CC BY
23
_____ЯК1СТБ, НАДШШСТЬIСЕРТИФ1КАЦШ
ОБЧИСЛЮВАЛЫЮ1 ТЕХН1КИ IПРОГРАМНОГО ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ
УДК 621.3.019.3
А.В. ФЕДУХИН*, Н.В. СЕСПЕДЕС ГАРСИЯ*, Ар.А. МУХА*
К ВОПРОСУ О НАДЕЖНОСТИ НЕВОССТАНАВЛИВАЕМОЙ СИСТЕМЫ С КВАЗИМОСТИКОВОЙ СТРУКТУРОЙ ЭЛЕМЕНТОВ
Институт проблем математических машин и систем НАН Украины, г. Киев, Украина_
Анотаця. Стаття присвячена оцтщ Hadirnocmi кваз1мостиковог структури методом аналтич-ного розрахунку, заснованого на класичних теоремах теорИ' ймовiрностей. Наводиться порiвняль-на оцтка отриманих результатiв з результатами статистичного моделювання та аналтичного розрахунку ВФ-методом.
Ключов1 слова: квазiмостикова структура, декомпозищя двоканальног структури, надттсть квазiмостиковог структури, високонадтт системи критичного застосування.
Аннотация. Статья посвящена оценке надежности квазимостиковой структуры методом аналитического расчета, основанного на классических теоремах теории вероятностей. Приводится сравнительная оценка полученных результатов с результатами статистического моделирования и аналитического расчета ВФ-методом.
Ключевые слова: квазимостиковая структура, декомпозиция двуканальной структуры, надежность квазимостиковой структуры, высоконадежные системы критического применения.
Abstract. The article is devoted to the estimation of the reliability of a quasi-bridge structure by the method of analytical calculation based on the classical theorems ofprobability theory. A comparative evaluation of the received results with the results of statistical modeling and analytical calculation by the probabilistic-physical method is given.
Keywords: kvazimostikova structure, decomposition of the two-channel structure, reliability of the kvazimostikova structure, highly reliable critical application systems.
1. Введение
В [1] впервые была предложена двухканальная отказоустойчивая структура, названная впоследствии квазимостиковой, которая получила дальнейшее развитие в работах [2-5] и показала свое реальное превосходство над известной двухканальной структурой с горячим резервом.
Данный факт преимуществ квазимостиковой структуры подтверждается другим исследователем в [6] для похожей системы, названной им резервированной системой с дублированными подсистемами и детектором ошибок. При таком резервировании после каждого резервируемого элемента стоит детектор ошибок, фиксирующий несовпадение результатов работы основного и резервного элементов. В случае обнаружения несовпадения запускается диагностическая программа, определяющая, какой именно блок отказал, и исключающая его из работы. При этом указаны следующие преимущества такой структуры:
• значительное увеличение вероятности безотказной работы вычислительной системы;
• повышение ремонтопригодности вследствие возрастания диагностической точности в определении отказавшего элемента.
В последнее время преимущества квазимостиковой структуры [1] доказывались путем имитационного моделирования [2], статистического моделирования [3-5] и путем аналитического расчета ВФ-методом [7]. Все эти подходы основаны на гипотезе о диффузи-
© Федухин А.В., Сеспедес Гарсия Н.В., Муха Ар.А., 2017 ISSN 1028-9763. Математичш машини i системи, 2017, № 4
онном законе распределения (БЫ -распределении). Не требует доказательств тот факт, что использование любой теоретической модели надежности связано, в той или иной степени, с методическими ошибками, влияющими на точность результата. Несмотря на то, что БЫ -распределение как двухпараметрическая вероятностно-физическая модель имеет их минимальные значения [7], однако представляет особый теоретический интерес сравнение результатов оценки вероятности безотказной работы, полученной на основе параметрических методов, с результатами, полученными классическим методом, основанным на базовых теоремах теории вероятностей.
Цель исследований - оценка надежности квазимостиковой структуры методом аналитического расчета, основанного на классических теоремах теории вероятностей, сравнительная оценка полученных результатов с результатами статистического моделирования и аналитического расчета ВФ-методом.
2. Оценка надежности отказоустойчивых структур классическим методом
Рассмотрим невосстанавливаемую двух-канальную (дублированную) структуру из двух функциональных блоков ФБ1 и ФБ2 (рис. 1). При отказе одного из каналов система продолжает работу по другому, сохранившему работоспособность, каналу. Работу каналов контролирует блок контроля и реконфигурации (БКР), который в последующих расчетах считается абсолютно надежным и не показывается на рисунке.
