>3, а максимумъ ѣ при ві -= --U.SJ.

На фнг. Л представлены кривыя, указывающія измѣненія значеній Г, и L при k = 2 въ зависимости отъ іи, величины которого отложены на оси аосцпсеъ. Кривая для f,, ЫІНАС, нмѣем'і» свой минимумъ въ точкѣ (’, а кривая, соотвѣтствующая L, пмѣегь минимумъ ВІ. точкѣ 1). Максимумы Г, и Г,,

находящіеся нъ отрицательныхъ частяхъ кривыхъ, представленныхъ на чертежѣ пунктиромъ, не имѣютъ практическаго значенія при расчетѣ крюка, потому что для трапецеидальнаго сѣченія крюка ш всегда должно быть положительно.

6. Та кт. какъ при опредѣленіи значеніи ш, соотвѣтствующаго наименьшему значенію площади опаснаго сѣченіи, приходится считаться съ обѣими кривыми Г, и U, то необходимо найти еще н точку ихъ взаимнаго пересѣченія, для кбторой f, = Г,, или что тоже 5, — Приравнивая между собою значенія f, и 14, (2) и (3), получаемъ: 2|;-Чш+1)+к(2+ш)|(2 + іи) 2|:-l(in-f l)H-k(2-|-iii)|(2ni -hi)

(нг 4ш -j— 1) k (іи- —|- -4-іи —j— І) k 5

откуда находимт.:

ш - k.-h 1 *) (6)

Подставляя ш-(-1 вмѣсто ш въ выраженія (4) и (it), получаемъ:

. <» О

(Г,)'... 4=-^! (Q'm k-і (fc + 0: такъ какъ k всегда

больше нуля, то (f,)',,, k-, всегда положительно, а (Ѣ,)'ш k . , отри-

цательно.

Такимъ образомъ, кривая f, вт. точкѣ Л пересѣченія ея сь другой крнвоіі Г, убываетъ до своего минимума, а кривая Г, въ той же точкѣ возрастаегь отъ своего минимума, т. е. абсцисса точки взаимнаго нересѣче-нія обѣнхт. кривыхъ ш = k -f 1 находится между абсциссами ихъ минимумовъ: ш = k + 1 -h у k2 -I- 6k -f- б и hi =~~ 1 + I _ Ь'4-fa+g

.» -J- k

Вслѣдствіе атого фактическій, т. е. принимаемый для расчета крюка минимумъ площади опаснаго сѣченія соотвѣтствуеть точкѣ А пересѣченія обѣнхт. кривыхъ.

Кс.ііі бы абсцисса точки пересѣченія лтпхт. кривыхъ нс была расположена между абсциссами пхъ минимумовъ, то и фактическій минимумъ площади опаснаго сѣченія не соотвѣтствовалъ бы условію равенства допускаемыхъ напряженій о, = ѵ, и не совпадалъ бы сь указанной точкой ихъ пересѣченія, а сь тѣмъ изъ минимумовъ, который больше, случай, который имѣетъ мѣсто нрн расчетѣ крюка но формулѣ Грасгофа и въ дальнѣйшемъ будетъ разсмотрѣнъ.

*) Кромѣ гоі о существуютъ отрицательные корни : m гт: —I. іи — — о,27 и і.м = -3.73, которые для расчета крюка тоже не и.чІ;ютъ зпачонін.

Итакъ, iijhi расчетѣ крюка на эксцентричное растяженіе наивыгод-нѣйиіая Форма его сѣченій іп> смыслѣ ішнмепыпей величины илоіцадн— получается при k = n-j-1. Отой формулой почти всегда пользуются при опредѣленіи пан выгоднѣйшихъ значеній ш (даже нерѣдко н при расчетѣ крюка по формулѣ Грастофа). Однако основанія, ім. которыхъ эту формулу обыкновенно выводятъ. о, = являются только частнымъ случаемъ, который не всегда имѣетъ .мѣсто, и, слѣдовательно, они не вполнѣ правильны.

Площадь опаснаго сѣченія при укапанномъ выше условіи выразится формулою:

<)

Ik + 2)

(7)

Придавая k значенія I, 2. 3 н оо, для Г находимъ слѣдующія соот-

п О о О

вѣтственныя нмъ величины: 9 £ , (> * . 5 * и 3 X . илъ чего можно

Л ? /. Г. Г. '

заключилъ, что выгода отъ увеличенія k быстро падаетъ вмѣстѣ съ увеличеніемъ самого значенія к. Такимъ образомъ. это обстоятельство тоже является одной н:п> причинъ, по которой не слѣдуетъ переходить значеній к, установленныхъ практикою.'

. Иная Г, не трудно опредѣлить І>, п Іь Дѣйствительно,

о И

2( = Ь, (іи-j- 1) 1і. откуда получаемъ: Ь._» = I р , (М)

7. Наружное очертаніе к|Нока должно быть такъ произведено, чтобы внѣшній очеркъ его проходилъ черезъ опредѣленныя ранѣе точки 1 и 1ІІ (фнг. 4) опасныхъ сѣченій I О п III —О. Если внѣшній очеркъ крюка на большой части своего контура можетъ быть описанъ однимъ радіусомъ.—то центръ дуги располагается на линіи ПО, дѣлящей уголъ между опасными сѣченіями I О и 111- О тнюламъ. Нелнчннн же самого радіуса опредѣлится, если раечнтаемъ еще третье какое-либо сѣченіе, напримѣръ, вертикальное сѣченіе IV—О (фнг. 4).

Сѣченію IV—О тоже должна быть придана трапецеидальная форма при найвыгоднѣйшемъ отношеніи ш, длины иаралле.іыіыхъ сторонъ трапеціи,— при этомъ для упрощенія расчета можно принять, что центръ тяжести сѣченія IV О находится на томъ же разстояніи отъ центра отверстія крюка, какъ н въ сѣченіяхъ І — О н III—О. Къ дѣйствительности же центръ тяжести этого сѣченія немного приблизится къ центру

отверстія О и займетъ положеніе 1, довольно близкое къ принятому нами центру и, при чемъ отъ подобнаго допущенія нолучнгся нѣкоторый избытокъ въ запасѣ прочности. Затѣмъ, ужо не трудно будетъ [«считать сѣченіе IV О на изгибъ и растяженіе отъ силы (J Sn я=0,8(»(і і^, расположенной на разстояніи плеча а отъ центра тяжести итого сѣченія, т. е. точно-также, капъ сила Ц расположена ію отношенію къ опаснымъ сѣченіямъ. I - 0 п О —III.

Коли задаться величиной большей параллельной стороны трапеціи. получаемой въ сѣченіи IV- 03 принимая ее равной уЬ, (гдѣ у величина,опредѣляемая изъ условій конструктивности и близкая къ

единицѣ), то. па основаніи уравненія (8) можно опредѣлить высоту трапеціи Ь'.

. h'

Ооозначая отношеніе _ черезъ k, получаемъ уравненіе:

И * б

Фнг. 4.

7Ь,

б Sna

k' -f- 1 “ « k'3 а '

Такъ какъ для опасныхъ сѣченій I—о 11 I» (k -т- 1)

О отношеніе = к, а ’

то ь, —

О 1 •> ..

о к а

; подставляя значеніе Ь, вт» предыдущее уравненіе.

получимъ уравненіе, дающее зависимость между у, к и к': 7 (к + 1) к'2 — Siia V- к' — Sna 1г = О, изъ котораго опредѣляемъ к':

к' -

Sna к" —- } (Slice к")* -f- 4у (к -J- 1) к" 8мя.

(к+ТГ

При к = 2, я = 1)0° и y=1, получаемъ к’ = 1,8 и ш' = 2,8; отложивъ внизъ но вертикали 01V оті» центра отверстія, к|>юка О отрѣзокъ, равный 2.8а, находимъ точку IV и тѣмъ самымъ опредѣляемъ каігь положеніе центра, таіп» н величину радіуса К дуги, которая совпадаетъ съ внѣшнимъ очеркомъ крюка, проходящимъ черезъ три точки I, III и IV.

Сѣченіе крюка V—0, составляющее съ вертикалью уголъ въ 30°, тоже можетъ быть расчитано на эксцентричное растяженіе силою О Sna, гдѣ а = Л(>°. Задаваясь 7, но формулѣ (8)опредѣляемъ к", вели-

. ь"

чина котораго равна отношенію: (гдѣ h - высота трапеціи въ сѣче-

а

нін V—О),—а затѣмъ находимъ н ш" но формулѣ: in" = k"-f I.

При k = 2 и у = 0,8 получаемъ для сѣченія V— О к" = 1,4* слѣдовательно, h"=1,4a п пГ -- 2,4.

Сѣченія VI О п VII— О находятся въ тѣхъ же условіяхъ, какъ и сѣченія IV— 0 н Ѵ-0, такъ что оіш имѣютъ также и тождественныя съ ними расчетные размѣры.

