CC BY
49
ФИЗИКА
Вестн. Ом. ун-та. 2015. № 4. С. 21-26.
УДК 539.173
И.И. Гончар, М.В. Чушнякова, С.Н. Крохин
К ВОПРОСУ О РАСЧЕТЕ КУЛОНОВСКОЙ ЭНЕРГИИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ОСКОЛКОВ ДЕЛЕНИЯ АТОМНЫХ ЯДЕР ВБЛИЗИ ТОЧКИ РАЗРЫВА
Теоретически исследовано, как изменяется кулоновская энергия взаимодействия осколков деления при прохождении точки разрыва, т. е. при переходе от односвязной конфигурации ядра к двум разделённым осколкам. Предложен алгоритм такого перехода, сохраняющий положения центров масс осколков и их форму на полюсах, удалённых от места разрыва. Расчёты показали, что кулоновская энергия взаимодействия осколков меняется на несколько МэВ, что сопоставимо с экспериментальной погрешностью измерения полной кинетической энергии осколков.
Ключевые слова: деление атомных ядер, кинетическая энергия осколков.
Введение
Исследование процессов деления атомных ядер, первые из которых были открыты более 70 лет тому назад [1; 2], не теряет своей актуальности и сегодня (см., например, [3-5]). Теоретическому описанию динамики процесса посвящено множество работ [6-9]. Одна из особенностей этого описания состоит в том, что для сравнения с экспериментальными данными всякий раз необходимо переходить от динамических переменных (например, параметров формы) к наблюдаемым величинам. Этот переход неоднозначен, и его изучению, на наш взгляд, в литературе уделяется недостаточно внимания.
Общая кинетическая энергия двух осколков деления (ТКЕ, Etot) представляет собой пример наблюдаемой величины, на теоретическое значение которой этот переход может оказывать значительное влияние. В данной работе мы концентрируемся на кулоновской энергии взаимодействия осколков (КуЭВ, UCI) вблизи точки разрыва, которая даёт наибольший вклад в Etot. Основной вопрос, исследованию которого посвящена работа, - как изменяется КуЭВ при прохождении ядром точки разрыва, когда конфигурация ядра быстро изменяется от односвязной (предразрывная конфигурация) к двусвязной (разделённые осколки).
Прохождение точки разрыва
Рецепт перехода от односвязной конфигурации к двусвязной (ниже -просто переход) был сформулирован в работе [10] и применён для деления урана-236. Однако систематического развития этот подход не получил, и распределение осколков по кинетическим энергиям с помощью него не рассчитывалось.
Условие перехода, предложенное в [10], состояло в равенстве моментов распределения плотности
Irn = 2п dz zl J“ dp pn+1pA(p.z) (1)
до и после разрыва. Здесь р и z - цилиндрические координаты, рА(р, z) - плотность распределения центров масс нуклонов. Физический смысл этого условия в работе [10] интерпретируется как минимальность перераспределения нуклонов при переходе через точку разрыва. Нам представляется, что такое условие не отражает реальной картины разрыва шейки ядра, которая иллюстрируется рис. 1. На нём видно, что значительное перераспределение плотности происходит в районе шейки, исчезновение которой и представляет собой собственно разрыв. В то же время на полюсах ядра, максимально удалённых от шейки, перераспределение плотности минимально.
