CC BY
9
ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
№10 ПРИЛОЖЕНИЕ Сентябрь 2017
Секция 6
ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ КОДИРОВАНИЯ, АВТОМАТОВ И ГРАФОВ
УДК 519.17 Б01 10.17223/2226308Х/10/51
К ВОПРОСУ О ПРИМИТИВНЫХ ОДНОРОДНЫХ ГРАФАХ С ЭКСПОНЕНТОМ РАВНЫМ 2
М. Б. Абросимов, С. В. Костин
Рассматриваются примитивные однородные графы с экспонентом равным 2. Уточняется известный результат о том, что число рёбер неориентированного п-вершинного графа с экспонентом 2 должно быть не меньше (3п — 3)/2 для нечётного п и (3п — 22)/2 для чётного п. Для однородных графов с экспонентом 2 при п > 4 минимальное число рёбер есть 2п.
Ключевые слова: примитивный граф, примитивная матрица, экспонент, однородный граф.
Неотрицательная квадратная матрица А называется примитивной, если существует натуральное к, такое, что Ак положительна. Минимальное такое значение к называется экспонентом матрицы А [1]. Понятие примитивности легко переносится на графы.
Вершина V достижима из вершины и за к ^ 1 шагов, если существует последовательность рёбер (маршрут) {и,и^}, |и>1, и>2|,... , {и>к-1, V}. Если А — матрица смежности графа О, то достижимость вершины V из вершины и за к шагов означает, что на пересечении строки и столбца, соответствующих вершинам и и V соответственно, в матрице Ак стоит 1.
Граф О называется примитивным, если существует натуральное к, такое, что между любой парой вершин графа О существует маршрут длины к (иначе говоря, в матрице Ак все элементы равны 1). Минимальное такое значение к называется экспонентом графа О и обозначается ехр(О). Ряд работ посвящён исследованию экспонентов однородных примитивных матриц [2,3]. С точки зрения графов, рассматриваемые в этих работах матрицы соответствуют орграфам. В данной работе рассматриваются экспоненты неориентированных однородных графов. В [4] исследуется вопрос о минимальном числе дуг (рёбер) у орграфов (графов) с экспонентом равным 2. В частности, для неориентированных графов с экспонентом 2 минимальное число рёбер есть (3п — 3)/2 для нечётного п и (3п — 2)/2 для чётного п. Этот результат удалось уточнить для однородных графов.
Однородным или регулярным п-вершинным графом порядка р называется простой неориентированный п-вершинный граф, все вершины которого имеют степень р. Множество п-вершинных однородных графов порядка р будем обозначать Яга,р.
Очевидно, что любой примитивный граф является связным. Цикл длины 3 будем называть треугольником. Через $(О) обозначим обхват графа О, то есть наименьшую из длин циклов графа О. Так как в неориентированных графах нет петель, то примитивных графов с экспонентом равным 1 не существует, то есть ехр(О) > 1. Нас будут
интересовать однородные графы с ехр(О) = 2. Очевидно, что диаметр таких графов ¿(О) ^ 2, однако это условие не является достаточным.
Теорема 1. Граф О является примитивным с ехр(О) = 2 тогда и только тогда, когда ¿(О) ^ 2 и каждое ребро графа О входит в треугольник.
Второе условие теоремы отдельно также не является достаточным. На рис. 1 представлен 10-вершинный регулярный граф порядка 4. Можно заметить, что каждое ребро этого графа входит в треугольник, граф является примитивным, однако его экспонент равен 3.
Рис. 1. 10-Вершинный регулярный граф порядка 4 с ехр(С) = 3
Если рассматривать произвольные графы, то можно найти пример с меньшим числом вершин. На рис. 2 представлен 7-вершинный граф с ехр(О) = 3, каждое ребро которого входит в треугольник.
Следствие 1. Пусть О — примитивный граф с ехр(О) = 2. Тогда его обхват д(О) = 3.
Легко заметить, что любой полный граф Кп при п > 2 является примитивным и ехр(Кп) = 2. Так как каждое ребро примитивного графа О с ехр(О) = 2 входит в треугольник, то степень всех вершин графа О не ниже 2. Оказывается, оценку минимальной степени вершин графов с экспонентом, равным 2, можно повысить. В [4] получен следующий результат: для неориентированных графов с экспонентом 2 минимальное число рёбер есть (3п — 3)/2 для нечётного п и (3п — 2)/2 для чётного п. С одной стороны, из этого сразу следует
Теорема 2. Среди регулярных графов Кп,2 только граф К3 имеет экспонент 2.
С другой стороны, кубические графы содержат 3п/2 рёбер и удовлетворяют условию из работы [4]. Однако получен следующий результат.
Теорема 3. Примитивных п-вершинных кубических графов с экспонентом 2 при п > 4 не существует.
Теорема 4. Если р > п/2, то любой п-вершинный регулярный граф порядка р является примитивным с экспонентом 2.