Составим таблицу состояний дублированной структуры (табл. 1), которая включает три работоспособных состояния.
Таблица 1. Таблица состояний дублированной структуры
Обозначение работоспособного состояния структуры А Отказавшие ФБ за время / Безотказно проработавшие ФБ в течение времени /
А, - 1, 2
1 2
А3 2 1
Рис. 1. Дублированная структура
Воспользуемся теоремой сложения вероятностей и запишем выражение для вероятности безотказной работы:
щ)^р(а1) + р(а2) + р(а3). (1)
Распишем вероятности работоспособных событий:
= (2)
При равнонадежных ФБ:
Р(А1) = Я2фб, (3)
Р(А2) = (1-КФБ)-КФБ, Р(А3) = (1-Кфб)-Кфб.
Подставив (3) в (1), получим вероятность безотказной работы структуры:
КС) = РфБ + (1 ~ КФБ) ' КФБ + (1 ~ Кфб) ' КФБ = 2КФБ ~ КФБ- (4)
Рассмотрим следующий пример.
Пример 1. Пусть ТФБ =1000 ч. При справедливости диффузионного немонотонного закона распределения (Б^-распределения) для / =500 ч и VФБ =0,75 по таблицам [7] вычислим 11ФБ =0,7452, откуда по (4) получаем = 2ЯФБ -ЯФБ =0,9351.
С целью повышения безотказности и эксплуатационной готовности дублированной структуры предлагается ее декомпозиция, при которой каждый ФБ разбивается на п функциональных субблоков (ФСБ), которые с помощью БКР образуют п дублированных узлов (рис. 2). В последующих расчетах БКР считается абсолютно надежным. Если ФБ разбиваются на условно равнонадежные ФСБ, то средняя наработка до отказа такого ФСБ может быть ориентировочно вычислена по формуле: ТФСБ = 4п -ТФБ [7]. Такая новая структура получила название «квазимостиковой» [2].
Рассмотрим невосстанавливаемую квазимостиковую структуру из 2-х узлов (рис. 2).
ФБ1
ФБ2
Рис. 2. Квазимостиковая структура из 2-х узлов
Составим таблицу состояний квазимостиковой структуры из 2-х узлов (табл. 2), которая включает девять работоспособных состояний.
Таблица 2. Таблица состояний квазимостиковой структуры из 2-х узлов_
Обозначение работоспособного состояния структуры А Отказавшие ФБ за время ( Безотказно проработавшие ФБ в течение времени 1
А - 1.1, 1.2, 2.1, 2.2
А 1.1 1.2, 2.1, 2.2
А 2.1 1.1, 1.2, 2.2
А 1.2 1.1, 2.1, 2.2
Продолж. табл. 2
A 2.2 1.1, 1.2, 2.1
A 1.1, 1.2 2.1, 2.2
A7 1.1, 2.2 1.2, 2.1
A 1.2, 2.1 1.1, 2.2
a9 2.1, 2.2 1.1, 1.2
Воспользуемся, как и раньше, теоремой сложения вероятностей и запишем выражение для вероятности безотказной работы:
R(t) = PÍA) + PÍA) + Р(А3) + Р(А4) + Р(А5) + Р(А6) + PÍA,) + P(AS) + Р(А9). (5) Распишем вероятности работоспособных событий:
Д4) = я1Л.Я21.Я12-Я22, (6)
ДЛ) = ^1.1 ' R2A ' R1.2 ' R22 = С1 - ^1.1) ' Ra ' R\.2 ' R2.2 , P(A3) = F21 -R1a -R12 -R22 =(1 -R21)-R1A -R12 •R22,
ДА) = ^1.2 • ^1.1 • R2.l • R2.2 = (1 - Д2) • ^1.1 • R21 • R2.2 , ДА) = F2.2 ' ^1.1 ' R2.l ' Rl.2 = (1 - ^2.2) ' ^1.1 ' R2.l ' Rl.2 , ДА) = ^1.1 ' ^1.2 ' Д.1 ' R2.2 = О - ^l.l) ' (1 - ^1.2) ' Д.1 ' R2.2 , ДА) = ^1.1 ' F2.2 ' Д.1 ' ^.2 = С1 ~ ^l.l) ' С1 ~ Д2) ' Д.1 ' ^1.2 , ДА) = ^2.1 '^1.2 '^1.1 R2.2 =(1_ Д.1) • (1-^1.2) 'Д.1 R2.2 ~> ДА) = Д.1 ' F2.2 ' ^1.1 ' ^1.2 = (1 - Д l) ' (1 - Д2) ' Д1 ' R\.2 ■
При равнонадежных ФСБ:
PÍA) = RA
фсб,
p{a2) = {\-r0ce)-r^cb,
р(а4) = (\-рфсб)-р3фсб, р(а5) = (\-кфсб)-к3фсв, p(a6) = (\-r0CEY-r^ce, р(а7) = (\-рфсб)2-р2фсв, р(а) = (\-кфсб)2-к2фсв,
p{a9) = {\-r0cef -r2
фсб.