Поэтому мы формулируем свои условия перехода следующим образом: при заданном положении места разрыва, координата которого zr (rupture, г) (оно не обязательно совпадает с самым тонким местом шейки), для каждого осколка до (before, b) и после (after, a) разрыва:
© И.И. Гончар, М.В. Чушнякова, С.Н. Крохин, 2015
22
И. И. Гончар, М.В. Чушнякова, С.Н. Крохин
1) точно совпадают объёмы каждого из осколков;
2) не изменяются положения центров масс;
3) минимальна сумма
^ \^eb Zea \ + \Pscb Psca\ + \Psmb Psma\, (2)
которую мы будем называть суммарным отклонением. Здесь ze - координата самой удалённой от места разрыва точки осколка (его внешнего полюса); psc = ps(zc) - координата точки поверхности осколка, соответствующей его центру масс; psm = ps{zm) - координата точки поверхности осколка с промежуточной координатой zm = (zc+ze)/2. Мы предполагали, что плотность ядра распределена однородно и имеет резкий край, так что поверхность описывается уравнением Ps = Ps(z'>Y)- Здесь у - набор параметров деформации. Для предразрывной конфигурации это параметры {c,h,a} из работы [11], а для описания формы осколков мы использовали стандартное разложение по полиномам Лежандра:
ps = R0M~1sind(l +Ц;=1 aiPi(cosd)). (3)
Здесь ш находится из условия сохранения объёма, параметр а1 определяется из условия неподвижности центра масс осколка, а параметры а2 и а3 варьируются так, чтобы добиться минимального значения s, определяемого формулой (2). Например, для случая, изображённого на рис. 1, с = 1.90, h = 0.123, а = —0.035, zr = 0.2г041/3, для левого осколка а2 = 0.030 , а3 = 0.100, s = 0.212 фм; для правого осколка а2 = 0.060 , а3 = —0.140, s = 0.153 фм.
Параметры предразрывной формы {c,h,a} связаны с динамическими переменными q0, q3, q2 соотношениями
Чо = с, q3 = (h + 1.5)/(h0 + 1.5), q2 = a/a0 (4) (подробно эти формулы и пояснения к ним можно найти в [12], нужно только учитывать, что нумерация qt у нас сдвинута на единицу).
На рис. 2 показано, как при симметричном делении изменяются параметры деформации осколков, полученные с помощью нашей процедуры, при удлинении ядра, т. е. с ростом
коллективной координаты q0. Понятно, что разные значения этой координаты будут реализовываться в динамических расчётах типа
[12] с разной вероятностью. Поскольку деление симметричное, следует ожидать, что квадру-польные деформации осколков будут одинаковы, а октупольные равны по модулю и противоположны по знаку. Минимизацию, однако, необходимо производить отдельно для каждого осколка, поскольку асимметричное деление также будет иметь место благодаря флуктуациям. Из рис. 2 видно, что наша процедура даёт разумные результаты в случае симметричного деления. Качество аппроксимации сплошной формы двумя осколками характеризуется суммарным отклонением, которое показано на рис. 2, с. Оно представляется вполне разумным: всюду s заметно меньше радиуса нуклона.
Предразрывные и аппроксимирующие их послеразрывные формы показаны на рис. 3 для трёх значений удлинения. Эти значения соответствуют левой (<70=1.7), средней (^0=2.0) и правой (<70=2.2) частям рис. 2. В случаях, когда s < 0.3 фм (рис. 3, а и b), когда шейка занимает небольшую часть объёма ядра перед разрывом, сплошные формы и разделённые осколки вне шейки почти неотличимы. На рис. 3, с объём шейки очень большой, и отклонение формы осколков от сплошного профиля видно на глаз.
В формуле (5) UCI >0 - кулоновская энергия взаимодействия будущих осколков, т. е. двух частей ядра, разделённых на рис. 3 вертикальным разрезом (шейкой) при z = zr; UnI <0 - энергия сильного ядерного взаимодействия будущих осколков; Ерге >0 - кинетическая энергия относительного движения будущих осколков. По порядку величины UCI ~ 200 МэВ, \UnI\ ~ 20 МэВ, Ерге ~ 20 МэВ. Таким образом, главный вклад в Etot вносит КуЭВ, а Un! и Ерге в значительной степени компенсируют друг друга.
Как это обычно делают при моделировании деления, мы рассматриваем только аксиально симметричные конфигурации.
s (фм)
К вопросу о расчете кулоновской энергии взаимодействия осколков деления атомных ядер... 23
Рис. 2. Функции коллективной координаты q0.