На фиг. 4 представленъ очеркъ крюка, выполненнаго при k = 2 согласно приведенному расчету: въ этомъ случаѣ, центръ окружности внѣшняго контура крюка расположенъ на пересѣченіи примой ПО съ вертикалью, дѣлящей радіусъ АО ію-поламъ.

8. Болѣе точный расчетъ крюка можетъ быть произведенъ по формулѣ Грасгофа, но отношенію къ которой примѣненная нами формула для эксцентричнаго растяженія является ея только частнымъ случаемъ.

Формулой Грасгофа опредѣляется величина нормальнаго напряженія въ волокнахъ криволинейнаго стержня, если извѣстны: М моментъ внѣшнихъ силъ, приложенныхъ къ стержню, относительно центра тяжести С разсматриваемаго сѣченія,— положительный, когда йодъ вліяніемъ его кривизна оси стержня возрастаетъ; X нормальная въ центрѣ тяжести сѣченія С сила,—положительная, если она растягиваетъ волокна; г— радіусъ кривизны до деформаціи оси стержня, совпадающей съ геометрическимъ мѣстомъ центровъ тяжести поперечныхъ сѣченій его; х— разстояніе пункта, въ которомъ опредѣляется нормальное напряженіе волоконъ, отъ главной оси инерціи сѣченія, перпендикулярной къ плоскости кривизны въ той же точкѣ. С, и Г— площадь сѣченія.

При указанныхъ обозначеиіяхь величина нормальнаго въ разсматриваемомъ сѣченіи напряженія о выражается формулою:

-М х (10)

N .М

'*• — -I- «. 4-

f

fr

гДѴ

i-4-x’

ВЪ КОТОрОІІ

= ~ I-

1 Г г + х

•If,

(.11)

при чемъ значенія х отрицательны для волоконъ, расположенныхъ по одну съ осью кривизны бруска сторону отъ центра тяжести С.

Обозначимъ но прежнему максимальное напряженіе волокоігь отъ растяженія въ опасномъ сѣченіи крюка черезъ о, и максимальное напряженіе ихъ отъ сжатія—черезъ о.,.

Центръ кривизны Т опаснаго сѣченія АІ (фиг. Г») не всегда совпадаетъ гь центромъ отверстія крюка О. которому можетъ быть придана не только форма окружности, но и аллинса или другой какой-либо криногі.

Если отношеніе АП къ АО равно п. то. принимая прежнія обозначенія для злементовь опаснаго сѣченія, т. е. обозначая параллельныя стороны трапеціи литерами 1ц и Ь2, разстояніе отъ нихъ центра тяжести ея с, и с.,.

. Ь

высоту трапеціи черезъ 1і и отношеніе через'ь к, получимъ:

і

Фиг. •">.

{і /| ________ И 4~ <’і , ;| + <j_ 1 \

Г \ па <*і на + с, на г( / ’

О /

-«■- и

а + С|

-4- ІІ г /

Выносимъ за скобки общій множитель

на + с, па -+- с, па —Ь т; 1

п 4-

с,

, тогда

".

ч

\

1

н 4-

е.

а

II

A

— V,

с* 1 ’ на + li ft

Подставляя

‘l

"li

ш -f- 2 3 (in 4~1)

c2

17

2 in 4- 1 li

c , ■ y ii == k, получаемъ о (m + 1) a 5 . •

выраженія для площади опаснаго сѣченія Г, и іо, нъ зависимости отъ максимальнаго допускаемаго напряженіи 8 іп» растянутыхъ или іп» сжа-тыхъ волокнахъ сѣченія:

_ і) f 13 (m 1) 4- k 0» 4- 2) | (іи 4- 2) k 1

~ 8 ІЗп (ш 1) |3п (т 11 —f— k (in —(— 2)| r( '

Зи (ш —f- I) —• 3 (in -j- 1 )|

3n (in -|- 1)4* 3 (in 4~ 2jj

__У ||3 (in 4~ 1) 4~ k (in 4^ 2j| (2in 4~ 1) k _ 1

* “ 8 !3n (in 4- 1) |-in (in 4- l) 4~ k (in 4~ 2) (k 4- o)| r,

3n (in 4-1) — 3 (m 4- 1 )1 3n (in 4-1) -f- 3 (m 4- 2 )1

\). Зъ приведенныхъ выраженіяхъ необходимо величину г, замѣнить

ого аналитическимъ выраженіемъ, опредѣленнымъ по формулѣ (11). Найдемъ лііачепіе г( для трапе-цоидалыіаго сѣченія; для итого будемъ разсматривать трапецію (фнг. !>). какъ Фигуру, состоящую илъ двухъ геометрическихъ алиментовъ: наралле-і; лограмма KLHP и фигуры КХТМР, ограниченной двумя параллельными прямыми НХ и МН, и двумя * прямыми PH и MX. Начало координатъ (>Х и О.Ѵ принимаемъ въ центрѣ тяжести трапеціи ('. Обоз-н чая длину отрѣзка ST, параллельнаго основаніямъ трапеціи п проходящаго черезъ центръ ея тяжести, черезъ l)rtr находимъ:

1

1>о

ХсІХ I------1

Г 4- X

—с,

“С..

x'dx г + х

Такъ какъ b0=b2 -f-1

(l>i *— 1),,) c.>

Yi =

f

ba +

(hi

, то получаемъ:

I) i) (*2

C, -I- c, — r In r 1 — r—c, I

1), — b.,

c/ —(V t , . . , r + Cj

—h—‘ — r 0*i + c2) + r In r

1

ii.in

Yi = 1 ( ihi + "Г^' —1)2)1 1,1 r — c" ~ (b|4 — f ]

r 1,1». i аемъ подстаиош: у:

(h, -f- bo) h bt li

- — in и ==k ii опредѣляемъ r:

■i ii) a

(14)

r—mi + c, f=-

2[3n(m + l)+k(ni+2)| n+k n + k |

= - 3k(m + l)> ,'IM- -k—Cm —l»Hn „-----im—l.j-

1(15)

lii(l+k)-(m 1)—1 (15llis)

k * и

При 11 = 1, полученное выраженіе принимаетъ слѣдующій видъ:

^sdn+D+um+'Dii

ilk (ш —j— 1)

10. Если подставимъ найденное зна-* ченіе rt въ выраженія (12) и (13), то получимъ общія формулы для опредѣленія площади трапецеидальнаго сѣченія крюка f въ зависимости отъ наибольшаго допускаемаго напряженія *, максимальной нагрузки Q и относительныхъ величинъ ш,

и и к. Обозначая но Фиг. 7.

прежнему площади, вычисленныя на основаніи напряженій въ растянутой и сжатой частяхъ, соотвѣтственно черезъ І\ и f2, находимъ слѣдующія для инхъ выраженія:

f_5_

1 —e

V |3 (in + 1) 4- k (ill + 2)1 (ill + 1) (in -b _2)

2n|3n(iii+ 1 )+k(ni+2)| j |r>n(in—(— 1)—bk(in-4—2)| J|Cn—|—k)m— n|In —k (m—l)j—д k2(m+l2) |

Q 3n (in ~b 1) • 3 (in + 1)

' S 3n (in + 1) — k (m + 2)

k"|3 (in -b 1) + k (in + 2)| fin + 1) (2m + 1) ____________

n—j—k

f,=

0

+

(1«)

•J

t>

ol

2(n bk)|3n(m H )-+k(mb2)]j |ЗіГіи+1 )+k(m + 2)j j|(n+k)in n | In ^ —k(m—l)j ^ кЧт—f-1)~ j

О 3n (m + 1) — 3 (m + 1)

6 3n (m + 1) — k (in + 2) ^ ^

При n—1, т. p. когда цоитрь крпшкніы расчетнаго сѣченія со.внадастъ съ центромъ О отвертя крюка, иыраигопія для площади опаснаго сѣченія получаютъ слѣдующія нітдь:

О к:| (т+і) Оп + 2)

1,

к>, п 1

" 1 6 213 (ііі+ 1 )+к (ні+2)| j|< 1 +к)ш 1 j 111(к —j— I)—к(ш — О]- Зк‘(ш + 1)“

О V (ill + 1 ) (2ш ; 1 )

(1S)

(П>)

6 2(к I 1) | •> (ш ѵ 1) |-к(ш+2і| [|(1+к)ііі— 111 іі (к і 1 j — к (іи— 1)) Зіг(іііг 1г Если бы радіусъ і;рпіш:ип»і крюка равнялся безконечности, то выраженія (1(>) н (18) о6|)Птплнсь бы іа формулы для эксцентричнаго растяженія (2) и (3). Дѣйствительно, для подобнаго случая мы должны принять нъ предыдущихъ формулахъ о раннымъ белкопечноетп, при чемъ Іи (і + можетъ быть разложенъ

. , k . , , /. , k\ k 1ДѴ 1ДѴ 1ДV

чъ |і«дъ (такъ какъ—1 ' - < +1) с.іі.дуіищаго вида: Іи 11+ =-—ѵД-І+., 1-1—ѵі )+....

