К вопросу о погрешностях измерения коэффициента диффузии пористых материалов Текст научной статьи по специальности «Физика»

Автоматика. Информатика. Управление. Приборы

УДК 539.219.3:001.891.573

К ВОПРОСУ О ПОГРЕШНОСТЯХ ИЗМЕРЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ДИФФУЗИИ ПОРИСТЫХ МАТЕРИАЛОВ

С.В. Мищенко1, С.В. Пономарев1, С.Г. Толстых1, С.С. Толстых2

Кафедры: «Автоматизированные системы и приборы» (1), «Информационные процессы и управление» (2), ТГТУ

Ключевые слова и фразы: имитационное моделирование; коэффициент диффузии влаги; погрешность измерения.

Аннотация: Рассматриваются вопросы имитационного моделирования процесса измерения коэффициента диффузии влаги в пористых материалах. Анализ погрешности измерений проводится на ЭВМ. Показан ход приведения модели к безразмерному виду, снижающему погрешность вычислений при ограниченной разрядной сетке в машинном представлении вещественных чисел. Проведено сравнение методик определения момента времени, соответствующего экстремуму влагосодержания и показано, что минимальная погрешность соответствует регистрации времени совпадения значения влагосодержания с начальным ее значением на последнем этапе измерений. Предложена формула, по которой можно определить значение момента времени, соответствующего экстремуму влагосодержа-ния, а затем, решив нелинейное уравнение, - искомый коэффициент диффузии.

Обозначения

а - коэффициент диффузии, м2/с;

[Ошл, атах] - диапазон измерения коэффициента диффузии;

С - коэффициент, определяющий значения т2Г и т2

41 и '■2R

F ( У1, y 2;a

ция;

x1k ) - целевая функ-

Fo =-------критерий Фурье;

- безразмерный комплекс;

Р°х 2 I—

2л/ ат

ЬР = (Р2 - д)/ пР - шаг разбиения;

пР - число разбиений диапазона [ рх, р2 ];

Р - относительная погрешность измерений, %;

рг, р2 - диапазон порядков, соответствующий диапазону [а^п, атах], целые отрицательные числа; и - переменная интегрирования;

и о - начальное влагосодержание образцов № 2, 3;

и1 - начальное влагосодержание образца № 1;

и2 (х, т:) - влагосодержание образца на первом этапе измерения; и1 (х + 2и^ат2 , т^) - подынтегральная

функция, представляющая собой (при т 2 = 0 ) распределение влагосодержания в конце первого (в начале второго) этапа;

и с =------- - среднее значение началь-

2

ного влагосодержания; х - пространственная координата, м; у у - варьируемые переменные при

решении задачи оптимизации; у* , у* - их оптимальные значения;

5 - относительная погрешность определения коэффициента диффузии после решения задачи оптимизации;

x

8 - точность вычислений;

П- абсолютная погрешность аппроксимации;

0(Г°2 ) - безразмерная влажность на втором этапе измерений;

0 - значение 0(Г°2 ) на концах интервала

[ т2Т , т2К ];

0(Г°2(т2)) - случайная помеха;

0 тах - экстремальное значение безразмерной концентрации влаги в образце; ст2[а] - дисперсия коэффициента диффузии; т - текущее время первого этапа, с; т^ - продолжительность первого этапа, с; т2 - текущее время второго этапа, с;

Введение

Ранее была опубликована математическая модель процесса измерения коэффициента диффузии пористых материалов [1]. В данной работе мы продолжаем имитационное исследование и рассматриваем два варианта нахождения экстремума влагосодержания на экспериментальной кривой: непосредственное и косвенное. При сравнении вариантов мы оцениваем погрешность измерения коэффициента диффузии.

Важным аспектом имитационного моделирования диффузионных процессов в измерительном устройстве является повышение точности вычислений. В расчетах на ЭВМ по нашей математической модели участвуют константы, основные и вспомогательные переменные с различными порядками (10-10...106). При фиксированном размере мантиссы (16 знаков) это обстоятельство способствует повышению вычислительной погрешности при суммировании рядов, решении уравнений, вычислении интегралов. В ходе имитационных исследований, проводимых на ПЭВМ типа IBM PC с использованием компилятора Visual C++ 6.0, было выявлено, что при расширении диапазонов изменения параметров математической модели [1] увеличение вычислительной погрешности приводит к потере устойчивости вычислений, способствует получению нестабильных результатов. Избавиться от этих проблем можно сужением диапазона порядков нормализованного представления основных переменных математической модели за счет перехода к безразмерному виду.