a - параметры квадрупольной деформации; b - параметры октупольной деформации (для правого осколка -а3); с - суммарное отклонение s, которое определяется формулой (2);
▼ - левый осколок; ■ - правый осколок; q3= 0.98, q2= 0
24
И. И. Гончар, М.В. Чушнякова, С.Н. Крохин
1 (фм)
Рис. 3. Формы ядра и разделённых осколков при q0=\.70, 2.00 и 2.20, q1 = 0.98, q2=0
Кулоновская энергия взаимодействия осколков
В литературе для перехода от динамических переменных к Etot наиболее распространён алгоритм Самаддара [13], который применялся, например, в работах [14-16]. Этот алгоритм состоит в том, что динамическое моделирование прекращается при достижении некоторого условия разрыва ядра на два осколка (см. подробнее об условиях разрыва в [12]), и наблюдаемая на эксперименте ТКЕ вычисляется для односвязной конфигурации делящегося ядра по формуле:
Etot = ЕС! + Un! + Ерте . (5)
И для сплошной конфигурации, и для разделённых осколков КуЭВ вычисляется с помощью метода Беринжера [17], который был нами несколько модифицирован. В работе [17] этот метод был развит для вычисления полной кулоновской энергии однородно заряженной односвязной аксиально-симметричной конфигурации. Суть этого метода состоит в том, что ядро «разрезается» на N дисков одинаковой толщины, и кулоновская энергия вычисляется как сумма энергии взаимодействия каждого диска с каждым плюс сумма собственных энергий всех дисков.
В нашей модификации КуЭВ осколков вычисляется как сумма энергии взаимодей-
ствия каждого диска левого осколка с каждым диском правого, Uddij. Мы взяли из работы [17] формулу для энергии взаимодействия двух дисков Uddij, которые, возможно, имеют разные поверхностные плотности зарядов:
UddiJ = 4 Щт)2 r3b{-1^E92+ £“ о Кп\ (6) Кп = С2пР2п(0) (1 + к2Т2п+Ь(-п, -п +
+ 1,i,-fc2). (7)
Здесь А и Z - массовое и зарядовое число ядра в точке разрыва соответственно; (Д2)
- толщина слоя для левого (правого) осколка;
R2n - коэффициенты разложения функции
1
(1 + k2)z в степенной ряд; Р2п - полиномы Лежандра; k = =Zl ; д = —; Rs и RB радиусы ци-
RB RB
линдров, отвечающих меньшему и большему из двух взаимодействующих дисков соответственно; \zl — z]-\ - расстояние между центрами дисков; F(a,b,c,-k2) - гипергеометрический ряд [18].
Погрешность метода Беринжера (и написанной нами программы) для двух касающихся одинаковых сфер составляет 0.1 % уже при N = 40 (здесь и всюду дальше N означает полное число слоёв, так что число слоёв на один осколок равно N/2); эта погрешность
К вопросу о расчете кулоновской энергии взаимодействия осколков деления атомных ядер... 25
быстро убывает с ростом N. Рис. 4 иллюстрирует сходимость UCI для трёх значений q0 при асимметричном делении. Расчёты проведены для сплошных форм. Сходимость для
разделённых форм намного лучше. Результаты расчётов, приведённые всюду далее, отвечают случаю N = 150.
Рис. 4. Зависимость q0 от числа слоёв для величины UCI(N)/UCI( 190) - 1 при q,1= 0.99, q2 = -0.1
Результаты наших расчётов, сделанных для делящегося ядра плутония-240, иллюстрирует рис. 5. На нём показана зависимость КуЭВ от координаты q0 для трёх случаев: сплошные формы (prescission), разделённые деформированные осколки (separated), а также энергия взаимодействия разделённых сферических осколков (point-point) при q1 = 0.99, q2 = -0.1. Видно, что КуЭВ во всех трёх случаях отличаются мало, хотя с ростом удлинения это отличие увеличивается. Максимальное отличие КуЭВ для разделённых и сплошных форм не превышает 5 МэВ, в то время как типичная погрешность эксперимента для TKE составляет 3-6 МэВ [19]. Хотя расчёты были сделаны для одного делящегося ядра, соотношение между КуЭВ, вычисленными в двух вариантах, при тех же значениях q0, q1 и q2 будет таким же и для других ядер в
силу очевидной автомодельности задачи по параметру Z2/41/3.