(7)
Подставив (7) в (5), получим вероятность безотказной работы структуры:
= кфсб + 4 ■ (1 - к-фсб) -кфсб + 4 ■ (1 - • Я ФСБ
(9)
Если при декомпозиции ФБ не удается его разделить на абсолютно равнонадежные ФСБ, то есть имеет место такая практическая ситуация, при которой равнонадежны ФСБ в первой паре ФСБ 1.1 и ФСБ21, а ФСБ 1.2 и ФСБ22 также равнонадежны, но их уровень надежности отличается от уровня надежности ФСБ первой пары. В этом случае при попарной равнонадежности ФСБ каждого узла заменим ^ 1 и 1 на ^ и Я12 и Я22 на и получим следующие выражения для вероятностей событий:
Подставив (9) в (5), получим вероятность безотказной работы структуры: Кс(Г) = К2-К22+2-(\-К1)-К1 ■К22+2-(\-К2)-К2-К2+4-(\-К1)-(\-К2)-К1-К2. (Ю)
Рассмотрим следующий пример.
Пример 2. Пусть ФСБ равнонадежны, и ТФСБ = 4п ■ ТФБ, где л = 2 - количество ФСБ в канале, ТФБ=1000 ч, откуда ТФСБ=1414 ч. При справедливости диффузионного немонотонного закона распределения (ЭЫ -распределения) для Г = 500 ч и V ФСБ=0,15 по таблицам [7] вычислим ^ФСВ=0,8875, откуда
Яс (0 = Я4фсб + 4 • (1 - ЯфСБ) • К'фсб + 4 • (1 - ЯФСБ)2 • К2фсб=0,9749.
Проиллюстрируем работу формулы (10) для случая, когда Тфса , = ТФСБ21 = 1200 ч и Тфсж 2 = ТФСБ1г = 1600 ч, остальные исходные данные 1 и УФСБ возьмем из примера 2. Для Г = 500ч и ¥фсб=0,75 по таблицам [7] вычислим Д =0,8226 и Я2 =0,9209, откуда Кс(Г) = К2-К22+2-(\-К1)-К1 ■К22+2-(\-К2)-К2-К2+4-(\-К1)-(\-К2)-К1-К2 =0,9625.
Рассмотрим невосстанавливаемую квазимостиковую структуру из 3-х узлов (рис. 3).
Рис. 3. Квазимостиковая структура из 3-х узлов
Составим таблицу состояний квазимостиковой структуры из 3-х узлов (табл. 3), которая включает 25 работоспособных состояний.