1 Математическая модель процесса измерения

Физическая модель измерительного устройства представляет собой систему, состоящую из двух образцов исследуемого пористого материала, приведенных в контакт, и специального датчика влажности, вмонтированного в образец. Размеры образцов должны быть достаточно большими: такими, чтобы с позиций матема-

т 2тах - момент времени, соответствующий экстремальному значению влагосодержа-ния, с;

[ т 2Т , т 2К ] - интервал времени, содержащий значение т 2тах ;

т 2т ах т 2 Т

ю =------------- - отношение интервалов

т 2 К -т 2 Т

времени;

^(ц, ст) - датчик нормально распределенных случайных чисел с математическим ожиданием ц и среднеквадратическим отклонением ст;

Ог - скорректированное отношение интервалов времени, г = 0,к,пР ;

О - среднее значение массива О .

тического моделирования их можно было бы считать плоскими полубесконечны-ми телами. Для целей измерения подготавливаются три образца. Образец №1 выдерживается длительное время в эксикаторе для достижения равномерного вла-госодержания и, а образцы № 2, 3 - в другом эксикаторе до достижения влаго-содержания и0 ^ и . Во второй образец на расстоянии х от поверхности соприкосновения монтируется датчик, реагирующий на присутствие влаги в исследуемом веществе.

Эксперимент по определению коэффициента диффузии проходит в два этапа: на первом этапе приводятся в плотное соприкосновение два прямоугольных образца: образец № 1 (концентрация и) и образец № 2 (начальная концентрация и0). На втором этапе, по истечении времени , образцы № 1 и № 2 разъединяют и образец № 2 приводят в контакт с образцом № 3 (концентрация и 0).

Распределение влажности на 1-м этапе измерения [2]

( \

ü¡(X,Tj) = Uс + (ü0 -Uс)• erf

2^0x7

—œ < X < œ,

(1)

где ü с =

ü 0 + ü1 2

- среднее значение влагосодержания; и1 (х, Х1) - влагосодер-

жание образца; а - искомый коэффициент диффузии влаги в пористом материале; Т1- текущее время первого этапа, отсчитываемое с момента соединения образцов № 1 и № 2; х - пространственная координата (расстояние от датчика до поверхности соприкосновения образцов).

Введем обозначение

РоХ1} = ■

2^[ах[

Перепишем (1) с учетом (2)

Ü! (X,Ti) = Uс + (U0 - Uс) • erf (Fo(1)),

—œ < Fo

(1)

< œ .

(2)

(3)

На втором (основном) этапе измерения распределение влагосодержания имеет вид [1, 2]:

üII (X,T2) =

ü 0

(

1 — erf

1 œ

+^= Í ü i (x + 2u^/at 2, x1k ) e—

л/я

du, (4)

2J aT2

где Т2 - текущее время второго этапа, отсчитываемое с момента соединения образцов № 2 и № 3; - продолжительность первого этапа; и} (х + 2и^]ат2,т^) -

подынтегральная функция, представляющая собой (при Х2 = 0) распределение

влагосодержания в начале второго этапа, которая, с учетом формулы (1), может быть представлена в виде:

ü i (x + 2u^/ a t 2, T1k ) = üc +(ü 0 — üc )erf

( , о /---^

x + 2uJa%2

2

aT1k

(5)

X

2 Приведение математической модели к безразмерному виду

Для приведения математической модели измерения коэффициента диффузии к безразмерному виду в рассмотрение введем следующие комплексы:

Fo

(1k) _.

2V

FoX _-

aT1k

(6)

Преобразуем аргумент функции erf в выражении (5) так, чтобы избавиться от а, т и х. Для этого поделим числитель и знаменатель на х и, принимая во внимание (6), получим

X + 2ид/ат 2

2yi aTik ^yarik

2^ат2 i + _

1 + ' F0(2) сім

1-----------_ F0x _ FoX )

(

1 + -

Fof)

Fo

(2)

(7)

В выражении (4) поменяем аргументы х, т 2 на комплекс Fo

(2)

U(FoX2)) _ U-

1 - erf

(foS2> )

+— I ^ Uc +

-fox2) I

(u0 - Uc)

erf

Fo

(1k )

1+-

FoX2),

e u du.