Заключение
В работе предложен метод перехода от предразрывной формы к двум разделённым осколкам. При этом переходе кулоновская энергия взаимодействия осколков (главный вклад в экспериментально измеряемую TKE) меняется мало: это изменение примерно такое же, как и экспериментальные погрешности. Переход к разделённым осколкам, однако, необходим для проверки широко используемого предположения о том, что послеразрывное движение не влияет на энергетическое распределение осколков. Разработанный метод и компьютерную программу планируется в дальнейшем использовать при динамическом моделировании деления ядер.
ЛИТЕРАТУРА mittels Neutronen entstehenden Erdalka lim etalle //
Naturwissenshaften. 1939. Vol. 27. P. 11-13.
[1] Hahn O., Strassmann F. Uber den Nachweis und [2] Flerov G. N., Petrzak K. A Spontaneous fission of
das Verhalten der bei der Bestrahlung des Urans uranium // Phys. Rev. 1940. Vol. 58. P. 89.
26
И. И. Гончар, М.В. Чушнякова, С.Н. Крохин
[3] Ayyad Y. et al. Proton-induced fission of 181Ta at high excitation energies // Phys. Rev. 2014. Vol. 89, 054610.
[4] Sandal R. et al. Effect of N/Z in pre-scission neutron multiplicity for 16,18O+194198Pt systems // EPJ Web of Conferences. 2014. Vol. 66, 03006.
[5] Singh V. et al. Study of the shell effect on nuclear dissipation via neutron multiplicity measurement // EPJ Web of Conferences. 2014. Vol. 66, 03080.
[6] Гончар И. И. и др. Многомерная динамическо-статистическая модель деления возбуждённых ядер // Ядерная физика. 2000. Т. 63. С. 1778.
[7] Nadtochy P. N. et al. Incorporation of a tilting coordinate into the multidimensional Langevin dynamics of heavy-ion-induced fission: Analysis of experimental data from fusion-fission reactions // Phys. Rev. 2014. Vol. 89, 014616.
[8] Litnevsky V. L. et al. Description of the two-humped mass distribution of fission fragments of mercury isotopes on the basis of the multidimensional stochastic model // Physics of Atomic Nuclei. 2014. Vol. 77. P. 167.
[9] Demina E. G., Gontchar I. I. Precision of approximate Kramers formulas for the fission rate: Canonical and microcanonical ensembles // Physics of Atomic Nuclei. 2014. Vol. 77. P. 834.
[10] Рубченя В. А, Явшиц С. Г. Динамические процессы на конечной стадии деления атомных ядер // Ядерная физика. 1984. Т. 40. С. 649.
[11] Brack M. et al. Funny hills: the shell-correction approach to nuclear shell effects and its application
to the fission process // Rev. Mod. Phys. 1972. Vol. 44. P. 320.
[12] Адеев Г. Д. и др. Многомерный стохастический подход к динамике деления возбужденных ядер // Физика элементарных частиц и атомного ядра. 2005. Т. 36. С. 733-820.
[13] Samaddar S. K. et al. Role of thermal fluctuations in a classical dynamical model for fission // Physica Scripta. 1982. Vol. 25. P. 517-521.
[14] Adeev G. D., Gontchar I. I. A simplified two-dimensional diffusion model for calculating the fission-fragment kinetic-energy distribution // Z. Phys. 1985. Vol. A322. P. 479-485.
[15] Bao J. et al. Systematic studies of fission fragment kinetic energy distributions by Langevin simulations // Z. Phys. 1995. Vol. A352. P. 321.
[16] Karpov A. V. et al. Three-dimensional Langevin calculations of fission fragment mass-energy distribution from excited compound nuclei // Phys. Rev.
2001. Vol. C63, 054610.
[17] Beringer R. Coulomb self-energy of axial figures // Phys. Rev. 1963. Vol. 131. P. 1402-1406.
[18] Ландау Л., Лифшиц Е. Теоретическая физика. Квантовая механика. М. : Физматлит, 2004.
[19] Иткис М. Г. и др. Экспериментальное изучение массовых и энергетических распределений осколков деления возбуждённых ядер с Z2/A=33-42 // Ядерная физика. 1990. Т. 52. С. 23-35.