11 \ іі 11 \і) / о \11 / 4 м) /

Подставляй это выраженіе въ формулу (ІО), получаемъ:

Q к* |3 (ш -|- 1) —J— к (ш —}- 2*| (ш -(- 1) (ш + 3)

іі— * Г

2іГ[3(ін+ I)+ ^(ін+2)]2

к 1Н+1 3

п

(ш + 1)*

іи 4-2 / к\~ ш+Я/кѴ* 111+4/кѴ

2 к

3(ш + 1)+ (ш + 2)

2.3\nJ+ 3.4 \м

4.Г) \ц

+ ...

іі

1

( 3 (ill + 1) — 3 - (m+! >

Ѵ_ __11

3 (ш + 1) + ^ (ш+2)

При о = со это выраженіе принимаетъ слѣдугшцііі видъ:

к“ 13 (іи + 1) + к (ш + 2)| (ш + 1) (in + 2) I

+ 11, пли послѣ сокращенія одинаковыхъ членовъ:

Г

А. п о. — - \

Q | 2 |3 ini -f- I) + k (in + 2)| (in + 2) )

+ 1 j — выраженіе тождественное п, формулою (2).

(in'1 + 4ін + 1) k

Точно такимъ же путемъ и выраженіе (17) при п — со можетъ быть приведено къ формулѣ (3) дли эксцентричнаго растяженіи прямого стержня.

Такимъ образомъ, результаты, полу чеши,іе нами при расчетѣ крюка но формуламъ для эксцентричнаго растяженія, точно также вытекаютъ изъ Формулы Грасгофа для того случая, когда радіусъ кривизны крюка въ разсматриваемомъ сѣченіи равняется безконечности (что въ дѣйствительности иногда бываетъ),— п, слѣдовательно, въ такихъ случаяхъ расчетъ на эксцентричное растяженіе является настила) же точнымъ, какъ и но формулѣ Грасгофа

11. Формулы (18) и (19) можно представить въ слѣдующемъ видѣ:

Q к3 (ш -г 1) (ш *г 2)

.— . _ , , ______________ »і

*’11=1 6 2а иг -г ш г Y

Q к3 (ш -г 1) (2 ш 1)

-■u=1 — 6 2 (к -г 1) я in2 -f Р ш -г Y

(20>

Ш)

при чемъ: а = (к 3) (к I) In (к ~г 1) - 2.5 к2 2к (к ~г 2) In ( к I) — 4 1с;

к- Ч Зк (2к 3, Іи (к -!- I).

(1,0

(22)

Изъ полученныхъ выраженій для 1, и і, индію, что площадь опаснаго сѣченія зависитъ отъ ш н к, при чемъ, въ то время какъ ш можетъ измѣняться отъ 0 до оо,— величина к, какъ уже было указано, имѣетъ нѣкоторый практическій предѣлъ k — 2,5.

Задаваясь величиной к, мы можемъ, если п—I, опредѣлить значеніе ш, при которомъ площадь разсматриваемаго сѣченія крюка при заданномъ допускаемомъ напряженіи 6; будетъ наименьшей.

Такъ какъ величина искомой площади обусловливается двумя Функціями отъ ш (18) п (19),—то необходимо для расчета ея принимать изъ двухъ значеній функцій f,, „ , и (Y, „ , при одномъ н томъ же ш то значеніе, которое больше, для того чтобы максимальное напряженіе матеріала противоположнаго знака по оказалось выше допускаемаго при атомъ условіи можно найти фактическій минимумъ искомой площади, который совпадаетъ пли съ минимумомъ f1JM ,, или съ минимумомъ fj, п^,, или же съ точкою взаимнаго пересѣченія кривыхъ, опредѣляемыхъ этими функціями.

Точка пересѣченія кривыхъ является фактическимъ минимумомъ только въ томъ случаѣ, когда въ ней одна функція возрастаетъ, а другая убываетъ- въ противномъ случаѣ онъ совпадаетъ съ однимъ изъ минимумовъ указанныхъ функцій.

Такимъ образамъ, для опредѣленія значеній ш, при которыхъ площадь опаснаго сѣченія крюка при расчетѣ его но формулѣ Грасгофа получается нрп заданной величинѣ допускаемаго напряженія наименьшей,—необходимо прежде всего найти тѣ значенія ш, при кото-

рыхъ f2,n =і- Для этого слѣдуетъ приравнять мслѵду собою пра-

выя части выраженій (20) и (21), при чемъ получаемъ уравненіе:

(т Ч- 1) (ш + 2) (ш Ч~ 1) (2т т I) я nr ,3т 7 — (япг Ч~ ,3ш -Нт) (к Ч~ 1)^

изъ ко!ораго опредѣляются искомыя значенія т:

ш = — 1; т =-

21с Ч і 1 . ~—— ..

— ‘ if“ f и 111 = “ V f — * ЯѴ *)

При k > о зпченія я, ,3 и 7 полой:ителыіы, такъ что найденнымъ точкамъ пересѣченія разсматриваемыхъ двухъ кривыхъ соотвѣтствуютъ только отрицательныя значенія ш, а такъ какъ для расчета крюка имѣемъ смыслъ лини» ш положительное, то, если k> 1, достаточно изслѣдовать кривыя только при ш большемъ нуля.

Беіюмъ производныя по ш отъ выраженій (20) и (21).

(Ѣ>. II -- і) и

О 14 (,3 — 3d) 111- — 2 (2я — у)ш — (2,3 — З7)

Z 2 (яцг , ,3ш І 7)2 ' '

Q______________(2,3 ■— За) іи- 2 (я — 2у) іи — (р — З7) ^

о 2 (к Ч~ 1)

(я ш

2 _].

г ,3 га

■7 У

Приравнивая этн производныя нулямъ, получаемъ уравненія, изъ которыхъ опредѣляемъ значенія щ, соотвѣтствующія максимумамъ и минимумамъ изслѣдуемыхъ Функцій, при атомъ изъ перваго уравненія получаемъ:

_ _ (2я — 7) =t |/(2я — 7)-Ч-(,3 —Зя) (2,3-

НЦ —------------------------л--------------------

г

-Зу)

Зя

(26)

II изъ второго:

_ (а — 27)— \/(а — 27)*-Г (2,3—Зя) (,3 — З7)

іи,

2,3 — Зя

(27)

Такимъ образомъ, изъ каждаго уравненія опредѣляются два значенія т; для того чтобы узнать, которыя изъ нихъ соотвѣтсвуютъ максимумамъ и которыя минимумамъ, находимъ еще и вторыя производныя отъ разсматриваемыхъ функцій (20) н (21):

*) Въ послѣднемъ случаѣ fi,„ - і равпо f_>, мѣстахъ функція претерпѣваетъ разрывъ.

,і — і іі оба равны ± эо:значитъ, въ этнхъ

____ •)*)___________

(f у' - ^ i-3 IC71»2 + foi + 7.)2

(Ді, nrlj rn f * |

r?

Зя)пі —(2a- v)|

(»m2 + ?m + 7)4 l(?— 3a) ill2— 2(2a — 7)111 - (2? — |( am2 -(- foi+Y)(~*4у)}

(am- + ?m H- 7)4

h

)|

, q k ((anr 4- foil 4- I)" N 2? Hu) ш — (7 V i, 11 ij m — ]. _j_ 1 1 (am2 + foil + 71*

__1(2? —За) nr — 2 (я—27)111 — (y — 3y)| (anr+fon+YH-g-l-rO |

(am- + foil + y)4. I

Такъ каігь (am2 -f- foil + y)2 11c можетъ быть отрицательной величиной, и такъ какъ вторые члены іп» этихъ производныхъ при значеніяхъ іи, п пь, обращающихъ первыя производныя въ пули, тоже обращаются въ нули,—то знаки вторыхъ производныхъ одинаковы со знаками выраженій:

(1\. п=іУ'т — <■<» знакомъ: (у — За) ill, — (2а — 7) и (іо, ,і і)"ш — со знакомъ: (2?- За) пь— (а 27).