(8)

В правой части выражения (8) второе слагаемое обозначим буквой Т и представим, в свою очередь, тоже как сумму Т = Т + Т2 :

T _

1 X 2 1 X -= I Uce-u du +-= I (Uo-Uc)erf Vn -/'TT

-Fo(2)

л/П

-FoX2)

Fo

(1k )

1+-

FoX2),

-u

T _

1=-^ I Uc e-u2du _% Vn 2

-Fo

(2)

1 + erf ЦоХ2"1

du _ T1 +T2,

(9)

(10)

T2 _

U 0 - U c

4%

j erf

-Fo

(2)

Fo

(1k )

1 + -

Fo

(2)

e u du .

(11)

Интеграл в выражении (11) аналитически вычислить невозможно. Перепишем (8)

U(FoX2)) _ U-

1 - erf (

(FoX2) )] + U- [1 + erf (FoX2) )

+ T2 .

(12)

Введем обозначение

і X

“T I erf

^ -Fo(X2)

Fo

(1k )

1+-

Fo

(2)

e u du

(13)

X

u

X

X

S =

Таким образом, выражение (12) приобретает вид

U (Fo^) =

U с

1-erf (FoX2)

Вводим понятие «безразмерное влагосодержание»

U (FoX2)- U о

+ erf (FoX2))] + (U0 -Uс)s . (14)

(2) s

Uс - U,

(15)

0

Найдем числитель выражения (15)

U (FoX2)-U о = Цо - U2Lerf (FoX2))+ + Ц- erf (FoX2)) + U o s - U cs - U o

-U° - U°erf (FoX2>)

+ UC + UT erf (F0(x2))

+ U o s - U C s =

(16)

= 2(Uc -Uо)+ 2(Uс -Uо)erf(FoX2))-(Uc -Uо) Поделив выражение (16) на Uс - Uо, с учетом (13) получим

e(Fo(x2) ) = 2 [l + erf ( FoX2) )

і »

~т í erf

^-FoX2)

Fo

(1k )

1+-

V FoX2>,

e u du.

(17)

Для удобства графического представления последующих результатов в вы-

ражении (17) меняем FoХlk), FoХ2) на соответствующие критерии Фурье:

Fo = aT1k Fo = ат2

Fo1k =------Fo2 =

2

(18)

В дальнейшем будем рассматривать функцию (17), принимая во внимание,

что FoX2 =-

1

^>/Fo2

Fo

(1k )

1

2VF°k e(Fo2 )= 1

1 + erf

(19)

e u du.

Методика нахождения коэффициента диффузии, обсуждаемая здесь, базируется на определении момента времени т2тах, соответствующего экстремальному значению влагосодержания на втором этапе эксперимента. По найденному значению Т2тах определяем коэффициент диффузии а [1]. Для нахождения Fo2,

0 50^02) _

соответствующего экстремальному значению 0, решаем уравнение---------— = 0 :

9Fo9

X

X

d0(Fo2) _ 5

5Fo2 dFo2

1 + erf

^Vf°2,

1 X 1

--j= I erf -------------(1 + u • ^TFo2)

л/П [ ^VFo1^v ^ J

21/Fq2

du _ 0.

Находим производную д0^°2) , разбив дифференцируемое выражение на

^2

слагаемые. Сначала возьмем производную первого слагаемого

д I 1

1 + erf

" 1 "

ехр

L 4Fo2J

4VnFo3/2

(21)

дF02 [2 [_ ' ^2^/Fo2/

д Ъ Ъ д

Согласно [3] — |/(х,Х)ёх = |—/(х,Х)ёх. С учетом этого найдем произ

а а

водную подынтегрального выражения второго слагаемого уравнения (20)

д I 1

dFo2 I л/П

erf

ехр

(1 + 2 u^Fô^)2

4Fo

1k

ue

nV Fo1k Fo2

■_ Y. (22)

После интегрирования (22) получим „ 1

I Ydu

4(Fo2 + Fo1k )3/2 п3/2^ -2^n(Fo2 + Fo1k ) exp

•iexp

1

4(Fo2 + Fo1k )

xVFor -

4Fo2

(23)

+erf

VFo1k

nyJFo

2 ехр

1

4(Fo2 + Fo1k )

_ 2^2^ + Fo1k)

Искомое уравнение (20) относительно Fo2 примет вид

( 1 ^

ехр|---------I

д0(Fo2) ^ '№Ъ2) 1

dFo2 ^VnFo2/2 4(Fo2 + Fo1k )3/2 n^^Fo^

1

ехр

+ erf

4(Fo2 + Fo1k )

VF°1k

^Fo2(Fo2 + Fo1k )

^>/Fo7 - 2^n(Fo2 + Fo1k) exp| ---1 Fo2 exp

1

4(Fo2 + Fo1k )

4Fo2 _ 0 .