Таблица 3. Таблица состояний квазимостиковой структуры из 3 -х узлов
Обозначение работоспособного состояния структУРы А Отказавшие ФБ за время t Безотказно проработавшие ФБ в течение времени t
А - 1.1, 1.2, 1.3, 2.1, 2.2, 2.3
А 1.1 1.2, 1.3, 2.1, 2.2, 2.3
Аз 2.1 1.1, 1.2, 1.3, 2.2, 2.3
A4 1.2 1.1, 1.3, 2.1, 2.2, 2.3
А5 2.2 1.1, 1.2, 1.3, 2.1, 2.3
А6 1.3 1.1, 1.2, 2.1, 2.2, 2.3
А7 2.3 1.1, 1.2, 1.3, 2.1, 2.2
А8 1.1, 1.2 1.3, 2.1, 2.2, 2.3
Ад 1.1, 1.3 1.2, 2.1, 2.2, 2.3
А10 1.1, 2.2 1.2, 1.3, 2.1, 2.3
А„ 1.1, 2.3 1.2, 1.3, 2.1, 2.2,
А1 2 1.2, 1.3 1.1, 2.1, 2.2, 2.3
А13 1.2, 2.1 1.1, 1.3, 2.2, 2.3
А14 1.2, 2.3 1.1, 1.3, 2.1, 2.2,
А15 1.3, 2.1 1.1, 1.2, 2.2, 2.3
А16 1.3,2.2 1.1, 1.2, 2.1, 2.3
А1 7 2.1, 2.2 1.1, 1.2, 1.3, 2.3
А1 8 2.1, 2.3 1.1, 1.2, 1.3, 2.2
А1 9 2.2, 2.3 1.1, 1.2, 1.3, 2.1
А20 1.1, 1.2, 1.3 2.1, 2.2, 2.3
А2 1 1.1, 1.2, 2.3 1.3, 2.1, 2.2
А22 1.1, 1.3, 2.2 1.2, 2.1, 2.3
А23 2.1, 2.2, 2.3 1.1, 1.2, 1.3
А24 2.1, 2.2, 1.3 1.1, 1.2, 2.3
А25 2.1, 2.3, 1.2 1.1, 1.3, 2.2
Воспользуемся, как и раньше, теоремой сложения вероятностей и запишем выражение для вероятности безотказной работы:
R(t) = P(A1) + P(A2) + ... + P(A25). Распишем вероятности работоспособных событий:
Р(А) = R11 • R12 • R13 • RZ1 • R2.2 • Д.З >
P(A) = ^1.1 ' R1.2 ' R13 ' R2A ' R2.2 ' R23 = С1 ~ Rll) ' Rl.2 ' R13 ' Д.1 ' Д.2 ' ^2.3
(11) (12)
Р{А3) = F21 ■ R1Ä ■ R12 ■ R13 • R22 ■ R23 = (1 - R21) ■ Rhl ■ R12 ■ R13 ■ R22 ■ R23, P(A4) = F12 ■ RL1 ■ R13 • R21 ■ R22 • R23 = (1 - Rl 2) ■ RlA ■ Rl3 ■ R21 • R22 • R23 , P(A) = F2.2 • ^1.1 • ^1.2 • • ^2.1 • ^2.3 = (! - R2.l) ' ^1.1 ' ^12 ' R\3 ' ^2.1 ' R23 ,
ДЛ) = ^1.3 ' ^1.1 ' Rl.2 ' ^2.1 ' R2.2 ' ^2.3 = С1 - ^1.3 ) ' ^1.1 ' R1.2 ' ^2.1 ' ^2.2 ' R23 ,
ДЛ) = ^2.3 ' ^1.1 ' Rl.2 ' ^1.3 ' ^2.1 ' ^2.2 = С1 - ^2.з) ' ^1.1 ' Rl.2 ' R\3 ' ^2.1 ' ^2 2 > ДЛ) = ^1.1 ' F1.2 ' ^1.3 ' R2.l ' R2.2 ' ^2.3 = С1 ~ ^1.1 ) ' С1 ~ ^12) ' R\3 ' ^2.1 ' ^2.2 ' ^2.3 , ДЛ) = ^1.1 ' F\3 ' Rl.2 ' ^2.1 ' ^2.2 ' ^2.3 = С1 - ^l.l) ' С1 - ^1.з) ' Rl.2 ' R21 ' R2.2 ' ^2.3 >
Д4о) = ^1.1 ' F2.2 ' Rl.2 ' ^1.3 ' R2.l ' R23 = С1 ~ ^1.1 ) ' С1 ~ R2^) ' ^12 ' ^1.3 ' R2A ' R23 ,
P(Al) = ^1.1 ' F23 ' Rl.2 ' Я,3 * * ^2.2 = (1 ~ RlA) • (1 - ^3) • R12 ' R1 3 • .1 ' ^2.2 > Д42) = F1.2 ' ^1.3 ' ^1.1 ' R2.l ' R2.2 ' ^2.3 = С1 ~ .2) ' С1 ~ ^1.3 ) ' ^1.1 ' R2A ' R2.2 ' ^2.3 >