Подставляя въ :этн выраженія значенія ш, п пь корней уравненій (26> и (27); найдемъ, что фукцін (Г,, п_-і)"п, ч (Г,, ,1=])"т имѣютъ одинаковые знаки со знаками радикаловъ:

— і/(2а — 7)2 + (? За) (2? — З7)

И іг |/(а — 2-yF + (2? —"За) (? —З7),

т. с. для каждой фукнціп будетъ имѣть мѣсто одинъ минимумъ, соотвѣтствующій положительнымъ радикаламъ, и одинъ максимумъ- отрицательнымъ,—при чемъ одинъ изъ этихъ минимумовъ является фактическимъ минимумомъ, при которомъ отношеніе пі соотвѣтствуетъ минимальной площади опаснаго сѣченія при зада номъ напряженіи матеріала Нужно замѣтить, что при m положительномъ и при k > 1 отношеніе-

- >

fj, П--1 : і'і, п=ч равное

(іи —(— 2) (1с —(— 1)

всегда оолынс еденицы, —такъ

2 m + 1

что фактическій минимумъ при всякомъ k большемъ еденицы обязательно совпадаетъ съ f,t „ , минимумомъ. Но такъ какъ нс выгодно, придавать величинѣ k значенія меньше еденицы, потому что при этомъ увеличивается площадь разсчитываемаго сѣченія крюка,—то можно принять, что k для разсчетныхъ сѣченій крюка всегда больше 1 н.

слѣдовательно, нанвыгоднѣйшсс въ укапанномъ выше смыслѣ значеніе ш- можно въ такихъ случаяхъ опредѣлять ію формулѣ:

+7^1 Зя) о';) /§iL/X

За “ ’ 1 j

въ которой значенія величинъ я, гі и у даны формулами (22).

Коли бы k было меньше 1, то, для того чтобы найти нанвыгод-

нѣгішес значеніе ш, необходимо было бы принять во вниманіе обѣ формулы (26) и (27) н вопросъ рѣшать путемъ совмѣстнаго

изслѣдованія обѣихъ кривыхъ, опредѣляемыхъ Функціями (18) и (19)

ш, =

_ (2я — у) + у кН — у)*

и пересѣкающихся при ш =

1 2к 1 — к*

12. Отыскавши нанвыгоднѣйшее значеніе ш, подставляемъ его величину въ формулу (20) н вычисляемъ площадь расчитываемаго сѣченія fi, Зная же ату площадь, уже но. трудно найти также длины 1>і и Іь параллельныхъ сторонъ трапеціи, получаемой въ разсматриваемомъ сѣченіи, изъ уравненій:

2fi, ,,-_і = Ь-2 (ш г 1) ка и Ь, = шіь.

Для примѣра опредѣлимъ значенія элементовъ ті>апецоіцалыіаго сѣченія крюка при k — 2.

По формуламъ (22) находимъ: а—0,4790} [і— 1,6770 и у=0,3098. Подставляя ути величины въ формулу (28), получаемъ нц 10,09—

н а нв ы годнѣй ш у к* при k = 2 величину соотношенія между параллелыіымп сторонами трапеціи. Послѣ подстановки значеній m и k въ уравненіе (20)

()

опредѣлится величина площади расчетнаго сѣченія Г„ , 8,26 ", гдѣ

О

(,) - максимальный грузъ, подымаемый крюкомъ, и g—допускаемое напряженіе въ растянутыхъ волокнахъ крюка. Длина меньшей параллельной

10,60 О

стороны трапеціи І)2 на основаніи предыдущаго оудетъ равна .)Ѵ>

или, такъ какъ а — 0,06 j/(j, то Іь

а, при чемъ длина боль-

шей стороны 1), == —л - - а.

О

На фиг. 7 (стр. 17) представлены для частнаго случая, когда к=2, обѣ кривыя, опредѣляемыя функціями (18) и 19), при чемъ но оси ординатъ отложены значенія площадей f,,n , и f2,а но оси абсциссъ—

величины m. .Минимумъ у первой кривой совпадаетъ съ точною С, а минимумъ у второй кривой—съ точкою IJ. Обѣ эти кривыя имѣютъ общія точки ихъ пересѣченіи (не лежащія однако между абсциссами ихъ минимумовъ) въ частяхъ кривыхъ, соотвѣтствующихъ отрицательнымъ значеніямъ іи, которыя представлены на чертежѣ пунктирными линіями.

Кромѣ того ниже приведена таблица I значеній *) при различныхъ k нанвыгоднѣйншхъ (въ смыслѣ величины площади) отношеній ш, параллельныхъ сторонъ 1ц н Іь трапецоидалыіыхъ сѣченій при расчетѣ крюка но формулѣ Грасгофа, равно какъ и значеній величины коэффиціента „ k3 (ш -f- 1) (ш + 2)

II =-?г ----■> , о—, для опредѣленія соотвѣтственныхъ площадей

2 уліг ,ѣн -J- 7 1

трапецій по уравненію (20). При атомъ параллельно приведены также

значенія коэффиціентовъ ш0 = k -{- 1 и І1„ — ^^ изъ формулъ

к

{(>) и (7) для опредѣленія аналогичныхъ величинъ при расчетѣ крюка, какъ прямолинейнаго стержня на экцситрщпюс растяженіе. Для сравненія результатовъ того н другого расчета въ таблицѣ даны также іі значенія коэффиціентовъ ІІ0', опредѣленныя но формулѣ Грасгофа, при

ні=ін0, іі въ послѣднемъ столонѣ таолнцы указаны отношенія ,, .

Т А Б Л II Ц A I:

k II IV Но Шо Но' Но

0,75 5,2 12.5 14,5 11,0 1,10 ] 00

1.00 (),0 10,8 11.4 0,0 2,(И) 1.25

1 ,->•> 7,0 Я,7 КГ2 7,8 2.25 і;41

1,50 8,1 0,0 0,4 7,0 2.50 1,44

1,75 Я,4 8,0 8,8 0.4 2,75 1.48

2.00 / 10,7 8.4 8,0 0.0 4.00 1,43

2,25 ]о о 8.0 8.4 0,1 4,25 1,40

2,50 14 2 7.8 8,1 5.4 4,50 1,50

4,00 10,0 7,0 7,8 5,0 4.1 К) 1,5 і

4,(К) 40,4 7,4 7,0 4,о 5,00 1,00

5,00 оо 7.4 Г* / * <,() 4,2 0,00 1,80

*) При вычисленіяхъ натуральные логарномы принимались ио пятизначнымъ таблицамъ.

ІЯ. Согласно приведенному расчету, но формуламъ (20) и (28), іірюкъ долженъ быть такъ сконструированъ, чтобы геометрическое мѣсто центровъ тяжести радіальныхъ сѣченій его СИ располагалось по окружности, центръ которой совпадаетъ съ центромъ отверстія крюка О (фнг. 8).

Къ то.мь случаѣ, когда отверстіе крюка очерчено по дугѣ круга, линія ПО, совпадающая съ направленіемъ силы о. при принятомъ намн наиболѣе невыгодномъ для напряженій въ крюкѣ расположеніи внѣшнихъ силъ является осью симметріи но отношенію сѣченій

1-0 и 111—0, IV—О н VI-О,

V О и VII О. которыя по-парно находятся въ одинаковыхъ условіяхъ по отношенію максимальныхъ, дѣйствующихъ на нихъ моментовъ п силъ: при атомъ простѣйшимъ очертаніемъ для внѣшняго контура крюка должна быть окружность, центръ которой расположенъ па линіи ПО.

Еслибы была найдена еще высота какого-либо третьяго сѣченія крюка, помимо двухъ опасныхъ сѣченій I 0 н III О, напримѣръ, сѣченія IV .О, то тѣмъ самимъ опредѣлились бы какъ величина радіуса В для атой окружности, такъ и положеніе ея центра I), который долженъ находиться на линіи ПО.

Найдемъ размѣры траиецоидалыіаго сѣченія IV—О н съ нимъ тождественнаго сѣченія VI—0, задавшись предварительно однимъ илъ размѣровъ трапеціи, напримѣръ, длиной большаго основанія ея 1/,. Въ нтнхт» сѣченіяхъ крюкъ подвергается изгибу йодъ вліяніемъ момента силы Q, дѣйствующей на разстояніи плеча OB Sn (>0°, н растяженію отъ силы у Sn (І0°, совмѣстное дѣйствіе которыхъ равносильно дѣй-

ствііо силы о Sn (50°, приложенной въ центрѣ отверстіи крюка и направленной нормально къ плоскости сѣченія IV -О.

Такимъ образомъ, при опредѣленіи площади сѣченія или напряженій волоконъ мы можемъ для даннаго случая воспользоваться выведенными ранѣе формулами, въ которыхъ вмѣсто силы О должна быть принята сила (jSn(j(V. Для элементовъ сѣченія IV- -О примемъ прежнія буквенныя обозначенія, но со знакомъ апострофа, такъ что (фиг. 8) ЕВ El V—1і'=-к'а.