(24)

Л, 0ipo2)

О 0.5 1 1.5 2 2.5

Рис. 1 Графики зависимости 0(Fo2):

1 - Fo2max = 0,5875, (Folt = 0,0625, xlk = 200 с);

2 - Fo 2max = 0,4375, (Fo* = 0,125, = 400 с);

3 - Fo2max = 0,3530, (Fo1k = 0,1875, Tik = 600 с);

4 - Fo2max = 0,32°0, (Fo1k = 0,25, T1k =800 с);

5 - Fo2max = 0,25803, (Fo1k = 0,3125, т^ = 1000 с); значения т1к рассчитаны для a = 1,25-10-9 м2/с, x = 0,002 м

д0 д0 dFo2 „ ат2

Исходя из того, что------=-----------—, а Fo2 = —2— линеиная функция т2 :

дт2 dFo2 дт х2

1) решаем уравнение (24) относительно Fo2 методом половинного деления [4];

2) по найденному Fo2 из выражения (18) находим значение Т2 , соответст-

вующее экстремуму функции U (х, т2) с учетом заданных значений х и а.

На рис. 1 показаны графики 0(Fo2) при различных значениях времени т^ первого этапа эксперимента. Из полученных графиков видно, что при увеличении T1k экстремум становится более ярко выраженным.

3 Влияние случайной помехи на непосредственное определение времени, соответствующего экстремальному значению влагосодержания

Цель дальнейших исследований - сравнительный анализ способов нахождения моментов времени, соответствующих экстремуму влагосодержания, по экспериментальным данным. Необходимо как можно более точно фиксировать момент времени, соответствующий экстремуму влагосодержания в образце: чем это значение точнее, тем меньше погрешность измерения коэффициента диффузии в условиях реального эксперимента.

Для имитационного моделирования процесса измерений нам потребуется «эталонное» значение коэффициента диффузии. По этому значению находим «эталонное» значение момента времени, соответствующего экстремальному вла-

госодержанию. Назовем эту процедуру прямой задачей. В противоположность ей, задачу нахождения коэффициента диффузии по известному моменту времени, соответствующему экстремальному влагосодержанию, назовем обратной задачей. Результатом решения прямой задачи является точное значение момента вре-

ист.

мени т2тах, соответствующее экстремальному влагосодержанию, полученное из уравнения (24) при заданном Бо^ . Уравнение (24) решалось методом половинного деления с точностью е = 10-10 (абсолютная величина левой части уравнения не превосходит этого значения).

Для решения прямой задачи использовалось Бо^ = 0,3125, полученное при

_ 9 2

заданных значениях аист. = 1,25-10 м/с, х = 0,002 м, т^ = 1000 с. В результате было найденоБо2тах = 0,2580322 . По нему определили значение момента времени т2ттах= 825,703 с, соответствующее экстремальному значению концентрации влаги в образце, которое используется в дальнейшем для сравнения как истинное (эталонное).

Имитируя на ЭВМ реальный эксперимент, на безразмерную концентрацию накладываем случайную помеху

0 (Ро2 (т 2)) = ^0(Ро2(т 2)), (25)

где 0(Бо2(т2)) - точное значение, соответствующее математическому описанию процесса измерений; д - случайная помеха. Как известно, относительная погрешность большинства методов измерений - случайная величина, подчиненная нормальному закону распределения [4]. Исходя из этого, помеху д вычисляем по

формуле д = 1 + ^(0, Р/100), где |(Н,ст) - датчик нормально распределенных случайных чисел с математическим ожиданием н и среднеквадратическим отклонением ст ; Р - относительная погрешность измерений, в %. На рис. 2 показан график 0(Ро2(т2))при Р = 1 %; аист = 1,25-10_9 м2/с; х = 0,002 м; = 1000 с.

Интервал дискретизации времени был задан равным 50 с.

