CC BY
12
УДК 539.3
К ВОПРОСУ О ПРИМЕНИМОСТИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ К ЗАДАЧАМ РАСЧЕТА ДЕФОРМИРОВАНИЯ СТЕРЖНЕЙ
Р. А. Сабиров, Д. Р. Кубышкина
Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газеты «Красноярский рабочий», 31
E-mail: rashidsab@mail.ru
На примере задачи о растяжении стержня рассматриваются три модели геометрических уравнений: малые деформации, конечные деформации и логарифмические деформации. Построены графики удлинении стержня при растягивающих и сжимающих нагрузках. Выявлена асимметрия перемещении, в зависимости от знака нагрузки.
Ключевые слова: стержень, нелинейные деформации, логарифмические деформации.
TO THE QUESTION OF APPLICABILITY OF GEOMETRICALLY NONLINEAR EQUATIONS FOR TASKS OF CALCULATION OF DEFORMATION OF RODS
R. A. Sabirov, D. R. Kubyshkina
Reshetnev Siberian State University of Science and Technology 31, Krasnoyarskii rabochii prospekt, Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation
E-mail: rashidsab@mail.ru
Using the example of the rod tension problem, three models of geometric equations are considered: small strains, finite strains, and logarithmic strains. Graphs of rod extensions under tensile and compressive loads are constructed. The asymmetry of displacements was revealed, depending on the sign of the load.
Keywords: rod, deformations, nonlinear deformations, logarithmic deformations.
Теория гибких стержней, пластин и оболочек стимулирует разработку высокоэффективных технологий для разработки конструкций антенн, плоских и пространственных тонкостенных конструкций и других изделий космического назначения. И наоборот, создание высокотехнологичных конструкций стимулирует математическое и экспериментальное моделирование. Если в тяжелом машиностроении или в строительстве несущие конструкции не должны допускать больших деформаций и перемещений, то в космической технике, конструкции чрезвычайно «деликатные», должны быть гибкими, прочными и устойчивыми. Гибкие конструкции вписываются в область линейно-деформируемых систем, они имеют большие прогибы, существенные углы поворота, не должны иметь остаточных деформаций и остаточных напряжений.
Решение нелинейных задач имеет особенности, связанные с выбором подходящей модели нелинейного деформирования конструкции, неоднозначностью (двойственностью) решений, вопросами сходимости к решению, возможно аналитическому.
Современные программы САПР позволяют рассчитывать прочность и жесткость конструкций с учетом геометрической нелинейности. Однако, важен вопрос верификации результата, который, обычно, трудно получить, так как требуется решить нелинейную краевую тестовую задачу, конечно, упрощенной модели деформирования.
Актуальные проблемы авиации и космонавтики - 2020. Том 1
Инженеры-расчетчики, обычно, опираются на теоретические основы. Назовем наиболее раннюю книгу А. Лява "Математическая теория упругости" [1], в которой рассматривается теория деформаций, со смещениями какой угодно величины. Компоненты тензора деформаций связаны с компонентами вектора перемещений:
^ 1 дик дик
+ —-—-, (1) дх.
_ 1
sv - 2
duL +duL
KÔXj ôxt J
где шесть величин е.., в каждой точке тела, выраженные через компоненты вектора перемещений ui = ui (х, у, 2) полностью характеризуют деформацию точки х .
Назовем работы ученых, исследовавших области допустимых значений функций перемещений и функций деформаций геометрически-нелинейных уравнений, вопросы точности, вопросы применимости в расчетах конструкций [2 - 8].
Для простейшей одномерной задачи о растяжении-сжатии стержня рассмотрим три вида относительной деформации а:
5 = — - линейная (инженерная), (2)
дх
du 1 s = — + — dx 2
du V
— I - нелинейная (частный случай (1)), (3)
v dx J
i dx i
s = |— = ln--логарифмическая или истинная (effective specific strain). (4)
i0 X l0
Здесь, в (2) и (3): du(x) - приращение перемещения функции u(x) отрезка, длиной dx. В формуле (4): x - текущая длина отрезка, деформация которого вычисляется; dx -удлинение отрезка x ; i0 - начальная длина стержня; l - текущая длина стержня.