Отношеніе параллельныхъ сторонъ трапеціи

- ь'і г

ш =:гу опредѣлится въ и •>

зависимости оть величины к' изъ того условія, что центръ тяжести расчетнаго сѣченія остается на кругогой оси крюка, Дѣйствительно, если внутреннее отверстіе крюка тоже очерчено но дугѣ круга, то

ш —|— 2 (‘і (ш —(— 2) к я

1і' Воп'+ 1) = V5 ГдѢ С’ = 3(ні -f 1) ;

откуда получаемъ:

2

і _ 1 3 k (іи 4 2) — 2k' (in -j- 1) (j

k'a k' (in 4 1)— k (in 4 *2)

—c,

*>

Эта формула указываетъ, что, если высоту трапеціи 1і' раздѣлить на три равныя части, то точка В, соотвѣтствующая ея центру тяжести, дѣлитъ средній участокъ на отрѣзки, отношеніе длинъ которыхъ равно 1

j г. Этимъ свойствомъ можно пользоваться въ дальнѣйшемъ для графическаго опредѣленія отношенія in', если извѣстно положеніе центра тя-» жести трапеціи и ея высота Ь\

Если h', а значить и к', не извѣстны, то для опредѣленія элементовъ трапеціи можно составить еще уравненіе, выражающее условіе прочности крюка въ разсматриваемомъ сѣченіи на основаніи уравненіи (Н>) и (14):

_ gSnG()° с,____________ f'_________________________________

г (in (lV-j-1) In (kf—(— 1) - - In (k'4 () - m'411 — p

Подставляя въ это выраженіе значеніе ш' изъ уравненія (21)), мы получаемъ для опредѣленія к' трансцедентное уравненіе, которое можно

г

\

t

было бы рѣшить либо путемъ постепеннаго приближенія, либо графическимъ методомъ.

Однако подобный путь доішлыю сложенъ; поэтому имѣете того, чтобы задаваться 1/,, удобнѣе задаться радіусомъ R - а, значить, н центромъ 1) внѣшняго очерка крюка. Тогда аналитически или же

прямо изъ чертежа опредѣляется величина к'—-, и па основаніи урав-

ненія (29) либо указаннымъ выше графическимъ путемъ получается ш'.

Значенія этихъ величинъ, к' и ш', нужно затѣмъ подставить въ выраженіе, аналогичное (20) и имѣющее слѣдующій видъ:

Г і =

nsn <НГ к':‘(ш' ‘ 1) fill' г 2) е (зѴ~г,Ут'-;-у'), ’

(30)

въ которомъ значенія V, Ѵу' опредѣляются формулами (22) при k = k\

Изъ этого выраженія опредѣляемъ площадь трапеціи Г, (если k'> I)—а

• «і ш -J— і

затѣмъ изъ уравненія 2і‘,=а к Ь,

ш

получаемъ:

(31)

f, in' (іи—I)к Г, ш (іп/—|— I) к*

Точно такимъ же путемъ могутъ быть найдены величины отношеній к" и ш" и опредѣлены длины параллельныхъ сторонъ трапеціи Ь", и Ь"2 въ сѣченіяхъ V—О VII—0, для которыхъ въ предыдущей формулѣ (30) дѣйствующую силу нужно принять равной oSii3l>c.

Сѣченіе II 0 по отношенію къ дѣйствующимъ на него усиліямъ находится въ одинаковыхъ условіяхъ съ сѣченіемъ IV 0. Имсота его h0 и величина отношенія параллельныхъ сторонъ трапеціи ш„ могутъ быть опредѣлены графически; что же касается до величины большаго основанія трапеціи Ь'0, то изъ конструктивныхъ соображеній она можетъ быть принята равной Ь,3 какъ и у сосѣднихъ опасныхъ сѣченій; отъ итого прочность крюка въ сѣченіи II -0 немного увеличится. Избытокъ же прочности въ атомъ мѣстѣ не будетъ лишнимъ, такъ какъ въ случаѣ отклоненія точки Е приложенія силы о вслѣдствіе тренія подвѣсного каната къ концу крюка опасное сѣченіе его приближается къ сѣченію II- 0.

Наконецъ, слѣдуетъ указать, что сѣченіе V—0 должно быть провѣрено на срѣзъ силою О, а стержень крюка—па разрывъ.

г

Если к — 2, положеніе центра можно задать координатами: х — -

дуги дли внѣшняго очерка крюка '.J и у— - tg 30°. (фнг. 8). Ра-

діусъ дуги R и высота 1/ сѣченій IV 0 и VI О въ атомъ случаѣ опредѣляются изъ треугольниковъ ОІ 1> и ()1VJ>, при чемъ получаемъ:

R

() у а2, и,іи R

О

:2,51а- дли опредѣленіи и;е 1і' составляемъ уравненіе:

- (я + і* )2 “Ь а’

а

(а -I- 1і') іш» котораго находимъ: V •)

1і' 1,75а°), такимъ образомъ. к'— 1,7л.

Принимай но вниманіе, что ііаивыгоднѣйшее отношеніе ш нараллель-пых’ь етороіп» трапеціи, соотвѣтствующее минимумамъ значеній площадей расчетныхъ сѣченій крюка, при k -2 равняется, согласно ііопесденнимъ ранѣе даннымъ, 10,1)9,—находимъ на основаніи формулы (29) величину отношеніи іп'=3,1Г>.

Подставивъ полученный значенія к' п ш' іп» уравненіе (30), получаемъ: f' = 7,l>3 ' , а затѣмъ изъ уравненія (31), находимъ:

О

b/=0,S9 Ь, и Ь_,' = 0,‘28 Ь,.

Для сѣченій V—0 и VII—0 на основаніи уравненія (30) получаемъ: к" = 1,45, т" = 1,0 н 1),]).,:= 0,5 Ц.

Высота сѣченія 11—0 Ь0 опредѣлится, какъ разность II 0—а. или

1і0 = 2,5 la+-7tf —а —2,09а.

V

Для того чтобы центръ тяжести итого сѣченія отстоялъ отъ центра отверстіи крюка 0 на томъ же разстояніи, какъ и центры тяжести прочихъ расчетныхъ сѣченій, необходимо, чтобы отношеніе параллельныхъ сторонъ трапеціи ш„ удовлетворяло уравненію:

■(ш0+2)2,09 (ш+2) 3

3 (піу—j— 1) 3 (ш +1) ’

изъ котораго получаемъ ш0—24,8.

І4. Въ приведенномъ выше расчетѣ крюка отношенія параллельныхъ сторонъ трапецеидальныхъ сѣченій опредѣлялись въ томъ предположеніи, что ось этихъ сѣченій, представляетъ дугу круга, нрн чемъ центръ ея совпадаетъ съ центромъ отверстія крюка, соотвѣтственно примѣненныхъ

*) Другой корень даетъ зпаченіе Ь' для не существующаго сѣченія.

для расчета его основныхъ формулъ (18^ п (19), представляющихъ частный случай общихъ формулъ (16) н (17), при п = 1. Однако очень часто формула Грасгофа, относящаяся къ случаю, когда и 1, неправильно примѣняется и тогда, когда и на самомъ дѣлѣ нс равно единицѣ.

Дѣйствительно, при наиболѣе употребительномъ способѣ построенія крюка внѣшіп контуръ сго вычерчиваютъ дугою круга ивъ центра, лежащаго на горизонтали, проведенной черезъ центръ отверстія крюка О, при чемъ разстояніе между этими центрами нерѣдко прннн-

1 3

мается равнымъ отъ ^ а до ^ а и оолѣс.

При подобномъ построенія кон-

тура крюка ось его, совпадающая съ геометрическимъ мѣстомъ центровъ тяжести поперечныхъ сѣченій, если не принято спеціальныхъ мѣръ, имѣетъ перемѣнную кривизну, и центръ кривизны опаснаго сѣченія I—О не совпадаетъ съ центромъ отверстія крюка, т. е. и не рав-

(> х

но 1. Слѣдовательно, въ атомъ случаѣ формула 7^7 недоля:-

Sj • 1 1 і \

на быть примѣняема.

Чтобы иллюстрировать величину неточности, которая при атомъ получается, опредѣлимъ напряженіе * въ опасномъ сѣченіи крюка для случая, когда ш 3 н к--2. Кслн центръ кривизны опаснаго сѣченія крюка и центръ его отверстія совпадаютъ, то величину этого напряженія f; получаемъ но формулѣ (18):

о . . t = j 8,,)().

Кслн же центръ кривизны оси стоитъ отъ центра отверстія крюка

.1 , , 3

на разстояніи ^а, то, принимая въ формулѣ (lb) 11 = j, получаемъ:

Такимъ образомъ, отъ примѣненія формулы, не соотвѣтствующей случаи», получаются значительныя ошибки, величины которыхъ въ процентахъ для различныхъ п при к=2пш=3 приведены въ слѣдующей таблицѣ ІІ:

Т А 15 Л II П А и.