Д4з) = ^1.2 ' F2.l ' ^1.1 ' R\3 ' ^2.2 ' R2.3 = С1 ~ ^1.2 ) ' С1 ~ ^2.1 ) ' ^1.1 ' ^1.3 ' ^2.2 ' R23 , P(AA) = ^12 ' F23 ' ^1.1 ' R\3 ' R2.l ' R2.2 = С1 ~ .2) ' С1 ~ ^2.3 ) ' ^1.1 ' ^1.3 ' ^2.1 ' ^2 2 ,
Д45) = F13 " ^2.1 ' ^1.1 ' R1.2 ' R2.2 ' ^2.3 = С1 - ^1.з) ' С1 - ^2.l) ' ^1.1 ' R1.2 ' R2.2 ' ^2.3 >
Д4б) = F\3 ' F2.2 ' ^1.1 ' Rl.2 ' R2.l ' R23 = С1 ~ ^1.3 ) ' С1 ~ ^2.2 ) ' ^1.1 ' Rl.2 ' ^2.1 ' R23 ,
R(Aj) = ^2.1 ' F2.2 ' ^1.1 ' R1.2 ' ^1.3 ' ^2.3 = С1 ~ ^2.1 ) ' С1 ~ R2^) ' ^1.1 ' Rl.2 ' ^1.3 ' ^2.3 >
P(As) = ^2.1 ' F23 ' ^1.1 ' R1.2 ' ^1.3 ' R2.2 = С1 ~ ^2.1 ) ' С1 ~ ^2.3 ) ' ^1.1 ' Rl.2 ' ^1.3 ' ^2.2 > = F2.2 ' ^2.3 ' ^1.1 ' Rl.2 ' ^1.3 ' R2.l = С1 ~ ^2.2 ) ' С1 ~ ^2.3 ) ' ^1.1 ' Rl.2 ' ^1.3 ' R2A , P(AO)=F1A "F1.2 ~F13 ' R2A ' R2.2 '^2.3 = С1 ~ ^1.1 ) ' С1 ~ ^1.2 ) ' С1 ~ ^1.3 ) ' ^2.1 '^2.2 '^2.3
ДЛ1) = ^1.1 ' Fl.2 ' F23 ' ^1.3 ' R2A ' R2.2 = С1 ~ ^1.1 ) ' С1 ~ ^12) ' С1 ~ ^2.3 ) ' R\3 ' ^2.1 ' ^2.2 W = il.l '^1.3 ' F2.2 ' Rl.2 -P2A ,R23 = С1 ~ ^1.1 ) ' С1 ~ ^1.3 ) ' С1 ~ ^2 2 ) ' 2 ' R2A ' R23 P(A3) = F2A ' F2.2 ' F23 ' ^1.1 ' Rl.2 ' R\3 = С1 ~ ^2.1 ) ' С1 ~ ^2) ' С1 ~ ^2.3 ) ' ^1.1 ' Rl.2 ' R\3 P(A4) = F2A ' F2.2 ' ^1.3 ' ^1.1 ' Rl.2 ' ^2.3 = С1 ~ ^2.1 ) ' С1 ~ ^2 2 ) ' С1 ~ ^1.3 ) ' ^1.1 ' Rl.2 ' R23 P(A5) = F2A ' F23 ' ^12 ' ^1.1 ' ^1.3 ' R2.2 = C1 - ^2.l) ' C1 - ^2.3) ' C1 - ^12) ' ^1.1 ' R\3 ' ^2.2
При равнонадежных ФСБ :
ДД) = R6 ФСБ,
PÍA,) = Р(А3) = PÍA,) = Р(А5) = Р{А6) = Р(А7) = (1 - • R5фсб,
Р(А) - Р(А) = Р(Ао) = Р(Аг) - P(Ai) = Р(Аз) - р(А4) -= Р(А15) = Р(А16) = Р(Ап) = Р(Ап) = Р(А19) = (1-КФСБ)2 • Я4ФСБ '
Р(А20) = Р(А21) = Р(А22) = Р(А2з) = Р(А24) = Р(А25) = (1 - Яфся)3 • Р3фсб .
(13)
Подставим (13) в (11), получим вероятность безотказной работы структуры:
ад) = ад + б ■ (1 - ад) ■ я5фсб +12 • (1 - ад)2 • я4фсв + б ■ (1 - ад)3 • ад*. (14)
Рассмотрим следующий пример.
Пример 3. Пусть ТФСБ = 4п -ТФБ, где л = 3 - количество ФСБ в канале, '/ф;; = 1 ООО ч, откуда ТФСБ=1732ч. При справедливости диффузионного немонотонного закона распределения (БЫ -распределения) для I =500ч и V ФСБ=0,75 по таблицам [7] вычислим ТФСБ=0,9361, откуда
^(о=^+бЧ1-ад)-^ФсЯ+12Ч1-ад)2^4ФсЯ+б-а-ад)3^3ФсЯ=о,9874. 3. Анализ результатов
Проведем сравнение полученных результатов аналитического расчета надежности квази-мостиковой структуры классическим методом с результатами статистического моделирования и аналитического расчета ВФ-методом [3,5] (табл. 4-6).