0.25

0.20

0.15

0.10

0 2500 5000 7500 10000

Рис. 2 Непосредственное нахождение точки экстремума

Из таблицы значений [т2,0(Бо2 (т2))] , по которой был построен график на рис. 2, путем перебора было определено т 2тах = 900 с. По найденному значению т2тах находим из уравнения (24) коэффициент диффузии а. Поясним ход решения этого уравнения относительно коэффициента диффузии а при заданном времени т2тах. Если раскрыть выражения для критериев Фурье, в уравнении (24) появятся две неизвестных величины - коэффициент диффузии а и время т2 , причем ни одну из них нельзя представить в явном виде. Применяем следующий алгоритм:

1) задаем начальное приближение коэффициенту диффузии а = а0;

2) решаем (24) методом половинного деления относительно т2 ; находим корень т2тах ;

3) коэффициент диффузии а считается найденным с точностью е =10-10, если модуль разности найденного времени т02тах и экспериментального т2тах - пре-

небрежимо мал:

т -т 0 L2max L2max

< е. Если это неравенство не выполняется,

корректируем а по методу половинного деления с последующим возвратом к пункту 2.

По значению т2тах = 900 с было получено а = 1,186209-10-9 м2/с. Относительная ошибка составила 5,1 % (по отношению к ранее заданному аист = = 1,25-10—9 м2/с). По отношению к ранее найденному т^т^ =825,7 с ошибка нахождения т 2тах = 900 с почти в два раза больше и составляет примерно 9 %.

4 Влияние конечного диапазона измерительного цифрового прибора, используемого при измерении влагосодержания, на погрешность определения коэффициента диффузии

Важно знать, каков вклад точности представления показаний вторичного прибора в погрешность измерения коэффициента диффузии. Будем полагать, что измерения потенциала датчика проводятся на приборе с тремя значащими цифрами. По формуле (19) получаем точные значения 0(Бо2(т2)) и округляем их до трех значащих цифр. Округление производим по формуле

0(Бо2(т2))-103 + 0,5 /103, где [...] - оператор выделения целой части числа.

Результаты округления приведены в табл. 1. На рис. 3 видно, что на интервале 750 < т2 < 950 значения функции 0(Бо2(т2)) не меняются - это интервал неопределенности, и чем он шире, тем меньше точность определения коэффициента диффузии.

Погрешность определения коэффициента диффузии рассчитывалась по формуле

тах{|а(т 2тах,й ) — а|, |а — а(т 2тах^ )|)

Р =------^:------------и------------У-100%,

а

где а(т2тах й ), а(т2тахь) - значения коэффициента диффузии соответственно временам экстремума т2тах,д , т2тах,^; а - теоретическое значение коэффициента диффузии, заданное в разделе 3.

В данном случае погрешность определения а составила 6,3 %.

Таблица 1

Точки [т 2,0(Бо2(т 2))]

с округлением до третьего знака

т 2 6(Fo2(T2))

0 0,206

50 0,212

650 0,257

700 0,257

750 0,258

800 0,258

850 0,258

900 0,258

950 0,258

1000 0,257

1050 0,256

1950 0,235

2000 0,234

0.26

0.24

0(Fo2(T2))

0.22

Интервал

неопределенности

^тж, £

>

500 1СЮ0 1500 2000

Рис. 3 Интервал неопределенности

интервал

неопределенности

5 Косвенное определение времени, соответствующего экстремуму на кривой влагосодержания

Рассмотрим предлагаемый способ определения момента времени, соответствующего экстремуму влагосодержания. Для повышения эффективности обработки экспериментальных данных, в рассмотрение вводится величина С, геометрический смысл которой иллюстрируется на рис. 4 (на качественном уровне).

При С = 0 и С = 1 из точек {0,0^2(0))} и {т2тах,0(ро2(^2тах))} проводятся прямые, параллельные оси т 2 . При С = 1 эта прямая касается кривой в точке экстремума (т 21 = т 2к = т 2тах). Из точки (0, 0) параллельно оси т 2 проводим прямую линию до пересечения с кривой 0(Бо2(т 2)). Величина 0 вычисляется по формуле:

0=0(Ро2(0)) + С[0(Ро2(т2тах)) — 0^(0))] .

Рис. 4 Использование коэффициента С

При С = 0 величина%2Ь = 0, а при 0 < C < 1 %2l < T2max < т2r . Таким образом, вместо прямого определения T2max, которому свойственно наличие неопределенности, мы предлагаем находить T2L и т 2r , и по этим точкам осуществляем все последующие расчеты.

Вводится в рассмотрение отношение интервалов времени

т 2max — т 2L Ю =------------.

т 2 R-т 2 L

Из табл. 2 видно, что отношение ю, при изменении коэффициента диффузии а, не остается постоянным. Считая ю функцией a, выясним, можно ли подобрать мультипликативный корректор, компенсирующий непостоянство величины ю(а). Необходимо найти функцию R(T2max) такую, чтобы в заданном диапазоне измерений ae[amin,amax] выполнялось равенство ю(а)R(t2max) = idem. Следует заметить, что экстремальное значение т 2max - зависимая величина- T2max = т2max (y1, y2; amin, amax, т1£ ) .