11 1 2/.. • О '/а і 1 и

р: У 8.51» 9,23 9,5(5 10.49 1 12.11) 13,(59 ' 1

°/о 0 8 11 11 42 і і (50

15. Хотя нъ литературѣ но расчету крюка, вообще, придерживаются того мнѣнія, что шшныгоднѣйшія формы сѣченій крюка съ точки зрѣнія наиболѣе раціональнаго использованія матеріала соотвѣтствуютъ минимумамъ значеній ихъ площадей,—однако этотъ взглядъ не вполнѣ правиленъ, также, какъ и неправильны—согласно вышеприведенному— принимаемыя обыкновенію соотношенія сторонъ трапецій, соотвѣтствующія .минимумамъ расчетныхъ площадей сѣченій крюка.

Дѣйствительно, при криволинейной формѣ крюка объемъ элемента его (.!(«, заключеннаго между двумя поперечными сѣченіями, уголъ между которыми равенъ (Ко,—выражается на основаніи теоремы Гюль-дена произведеніемъ:

(U<> Га г а <Ь,

гдѣ Га площадь поперечнаго сѣченія крюка подъ угломъ « къ началу координатъ, а г* —радіусъ кривизны оси крюка въ разсматриваемомъ сѣченіи.

Чтобы получить объемъ всего крюка «> необходимо указанное выраженіе проинтегрировать въ предѣлахъ дуги, соотвѣтствующей оси крюка,—такъ что

<*> = / Га Га <1а. (32)

Коли ось расчетныхъ сѣченій крюка представляетъ дугу круга, центръ которой совпадаетъ съ центромъ отверстія крюка, то величина г въ предѣлахъ расчетныхъ сѣченій постоянна, и тогда объемъ будетъ равенъ

(о =. і- Г fa (І2.

Такимъ образомъ, объемъ крюка—а значитъ, и расходъ на него матеріала—возрастаютъ не только вмѣстѣ съ площадями поперечныхъ сѣченій крюка, но заодно и съ величиной въ нихъ радіусовъ кривизны оси, которые при прочихъ одинаковыхъ условіяхъ тѣмъ меньше, чѣмъ больше отношеніе параллельныхъ сторонъ трапеціи ш.

выразимъ величину произведенія IV для случая, когда ось крюка представляетъ дугу круга, центръ котораго совпадаетъ съ центромъ отверстія крюка, черезъ перемѣнныя величины m и к, имѣющія преж-

нія значенія.

Принимая во вниманіе выраженія (18) и (19), а также

3 (іп-Ь'1 ) + k (m-j-2) г = а + с,- « -3 qi-f)

получимъ:

'. _ Q ак313 (in-f 1) -j-k (m-Кі)| (in —2J

" о (j am'2—|—-{-7

_ () ak8 [3 (m-j-1 ) +k (in-f-2)] (‘im-f-l)

11 -1 0 (i (k —|-1) cdn2-j-i3m-j-v 5

гдѣ у, [i и у имѣютъ прежнія значенія:

у — (k—(—3) (k —I— 1) ln (k-j-1)— k"—3k

?=-■= 2k (k+2) In (k-M j —41r’

7= 0,o k2 - 3k — (2k-b3) ln (k-f-1)

что

(33)

(34)

(3o)

1G. Точки пересѣченія кривыхъ, опредѣляемыхъ функціями (33) и (34), могутъ быть получены изъ уравненія:

|3 +k (m-J-2)] (m-j-2) |3 (in-f— 1) -f-k(ш-|-2)] <2in-}—))

аиг+.Зін -Р у (anrS-jim+Y) (к+1)

изъ котораго находимъ соотвѣтственныя значенія корней его:

(3(5)

О

2к

т —

3+к

in —

2к_+1 "к—Т

и ш

1

'У

и (— Ъ—Ѵ? — 4*y

Если к>1, то всѣ эти корни отрицательны и, слѣдовательно, при атомъ обѣ кривыя не пересѣкаются ин при какомъ положительномъ значеніи ш.

При k большемъ 1-цы значенія f,r всегда больше значеній Тг,—• поэтому минимумъ выраженія (33) соотвѣтствуетъ въ этомъ случаѣ фактическому минимуму произведенія fr и, значитъ, условію нанвыгод-нѣйшаго использованія матеріала крюка, при чемъ тогда искомое значеніе m опредѣляется, какъ корень уравненія (f,r)'m = U.

Найдемъ первую производную но ш отъ (f,r): , _ Q ак^ А,ш2 4~ 2Н,ш + СХ

(ГД) m ~ * /?

о 0 (ооіг 4~ (ini -j- у)2 5

ГДѢ Л, - ? (3 -j- к) — я Су И- 4Ю

Ві — Y {•* ~f~ к) — (б 4~ 4к)

('і = у (9 -j- 4к)— / (6 4~ 4к)

Приравниваемъ трехчленъ Л,пг + 2В,ш 4- к'і нули* и опредѣляемъ корни полученнаго такимъ путемъ квадратнаго уравненія:

m =

— 1!, 2= /и? - Л.г

А,

(:■!!!)

Чтобы опредѣлить, какое значеніе соотвѣтствуетъ искомому минимуму, беремъ вторую производную по m: (fir)",,,:

.. _Q ak'1 (ян2 + ?ім + у)а(Аіт-Міт) Uiu (;....

(amaH-43m-l-yJ4 (2 ak* (A,m2 + 23,111 -Ь C,) (am2 + pin + v)(2« +-

(>

(аиь ,3m + •{)*

II[iii значеніяхъ ш, обращающихъ (1Ѵ)'т въ нуль, эта вторая производная принимаетъ одинаковый знакъ со знакомъ радикала въ выраженіи (39); такимъ образомъ, пенимый минимумъ соотвѣтствуетъ слѣдующему значенію ш:

— Іо 4~ V Н? —■ А,С, =-------------------------

а»)

гдѣ Л], В, п Сх опредѣляются изъ выраженіи (38) и (35).

Ііъ томъ случаѣ, когда k равно или меньше 1-цы, вопросъ о наи-выгоднѣгішемъ значеніи ш въ смыслѣ наиболѣе раціональнаго использованія матеріала крюка,—усложняется необходимостью изслѣдовать обѣ кривыя, опредѣляемыя выраженіями (33) и (34), которыя тогда обязательно пересѣкаются въ точкѣ, соотвѣтствующей положительному I 4- 2к m ~~ 1 — к*

Что касается минимума Функціи і'аг, то таковой соотвѣтствуетъ значенію ш, опредѣляемому, какъ корень уравненія (і'_г)"ш=0 съ положительнымъ радикаломъ:

ш

И, 4- УІЬ — А,С'г

Ао

(41)

;

при чемъ

А4 = ,3(6 + 210 — «(9 + 5к)

В> = Т (В + 2к) — я (3 + 2к) (42J

Со = у (9 + ок) — ,3 (3 + 2к)

Въ тѣхъ случаяхъ, когда по расчету но формуламъ (40) либо (41) получаются для ш отрицательныя значенія, при чемъ функціи ііг и f2r иснрерыішо нъ предѣлахъ положительныхъ m убываютъ,—наивыгод-нѣйпіал трапецондальная форма крюка въ отношеніи расхода на него .матеріала получается при m = оо, что соотвѣтствуетъ треугольнымъ сѣченіямъ крюка.

17. Приводимъ таблицу 111 значеній ш,, соотвѣтствующихъ при

разныхъ величинахъ k условію на ивы годнѣйшаго использованія магс-

, „ ¥І k3 (ш + 1) (ш + 2)

ріала крюка, а также значеніи коэффиціента ІД — t)- ^

для опредѣленія получаемыхъ при этомъ площадей сѣченій крюка но

Ьо 1°

формулѣ ('20J, равно какъ и коэффиціента 1 = — , которымъ характе-

ризуется форма самого сѣченія.

Т А Б Л II Д А 111.

k Ші Hi м а

0,75 9,0 12,6 12096

1,00 13,5 10,9 8112

1,25 24,8 9,9 6629

1,50 75,1 9,2 4550

1,75 оо 8,7 3977

2,00 оо 8,4 3360

2 05 со 8,1 2880

2,50 оо 7,9 2528

3,00 оо 7,6 2027

4,00 оо 7.4 1480

5,00 оо 7,3 1168

На основаніи данпыхъ послѣдняго столбца таблицы III можно видѣть, что ширина расчетнаго сѣченія Ь, тѣмъ меньше, чѣмъ больше k н чѣмъ больше величина допускаемаго напряженія матеріала

6. Слѣдовательно, чтобы форма сѣченія крюка не оказалась слишкомъ

уширенной, необходимо при меньшихъ значеніяхъ £ принимать большія значенія к.