Таблица 4. Результаты моделирования надежности квазимостиковой структуры методом «слабого звена»
Количество узлов Средняя наработка до отказа системы, Т Тс Коэффициент вариации наработки до отказа системы, Ус Вероятность безотказной работы системы, Т с
1 1375 0,595 0,9414
2 1329 0,476 0,9741
3 1368 0,416 0,9875
Таблица 5. Результаты аналитического расчета надежности квазимостиковой структуры
ВФ-методом
Средняя Коэффициент ва- Вероятность
наработка до риации наработки безотказной
Количество узлов отказа системы, до отказа работы системы,
Т системы, Тс
Ус
1 1420 0,518 0,9731
2 1417 0,523 0,9714
3 1418 0,530 0,9696
Таблица 6. Результаты аналитического расчета надежности квазимостиковой структуры классическим методом
Количество узлов Вероятность безотказной работы системы, Тс Относительная ошибка моделирования Относительная ошибка расчета ВФ-методом ад
1 0,9351 0,6 4,0
2 0,9749 0,08 0,3
3 0,9874 0,01 1,8
Статистическое моделирование и аналитический расчет классическим методом убедительно доказывают факт увеличения вероятности безотказной невосстанавливаемой квазимостиковой структуры с ростом количества узлов. Расчет вероятности безотказной работы ВФ-методом показывает отсутствие какой-либо зависимости данной структуры от количества узлов. Анализ величины относительной ошибки моделирования показал высокую адекватность результатов моделирования с помощью специально разработанного пакета программ RELIABmod [3, 5], дающего относительную ошибку не более 0,6%. Относительная ошибка ВФ-метода аналитического расчета также не велика и находится в допустимых пределах (не более 4%).
4. Заключение
Результаты аналитического расчета надежности невосстанавливаемой квазимостиковой структуры убедительно подтвердили высокую эффективность данной отказоустойчивой структуры, позволяющей проектировать на ее основе высоконадежные системы критического применения.
Квазимостиковая структура характеризуется более высоким уровнем отказоустойчивости и, как следствие, живучести, так как имеет значительно большее количество работоспособных состояний, чем простая дублированная структура. Она также способна к автоматической реконфигурации в одноканальную структуру без дополнительного вмешательства и изменения функции восстанавливающего органа (ВО).
Кроме того, с ростом количества узлов структуры уменьшается сложность ФСБ, из которых состоит узел, что упрощает программную и/или техническую реализацию схемы внутреннего контроля (СВК), задачей которой является обнаружение неисправностей не только в контролируемом вычислительном канале, но и своих собственных неисправностей. Увеличение количества узлов также повышает точность контроля и диагностики неисправностей структуры и, как следствие, приводит к уменьшению времени восстановления и возрастанию показателей надежности восстанавливаемой квазимостиковой структуры в целом.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Федухин А.В. К вопросу об аппаратной реализации избыточных структур: резервированная двухканальная система с реконфигурацией / А.В. Федухин, Ар.А. Муха // Математичш машини i системи. - 2010. - № 4. - С. 156 - 159.
2. Федухин А.В. Имитационное моделирование отказоустойчивой двухканальной системы в интегрированной инструментальной среде Matlab Simulink / А.В. Федухин, Ар.А. Муха // Математичш машини i системи. - 2011. - № 2. - С. 178 - 181.
3. Федухин А.В. Моделирование надежности систем / А.В. Федухин, В.П. Пасько // Методы менеджмента качества. - 2012. - № 3. - С. 50 - 55.
4. Федухин А.В. Моделирование надежности восстанавливаемой квазимостиковой структуры с учетом тренда параметров надежности составных частей / А.В. Федухин, В.П. Пасько, Ар.А. Муха // Математичш машини i системи. - 2016. - № 1. - С. 158 - 167.
5. Федухин А.В. К вопросу о моделировании надежности двухканального невосстанавливаемого вычислительного комплекса специального назначения / А.В. Федухин, В.П. Пасько // Математичш машини i системи. - 2016. - № 4. - С. 142 - 145.
6. Повышение надежности за счет резервирования оборудования [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http : //all-ht.ru/inf/systems/p_0_5.html.
7. Стрельников В.П. Оценка и прогнозирование надёжности электронных элементов и систем / В.П. Стрельников, А.В. Федухин. - К.: Логос, 2002. - 486 c.
Стаття над1йшла до редакцИ' 29.09.2017