В рассмотрение вводится корректирующая функция

R( Уь y 2; amin, amax, Tik) =

= 1 + arctg|yi(a

min,a max, Tlk )[10 т 2max + y2(amin,amax,Tlk )]}

где y1 и y2 - искомые аргументы, зависящие от amin, amax - минимального и максимального значения коэффициента диффузии ([amin, amax] - диапазон измерений).

Таблица 2

Значения ю , T2L , т2R при а = var

а • 109 т 2max C = 0, T2L = 0 C = 0,9

ю т 2R ю T2L т 2R

1,00 1190,9 0,192086 6200,3 0,396066 742,1 1875,3

1,03 1143,8 0,199256 5740,6 0,398444 715,7 1790,1

1,05 1099,5 0,206295 5330,1 0,400756 690,8 1710,7

1,08 1057,9 0,213200 4962,3 0,403006 667,3 1636,6

1,10 1018,8 0,219971 4631,5 0,405194 645,1 1567,4

1,13 981,8 0,226607 4333,0 0,407322 624,1 1502,5

1,15 947,1 0,233107 4062,7 0,409393 604,1 1441,8

1,18 914,1 0,239472 3817,4 0,411408 585,1 1384,8

1,20 883,1 0,245703 3593,9 0,413368 567,2 1331,2

1,23 853,6 0,251801 3390,0 0,415276 550,1 1280,8

1,25 825,7 0,257767 3203,2 0,417134 533,9 1233,4

1,28 799,2 0,263604 3031,9 0,418942 518,4 1188,6

1,30 774,1 0,269313 2874,4 0,420703 503,7 1146,4

1,33 750,2 0,274896 2729,2 0,422417 489,6 1106,5

1,35 727,5 0,280356 2595,0 0,424088 476,2 1068,7

1,38 705,9 0,285694 2470,9 0,425716 463,4 1033,1

1,40 685,3 0,290915 2355,8 0,427302 451,1 999,2

1,43 665,7 0,296019 2248,9 0,428848 439,4 967,1

1,45 647,0 0,301009 2149,4 0,430355 428,2 936,5

1,48 629,1 0,305889 2056,7 0,431825 417,5 907,5

1,50 612,1 0,310660 1970,1 0,433258 407,1 880,0

Для заданных параметров находим такие значения у и у2 , при которых целевая функция Е (у!, у 2; ат;п, атах, ) принимает минимальное значение

F(у1,у2;amin,amax,Т1£) ^^[Qi (у1,У2;amin,ömax>T1k) Q] “У ^Ш1П . (26)

У1’ У2

г=0

Здесь Q i (У1, y 2; amin, amax, т^) - скорректированное отношение интервалов времени га

Qг (Уь У2; amin, amax, T1k) = raR( У1, У2; amin, amax, T1k). (27)

Индекс i меняет свои значения соответственно делению диапазона [amin, amax] на n равных частей; для каждого значения коэффициента диффузии аг = a + i(amax - amin)/n, i = 0,...,n вычисляем скорректированное отношение по

формуле (27). Зная Qi, находим величину Q - среднее значение массива Qi

— 1 n Q = - ^Qi-ni=0

Значение ^2max находим методом половинного деления из уравнения относительно Т 2max

О (1 а-ГС1§{(у* (атт,атах,т1к)[10 т2тах + у2 (атт ,атах ,т1к)]1) °-

1 1 ’’ т2Я-т21

(28)

22

Здесь у1 и у2 - решение задачи (26).

Было проведено имитационное исследование влияния погрешности измерения а при наложении 5-%-ного шума, распределенного по нормальному закону, на величины Т2^ , т2д (при С = 0 шум на т21 = 0 не накладывается).

Выяснилось, что при уменьшении значения С дисперсия а2[а], как случайной величины, уменьшается, а при С = 0 - она минимальная:

С = 0 ^ ст [а

С = 0,25 ^ ст 2[а С = 0,5 ^ ст 2[а С = 0,75 ^ ст 2[а С = 0,9 ^ ст 2[а

= 1,8-10-9 = 2,3 -10-9 = 3,5-10-9 = 5,2-10-9 = 8,3 -10-9.

Таким образом, значение С = 0 наиболее выгодное по точности.