Сравнительныя преимущества расчета крюка но формулѣ Грасгофа при наивыгоднѣйшей величинѣ іщ въ смыслѣ утилизаціи матеріала, а также расчета при значеніяхъ ш0, соотвѣтствующихъ минимумамъ расчетныхъ площадей сѣченій крюка, по отношенію къ обычно примѣняемому расчету но той же формулѣ, но при m = k + l,—выясняются таблицею IV, въ которой приведены для различныхъ k значенія произведеній fji*!, f0r0 и fr для всѣхъ трехъ указанныхъ случаевъ.

Т А Б Л II Ц А IV.

k fp'i fol'u fr

0,75 16,0 16,1 18,1

1,00 14,8 14,9 16,3

1,25 14 •> 14,3 15,7

1,50 13,9 14,0 15,4

1,75 13,8 14,0 15,4

2,00 13,9 14,2 15,7

2,25 14,2 14,5 15,9

2,50 14,5 14,8 16,3

3,00 15,4 15,5 17,3

4,00 17,2 17,4 19,4

5,00 19,6 19,6 22,0

Изъ сравненія результатовъ приведенной таблицы можно заключить, что наиболѣе выгодныя величины для к, соотвѣтствующія наименьшимъ значеніямъ произведеній f,r1} f0r0 и fr, которыми характеризуется расходъ матеріала на крюкъ,—получаются при значеніяхъ к, заключающихся приблизительно въ предѣлахъ отъ 1,25 до 2,25.

При величинахъ k выше или ниже указанныхъ предѣловъ произведенія эти быстро возрастаютъ: такъ напримѣръ, при подходѣ отъ k = 2 къ k = 5 значенія ихъ увеличиваются болѣе, чѣмъ на 40°/о.

Точно также расходъ матеріала увеличивается болѣе чѣмъ на I ()°/о при опредѣленіи величины m но формулѣ: ш = k 1, а нс но формуламъ для опредѣленія наивыгоднѣпшаго значенія ш.

Въ то же время разница между результатами, вытекающими изъ расчета крюка но формуламъ для опредѣленія минимальнаго сѣченія и

но формуламъ для ыаивыгоднѣншаго сѣченія, соотвѣтствующаго минимумамъ произведенія f^, незначительна и въ общемъ не болѣе 2°/о. Однако съ чисто теоретической точки зрѣнія послѣдній методъ является болѣе правильнымъ и кромѣ того болѣе простымъ, такъ какъ для значеній k выше 1,75, какъ видно изъ таблицы III, приводитъ къ простой треугольной формѣ расчетнаго сѣченія.

Что касается дальнѣйшаго расчета крюка, въ смыслѣ опредѣленія необходимыхъ элементовъ для его вычерчиванія, то въ данномъ случаѣ примѣнимъ тогъ же самый путь, который былъ указанъ раньше.

18. Такъ какъ острыя кромки, образованныя трапецеидальными сѣченіями крюка, при соприкосновеніи со звѣньями цѣпи или каната могутъ ихъ повредить и сами быть повреждены,—то во избѣжаніе этого большую параллельную сторону трапеціи замѣняютъ дугой, плавно сопрягающейся съ ея наклонными сторонами.

При такомъ нарушеніи формы трапеціи измѣняются также ея площадь, величина г- и другіе элементы, вліяющіе на расчетъ крюка. Желательно, конечно, чтобы при подобномъ измѣненіи сѣченія крюка отступленія отъ произведеннаго ранѣе расчета были возможно меньше.

, „ e N М М х

Такъ какъ согласно основнымъ формуламъ I расгофа о — у — jrp^,

гдѣ Г(

1 Г х

= -firTidf

то въ виду выіпеуказанннаго прежде всего

нужно, чтобы г осталось безъ измѣненія, т. е., чтобы не измѣнилось положеніе центра тяжести С сѣченія (фнг. 9). Этого можно достигнуть, сдѣлавъ закругленіе въ широкой части трапеціи и узкую часть ея соотвѣтственно сузивъ или укоротивъ^ если при этомъ дуга закругленія будетъ касателыіа къ большей параллельной сторонѣ трапеціи, которую она замѣняетъ, то не измѣнятся также значенія х для наиболѣе удаленныхъ волоконъ} тѣмъ не менѣе значенія ц и f измѣнятся.

Для округленнаго сѣченія крюка значенія соотвѣтственныхъ коэффиціентовъ у]0 и f0 могутъ быть опредѣлены или графически или аналитически. Если имѣется планиметръ для измѣренія площадей, то удобно пользоваться для опредѣленія rj0 графическимъ способомъ Бантлина. Для этого изъ центра кривизны оси крюка О, лежащаго въ плоскости

разсматриваемаго поперечнаго его сѣченія, проводимъ прямыя Оу, къ точкамъ контура сѣченія, а затѣмъ изъ центра тяжести его С проводимъ имъ параллельныя линіи Су' до пересѣченія съ перпендикулярами изъ точекъ у на ось симметріи сѣченія въ точкахъ у' искомой кривой. Отношеніе площади <рс, ограниченной этой кривой и состоящей изъ положительной и отрицательной частей, къ площади самой фигуры f0 и дастъ искомое значеніе tj0 для округленнаго сѣченія крюка, т. е.

Чи = Р (43)

Го

Не трудно замѣтить изъ самого способа построенія и изъ приведенныхъ ранѣе формулъ (15), что гі0 не мѣняется, если ординаты сѣченія пропорціонально увеличить или уменьшить.

Поэтому, если найдено нѣкоторое значеніе г;0 для опрсдѣленаго сѣченія крюка, то, зная его площадь f0, легко опредѣлить напряженіе въ крюкѣ 6 но формулѣ (10) и наоборотъ,—задавшись допускаемымъ напряженіемъ б, можно опредѣлить необходимую площадь сѣченія Р0 Q , М М С,

110 формулѣ: F„= g + Гг + удА. г--, (44)

•) Указанное построеніе графически воспроизводить форѵудуСу^), гдѣ х и у—коор-

дипаты разсматриваемаго с*чевія крюка, а г—разстояніе его пентра тяжести С до центра отверстія О.

которая для случая, когда и=1, принимаетъ видъ:

О 1 с,

F0 = >—-<*rl0 а

Затѣмъ, легко уже опредѣлить величину отношенія ф, необходимо увелнчиті, ординаты округленнаго сѣченія:

6

Fo

fo

(44 bis) въ которомъ

(45)

гдѣ F0 опредѣлено но формулѣ (44), а f0 - есть площадь округленнаго сѣченія, для котораго было вычислено гі0.

19. Во избѣжаніе кропотливыхъ графическихъ построеній и примѣненія планиметра, не всегда имѣющагося подъ рукой, можно съ большимъ удобствомъ воспользоваться слѣдующимъ способомъ опредѣленія

коэффиціента rj0= 7 •

іо

Опредѣливъ основные размѣры траиецоидалыіаго сѣченія, округляемъ его, вписавъ дугу, касательную къ большей изъ параллельныхъ сторонъ трапеціи, изъ какого-либо центра, лежащаго на ея оси; при этомъ дѣлаемъ также сопряженія между большими сторонами трапеціи и построенной дугой.

Для того чтобы центръ’ тяжести послѣ этого измѣненія сѣченія крюка остался на своемъ мѣстѣ, отрѣзаемъ линіей перпендикулярной оси сѣченія его болѣе узкую часть. Положеніе этой линіи можетъ быть опредѣлено аналитически, но такъ какъ при этомъ получается уравненіе третьей степени, то удобнѣе ее опредѣлить опытнымъ путемъ.

Для этого нужно вырѣзать изъ бумаги округленное сѣченіе крюка и свободно повѣсить его въ одной точкѣ вмѣстѣ съ нитянымъ подвѣсомъ; пересѣченіе оси сѣченія съ осью нити опредѣлить центръ тяжести фигуры. Постепенно срѣзая ляпіями перпендикулярными оси сѣченія узкую часть трапеціи *), можно привести линію отвѣса—и, значить, центръ тяжести фигуры—до совпаденія съ прежнимъ центромъ тяжести трапеціи.

Что касается опредѣленія величины г]0 для округленнаго и укороченнаго сѣченія, то таковая довольно просто и при томъ весьма точно можетъ быть найдена аналитическимъ путемъ. Для этого округленную часть сѣченія замѣняемъ ломанной линіей, такъ чтобы вся фи-

*) Можно также срѣзать паклопныя сторопы трапеціи,—но нодобпым путь сложнѣе.

гуІ»а состояла илъ трапецій, имѣющихъ общую ось (см. фиг. 9). Площадь утой фигуры і0 будетъ равна суммѣ площадей составляющихъ ее трапецій и, слѣдовательно, опредѣляется белъ затрудненій. Величина же Tjt) можетъ быть опредѣлена съ помощью формулы (11).