Задача одномерная, в рамках закона Гука
N ( x) = ESs (5)
где N(x) - продольная сила; E - модуль Юнга; S - площадь поперечного сечения.
Подставив, соответственно, каждое (2), (3) и (4) в (5), предварительно заменив в (2) и (3) производные их аналогом для стержня конечной длины
du l -10
(6)
дх 10
получим зависимости для вычисления удлинения I стержня, начальной длины 10 :
( N Л
I = 101 1 л--I - линейная зависимость, (7)
01 М )
N
l = l0 J1 + 2--нелинейная зависимость, (8)
0 V ES w
I = 10еК ; - логарифмическая зависимость. (9)
Здесь N(х) = N. Зададим £ = 1 • 10~4 м2 , Е = 5 • 10~б Па - (модуль Юнга резины),
Построим графики удлинений стержня для трех видов деформаций по формулам (7) - (9) на рис. 1 от изменяющейся силы -1000 Н < N < 1000Н . Такой уровень усилий не превышает напряжения ив =±10 МПа, равный пределу прочности резины. На оси ординат приведены значения I, в зависимости от 10. Например, значению N = 0 соответствует значение I = 1 • /0. Или для логарифмической деформации, если N = 1000 Н, тогда / = 7,38 /0.
Обратим внимание, на графике в области -100 Н < N < 200 Н все три линии совпадают. Если в геометрически линейной задаче удлинения симметричны, то есть при растяжении и сжатии удлинения по модулю равны. Тогда как в геометрически нелинейной и логарифмической постановках, при больших N - удлинения "асимметричны".
Такой эффект возможен и в изгибаемых стержнях. Например, направим силу слева направо - получим одни перемещения. Направив эту же силу в обратную сторону, получаем перемещения, по модулю, не равные первым перемещениям. Поэтому, в начале этих тезисов ставился вопрос выбора методы верификации результата.
1000
Графики, демонстрирующие удлинения стержня I первоначальной длины 10
в зависимости от изменяющегося внутреннего усилия N : сплошная линия (черная) - линейные уравнения; штриховая линия (красная) - нелинейные уравнения; штрих-пунктир (синий цвет) - логарифмические уравнения
Представим себе, что резиновый стержень с одного торца закреплен, а на другом действует сила, равная N. Тогда из графика линейной теории, сила должна равняться N = -500Н, чтобы новая длина стержня стала нулевой. То есть стержень полностью сожмется. Если применяется нелинейная модель (на рис. 1 - штриховая линия), тогда такое (конечно, физически нереальное событие) произойдет при N = -250Н .
Составим таблицу асимметрии смещений для некоторых усилий (табл. 1).
Р| = 100 Н , ст = +1 МПа Р = 200 Н, ст = +2 МПа \Р\ = 250 Н, ст = ±2,5 МПа
Модели: удлинение укорочение удлинение укорочение удлинение укорочение
линейная 20% 20% 40% 40% 50% 50%
нелинейная 18% 23% 34% 55% 41% 0 %
логарифмическая 22% 18% 49% 33% 64,8% 40%
При решении геометрически нелинейных задач деформации и смещения не могут быть какой угодно величины. Существует асимметрия перемещений. Решение краевой нелинейной задачи должно вестись методами последовательных нагружений.
Библиографические ссылки
1. Ляв А. Математическая теория упругости. ОНТИ, М. 1935.
2. Лейбензон Л.С. Курс теории упругости. ОГИЗ. М.-Л. 1947. 465 с.
3. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. ОГИЗ Л.- М., 1948. 212 с.
4. Ильюшин A.A., Ленский B.C. Сопротивление материалов. М.: Физматгиз, 1959. 372 с.
5. Каудерер Г. Нелинейная механика. М.: Изд-во иностранной литературы. 1961. 778 с.
6. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир. 1975. 872 с.
7. Лукаш П.А. Основы нелинейной строительной механики. М., Стройиздат, 1978. 204 с.
8. Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред. М.: Мир, 1974. 318 с.
© Сабиров Р. А., Кубышкина Д. Р., 2020