Найдем коэффициент диффузии при С = 0. Используя сплайн, находим интервал времени Т2 , в котором зашумленная кривая пересекает уровень 9 =9(0) (значение 9(0) берем также из зашумленной кривой). Методом половинного деления

с точностью е = 10-10 найдено пересечение сплайна на этом интервале: т 2Д = 3377,1 с (рис. 5).

Диапазон измерений коэффициента диффузии запишем в виде а е [10 Р1,10Р2] м2/с, где р1, Р2 - целые отрицательные числа. Для применения обсуждаемой здесь методики необходимо по экспериментальному значению т 2 д решить задачу (26), взяв в качестве ат;п значение 10Р1, а в качестве атах значение 10Р2 . Далее надо решить уравнение (28) и найти а. Принятый в таком виде

Рис. 5 Определение

диапазон измерений может оказаться слишком широким, чтобы после решения задач (26) в нем наблюдалось бы постоянство функции Q = idem. Степень непостоянства Q оценивается близостью функции F к минимуму - чем эта функция (26) меньше, тем постоянство Q больше, а решение уравнения (28) при этом дает более достоверное значение искомого коэффициента диффузии.

Разбиение диапазона измерений проводим так: отрезок [ pb Р2 ] делим на пр

равных частей, причем брать надо такое пР, чтобы среди границ интервалов

х, j ], (j = 0, пр —1) решения задачи (26) оказались все значения вида

[amin, j, amax

1-10 p, Pi < p < Р2, где p - целые числа. В качестве Пр можно брать число,

кратное разности (p2 - pi).

Был проведен следующий имитационный эксперимент. Рассматривался диапа-

—9 —8 2

зон измерений а е [10 ;10 ] м /с. Соответствующий диапазон порядков [- 9; - 8]

был поделен на np = 20 равных частей. Порядок p е [pbp2] варьировался с шагом hp = (p2 — p\)/np (следует заметить, что j-му интервалу значений p соответ-

= 10P1+( 1 +1)hp ). Для каждого j решаем задачу

* *

(26) и находим соответствующие оптимальные значения >1 j , у2 j и aj из уравнения (28). Каждому j-му диапазону [amin ,■; а

Л t\P\+ jhp

СТВуЮТ amin,j = 10 , amax,j

min, p Mmax, j

присущи показатели точности:

8 j =

- относительная погрешность определения коэффициента диффузии

а ,■ - а0

100 %, где а0 - теоретическое значение коэффициента диффузии,

а0

—9 2

заданное в разд. 3 (в данном случае а00 = 1,25 -10 м /с);

I

т

- п} = 1[ёI -9(Бо(т21);а]- )]2 - сумма абсолютных погрешностей аппрок-

I=1

симации «экспериментальной» кривой теоретической зависимостью (19); под «экспериментальной» кривой здесь и ниже понимается зависимость (25) влагосо-

держания (9(Го2) от времени, полученная в результате наложения случайной помехи на точные значения 9(Бо2); т - число «экспериментальных точек»; (9г -полученное из «экспериментальной» кривой безразмерная концентрация влаги в момент времени т 21; 9(Бо(х 21 );а}) - значение влажности образца, полученное из

выражения (19).

Из табл. 3 видно, что минимальное значение п/ = 3,925-Ш-4 соответствует

коэффициенту диффузии а2 = 1,227-10-9 м2/с, а относительная погрешность 52 составила 1,87 %. Для сравнения напомним, что при использовании методики непосредственного нахождения момента времени, соответствующего экстремальному влагосодержанию (см. разд. 3), относительная погрешность составила 5,1 %.

Таким образом, имитационное исследование показало, что использование предложенной методики косвенного нахождения экстремума (см. разд. 5) по сравнению с непосредственным его определением (см. раздел 3) позволяет уменьшить относительную погрешность измерений на 3,23 % или приблизительно в 2,7 раза.