Отмѣчая элементы каждой составляющей трапеціи особымъ индексомъ і. можемъ написать:

-_ІѴ fiLdA

fo-Jr + X,

Но

/• х, сн;

такъ какъ —J ~_|_х — у<По то получаемъ:

гіо — /• ^

Величина ^ должна быть опредѣлена для каждой отдѣльной трапеціи по формулѣ (14).

Коли обозначимъ элементы трапецій, составляющихъ сѣченіе крюка,

соотвѣтственно ихъ послѣдовательному порядку индексами 3,4,5.......

(индексы 1 и 2 примѣнялись для нѣкоторыхъ элементовъ основной трапеціи), то при прежнихъ буквенныхъ обозначеніяхъ получимъ слѣдующую формулу для опредѣленія гі0:

*І<» = Y ( |Ь:і -f (г -+ іь4 4- (г-+ I Ьг, (г -

Ь.- Ь, г—с,

<■»> I, - I 1,1 ѵ +ЬЯ-І)4-Ь •h 1 {а

1>5 1)4 Г* С4

Сч) j ~ I 1в " + ь4 —Ь5 +

ІІ4, I *—l/f,

ч Ь«— ь» . . Г—Cs

сЛ“ь, I

Н~ |В„ + (г —с„)

'мН

, j In -Іь. г-

■fb.. b„ ! , 1 ------------------------1 .

'п: 1

Такъ какъ величины (г—с;1). (г с,) и т. д. представляютъ разстоянія параллельныхъ сторонъ трапецій отъ центра кривизны О крюка въ раз-

сматривасмомъ сѣченіи, то, обозначивъ ихъ черезъ 1 съ соотвѣтственными индексами и сдѣлавъ нѣкоторыя преобразованія, получимъ:

'/и

=1 ,Js + ІЗЧГ1 |пп +

1 и іі 1)'1 і . ь ,

+ |Ь, + 1. hj - I 111 ! 4--Mi'i + I.^;-] •»{; +

+ |Ь„+1„Ц—^1 Іи !-+Ь,-1Г' I -1 (47)

Ни МН-1 >

При чемъ іо = ^ {(Ьз+Ь4) Ь3 —|— (Ь4—|—Ь5) Ь4-{•- (Ь5—|—Ь,,) b5-f- ■ • • •

£

. . . . —|— (Ъ„—f—bn-fl) llul (^Ь).

Зная rt0 и f0 легко опредѣлить но формулами (44) и (45) коэфнціентъ 6, на который нужно умножить ординаты округленнаго сѣченія (или что почти тоже— параллельныя стороны составляющихъ трапецій Ьу, b4...)j чтобы получить сѣченіе, въ которомъ наиболѣе напряженныя волокна подвергаются подъ дѣйствіемъ внѣшнихъ силъ, приложенныхъ къ крюку, растяженію, величина котораго равна заданному допускаемому напряженію 6.

20. На основанія вышеизложеннаго приходимъ къ слѣдующимъ выводамъ.

a) Расчетъ крюка подъемныхъ машинъ на одну вертикальную силу вѣса максимальной нагрузки является недостаточнымъ, такъ какъ приводитъ къ слишкомъ слабымъ сѣченіямъ въ нижней части крюка. Болѣе правильный расчетъ получится, если предположить, что крюкъ подвергается дѣйствію двухъ силъ, симметричныхъ относительно вертикальной оси и равныхъ но величинѣ и направленію равнодѣйствующимъ натяженій независимыхъ петель подвѣснаго каната.

Принимая предѣльные углы наклона указанныхъ равнодѣйствующихъ съ вертикалью равными 60°, получаемъ въ результатѣ расчета удовлетворительные размѣры частей крюка.

b) Расчетъ крюка на зкцентрнчнос растяженіе приводить къ слишкомъ низкой оцѣнкѣ напряженій, возникающихъ въ расчетныхъ его сѣченіяхъ; разница между получаемыми въ этомъ случаѣ напряженіями и вы-

численными по болѣе точной формулѣ Грасгофа тѣмъ больше, чѣмъ больше величина отношенія к (высоты сѣченія къ радіусу отверстія крюка). Такъ что, пользуясь для расчета крюка формулой для эксцентричнаго растяженія, необходимо допускаемыя для матеріала напряженія при увеличеніи k уменьшать, сообразуясь съ данными таблицы III.

с) Условіе равенства въ расчетномъ сѣченіи крюка максимальныхъ напряженій отъ растяженія и сжатія, вообще, не является признакомъ того, что площадь самого сѣченія будетъ наименьшей. Для опредѣленія минимальнаго расчетнаго сѣченія необходимо болѣе подробно изслѣдовать аналитическія выраженія для величины его площади, (14) и (15), принимая во вниманіе не только точки пересѣченія кривыхъ, соотвѣтствующихъ этимъ функціямъ, по и ихъ минимумы. Въ частномъ случаѣ, когда расчетъ крюка ведется на эксцентричное растяженіе, минимумъ расчетной площади соотвѣтствусп» точкѣ пересѣченія обѣихъ кривыхъ, или, иначе говоря, упомянутому условію равенства максимальныхъ напряженій въ растянутыхъ и сжатыхъ волокнахъ.

(1) Нанвыгоднѣйшее въ смыслѣ использованія матеріала сѣченіе крюка соотвѣтствуетъ нс минимуму расчетной площади, но минимуму произведенія площади расчетнаго сѣченія на радіусъ кривизны оси крюка въ этомъ сѣченіи,—при этомъ, конечно, точно также должны быть приняты во вниманіе оба произведенія, получаемыя изъ условій максимальнаго допускаемаго напряженія въ сжатой и въ растянутой частяхъ расчетныхъ сѣченій крюка.

На основаніи данныхъ таблицъ IV и III можно видѣть, что наименьшее значеніе упомянутаго произведенія соотвѣтствуетъ треугольной формѣ крюка при значеніи k равномъ 1,75. Однако, для того, чтобы нс получить слишкомъ широкихъ не конструктивныхъ сѣченій крюка, необходимо вопросъ о выборѣ значенія k всегда сообразовать съ величиной допускаемаго напряженія S, руководствуясь при этомъ данными приведенныхъ ранѣе таблицъ.

е) Для расчета округленнаго сѣченія крюка вмѣсто соединенныхъ съ графическими построеніями способовъ Бантлина пли Толлс можно пользоваться довольно простой и точной аналитической формулой (47), если только дугу закругленія крюка замѣнимъ ломанной линіей, симметричной относительно оси сѣченія.

ОПЕЧАТКИ.

Страницы: Строки: Напечатано: Должно быть:

6 6 сверху III—0 III—0 подъ і 30° къ

вертикали

9 4, 8 н 9 снизу передъ дробными выраженіями пропущенъ

коэффиціентъ Ч 6к

9 4 снизу (5+4) (5+4к)

10 7 сверху k2+6k+5 к2+6к+6

11 13 сверху m+l к+1

Q Q 1

11 14 сверху ко к€ ка + 6к+6

Q , , , Q к+1

1 1 14 сверху ' «к k+l kS к2 + 6к+6

11 15 сверху (f,)' (1,)'

1 1 15 сверху (fa)' (ft)'

15 16 сверху AD AT

16 7 и 9 сверху + 3 (m+ 2) + к (m+2)

C,2 ■- Cj2 с,2 — с,2

17 3 сверху h 2

17 5 сверху — f f г

17 7 сверху на + c па + сі

18 1 сверху (m+l2) (m+l)2

18 2 и 4 сверху — k (in + 2) +• к (т ■+ 2)

18 9 сверху (18) 117)

20 3 сверху (ID (21)

21 12 сверху 3d За

„ Q k Q ks

22 3 сверху (fl, n-l) m— g k-|-l (fa, n-l) m — g k+1

30 14 сверху do; (h

31 9 снизу ^и (-[i=і/,32-4ау 2a 4*T)

36 4 сверху въ концѣ строки пропущенъ знакъ *).

36 4 снизу 0; Cl

37 15 сверху большими боковыми

40 5 сверху III I и III

Литература.

М. Н. Берловъ „Детали подъемныхъ машинъ" 1909.

Л. Г. Киферъ „Грузоподъемные машины" 1910.

Л. 3. Ратновскій „Подъемные краны" вып. 2. 1910.

А. М. Самусь „Курсъ подъемныхъ машинъ" 1890.

А. Ernst „Die Hebezeuge" 1908.

W. Pickersgill „Lasthebemashinen" 1905.

H. Bethmann „Die Hebezeuge*' 1908.

A. Bottcher „Cranes" 1908.

L. Rousseiet „Les pouts roulants actuells" 1908.

P. Дроздовъ „Отчетъ объ опытахъ съ усиленной сцѣпкой", Вѣстникъ О-ва Технологовъ 1905.

А. Pedersen „А diagram for designing hoisting hooks", American Machinist, Ferbuary 15, 1908.

V. Marmor „Calcul exact d’un crochet", Revue de Mechanique 1905.