Прикладная теория кодирования, автоматов и графов 133
В [2] доказывается, что однородные ориентированные графы порядка p (степени исхода и захода каждой вершины равны p) с экспонентом 2 могут быть при следующих значениях n:
p +1 ^ n ^ 2p — 1.
Если рассматривать каждое ребро неориентированного графа как пару встречных дуг, то однородный неориентированный граф порядка p можно рассматривать как однородный ориентированный граф порядка 2p. Тогда оценка для неориентированных графов принимает вид
p +1 ^ n ^ 4p — 1.
Нижняя оценка достигается для полных графов Kn.
Был проведён вычислительный эксперимент с использованием кластера высокопроизводительных вычислений ПРЦ НИТ СГУ по подсчёту регулярных графов с экспонентом, равным 2, и числом вершин до 16. Результаты для 4-, 5- и 6-регулярных графов представлены в таблице. Для генерации регулярных графов использовалась программы GENREG [5] и DSR Generator [6]. Вычисления показывают, что верхняя оценка может быть улучшена.
Количество n-вершинных р-регулярных графов с экспонентом равным 2
n р = 4 р = 5 р = 6
4 0 0 0
5 1 0 0
6 1 1 0
7 2 0 1
8 2 3 1
9 3 0 4
10 0 24 21
11 1 0 266
12 0 210 5457
13 0 0 135775
14 0 116 2806846
15 0 0 40242765
16 0 2 337592332
На рис. 3 приведено изображение 11-вершинного 4-регулярного графа с экспонентом 2 [7].
Рис. 3. 11-Вершинный регулярный граф порядка 4 с exp(G) = 2
ЛИТЕРАТУРА
1. Wielandt H. Unzerlegbare nicht negative Matrizen // Math. Zeitschr. 1950. V. 52. P. 642-648.
2. Jin M., Lee S. G., and Seol H. G. Exponents of r-regular primitive matrices // Inform. Center Math. Sciences. 2003. V.6. No. 2. P. 51-57.
3. Bueno M. I. and Furtado S. On the exponent of r-regular primitive matrices // ELA. Electronic J. Linear Algebra. 2008. V. 17. P. 28-47.
4. KimB., Song B., and Hwang W. Nonnegative primitive matrices with exponent 2 // Linear Algebra and its Applications. 2005. No. 407. P. 162-168.
5. Meringer M. Fast generation of regular graphs and construction of cages //J. Graph Theory. 1999. No. 30. P. 137-146.
6. Сухов С. А. DSR Generator. Свид. о гос. регистрации программы для ЭВМ №2016610073. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 11 января 2016 г.
7. Костин С. В. Об использовании задач по теории графов для интеллектуального развития учащихся // Математика в образовании: сб. статей. Вып. 10 / под ред. И. С. Емельяновой. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та. 2014. С. 68-74.
УДК 519.17 DOI 10.17223/2226308X/10/52
О ВЕРХНЕЙ И НИЖНЕЙ ОЦЕНКАХ ЧИСЛА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ДУГ МИНИМАЛЬНОГО РЁБЕРНОГО 1-РАСШИРЕНИЯ
ОРИЕНТАЦИИ ЦЕПИ
М. Б. Абросимов, О. В. Моденова
Исследуются верхняя и нижняя оценки числа дополнительных дуг ec(Pn) минимального рёберного 1-расширения ориентации цепи. Если Pn имеет концы разного типа и отлична от гамильтоновой и от ориентации, состоящей из чередующихся источников и стоков, то [n/6] +1 ^ ec(Pn) ^ n + 1. Если Pn имеет концы одинакового типа, то [n/4] +1 ^ ec(Pn) ^ n + 1.
Ключевые слова: минимальное рёберное 1-расширение, ориентация цепи, отказоустойчивость.
Граф G* = (V*, а*) называется минимальным вершинным k-расширением (МВ-кР) n-вершинного графа G = (V, а), если выполняются следующие условия:
1) граф G* является вершинным k-расширением графа G, то есть G вкладывается в каждый подграф графа G*, получающийся удалением любых его к вершин;
2) граф G* содержит n + к вершин, то есть |V* | = |V| + к;
3) а* имеет минимальную мощность при выполнении условий 1 и 2.
Понятие минимального вершинного к-расширения появилось в [1] как модель для исследования отказоустойчивости элементов дискретных систем. Позднее в работе [2] была введена модель для исследования отказов связей между элементами.
Граф G* = (V*,а*) называется минимальным рёберным к-расширением (МР-кР) n-вершинного графа G = (V, а), если выполняются следующие условия:
1) граф G* является рёберным к-расширением графа G, то есть G вкладывается в каждый граф, получающийся из G* удалением любых его к рёбер (дуг);
2) граф G* содержит n вершин, то есть |V*| = |V|;
3) а* имеет минимальную мощность при выполнении условий 1 и 2.
В [1] доказано, что МВ-1Р n-вершинной цепи является (n + 1)-вершинный цикл, в [2] доказано, что МР-1Р n-вершинной цепи является n-вершинный цикл. Легко пока-