Таблица 3

Результаты вычислений коэффициента диффузии по зашумленной «экспериментальной» кривой (25)

«min, j '109 аmax, j '109 * y1, j j, * (N aj -I09 5 j n j -104

1,00 1,12 0,4200 -3,0000 1,225 1,992 5,585

1,12 1,26 0,4400 -2,7200 1,227 1,867 3,925

1,26 1,41 0,5200 -2,0000 1,227 1,876 7,019

1,41 1,58 0,6200 -1,3800 1,226 1,916 8,340

1,58 1,78 0,3802 -3,2800 1,225 2,025 9,585

1,78 2,00 0,3400 -3,8000 1,223 2,128 10,780

2,00 2,24 0,3597 -3,5400 1,225 2,007 12,000

2,24 2,51 0,3401 -3,8200 1,226 1,919 13,190

2,51 2,82 -0,4803 3,7200 1,185 5,195 13,420

2,82 3,16 -0,8400 2,2800 1,168 6,573 14,090

3,16 3,55 -0,9801 2,0001 1,161 7,112 14,910

3,55 3,98 -1,2401 1,6400 1,151 7,944 15,600

3,98 4,47 -3,4400 0,7201 1,081 13,541 15,130

4,47 5,01 -3,4400 0,7203 1,081 13,554 15,830

5,01 5,62 -0,5397 3,3000 1,208 3,328 19,910

5,62 6,31 -0,5399 3,2800 1,220 2,405 21,150

6,31 7,08 -0,5399 3,2600 1,233 1,331 22,450

7,08 7,94 -0,4401 3,9000 1,257 0,531 24,060

7,94 8,91 -0,4399 3,8800 1,274 1,911 25,460

8,91 10,00 -0,4801 3,5600 1,289 3,149 26,770

1. Толстых С.Г. Математическая модель метода измерения коэффициента диффузии // Труды ТГТУ: Сборник научных статей молодых ученых и студентов. Вып.8. Тамбов: Изд-во ТГТУ, 2001. - С. 3-11.

2. Лыков А.В. Теория теплопроводности. - М.: Высшая школа. 1967. - 600 с.

3. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). - М.: Наука. - 832 с.

4. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. - М.: Наука, 1987. - 600 с.

5. Хемминг Р.В. Численные методы. - М.: Мир, 1975. - 400 с.

6. Реклейтис Г., Рейвиндран А., Рэгсдел К. Оптимизация в технике. Т.1. -М.: Мир, 1986. - 350 с.

To the Question of Measurement Error of Diffusion Coefficient of Porosity Materials

S.V. Mishchenko1, S.V. Ponomarev1, S.G. Tolstych1, S.S. Tolstych2

Departments: “Automated Systems and Devices” (1),

“Information Processes and Management” (2), TSTU

Key words and phrases: imitation modeling; diffusion coefficient of moisture; measurement error.

Abstract: Questions of imitation modeling of the measuring process of moisture diffusion coefficient in porosity materials are considered. The course of model reduction to dimensionless form lowering the measurement error under limited units digit in machine presentation of digits is shown. The comparison of ways of determining the moment of time conforming the moisture content extremum is made, and it is shown that minimum error corresponds time registration of coincidence of moisture content value with its primary value at the final stage of measurements. Methodology of determining diffusion coefficient is suggested.

Zur Frage über die Messungsfehler des Koeffizienten der Diffusion der porösen Stoffe

Zusammenfassung: Es werden die Fragen der Imitationsmodellierung des Prozesses der Messung des Koeffizienten der Diffusion der Feuchtigkeit in den porösen Stoffen betrachtet. Es ist der Lauf der Anführung des Modells zur dimensionslosen Art, die den Fehler der Berechnungen bei dem beschränkten Entladungsnetz in der mechanischen Darstellung der materiellen Zähle verringert, aufgezeigt. Es ist der Vergleich der Weisen der Bestimmung des Momentes der Zeit, die dem Extremum des Feuchtgehaltes entspricht, durchgeführt. Es ist aufgezeigt, daß der minimale Fehler der Registrierung der Zeit des Zusammenfallens der Bedeutung des Feuchtgehaltes mit ihrer Anfangsbedeutung in der letzten Etappe der Messungen entspricht. Es ist die Methodik der Bestimmung des Koeffizienten der Diffusion angeboten.

Sur le problème des erreurs de la mesure du coefficient de la diffusion des matériaux poreux

Résumé: Sont examinés les problèmes du modélage avec l’imitation du processus de la mesure du coefficient de l’humidité dans les matériaux poreux. On a montré le processus de l’aboutissement du modèle à l’aspect adimensionnel qui réduit les erreurs des calculs avec le réseau d’ordre limité dans la représentation des nombres réels par la machine. On a fait la comparaison des moyens de la définition du moment du temps correspondant à l’extrémum du contenu de l’humidité et l’on a montré que l’erreur minimum correspond à l’enregistrement du temps de la coïncidence de la valeur de la teneur de l’humidité avec sa valeur initiale à la dernière étape des mesures. On a proposé la méthode de la définition du coefficient de la diffusion.